学案2 平面向量基本定理及坐标表示
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。
过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。
典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
第2节平面向量基本定理及坐标表示课件
5.已知 A(－5，8)，B(7，3)，则与向量A→B反向的单位向量为___－__11_23_，__1_53____. 解析 由已知得A→B＝(12，－5)，所以|A→B|＝13， 因此与A→B反向的单位向量为－113A→B＝－1132，153.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)，在这三个向量中
第五章 平面向量、复数
考试要求
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
4.如图，平面内有三个向量O→A，O→B，O→C，其中O→A与O→B的夹
角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|
＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为___6_____.
解析 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则 A(1，0)，C(2 3cos 30°，2 3sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°). 即 A(1，0)，C(3， 3)，B－21， 23. 由O→C＝λO→A＋μO→B得，λ2－3μ12＝μ＝33.， ∴μλ＝＝42.，∴λ＋μ＝6.
则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，
则|b|＝ 9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，
∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量O→A＝(1，－3)，O→B＝(2，－1)，O→C＝(m＋1，m－2)，若 A，B，
平面向量基本定理及向量坐标表示
平面向量基本定理及向量坐标表示一、平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量运算中的重要基石。
基本定理表明，一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
设有平面向量 a 和 b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：a和b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：v = k1a + k2b = k1a + k2b其中，k1 和 k2 是实数，称为 a 和 b 的系数，v 是由 a 和 b 组成的平面向量。
a和b的系数，v是由a和b组成的平面向量。
这一定理的证明较为简单，可根据向量加法和数量乘法的定义进行推导。
二、向量坐标表示向量坐标表示是在向量运算中常用的表示方法。
它将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，便于进行计算和研究。
以平面向量为例，设平面上有向量 v，其起点坐标为 (x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量 v 的坐标表示为：v，其起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量v的坐标表示为：其中，Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
同样，可以进行类似的推导，将三维空间中的向量用坐标表示。
向量坐标表示可以便捷地进行向量的加法、减法和数量乘法等运算，是向量分析的基础。
三、小结本文介绍了平面向量基本定理及向量坐标表示。
平面向量基本定理表明一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
向量坐标表示将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，方便进行运算和研究。
了解和掌握平面向量基本定理和向量坐标表示，对于进一步学习和应用向量运算具有重要意义。
平面向量的基本定理及坐标学案
图1 图2 图3 图4 2.3.1 平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学习目标 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示。
学习过程课前准备：（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）※ 预习探究探究任务： 1. 给定平面内任意两个向量21,e e ，请你作出向量21212,23e e e e -+。
思考：平面内的任一向量是否都可以用形如2211e e λλ+的向量表示呢？2.我们知道，在平面直角坐标系中，毎一个点都可用一对有序实数表示。
对直角坐标平面．．．．．．内的每一个向量，如何表示呢？如图3：a 怎样用向量j i ,表示？※ 预习检测1. 如上图2向量a ，作图，用图1中21,e e 表示a 。
2.平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ，有 实数21λλ，，使=a 。
我们把这两个 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 。
3.向量a 与b 的夹角：已知两个 向量a 与b ，如图4：作b OB a OA ==,，则 叫做 夹角。
4.向量a 与b 的夹角为θ，（1）当=θ时，a 与b 同向；（2）当=θ时，a 与b 反向； （3）当=θ时，a 与b 垂直，记作 ；把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．5．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数y x ,使j y i x a +=，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．对于本节预习，你还有其他的疑问或问题吗？请写下来。
2e 1ea a b※ 典型例题 例1 已知向量21,e e ，求作向量2135.2e e +-。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个□1互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝□2(λx1，λy1)，|a|＝□3x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝□4(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝□5（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.常用结论1.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为(x1＋x22，y1＋y2).22.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.()(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y1y 2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.回源教材(1)已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝.解析：∵a ∥b ，∴4y ＝2×6，解得y ＝3.答案：3(2)已知平行四边形ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为.解析：设D (x ，y )，则AD →＝(x ＋1，y ＋2)，BC →＝(2，7)，又AD →＝BC →，＋1＝2，＋2＝7，解得x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)(3)如图，AB→＝2CA →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则c ＝(用a ，b 表示).解析：OC →＝OA →＋AC→＝OA→＋12BA →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝32OA →－12OB →＝32a －12b .答案：32a －12b平面向量基本定理的应用例1(1)(2024·山西模拟)已知在矩形ABCD 中，E 为AB 边的中点，线段AC和DE 交于点F ，则BF→＝()A.－13AB →＋23AD→B.13AB →－23AD →C.23AB →－13AD → D.－23AB →＋13AD→解析：D 如图，取CD 的中点G ，连接BG ，交AC 于点H .∵BE ∥DG ，BE ＝DG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE .又E 为AB 的中点，∴AF ＝FH ，同理可得CH ＝FH ，∴AF→＝13AC →＝13(AB →＋AD →).∴BF→＝BA →＋AF →＝－AB →＋13(AB →＋AD →)＝－23AB →＋13AD →.故选D.(2)在△ABC 中，点D 在边AB 的延长线上，AB ＝2BD ，设CB →＝mCA →＋nCD →，则()A.m ＝23，n ＝12 B.m ＝23，n ＝13C.m ＝13，n ＝23 D.m ＝－13，n ＝43解析：C因为点D 在边AB 的延长线上，且AB ＝2BD ，所以AB →＝2BD →，即CB→－CA →＝2(CD →－CB →)，整理得CB →＝13CA →＋23CD →.又CB →＝mCA →＋nCD →，所以由平面向量基本定理可得m ＝13，n ＝23.故选C.反思感悟1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.训练1(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD→＝n ，则CB →＝()A.3m －2nB.－2m ＋3nC.3m ＋2nD.2m ＋3n解析：B因为BD ＝2DA ，所以AB →＝3AD →，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋3AD →＝CA →＋3(CD →－CA →)＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.(2)如图，BE ，CD 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的中线，BE 与CD 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝()A.23B.57C.59D.811解析：A 由题意知，点F 是△ABC 的重心，∴AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB→＋23(BA →＋AE →)＝AB →＋23(－AB →＋12AC →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，∴x ＝y ＝13，x ＋y ＝23.故选A.平面向量的坐标运算例2(1)已知AB→＝(1，－1)，C (0，1)，若CD →＝2AB →，则点D 的坐标为()A.(－2，3)B.(2，－3)C.(－2，1)D.(2，－1)解析：D 设D (x ，y )，则CD →＝(x ，y －1)，2AB →＝(2，－2)，根据CD →＝2AB →，得(x ，y －1)＝(2，－2)，＝2，－1＝－2，＝2，＝－1，所以点D 的坐标为(2，－1).(2)(2024·嘉兴平湖模拟)等边△ABC 的边长为3，若AD →＝2DC →，BF →＝FD →，则|AF→|＝()A.192 B.172C.152 D.132解析：A 如图，以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，332)，B (－32，0)，C (32，0).由AD →＝2DC →，得AD →＝23AC →＝23(32，－332)＝(1，－3)，设D (x ，y )，则(x ，y －332)＝(1，－3)，解得D (1，32).由BF→＝FD →，得BF →＝12BD →＝12(52，32)＝(54，34)，设F (m ，n )，则(m ＋32，n )＝(54，34)，解得F (－14，34)，所以AF→＝(－14，－534)，故|AF →|＝（－14）2＋（－534）2＝192.故选A.反思感悟1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.训练2(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA→＝(32，12)，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB→，则OB →＝()A.(0，1) B.(1，0)C.(32，－12) D.(12，－32)解析：A ∵OA→＝(32，12)，∴OA→与x 轴的夹角为30°，依题意，向量OB →与x 轴的夹角为90°，则点B 在y 轴正半轴上，且|OB →|＝|OA →|＝1，∴点B (0，1)，则OB →＝(0，1).(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为()A.65B.85C.2 D.83解析：B建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.平面向量共线的坐标表示利用向量共线求参数例3已知AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →，则x ＋2y 的值为()A.－1B.0C.1D.2解析：B因为AB→＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD→＝(－2，－3)，所以AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(4＋x ，y －2)，所以DA →＝(－x －4，2－y )，因为BC→∥DA →，所以x (2－y )＝y (－x －4)，所以2x ＋4y ＝0，即x ＋2y ＝0.利用向量共线求向量或点的坐标例4设点A (2，0)，B (4，2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P的坐标为()A.(3，1)B.(1，－1)C.(3，1)或(1，－1)D.(3，1)或(1，1)解析：C∵A (2，0)，B (4，2)，∴AB →＝(2，2)，∵点P 在直线AB 上，且|AB→|＝2|AP →|，∴AB →＝2AP →或AB →＝－2AP →，故AP →＝(1，1)或AP →＝(－1，－1)，故P 点坐标为(3，1)或(1，－1).反思感悟平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R ).训练3平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1).(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标.解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，（x－4）－2（y－1）＝0，x－4）2＋（y－1）2＝5，＝3，＝－1，＝5，＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).限时规范训练(三十六)A级基础落实练1.(多选)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是()A.(2，23) B.(1，－3)C.(1，－2)D.(－1，－13)解析：AD因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.2.已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为()A.23B.43C.74D.75解析：B由已知得a＋2b＝(5，2－4λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝43.3.已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且PN→＝－2PM→，则P点的坐标为()A.(2，4)B.(－14，16)C.(6，1)D.(22，－11)解析：A 设P (x ，y )，则PN →＝(10－x ，－2－y )，PM→＝(－2－x ，7－y )，由PN →＝－2PM →－x ＝－2（－2－x ），2－y ＝－2（7－y ）＝2，＝4.4.如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e 1与e 1＋e 2B.e 1－2e 2与e 1＋2e 2C.e 1＋e 2与e 1－e 2D.e 1－2e 2与－e 1＋2e 2解析：D 对A 项，设e 1＋e 2＝λe 1＝1，＝0，无解，故e 1与e 1＋e 2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对B 项，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)＝1，2＝2λ，无解，故e 1－2e 2与e 1＋2e 2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对C 项，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，＝1，＝－λ，无解，故e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对D 项，e 1－2e 2＝－(－e 1＋2e 2)，所以e 1－2e 2与－e 1＋2e 2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底.5.如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF →＝xAB →＋yAD→，则x ＋y ＝()A.1B.6C.16D.13解析：C 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，AD →＝BC →，又CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →，连接AF (图略)，在△AEF 中，EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12AD→＝23AB →－12AD →，又EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.6.(2024·忻州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是AB ︵上的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则BD →等于()A.12a －bB.a －12bC.－12a ＋bD.－a ＋12b解析：C画出图象如图所示，由于C ，D 是AB ︵上的两个三等分点，所以△AOC ，△COD ，△DOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝AC ＝CD ＝BD ，所以四边形OACD 和四边形OBDC 是菱形，所以BD→＝OC →＝AC →－AO →＝AC →－12AB →＝－12a ＋b .7.已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，0)，若向量m a ＋b 与2a －n b 共线，则mn ＝.解析：因为a ＝(1，－1)，b ＝(2，0)，1×0－(－1)×2≠0，所以a 与b 不共线，则a 与b 可以作为平面内的一个基底，因为m a ＋b 与2a －n b 共线，又m a ＋b ＝(m ＋2，－m )，2a －n b ＝(2－2n ，－2)，所以(m ＋2)×(－2)＝－m (2－2n )，即mn ＝－2.答案：－28.如图所示，在△OAB 中，C 是AB 中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝(请用a ，b 表示OC→).解析：因为C 是AB 中点，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋12AB →，又因为AB →＝OB →－OA →，所以OC→＝OA →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →，即OC→＝12(a ＋b ).答案：12(a ＋b )9.(2024·天津模拟)已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，若BP→＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝.解析：因为D ，F 分别为BC ，AC 的中点，所以DF 是△ABC 的中位线，所以DF AB ＝PD AP ＝12，则BP→＝BA →＋AP →＝－AB →＋23AD →＝－AB →＋23×12(AB →＋AC →)＝－23a ＋13b ，所以x ＝－23，y ＝13，所以x ＋y ＝－13.答案：－1310.已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1).(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使得AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，＝λ，＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m ).∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.11.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF→＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标；(2)求证：EF →∥AB →.解：(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2，2)，BC→＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)，所以AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1).因为AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23)，即(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1，0)＝(－13，23，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，即(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(730)，所以E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0).(2)证明：由(1)得EF →＝(83，－23)，AB→＝(4，－1)，因为4×(－23)－(－1)×83＝0，所以EF→∥AB →.B 级能力提升练12.已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝()A.－79 B.－139C.－32 D.－913解析：B设网格中每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知b ＝(3，3)，a ＝(－2，1)，c ＝(－1，－3)，代入c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，得(－1，－3)＝λ(－2，1)＋μ(3，3)1＝－2λ＋3μ，3＝λ＋3μ，＝－23，＝－79，所以λ＋μ＝－139.故选B.13.在△ABC 中，D 是直线AB 上的点.若2BD →＝CB →＋λCA →，记△ACB 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2，则S 1S 2等于()A.λ6B.λ2C.13D.23解析：D 依题意作图，如图所示，设BD→＝μBA →＝μ(CA →－CB →)＝－μCB →＋μCA →，由条件BD →＝12CB →＋λ2CA →，得μ＝－12，λ2＝μ＝－12，BD →＝－12BA →，∴点D 在AB 的延长线上，并且AD ＝32AB ，∴S 1S 2＝AB AD ＝23.14.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，DM →＝13DC →，BN →＝23BC →，AC 与MN 相交于点E .(1)若MN →＝λAB →＋μAD →，求λ和μ的值；(2)用向量AM→，AN →表示AE →.解：以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，D (0，1)，B (2，0)，M (23，1)，N (2，23)，C (2，1).(1)由题意知MN→＝(43，－13)，AB →＝(2，0)，AD →＝(0，1)，所以MN →＝(43，－13)＝λAB →＋μAD →＝(2λ，μ)，λ＝43，＝－13，解得λ＝23，μ＝－13.(2)设AE →＝tAC →，AC →＝mAM →＋nAN →，因为AM →＝(23，1)，AN →＝(2，23)，AC →＝(2，1)，所以AC→＝(2，1)＝(23m ＋2n ，m ＋23n ).解得m ＝37，n ＝67，即AC →＝37AM →＋67AN →，所以AE→＝tAC →＝37tAM →＋67tAN →，又因为M ，E ，N 三点共线，所以37t ＋67t ＝1，t ＝79，所以AE →＝13AM →＋23AN →.。
(完整word版)平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43 解析 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43 C ．－3 D ．0解析 ∵CD→＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析 ∵AB→＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB→＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB→＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN→＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP→＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)解析 如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA→＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB→，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标．解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)， ∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC→＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心． 如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM→＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学案无答案新人教A
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一 平面向量基本定理思考1 如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？答案 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2 如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 答案 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．梳理 (1)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点二 两向量的夹角与垂直思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案 存在夹角，不一样．思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？ 答案 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°，故向量a 与b 的夹角为120°. 梳理 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × ) 提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底． 2．零向量可以作为基向量．( × )提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量． 3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.类型一 对基底概念的理解例1 (2017·衡水高一检测)设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D ．e 1和e 1＋e 2考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 B解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练 1 若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．2e 1－e 2，e 1－12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1＋3e 2 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 D解析 选项A 中，两个向量为相反向量，即e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，则e 1－e 2，e 2－e 1为共线向量；选项B 中，2e 1－e 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1－12e 2，也为共线向量；选项C 中，6e 1－4e 2＝－2(2e 2－3e 1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D 符合． 类型二 用基底表示向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →.考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .引申探究若本例中其他条件不变，设DE →＝a ，BF →＝b ，试以a ，b 为基底表示AB →，AD →. 解 取CF 的中点G ，连接EG .∵E ，G 分别为BC ，CF 的中点， ∴EG →＝12BF →＝12b ，∴DG →＝DE →＋EG →＝a ＋12b .又∵DG →＝34DC →＝34AB →，∴AB →＝43DG →＝43⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝43a ＋23b .又∵AD →＝BC →＝BF →＋FC →＝BF →＋12DC →＝BF →＋12AB →，∴AD →＝BC →＝b ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ＋23b＝23a ＋43b . 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.考点 平面向量的夹角求向量的夹角 题点 求向量的夹角解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练3 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB →与BC →的夹角是( )A ．30°B．60°C．120°D．150° 考点 平面向量的夹角求向量的夹角 题点 求向量的夹角 答案 C解析 如图，作向量AD →＝BC →，则∠BAD 是AB →与BC →的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，所以∠BAD ＝120°.1．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的为( ) A ．①②B．②③C．①③D．①②③ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 B2.如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →. 其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A ．①②B．①③C．②④D．③④ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 答案 B解析 ②中DA →与BC →共线，④中OD →与OB →共线，①③中两向量不共线，故选B.3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________.考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 －15 －12解析 ∵向量e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12.4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.5．在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF →.考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点， 所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.一、选择题1．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 2．如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 为( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 C3．已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－23考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)． 所以CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，解得λ＝－13.4．(2017·石嘴山第三中学四模)设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( ) A.BO →＝－16AB →＋12AC →B.BO →＝16AB →－12AC →C.BO →＝56AB →－16AC →D.BO →＝－56AB →＋16AC →考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 D解析 依题意，得BO →＝AO →－AB →＝13AD →－AB →＝13×12(AB →＋AC →)－AB →＝－56AB →＋16AC →，故选D. 5．若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋(1－λ)b C ．λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量答案 D解析 ∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP →1＝λ(OP →2－OP →)，∴(1＋λ)OP →＝OP →1＋λOP →2， ∴OP →＝11＋λOP →1＋λ1＋λOP →2＝11＋λa ＋λ1＋λb .6．已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈(0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 答案 B 解析 AB→|AB →|为AB →方向上的单位向量， AC→|AC →|为AC →方向上的单位向量，则AB→|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向． 又λ∈(0，＋∞)，所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同． 而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在AD →上移动，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．7．若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．30°B．45°C．60°D．90° 考点 平面向量的夹角求向量的夹角 题点 求向量的夹角 答案 C二、填空题8．已知a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－2e 1＋4e 2(e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量)，则c ＝________.(用a ，b 表示)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 2a －2b解析 设c ＝λa ＋μb ，则－2e 1＋4e 2＝λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1－e 2)＝(λ＋2μ)e 1＋(λ－μ)e 2，因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λ＋2μ，4＝λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝－2，故c ＝2a －2b .9．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________.(填“共线”或“不共线”)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 不共线 不共线解析 ∵e 1，e 2不共线，λ1＞0，λ2＞0，∴a 与e 1，e 2都不共线．10．如图，在△MAB 中，C 是边AB 上的一点，且AC ＝5CB ，设MA →＝a ，MB →＝b ，则MC →＝________.(用a ，b 表示)考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量答案 16a ＋56b 解析 MC →＝MA →＋AC →＝MA →＋56AB →＝MA →＋56(MB →－MA →)＝16MA →＋56MB →＝16a ＋56b . 11．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4.三、解答题12．在梯形ABCD 中，AB →∥CD →，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k .设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.考点 平面向量基本定理题点 用基底表示向量解 方法一如图所示，∵AB →＝e 2，且DCAB ＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.方法二 如图所示，过C 作CE ∥DA ，交AB 于点E ，交MN 于点F .同方法一可得DC →＝k e 2.则BC →＝BE →＋EC →＝－(AB →－DC →)＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2，MN →＝MF →＋FN →＝DC →＋12EB →＝DC →＋12(AB →－DC →)＝k ＋12e 2.方法三 如图所示，连接MB ，MC .同方法一可得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.由MN →＝12(MB →＋MC →)， 得MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2.13．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)． 由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)解 设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .(3)解 由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.四、探究与拓展14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．考点 平面向量的夹角求向量的夹角题点 求向量的夹角答案 90°解析 由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.15.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数解 如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →＋OE →.在Rt△OCD 中，∵|OC →|＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →，OE →＝2OB →，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.。
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .