【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套练习：1.2 应用举例 第1课时
【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2 第1课时 充分条件与必要条件课件 新人教A版选修1-1
人教A版 · 选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
常用逻辑用语
第一章
1.2 充分条件与必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
1.理解充分条件、必要条件的概念．
2．会具体判断所给条件是哪一种条件.
重点：充分条件、必要条件的判定． 难点：充分性与必要性的区分.
C．②④ D．①④ [分析] 根据必要条件的定义进行判断．
[解析] x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇒ / x＝1，故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0⇒ / a＝0，故③是假 命题；函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称⇒ / 函数 f(x)为奇函 数，函数 f(x)为奇函数⇒函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称， 故④是真命题，∴选 D.
系：
条件 p 与结论 q 关系 p⇒q，但 q⇒ / p q⇒p，但 p⇒ / q p⇒q，q⇒p，即 p⇔q p⇒ / q，q⇒ / p 结论 p 是 q 成立的充分不必要条件 p 是 q 成立的必要不充分条件 p 是 q 成立的充要条件 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件
在平面直角坐标系 xOy中，直线 x ＋(m＋1)y ＝2 －m与直线 mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
充分条件、必要条件新知导学 p⇒q 1．如果命题“若p，则q”为真，则记为_________ ，“若 p⇒ / q p则q”为假，记为__________. 充分条件 ， q 是 p 的 2 ． 如 果 已 知 p⇒q ， 则 称 p 是 q 的 __________ 必要条件 ． __________
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时
• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
《成才之路》2015版高中数学(人教版必修5)配套课件2.2等差数列第1课时
等差数列的证明 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a，a＋c b 也成等差数列．
[分析] 由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等 差中项来证明．
[证明] ∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c， 则 b(a＋c)＝2ac，
∴b＋a c＋a＋c b＝b＋cc＋aca＋ba＝ba＋ca＋c a2＋c2 ＝2a12cb＋aa＋2＋cc2＝2ab＋c， 即b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数列． [方法总结] 证明一个数列是等差数列常用的方法有①利 用定义法，即证 an＋1－an＝常数；②利用等差中项的概念来进 行判定，即证 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
注意：对于等差数列定义的理解要注意： (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两 项的差”． (3)“同一个常数 d”，d 是等差数列的公差，即 d＝an－an －1，d 可以为零，当 d＝0 时，等差数列为常数列，也就是说， 常数列是特殊的等差数列． (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重 要依据，即 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
已 知 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2,2an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列．
[错解] ∵2an＋1＝2an＋3，∴an＋1－an＝32，故数列{an}是等 差数列．
[辨析] 审题错误，没有注意条件 n≥2.当 n≥2 时，an＋1 －an＝32，这说明这个数列从第二项起，后一项与前一项的差为
若b＋1 c，a＋1 c，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差 数列．
【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件2.1数列的概念与简单表示法
1.两个非空数集 A，B，对于集合 A 中的每一个数，通过 ________，在集合 B 中都有________一个数与其对应．这时就 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的函数． 2．对于一次函数 y＝x＋1，当 x＝－2，－1,0,1,2，…时， y＝________.体现了有规律的一列数与另一列数的________．
2．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个 公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式． 注意： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它 的有限子集为定义域的函数表达式，即 an＝f(n)． (2)已知数列的通项公式，依次用 1,2,3，…去替代公式中的 n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断 某数是不是某数列中的项，是第几项．
课堂典例探究
数列的概念及分类
下列四个数列中， 既是无穷数列又是递增数列的 是( ) 1 1 1 A．1， ， ， ，… 2 3 4 π 2π 3π B．sin ，sin ，sin ，… 7 7 7 1 1 1 C．－1，－ ，－ ，－ ，… 2 4 8 D．1， 2， 3，…， 21
• [答案] C • [解析] D是有穷数列，A是递减数列，B是摆 动数列，故选C.
• ④数列的简记符号{an}，不可能理解为集合 {an}，数列的概念与集合概念的区别如下表：
数列 集合 示例 如数列1,3,4与1,4,3 数列中的项是有序 的，两组相同的数 集合中的元素 是不同的数列，而 集合{1,3,4}与 字，按照不同的顺序 是无序的 {1,4,3}是相等集合 区 排列得到不同的数列 别 集合中的元素 如数列1,1,1，…每 数列中的项可以重复 满足互异性， 项都是1，而集合 出现 集合中的元素 则不可以 不能重复出现
【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)综合检测第一章解三角形
第一章综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．)1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解[答案] B[解析] ∵b sin A ＝100×22＝502<80， ∴b sin A <a <b ， ∴此三角形有两解．2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( ) A ．31010B ．－31010C ．55D ．－55[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10， cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 的值为( ) A ． 3 B ．2 3 C ．3或2 3 D ．2[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin B b ·c ＝32，∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝30°或A ＝90°， 当A ＝30°时，a ＝b ＝3；当A ＝90°时，a ＝b 2＋c 2＝2 3.故选C ．4．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] C[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④[答案] A[解析] ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的有①②，故选A ．6．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°[答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B . ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°.7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B＝2cos 2B －1＝725.8．△ABC 中，|AB →|＝5，|AC →|＝8，AB →·AC →＝20，则|BC →|为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] B[解析] ∵AB →·AC →＝20，∴|AB →||AC →|cos A ＝20，∴cos A ＝12，由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|cos A ＝49， ∴|BC →|＝7.9．已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <5 B.5<x <13C ．1<x <5或13<x <5D ．1<x < 5 [答案] C[解析] 当x 为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5；当3为最大边时⎩⎪⎨⎪⎧1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534[答案] B[解析] ∵三边不等，∴最大角大于60°，设最大角为α，故α对的边长为a ＋2. ∵sin α＝32，∴α＝120°， 由余弦定理，得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，解得a ＝5，∴三边长为3,5,7， S △ABC ＝12×3×5×sin120°＝1534.11．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[答案] C[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)． 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60° ＝4(3－3)．12．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)n mile/hB ．20(6－2)n mile/hC ．20(3＋6)n mile/hD ．20(6－3)n mile/h [答案] B[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x n mile ，则MN ＝12x ，∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，得12x sin30°＝20sin105°，∵sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC →·BC →＝________.[答案] 85或－85[解析] 由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .∵b cos C ＋c cos B ＝2， ∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC →|＝2. ∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45，或cos C ＝－45.又∵b ＝1，即|AC →|＝1， ∴AC →·BC →＝85，或AC →·BC →＝－85.14．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．若△ABC 的面积为16sin C ，则C＝________.[答案] 60°[解析] ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ． ∴a ＋b ＝2C ．又∵a ＋b ＋c ＝2＋1，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝16sin C ．∴ab ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，∴C ＝60°.15．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.[答案]102[解析] ∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.16．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为________．[答案] 直角三角形[解析] ∵cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c ＝12＋b2c ，∴cos A ＝bc.由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·新课标Ⅱ文，17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3, CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． [解析] (1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝12－12cos C ． ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝(12×1×2＋12×3×2)sin60° ＝2 3.18．(本题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．[解析] (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ． ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③ 将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.19．(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约3km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？[解析] 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1km. 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1. 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需要5min ，CD 上需要5min.∴最长需要5min 检查员开始收不到信号，并至少持续5min 该考点才算合格．20．(本题满分12分)(2014·辽宁理，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析] (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327.21．(本题满分12分)如图，已知半圆O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是半圆O 上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．(1)若∠POB ＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．[解析] (1)设∠POB ＝θ，且0°≤θ≤180°.在△OPC 中，OP ＝1，OC ＝2，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，∴S OPDC ＝S △OPC ＋S △PDC ＝12OP ·OC ·sin θ＋34PC 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝sin θ－3cos θ＋534，即y ＝sin θ－3cos θ＋543.(2)由(1)得y ＝sin θ－3cos θ＋543＝2sin(θ－60°)＋534.∵0°≤θ≤180°，－60°≤θ－60°≤120°，∴当sin(θ－60°)＝1，即θ－60°＝90°，也即θ＝150°时，S OPDC 有最大值，且为2＋534，故当∠POC ＝150°时，四边形OPDC 的面积最大，最大值为2＋534.22．(本题满分14分)如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile /h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 设行驶t 小时后，甲船行驶了9t n mile 到达C 处，乙船行驶了6t n mile 到达D 处． 当9t <21，即t <73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝180°－60°＝120°， 由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos120° ＝(21－9t )2＋(6t )2－2×(21－9t )·6t ·(－12)＝63t 2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189. ∴当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合，此时CD ＝6×73＝14>321.当t >73时，BC ＝9t －21，则CD 2＝(9t －21)2＋(6t )2－2×(9t －21)×6t ×cos60°＝63t 2－252t＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知，t ＝2时，CD 取最小值321n mile ，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。
【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件：3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时
第三章
3.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1 解法二：∵原不等式的解集为{x|－3≤x≤2}． 1 ∴－3，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，且 a<0. b 1 －3＋2＝－a 由根与系数的关系得 －1×2＝c a 3 5 b a＝－3 即 c＝－2 3 a
函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．
第三章
3.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
由图象可知，当 x∈{ － 1,3} 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为x1＝－1，x2＝3. 当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0， ∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}．
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
解下列不等式． (1)－2x2＋x＋1<0； (2)－x2＋2x－3>0.
[ 解析]
(1)原不等式可化为 2x2－x－1>0，
∵Δ＝9>0，方程 2x2－x－1＝0 的两根分别为 1 x1＝－2，x2＝1， 1 ∴原不等式的解集为{x|x<－2或 x>1}． (2)∵Δ＝－8<0，∴方程 x2－2x＋3＝0 无实数根， ∴原不等式的解集为∅.
x1 ＝x2 b ＝－2a {x|x≠ b －2a} ∅
没有实数根
R ∅
第三章 3.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，观察图象．回答问题： (1)x ∈ ________ 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为 ________． (2)x∈________时，y>0，∴不等式 x2－2x－3>0 的解集为 ________； (3)x∈________时，y<0，∴不等式 x2－2x－3<0 的解集为 ________．
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.1正弦定理和余弦定理第2课时
• c2＝__________________.
• (3)公式变形
b2＋c2－a2
• cosA＝_______2b_c__________；
a2＋c2－b2 2ac
• cosB＝____a_2＋__b_2－__c2________；
2ab
• cosC＝__________________.
• 2．余弦定理夹及角其变形的应用
三边
• 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形 的问题，一类是已知两边及其________解三
• 1.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则 △ABC为( )
• A．直角三角形
B．锐角三角形
• C．钝角三角形
D．不存在
• [答案] B
• [解析] ∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．
号目标飞行器对接，这标志着中国成为世界
上第三个完整掌握空间交会对接技术的国 家．这一操作是由在地面进行了1 500多次模 拟训练的43岁航天员刘旺实施的．在距地球 343km处实施这个类似“倒车入库”的动作， 相当于“太空穿针”，要求航天员具备极好
的眼手协调性、操作精细性和心理稳定
性．这一操作的成功，离不开地面的完美测 控．这个测控的过程应用什么测量的定理？
[点评] (1)求sinC也可用下面方法求解： cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114， ∴C为锐角．
sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定 理．
已知△ABC中，a b c＝2 6 ( 3 ＋1)，求△ABC的
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套练习3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题第3课时
第三章 3.5 第3课时一、选择题1．已知O 为坐标原点，点M (3,1)，若N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4，则OM →·ON →的最大值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12[答案] D[解析] 目标函数为z ＝OM →·ON →＝3x ＋y ，作出不等式组⎩⎨⎧x ≥1y ≥0x ＋y ≤4表示的可行域，如图所示．作出直线l 0：3x ＋y ＝0，再将直线l 0平移，当l 0的平行线l 1经过点A (4,0)时，z 取得最大值12，即OM →·ON →的最大值为12.2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3x －y ≥－1y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2[答案] B[解析] 画出可域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3y ＝1得A (2,1)，∴z max ＝10.3．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥122x ＋9y ≥362x ＋3y ＝24x ≥0，y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x ，y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C ．然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 、C 、D 全部满足，经检验，只有(3,6)使z ＝3x ＋2y 最小，故选B ．4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．43B ．83C ．2D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t 、B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t 、B 原料3t.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13t ，B 原料不超过18t ，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲产品x t ，乙产品y t ，则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时， z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4， z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5[答案] D[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共五个．二、填空题7．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1y ≤xy ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是________．[答案] 2[解析] 可行域如图，当直线z ＝2x ＋y 即y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z max ＝2.8．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4x －y ≥0，则2x ＋3y 的最小值是________．[答案] 4[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)：当直线l 0平移到过A (2,0)点时，2x ＋3y 取最小值． (2x ＋3y )min ＝2×2＋0＝4. 三、解答题9．某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1h 和2h ，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3h 和1h ；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8h 和9h ，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？[解析] 设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤83x ＋y ≤9x ≥0，y ≥0(x ∈N ，y ∈N )，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域如图所示．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过可行域内的点M 时，目标函数z ＝2x ＋3y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝83x ＋y ＝9，得M (2,3)．答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.一、选择题1．若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0得可行域如图所示．将l 0：3x ＋2y ＝0在可行域内平行移动，移动到经过B 点时，z ＝3x ＋2y 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝502x ＋y ＝40，得B 点坐标为(10,20)， ∴z max ＝3×10＋2×20＝70，故选C ．2．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值[答案] C[解析] 作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C ．二、填空题3．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________．[答案] 9[解析] 约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3的可行域为如图所示．作l 0：y ＝2x 在平面域内平移到A (3，－3)处时，z 取最大值9. 4．已知点P (x ，y )的坐标，满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥xx ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于__________，最大值等于__________．[答案]210[解析] 点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域．A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |min ＝|AO |＝2；|PO |max ＝|CO |＝10.三、解答题5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，求目标函数z ＝10x ＋10y 的最大值．[解析] 画出不等式组⎩⎨⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11表示的平面区域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1125x －11y ＝－22，解得A (112，92)．而由题意知x 和y 必须是正整数．直线y ＝－x ＋z10由经过A 点向下平移经过的第一个整点为(5,4)．∴z ＝10x ＋10y 的最大值为90.6．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围．[解析] b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax ＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2B ．必满足f (0)>0、f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧b >01＋a ＋2b <02＋a ＋b >0，由线性规划可知：点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM ， ∵A (－3,1)、B (－1,0)， ∴14<b －2a －1<1.。
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第一章 1.2第1课时一、选择题1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°[答案] D[解析]根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D．2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B．3a kmC．2a km D．2a km[答案] B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5n mlie B．53n mlieC．10n mlie D．103n mlie[答案] C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300m 和500m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( )A ．500mB ．600mC ．700mD ．800m[答案] C[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10kmB ．3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107km.6．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)( )A ．170mB ．98mC ．95mD ．86m[答案] C[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m) 二、填空题7．如图所示，为了测量河的宽度BC ，最适宜测量的两个数据是________．[答案] AC 与∠A ．[解析] 由图可知，AB 与BC 不能直接测量．8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)[答案] 5.2[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin35°＝BSsin30°，可得BS ≈5.2(km)．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[分析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为Rt △作为突破口可简化计算．[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行.一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A 、B 两船的距离为( )A ．23kmB ．32kmC ．15kmD ．13km[答案] D[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13.2．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km /h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是( )A ．7kmB ．13kmC ．19kmD ．10－33km[答案] B[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC ．1722n mile/hD ．342n mile/h[答案] A[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．4．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( )A ．10kmB ．102kmC ．15kmD ．152km[答案] B[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站107n mile,20min 后测得海盗船距观测站20n mlie ，再过________min ，海盗船到达商船．[答案]403[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ×CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．6.如图，一艘船上午在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是________n mile/h.[答案] 16[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASB sin A ＝42×2212＝8，∵上午在A 地，在B 地，∴航行0.5小时的路程为8n mile ， ∴此船的航速为16n mile/h. 三、解答题7．海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126n mile ；在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．[解析] 由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin45°sin60°＝24(n mile)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝83(n mile)答：A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.8．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665.。