2018春八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第2课时三角形内角的平分线作业课件新版北师大版
嘉定区五中八年级数学下册 第一章 三角形的证明 4角平分线第2课时 三角形三个内角的平分线课件新版北
A
ND
P
M F
EC
证明 : ∵BM 是△ABC 的角平分线 , 点 P 在 BM 上 ,
且 PD⊥AB , PE⊥BC , 垂足分别为 D , E ,
∴PD = PE〔角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等〕.
A
同理 : PE = PF. ∴PD = PE = PF.
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
12.2 三角形全等的判定(ASA AAS)
复习
1.什么是全等三角形 ？ 2.判定两个三角形全等方式有哪些?
边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件?
边边边 : 三边対应相等的两个 三角形全等。
边角边 : 有两边和它们夹角対应
创设情景
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复三角形 的原貌吗 ？
2
部相交于点C.
〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知 : 平角∠AOB. 求作 : 平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论 : 作平角的平分线的方式就是过直线上一点作这条直 线的垂线的方式.
二 角平分线的性质 实验 : OC是∠AOB的平分线 , 点P是射线OC上的
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 4角平分线第1课时 角平分线的性质与判定课件(新版)北师大版
垂足且 PD = PE.
求证：OP 平分∠AOB.
O
DA1 2PCEB证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
DA
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∵ PD = PE， OP = OP，
O
∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.
1 2
PC
EB
∴∠1 =∠2（全等三角形对应角相等）.
∴OP 平分∠AOB.
（5）如图，∵ PE⊥AB，
C
PF⊥AC，PE = PF，
F P
∴点 P 在∠BAC 的平 D 分线上（到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上）.
A
E
B
√
随堂演练
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别是 E、F，则下列四个结论：
如果有一个点到角两边的距离相等，那 么这个点必在这个角的平分线上．
这个命题是假命题．角平分线是角内部 的一条射线，而角的外部也存在到角两边距 离相等的点．
定理 在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一
点，且 PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为
（1）如图，∵AD 平
C
分∠BAC，PE⊥AB，
F P
D PF⊥AC，
∴PE = PF（角平分
A
E
B 线上的点到这个角的两边
距离相等）. √
C
（2）如图，∵ PE = PF，
F P
∴ AD 平分∠BAC D （到角两边距离相等的点在
这个角的平分线上）.
A
E
B
×
（3）如图，∵ 点 P 在
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明基础拔高讲义(角平分线的性质和判定、角平分线模型)(含答案)
（授课内容：角平分线的性质和判定、角平分线模型）（一）知识回顾1、角平分线的性质和判定2、角平分线模型模型I ：角平分线加平行线必出等腰三角形．模型II ：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→模型III ：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．FCDE××○○×M Q'O ONP123（二）例题讲解1、角平分线的性质和判定（1）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥，3cm DE =，5cm BD =，则BC =__________．（2）（14—15年嘉祥期末）在ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC =，若点P 是ABC △的三条角平分线的交点，则点P 到边BC 的距离是_____________．【解析】（1）8cm ；（2）1（提示：过点P 作三边的垂线，利用面积进行求解）．（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．（2）（14年—15年金牛区期末）如图，ABC △的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若=80BAC ∠︒，则=CAP ∠____________．【解析】（1）如图，在ABC △中，设BAC ∠、ABC ∠的平分线的交点为I ， 过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF E DCBA第19题第CAE DBBEABPIF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI 、BI 都是角平分线， ∴ID IE =，ID IF =， ∴IE IF =，∴CI 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．（2）50°（提示：过点P 向三边作垂线，证明AP 是BAC ∠的外交角平分线） 2、角平分线模型（1）如图3-1，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．（2）如图3-2，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．（3）如图3-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论：①12BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠ 90=︒，其中正确的结论有_____________（只填序号）图3-1 图3-2 图3-3【解析】（1）6；（2）3cm ；（3）①③④．H FGABC DEBAEF CDA GDFE（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．（2）如图4-2，已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，//FG BC 交AB 于G ．4cm AE =，12cm AB =，则BG =__________，GE =__________．图4-1 图4-2【解析】（1）5；（2）4cm ；4cm ．过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点， 易证AEC EHC △≌△；由角度分析易知AEF AFE ∠=∠， 即AE AF =，则有EH EA AF ==； 又可证AGF BHE △≌△， 则1248AG EB ==-=， 则844BG =-=，4GE =．如图，在ABC △中，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．ABF EADCF E GADCFE GHABDC12ABDC12E【解析】过D 作DE AB ⊥于MON ∠，∵AD BD =，DE AB ⊥， ∴ADE BDE △≌△， ∴12AE BE AB AC ===， ∵12∠=∠，∴ADE ADC △≌△， ∴90ACD AED ∠=∠=︒，∴DC AC ⊥．如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．【解析】延长CE 、BA 相交于F ，在BEC △和BEF △中，12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△ ∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=︒-∠B ACEDAEDF 123同理390F ∠=︒-∠，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△ ∴BD CF =，∴12CE BD =．如图，在ABC △中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于O ．（1）求AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．【解析】（1）=120AOC ∠︒；（2）在AC 上截取AT ，使AT AE =，连接OT ， 在AOE △和AOT △中，AT AEOAT OAE AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOE AOT △≌△，∴60AOT AOE ∠=∠=︒，∴60COT COD ∠=∠=︒ 在COT △和COD △中， 60COT COD OC OCOCT OCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)COT COD △≌△，∴CT CD =， ∴AE CD AT CT AC +=+=．AECOAECOT已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．求证：BD AD BC +=．【解析】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF//BC ，交AB 于F ，则32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =． 显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵1112(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，1(1802)802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC △≌△，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．∵1=2∠∠，BD 为公共边，∴BAD BFD △≌△，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵1111(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴180(1)180(10020)60ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒． ∵DF DE =，∴DFC DEC △△≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠．∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒．∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+． 解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．ABDCAD CFE1233ABDCFE124ABDCE12F延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ． ∵12∠=∠，BD 公共，∴BDC BDF △△≌ ． ∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠． 又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，∴40BFD ∠=︒．∵BE BF =，120∠=︒．∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED △≌△． ∴ED AD =．∴BC BE BD AD ==+．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．在ABC △外有一点F ，使FA AE ⊥，FC BC ⊥． （1）求证：BE CF =；（2）在AB 上取一点M ，使2BM DE =，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME BC ⊥；②DE DN =．【解析】（1）由题意得，90BAC EAF ∠=∠=︒，∴90BAE CAF CAE ∠==︒-∠， 在ABE △和ACF △中， 45BAE CAF AB ACABE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ABE ACF △≌△， ∴BE CF =．（2）①作ET AB ⊥于点T ，则DE TE =， ∴22BM DE TE ==，45ABE BET ∠=∠=︒， ∴TE TB =，2BM TB =，TB TM TE ==，B AMFND C∴ME BC ⊥②由①得，ME BC ⊥，AD BC ⊥，∴AD//ME ，∴22.5MEA NAE MAE ∠=∠=∠=︒， ∴ME MA =，∴CM 平分ACB ∠， 即22.5ACN DCN ∠=∠=︒， 在ADE △和CDN △中， 9022.5ADE CDN AD CDDAE DCN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴(ASA)ADE CDN △≌△ ∴DE DN =． （三）作业设计1、（1）如图1-1，ABC △的周长是22，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．（2）如图1-2，ABC △的B ∠、C ∠的外角平分线交于点D ．求证：AD 是BAC ∠的平分线．图1-1 图1-2【解析】（1）∵O 点为ABC △的两内角平分线的交点，∴O 点到三边距离相等． ∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△BADCOABCDABC DF EG1()3332AB BC AC =⨯++⨯=． （2）分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ， 垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分CBE ∠，DE BE ⊥，DF BC ⊥， ∴DE DF =． 同理DG DF =， ∴DE DG =，∴点D 在EAG ∠平分线上， ∴AD 是BAC ∠的平分线．2、（1）如图2-1，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为_____．（2）如图2-2，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE//BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?图2-1 图2-2【解析】（1）9；（2）如图所示中仍有两个等腰三角形BED △、CDF △，从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =-．3、如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，A ∠的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：（1）AE BE ⊥；（2）AD BC AB +=．图4GFDCA EBAB C ENMADECBADECBF【解析】（1）∵//AD BC ，∴22180EAB EBA ∠+∠=︒∴90EAB EBA ∠+∠=︒，∴AE BE ⊥．（2）在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ， 在ADE △和AFE △中， DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ED EF =，ADE AFE ∠=∠ ∵//AD BC ，∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒，∴EFB C ∠=∠ 在EFB △和ECB △中， EBF EBC EFB CBE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△， ∴EF EC =，∴DE CE =， ∴AD BC AF BF AB +=+=．4、如图所示，在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠，ABCE12ABCE12M 354∴34∠=∠，AB AM =，BE EM =， ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE =， 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠， ∴553C C ∠+∠+∠=∠， ∴5C ∠+∠，∴MB MC =， ∴2AC AB BE -=．5、如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD △与EBD △中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD =， ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠，∵108A ∠=︒，∴108DEB ∠=︒，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE =， ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+．方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒, ∴BF AB AC FD ===． ∴AF CD =．∴BC AC CD =+．ABCDABCDEABCDF6、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．（2）将图6-1中的ADE △沿AB 向右平移到'''A D E △的位置，使点'E 落在BC 边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：'BE 与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．图6-1 图6-2【解析】（1）相等（2）如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，ED AB ⊥，∴ED EG =． 由平移的性质可知：''D E DE =，∴''D E GE =． ∵90ACB ∠=︒．∴90ACD DCB ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥于D ．∴90B DCB ∠+∠=︒∴ACD B ∠=∠, 在Rt CEG △与Rt ''BE D △中，∵GCE B ∠=∠，''CGE BD E ∠=∠，''GE D E =， ∴''CEG BE D △△≌，∴'CE BE =， 由（1）可知'CF BE =．图1FEDC BAE‘图2GD′A′FE DCBA。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明4 第1课时 角平分线的性质
应用格式：
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
P
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. O
E
B
典例精析
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上
，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且
DE = DF，求 DE 的长.
A
E F
B
D
C
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗?
对此你能得出什么结论？动手证一证.
结论：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等.
O
A D
C
CB E
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
DA PC
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的理由有三个，必须写
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE
完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，
则 PE = ___4___cm.
B D
M P
A
EC
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
2 角平分线的判定
八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线教案1新版北师大版
《角平分线》线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第 4 节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。
所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。
学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。
【知识与能力目标】（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。
（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。
【过程与方法目标】（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力。
（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。
（3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】①三角形三个内角的平分线的性质。
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
【教学难点】角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。
教学过程第一环节：设置情境问题，搭建探究平台问题I习题1. 8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”。
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台已知：如图，设△ ABC的角平分线.BM CN相交于点P,证明：P点在ZB AC的角平分线上.证明：过P点作PDL AB PF1 AC PE丄BC其中D E、F是垂足.••• BM是△ ABC的角平分线，点P在BM上，••• PD=PE角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理：PE=PF.• PD=PF.•••点P在Z BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.•••△ABC的三条角平分线相交于点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？（PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等. ）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.F三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点问题2如图：直线11、丨2、丨3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？要求学生思考、交流。
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 三角形的角平分线(1)
10．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4， 6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形， 则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC等于( )
A．2∶3∶4B．1∶1∶1 C．1∶2∶3D．4∶3∶2
1．三角形内有一点到三角形三边的距离相等，则这 个点一定是三角形的( ) B
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边垂直平分线的交点
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交 于O，下列结论正确的是( ) B
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
4．已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距 离相等，那么点M( ) C
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
5．【中考·扬州】如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，BC 于点 D，E； ②分别以点 D，E 为圆心，大于12DE 的 长为半径作弧，两弧交于点 F； ③作射线 BF 交 AC 于点 G.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质 第2课时 三角形的角平分线
提示：点击 进入习题
新知笔记
三边
答案显示
1B
2B
3A
4C
5 27
6 125° 7 B
8D
9C
10 A
11 10
12 见习题 13 见习题 14 见习题
三角形的三条内角平分线相交于一点，这一点到三 角形__三__边____的距离相等．
数学八年级下册北师大版第1章 3. 第2课时 三角形三边垂直平分线的性质
18
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(3)你发现了怎样的规律？试证明；
解：规律是：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相
交所成的锐角等于顶角的一半，
证明：设∠A＝α，
则有∠B＝12(180°－α)． ∠M＝90°－12(180°－α)＝12α.
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(4)将(1)中的∠A 改为钝角，(3)中的规律仍成立吗？若不成立， 应怎样修改．
第一章 三角形的证明
3．线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边垂直平分线的性质
1
1
2
2
学点一 三角形三边垂直平分线的性质
三角形三边垂直平分线的交点到 三三个个顶顶点点 的距离相等．
3
3
如图，某公园的三个出口 A、B、C 构成△ABC，想要 在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等，则公
12
12
解：如图，连接 BD，CD. 由题意：DA＝DB＝DC， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DBC＝∠DCB，∠DAC＝∠DCA， ∵∠AEC＝3∠BAE＝3α，∠AEC＝∠BAE＋∠ABE， ∴∠ABE＝2α， ∴∠DAB＝∠DBA＝∠DBC＝∠DCB＝α， ∴∠EAC＝12(180°－4α)＝90°－2α.
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5．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M，∠A＝40°.
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(1)求∠M 的度数；
解：∵∠B＝12(180°－∠A)＝70°， ∵MN 垂直平分 AB， ∴∠BNM＝90°，,∴∠M＝20°.
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(2)若将∠A 的度数改为 80°，其余条件不变，再求∠M 的大 小；
A．AC、BC 两边高线的交点处
八年级下册数学各章节知识梳理
八年级下册数学各章节知识梳理教学目标：经历探究、猜想过程能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理能够利用尺规作已知线段的垂直平分线重难点：重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。
难点是两者的应用上的区别及各自的作用易错点：精确理解线段垂直平分线的性质定理，解题时要考虑全面，防止漏解整体分析【一】教学目标八年级是初中学习过程中的关键时期，学生根底的好坏，直接影响到将来是否能升学。
优生不多，思想不够活泼，有少数学生不上进，思维跟不上。
要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。
【二】教材分析本学期教学内容共计六章：《三角形的证明》、《一元一次不等式和一元一次不等式组》、《图形的平移与旋转》、《因式分解》、《分式与分式方程》、《平行四边形》。
《三角形的证明》：本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。
《一元一次不等式和一元一次不等式组》：本章通过具体实例建立不等式，探究不等式的根本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应。
《图形的平移与旋转》：本章将在小学学习的根底上进一步认识平面图形的平移与旋转，探究平移，旋转的性质，认识并观赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。
《因式分解》：本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种根本方法。
《分式与分式方程》：本章通过分数的有关性质的回忆建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此根底上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。
《平行四边形》：本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探究多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发觉之旅，享受证明之美。
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第2课时 三角形内角的平分线
1．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距 离____ 相等． 2．到三角形三边距离相等的点在 两角的平分线交点上 内部． 3．三角形三条角平分线的交点位于三角形的____ ．
1．三角形中到三边距离相等的点是( C ) A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．以上都有可能 2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点 A 为圆心．任意 1 长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M 和 N，再分别以 M，N 为圆心，大于2 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D.则下列说 法中正确的个数是( D ) ①AD 是∠BAC 的平分线； ②∠ADC＝60°； ③点 D 在 AB 的垂直平分线上； ④S△DAC∶S△ABC＝1∶3. A．1 B．2 C．3 D．4
17．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作一直线 分别交 AB，AC 于点 E，F，且 BE＝EO. (1)说明 OF 与 CF 的大小关系； (2)若 BC＝12 cm，点 O 到 AB 的距离为 4 cm，求△OBC 的面积．
解：(1)OF＝CF，理由：∵BE＝EO，∴∠EBO＝∠EOB，又∵OB 平分 ∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∴∠EOB＝∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC＝ ∠OCB，又∵OC 平分∠ACB，∴∠OCF＝∠OCB，∴∠FOC＝∠OCF，即 OF＝CF (2)∵OB 平分∠ABC，点 O 到 AB 的距离为 4 cm，∴点 O 到 BC 1 的距离也是 4 cm.∴S△OBC＝ ×12×4＝24 cm2 2
13．如图所示，O 是△ABC 内一点，且 O 到△ABC 三边 AB，BC，CA 的距离 OE＝OD＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝ 125° ．
．如图，BD 垂直平分线段 AC，AE⊥BC，垂足为点 E，交 BD 于 P 3 cm. 点，PE＝3 cm，则 P 点到直线 AB 的距离是____ 15．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝16 cm，∠A 的平分线 AD 交 BC 6 cm. 于点 D，且使 CD∶DB＝3∶5，则 D 到 AB 的距离为____
3．如图，三条公路两两交于点A，B，C，现要修一个货物中转 站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有( D ) A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
4．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于O，下面结论中 正确的是( B ) A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
5．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相 等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是( B ) A．P为∠A，∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC，AB两边上的高的交点 D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其 三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( C ) A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
11．如图，△ABC 中，∠C＝90°，点 O 为△ABC 的三条角平分线的交 点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点 D，E，F 分别是垂足，且 AB＝10， BC＝8，CA＝6，则点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离分别等于( A ) A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 12．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC＝7， DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是( A ) A．3 B．4 C．6 D．5
16．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.求 BD 的长．
解：在 Rt△ABC 中，BC＝ AC2＋AB2＝5，根据面积算得 BC 边上的高 12 ＝3×4÷ 5＝ ，∵AD 平分∠BAC，∴点 D 到 AB，AC 上的距离相等，设为 5 1 1 1 12 12 1 12 1 h，则 S△ABC＝ ×3h＋ ×4h＝ ×5× ，解得 h＝ ，S△ABD＝ ×3× ＝ 2 2 2 5 7 2 7 2 12 15 BD· ，解得 BD＝ 5 7
9．如图，∠AOC＝∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E， 若 OD＝8，OP＝10，则 PE 的长为( B ) A．5 C．7 B．6 D．8
10．如图，三角形 ABC 中，∠A 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为点 E，F.下面四个结论： S△BFD BF ①∠AFE＝∠AEF；②AD 垂直平分 EF；③ ＝ ；④EF 一定平行 BC.其 S△CED CE 中正确的是( A ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
7．如图所示是一块三角形的草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草 坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( C ) A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点 C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点 8．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，BD 是角平分线，DE ⊥BC，垂足为点 E.若 CD＝5 2，则 AD 的长是( D ) 5 A.2 2 B．2 2 5 C.2 D．5
18．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＋∠D＝180°，AC 平分∠BAD， CE⊥AD，点 E 为垂足． 求证：AB＋AD＝2AE.
解：延长 AB，过 C 作 CH⊥AB，∵AC 平分∠BAD，且 CE⊥AD，CH ⊥AB，∴CH＝CE，在△ACH 与△ACE 中，∵∠1＝∠2，∠H＝∠AEC＝90 °，AC＝AC，∴△ACH≌△ACE(AAS)，∴AH＝AE，∵∠ABC＋∠HBC＝ 180°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△BHC 和△DEC 中，∵ ∠HBC＝∠D，∠BHC＝∠DEC＝90°，HC＝EC，∴△BHC≌△DEC(AAS)， ∴HB＝DE，∴AB＋AD＝AB＋AE＋ED＝AB＋AE＋BH＝AH＋AE＝2AE