2015年广州市高考模拟考试数学(理科)试题
广东省2015届高考数学(模拟试题含答案-4.15
1．设全集{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I A C B =（ ）.A ．{1}B ．{l,2}C ．{0,1,2}D ．{一1,0,1,2}2．复数z 满足2)1()1(i z i +=+-,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点位（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 ３.下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为（ ）.A ．1y x =+B ．1y x=C ．3y x =-D ．ln y x = ４.在ABC △中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =（ ）.A．B．CD5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ( ).A ．14B ．16C ．18D ．64 6.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）. A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥7.现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各４张，从中任取３张，要求这３张不能是同一颜色，且红色卡片至多１张，不同的取法为（ ） A ．232种 B ．252种 C ．472种 D ．484种 8.列命题中是假．命题．．的个数是（ ）. ①βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ； ②有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02； ③),0(,)1()(,342+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m mx m x f m R 上递减；④若函数()21xf x =-，则[]12,0,1x x ∃∈且12x x <，使得 12()()f x f x >A ．0B ．1C ．2D ．39.函数2lg(23)y x x =--+的定义域是________(用区间表示)．10. 某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料如图：根据上表可得回归方程^^23.1a x y +=，则=^a _______________.11. 已知向量()3,2-=p ,()2,x q =,且q p ⊥的值为 .12．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，则目标函数23 z x y =-的最大值为 .14. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比1q ≠，若1166,a b a b ==，且{}n a 和{}n b 各项都是正数，则n a 与n b 的大小关系是______________________.（填 “>”或“=”或“<”）3.81４.已知抛物线:C 22y px =与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则抛物线C 上的动点M 到直线1l ：4360x y -+=和 2:l 2x =-距离之和的最小值为________________.15．（本小题满分１２分）已知函数()()x x x x f sin cos sin 2+= (x ∈R ). （1）求⎪⎭⎫⎝⎛65πf 的值；（2）求()x f 在区间[]π,0上的最大值及相应的x 值.17. （本小题满分１4分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =1，2AB =，点E 是线段AB 中点.(1)求证：1D E CE ⊥;(2)求二面角1D EC D --的大小的余弦值；（3）求A 点到平面E CD 1的距离.18．（本小题满分14分）已知等差数列14521,,,0,1,}{a a a d a a n 且公差中>=分别是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项. （1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）设数列}{n c 满足对任意的*N n ∈均有n n n c b c b c b a +++=+ 22111成立，求证：421<+++n c c c .A BA 1CD B 1C 1D 1E19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b 的左、右焦点分别为12(1,0)(1,0)F F -、，且经过定点3(1,)2P ，00(,)M x y 为椭圆C 上的动点，以点M 为圆心，2MF 为半径作圆M .（1）求椭圆C 的方程；（2）若圆M 与y 轴有两个不同交点，求点M 横坐标0x 的取值范围；（3）是否存在定圆N ，使得圆N 与圆M 恒相切？若存在，求出定圆N 的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数2()ln x f x a x x a =+-，1a >. (1)求证函数()f x 在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数1()3y f x b b=-+-有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈时，都有()f x 21e ≤-恒成立，求a 的取值范围．yx-y=-O广东省龙川一中2015届高三模拟底考试数学（理科）试题参考解答和评分标准二、填空题： 9. 提示:2230x x --+>,31x -<<,所以定义域为(3,1)-．10. 提示：样本中心为)4.5,4(代入回归方程得48.0^=a 11. 提示：03p q p q x ⊥⇒⋅=⇒= ,(5,1)p q +=-,26p q +=12. 提示:如图作出可行域，可知，max (23)2x y -= 13. 提示:考查等差等比的基本性质及均值不等式. 1111116622a ab b a b ++==≥=，由于1q ≠，所以111b b ≠，所以66a b >.１4. 提示：抛物线:C 22y px =与双曲线2213x y -=所以，2p =，1x =-是抛物线准线，作1MA l ⊥ 2MB l ⊥， 由抛物线定义MB MF =，当,,M A F 三点共线时，距离之和的最小，其值是F 到1l 距离，由点到直线距离可得，其距离为145.１５. 解：（1）()()x x x x f sin cos sin 2+= x x 2sin 2cos sin 2+= x x 2c o s 12s i n-+=1)42s i n (2+-=πx ……………………3分 14652sin 265+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴πππf 2134ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…… 4分231-= …………………………7分（2）0x π≤≤ 72444x πππ-≤-≤ ……………………８分从而当 242ππ=-x 时，即83π=x 时，……………………………… 10分()12max +=x f …………… 1２分１６. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70, ……2分06.0570.01=-=∴x 估计500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人).…4分(2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名故X 的可能取值为0,1,2,3, ……………………………………………………6分()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P ,()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P ,……………………………………………………………………10分 故X所以0123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. ………………………12分 17.解：(１) 证明：1DD ⊥面ABCD ，CE ⊂面ABCD所以，1DD ⊥CE ……………………１分Rt DAE ∆中，1AD =，1AE =DE =同理：CE =，又2CD =，222CD CE DE =+ DE ………………………………………………3分 DE CE E =所以，CE ⊥面1D DE …………………………………4分 又1D E ⊂面1D EC所以，1D E CE ⊥……………………………………………………………5分(２)解法一 由（１）证可知ED D 1∠是所求二面角1D EC D --的平面角…………６分在ED D RT 1∆中，11=DD ，2=DE ；故，2221tan 1==∠ED D ………8分即二面角1D EC D --解法二：利用向量法设平面E CD 1的法向量为)1,,(y x =， 由(１)得)1,1,1(1-=D ，)0,1,1(-=011=-+=⋅y x D 且0=-=⋅y x解得：21==y x ,即)1,21,21(=；………7分又平面CDE 的法向量为)1,0,0(1=DD ，361141411||||11=⋅++=⋅=∴DD m 所以，二面角1D EC D --…………………………9分（３）)解法一：1B =C ，1A =E ，C E B A ⊥，211121A =⨯⨯=∴∆CE S ………………………………………10分又 31=E D ， 2C =E ，CE E D ⊥1，262321=⨯⨯=∴∆CDE S ……………………（11分） 设A 点到平面E CD 1的距离为d ，则d V V E CD CE D ⨯⨯==⨯⨯=--26311213111A A ，解得66=d ，即A 点到平面E CD 1的距离为66. ……………（14分）解法二：利用向量法由(１) (２)知)0,1,0(A =，平面E CD 1的法向量为)1,21,21( = 故，A 点到平面E CD 1的距离为662621||===m d 18. 解:（1）}{,,1452n b a a a 分别是等比数列 的第二项、第三项、第四项.)131)(1()41(2d d d ++=+∴…………..1分)0(2==∴d d 舍去…………..3分12-=∴n a n ……………………4分又9,35322====a b a b 3=∴q 公比，13-=∴n n b …………………………7分 （2）证明：当n=1时，112c b a =431<=∴c …………………………8分 当112211,2--+++=≥n n n c b c b c b a n 时n n n c b c b c b a +++=+ 22111，n n n n c b a a =-∴+1 1132-+=-=∴n n n n n b a a c …………………………11分4314311)311(3231121<-=--+=+++∴--n n n c c c ………………13分所以，对于任意的.4*,21<+++∈n c c c N n 均有………………14分19. （1）由椭圆定义得122+=PF PF a ，……………………………………… 1分即532422a ==+=， ……………………… 2分∴2a =，又1=c ， ∴2223b a c =-=.……………………………………… 3分故椭圆C 的方程为22143+=x y …………………………………………………4分 （2）圆心00(,)M x y 到y 轴距离0=d x ，圆M 的半径=r 若圆M 与y 轴有两个不同交点，则有>r d0x ，化简得200210-+>y x .…………………… …………………………… 6分点M 在椭圆C 上，∴2200334y x =-，代入以上不等式得： 20038160+-<x x ，解得：0443-<<x . ……………………………………… 8分又022-≤≤x ，∴ 0423x -≤<，即点M 横坐标的取值范围是4[2,)3-. ……9分（3）存在定圆()22:116++=N x y 与圆M 恒相切，其中定圆N 的圆心为椭圆的左焦点1F ，半径为椭圆C 的长轴长4. ……………………12分 ∵由椭圆定义知，1224+==MF MF a ，即124MF MF =-，∴圆N 与圆M 恒内切. …………………………………………………………… 14分 20. 解：(1)证明∵f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ， ∴f ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . …………………………………2分 ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增…………………………………4分 (2)解：由(1)知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )取得最小值为f (0)＝1…………………………………5分由1()f x b b-+－3＝0，得f (x )＝b －1b ＋3或f (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝1()f x b b -+－3有四个零点，只需131131b bb b⎧-+>⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩………………7分即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞) ………………………………8分 (3)解：由(1)知f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (－1)＝1a ＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ，∴f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0. ∴f (1)>f (－1)∴|f (x )|的最大值为 f (1)＝a ＋1－ln a ，……………………………………12分 ∴要使()f x 22e ≤-恒成立，只需a ＋1－ln a ≤e 2－2即可令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a>0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－1，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a 的取值范围是(1，e 2] …………………………………………………14分。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
广东省广州市2015届高三下学期综合测试(二)数学(理)试题 含解析
2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科)一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1。
命题“若2x =，则2320x x -+="的逆否命题是（ )A ．若2x ≠，则2320x x -+≠ B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320xx -+≠,则2x ≠ D ．若2x ≠，则2320xx -+=【答案】C 【解析】试题分析:命题“若2x =,则2320x x -+=”的逆否命题是“若2320x x -+≠，则2x ≠"，故选C ． 考点：逆否命题．2。
已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ) A ．sin sin a b> B ．22log log a b< C ．1122a b<D ．1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析:因为0a b >>，所以sin a 与sin b 的大小关系是sin sin a b >或sin sin a b=或sin sin a b <，22log log a b >，1122a b >，1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D ．考点：基本初等函数的单调性．3。
已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦( ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A 【解析】试题分析：因为()2f =()(44124f f f ⎛⎛====⎡⎤ ⎣⎦⎝⎝，故选A ．考点：1、分段函数；2、函数值．4.函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析 式为（ ）A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由图象知：3A =,5142T=-=，所以8T =，因为28πωT ==，所以4πω=，所以()3sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象过点()1,3,所以3sin 34πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，图1即sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<,所以5444πππϕ<+<，所以42ππϕ+=，解得：4πϕ=，所以函数()f x 的解析式是()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选A ．考点：三角函数的图象． 5。
2015广东省高考理科数学试卷(高清word版)
绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一试题(广东卷)数学（理科）一、选择题：本大题功8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，{}|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =I （ ） A. {}1,4 B. {}1,4-- C. {}0 D. Φ2. 若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z = （ ）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ）A. y =B. 1y x x =+C. 122x x y =+ D. x y x e =+ 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取两个球，所取的两个球中恰有1个白球，一个红球的概率为 （ ）A. 521B. 1021C. 1121D. 15.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线方程是（ ）A. 250x y ++= 或250x y +-=B. 20x y +=或20x y += C. 250x y -+= 或250x y --=D. 20x y -=或20x y -6. 若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为 （ ）A. 4B.235C. 6D. 3157. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 方程（ ）A.22143x y -= B. 221916x y -= C. 221169x y -= D. 22134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 （ ）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2015年高考理科数学广东卷
N = 3 -------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------准考证号⎩⎨1 =绝密★启用前在2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)此本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.卷2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在 试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 上答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5. 平行于直线2x + y +1 = 0 且与圆 x 2 + y 2= 5 相切的直线的方程是( )A . 2x - y + 5 = 0 或2x - y - 5 = 0B . 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0C . 2x - y + 5 = 0 或2x - y - 5 = 0D . 2x + y + 5 = 0 或2x + y - 5 = 0⎧4x + 5 y ≥8,6. 若变量 x ， y 满足约束条件⎪≤x ≤3, 则 z = 3x + 2y 的最小值为 ( )⎪0≤y ≤2, x 2 y 2 5 7. 已知双曲线C ： - = 1的离心率e ，且其右焦点为 F (5,0) ，则双曲线C 的 a 2 b 2 4 2方程为( )x 2 y 2A . - = 14 3 x 2 y 2B . - = 1 16 9 x 2 y 2C . - = 19 16x 2 y 2D . - = 13 48.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 ()A .大于 5B .等于 5C .至多等于 4D .至多等于 3二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. 答参考公式：样本数据 x ，x ，⋅⋅⋅ ，x 的方差 s 2= 1⎡(x- x )2+ (x - x )2+ ⋅⋅⋅ + (x - x )2⎤ ，1 2 n n ⎣ 12 n ⎦ （一）必做题（9～13 题）其中 x 表示样本均值.9. 在( -1)4的展开式中， x 的系数为.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.10.在等差数列{a n } 中，若a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 25 ，则a 2 + a 8 =.11. 设△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a = ，sin B = 1 ，C = π，题1.若集合 M ={x | (x + 4)(x +1) = 0} ， N ={x | (x - 4)(x -1) = 0} ，则 M () 2 6A . ∅B .{-1, -4}C .{0}D .{1, 4}()则b = .12. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13. 已知随机变量 X 服从二项分布 B (n , p ) .若 E ( X ) = 30 ，D (X ) = 20 ，则 p = .无3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )A . y = x + e xB . y = x + 1 xC . y = 2x + 1 2xD . y = 1+ x 2 4.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程）π7π个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为()效已知直线l 的极坐标方程为2ρ sin(θ - ) =4 A 到直线l 的距离为.2 ，点 A 的极坐标为 A (2 2, ) ，则点 4数学试卷 第 1 页（共 4 页）数学试卷 第 2 页（共 4 页）x 姓名2. 若复数 z = i(3 - A . 3 - 2i 2i) （ i 是虚数单位），则 B . 3 + 2i z =C . 2+3iD . 2 - 3iA .1B . 11 21C . 10 21D . 521A . 31 5B . 6C . 23 5D . 42 2 1 15.（几何证明选讲）如图，已知 AB 是圆O 的直径，AB = 4 ，EC 是圆O 的切线，切点为C ， BC =1.过圆心O 作 BC 的平行线， 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则OD = .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）18.（本小题满分 14 分）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD = PC = 4 ， AB = 6 ，BC = 3 . 点 E 是CD 边的中点，点 F ， G 分别在线段 AB ， BC 上，且 AF = 2FB ， CG = 2GB . （Ⅰ）证明： PE ⊥ FG ；（Ⅱ）求二面角 P - AD - C 的正切值； 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m = ( , - 2 2 ) ，n = (sin x ,cos x ) ，x ∈π (0, ) . 2（Ⅲ）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.（Ⅰ）若 m ⊥ n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若 m 与 n 的夹角为 π，求 x 的值.317.（本小题满分 12 分）19.（本小题满分 14 分）设a > 1，函数 f (x ) = (1 + x 2 )e x - a . （Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）证明： f (x ) 在(-∞, +∞) 上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线 y = f (x ) 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M (m , n ) 处的切线与直线 OP 平行（ O 是坐标原点），证明： m ≤3 a - -1 .e20.（本小题满分 14 分）已知过原点的动直线l 与圆C ： x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B . （Ⅰ）求圆C 1 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线 L ： y = k (x - 4) 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值 x 和方差 s 2 ；21.（本小题满分 14 分）数列{a n } 满足： a 1 + 2a 2 （Ⅰ）求a 3 的值；+ ⋅⋅⋅ + na = 4 - n + 2， n ∈ Ν* . n2n -1（Ⅲ）36 名工人中年龄在 x - s 与 x + s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确 到 0.01％）？（Ⅱ）求数列{a n } 的前n 项和T n ；（Ⅲ）令b = a ， b = T n -1 + (1+ 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1)a (n ≥2) ，证明：数列{b } 的前n 项1 1 n n23 n n n和 S n 满足 S n < 2 + 2ln n .数学试卷 第 3 页（共 4 页）数学试卷 第 4 页（共 4 页）2 工人编号 年龄 工人编号 年龄工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 745 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43183627423639。
2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案
2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。
2015广东高考理科数学(word版,含答每道题解析答案)
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，集合N= {x|(x-4)(x-1)=0}，则M∩N=A ．∅ B.{ -1 , -4 } C.{ 0 } D. { 1 ，4 } 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2i B.3+2i C.2+3i D. 2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是（ ）．A ．若2x ≠，则2320x x +≠-B ．若2320x x +=-，则2x =C ．若2320x x +≠-，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x +=-【答案】C【解答】解：命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是 “若2320x x +≠-，则2x ≠”．故选C ． 2．（5分）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解答】解：选项A 错误，比如取πa =，π2b =，显然满足0a b >>，但不满足sin sin a b >； 选项B 错误，由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增可得22log log a b >； 选项C错误，由函数12y x ==[0,)+∞上单调递增可得1122a b >； 选项D 正确，由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．3．（5分）已知函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则)[](2f f =（ ）． A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解答】解：函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则(2)f =441[(2)](4f f f ⎛⎛==== ⎝⎝．故选A ．4．（5分）函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ）．A ．ππ3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π3π3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．ππ3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π3π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解答】解：根据函数的图象，得知：3A =， 2(51)8T =-=，所以：2ππ84ω==，当1x =时，(1)3f =，0πϕ<<， 解得：π4ϕ=， 所以函数的解析式：ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．（5分）已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0)(0f x ≥成立的概率为（ ）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B【解答】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0)(0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4， 由几何概型公式可得，使0)(0f x ≥成立的概率是4182=． 故选B ． 6．（5分）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．VCBAABC D 【答案】B【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π2AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥， ∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，∴12FO =，∴22234CF CO OF -==，∵3AO =，12FO =，∴52AF =， 在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC = 故选B ．1FCBAO A'7．（5分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：由题意可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程是2219544x y +=，①把2x =代入2219544x y +=，无解，∴2x =不是“M 型直线”；②把3y x =+代入2219544x y +=，无解，∴3y x =+不是“M 型直线”；③把21y x =--代入22144x y +=，有解，∴21y x =--是“M 型直线”；④把1y =代入22144x y +=，有解，∴1y =是“M 型直线”； ⑤23y x =+代入2219544x y +=，有解，∴23y x =+是“M 型直线”． 故选C ．8．（5分）设(,)P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r，且满足a b r r ∥，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若129))(((6)3f a f a f a +++=L ，则129a a a +++=L （ ）．A ．0B ．9C ．18D ．36【答案】C【解答】解：∵向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r ，且a b r r ∥，∴52(2)0y x x ---=， 即5(2)2y x x =-+， ∴5()(2)2f x x x =-+； 令5()(2)42g x f x x x =+-=+，则函数()g x 为奇函数，且是定义域内的增函数， 由129))(((6)3f a f a f a +++=L ， 得129(2)(2)(2)0g a g a g a +++---=L ， 又数列{}n a 是公差不为0的等差数列， ∴5(2)0g a -=，即520a -=，52a =， ∴129599218a a a a +++==⨯=L ．故选C ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则||z =__________． 【答案】1【解答】解：i 为虚数单位，复数1i1i z -=+，则1i |1i|||11i |1i |z --====++． 故答案为：1． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．【答案】10【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 22221234S -=-++的值∵2222123410S -=-++=． 故答案为：10．11．（5分）已知π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3πcos 052αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则π12f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解答】解：∵3cos 5α=，且π02α<<，∴4sin 5，又∵π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππsin 12126f αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos )αα+=，． 12．（5分）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）． 【答案】30【解答】解：先从5人中任取4人，共有45C 种不同的取法．再把4人分成两部分，每部分2人，共有224222C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法，∴2242425222C C C A 30A ⨯⨯=种．故答案为：30．13．（5分）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r ，2c u u r ，3c u u r．若m 为()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =__________．【答案】5-【解答】解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的向量为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r分别为AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，以C为起点，其余顶点为终点的向量为1c u r ，2c u u r，分别为CD u u u r ，CA u u u r ，CB u u u r ．如图建立坐标系．（1）当1i =，2j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(1,1)5(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；（2）当1i =，2j =，1s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(0,1)]3(((i j s t a a c c +⋅+=+⋅+-=--u u r u u r u u r u r；（3）当1i =，2j =，2s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,1)(0,1)4(((]i j s t a a c c +⋅+=++-⋅--=-u u r u u r u u r u r；（4）当1i =，3j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(0,1)][1,0)(1,1)3(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；同样地，当i ，j ，s ，t 取其它值时，()()5i j s t a a c c +⋅+=-u u r u u r u u r u r，4-或3-．则()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r的最小值是5-．故答案为：5-．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．FCBAGD【答案】【解答】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴11222AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌()FCE AAS △， ∴AE FE =，则2AF AE ==．故答案是：．E DGABCF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解答】1解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y = 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x +=-， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个．故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知ABC △的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △的面积为ABC △的外接圆半径的大小． 【答案】见解析．【解答】解：（1）根据题意设7a k =，5b k =，3c k =，∴2222222259491cos 2302b c a k k k A bc k +-+-===-， 则2π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==△∴21152k ⋅=k =，∴7a k == 由正弦定理2sin aR A =，得：142sin a R A ==． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在2060:岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，c （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．年龄【答案】见解析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得(0.0100.0250.035)101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为50.510÷=，所以100.1100n =÷=． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人． 依题意X 的取值为0，1，2．002426C C 2(0)C 5P X ===， 112426C C 8(1)5C 1P X ===， 202426C C 1(2)5C 1P X ===， 所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．18．（14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面． （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．F 1E 1C 1D 1A 1B 1N F ECB A D【答案】见解析．【解答】（1）证明：连接1A B ，11D B ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D =，且1111A E B D ∥， 在四边形11BB D D 中，11BD B D ∥，且11BD B D =， 所以：11A E BD ∥，且11A E BD =， 则四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以：1AM ANAB AA = 则：1MN BA ∥， 且：1MN DE ∥，所以：M ，N ，1E ，D 四点共面；D A B CEFN B 1A 1D 1C 1E 1F 1（2）解：以点E 坐标原点，EA ，ED ，1EE 线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B，9,,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,3,0)D ，10,(0,3)E，M ．3,,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,3,3)DE =-u u u u r，2,0)DM =-u u u u r ， 设平面1MNE D 的法向量为：(,,)m x y z =u r ，则：100m DE m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u u r ，即：33020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：m =，设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin ||||m BC m BC θ⋅=u r u u u r u r u u u r ， 故直线BC 与平面1MNE DFF19．（14分）已知点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求证：2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，∴31n n b a =+，直线l 与y 轴的交点为(0,1)，∴10a =，11b =．∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，∴1n a n =-．∴3(1)132n b n n =-+=-．∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：1n a n =-，32n b n =-．（2）证明：∵1)(0,1P ，1,3(2)n P n n --，∴1,31()n P n n ++．∴222211||(3)10n PP n n n +=+=， ∴1221111111111||1010521214n PP n n n n +⎛⎫=<⋅=- ⎪-+⎝⎭-． ∴当2n ≥时，22212131111111111111||||||10535572121n PP PP PP n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111110532110156n ⎛⎫=+-<+< ⎪+⎝⎭． 又当1n =时，212111||106PP =<． ∴2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 20．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程．（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【答案】见解析．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-．∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1，∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=；（2）设00)(,P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ，则直线PA 方程为00y a x y a x -=-，整理得：000()0y a x x y ax -+=-．∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=；同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||||AB a b =-== 令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB，max ||AB =．故答案为：⎦21．（14分）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(e ),b P b 、(,)e b Q b --，过点P 、Q 作图象C 的切线分别记为1l 、2l ，设1l 与2l 的交点为00)(,M x y ，证明：00x >．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵2()ln 11f x a x x =+-+， ∴22(1)2()(1)a x x f x x x +-'=+， 若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数， 则2(1)20a x x -+≥，∴2222(1)4x a x =++≥， ∴12a ≥． （2）∵()e x g x '=，∴()()e b g b g b '==，∴1:(e )e b b l y x b =-+…①，()()e b g b g b -'-=-=，∴2:(e )e b b l y x b --=++…②，由①②得：e )e e ()e (b b b b x b x b ---+=++，两边同乘以e b 得：22e )e (1b b x b x b -+=++，∴222(e 1)e e 1b b b x b b =-+-⋅+，∴2202e e 1e 1b b b b b x -++=-， 分母2e 10b ->， 令22()e e 1b b h b b b -=++， ∴22()2e e 1b b h b b -'=+， ∴2()4e 10b h b b ''=+>， ∴min ()(0)0h b h +''→→，∴min ()(0)0h b h b →→>， ∴00x >．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷类型：A
2015年广州市高考模拟考试
数 学（理科） 2015.1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2. 已知集合{}|11M x x =-<<
，{|N x y =，则M
N =
A. {}|01x x <<
B. {}|01x x ≤<
C. {}|0x x ≥
D. {}|10x x -<≤ 3．设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 若,a b 方向相反, 则实数x 的值是
A ．0
B ．2±
C ．2
D ．2- 4．一算法的程序框图如图1，若输出的12
y =， 则输入的x 的值可能为
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．5
5. 将函数sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移6π个单位，再向上
平移1个单位，所得图象的函数解析式是
A ．22cos y x =
B ．22sin y x =
C ．1sin 23y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭ D ．cos 2y x =
6. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题:
① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是
A ．① ②
B ．② ③
C ．① ④
D ．②
④ 图1
D
C
7. 已知双曲线2
2:
13
x
C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为
A
B ． C
D ．
8.
已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥.设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为 A ．
12
π B ．6π C ． 4π D ． 3π
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 不等式212x x ->+的解集是 .
10. 已知数列{}n a 是等差数列，且34512a a a ++=，则1237a a a a +++
+的值为 .
11. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,
02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩
所表示的平面区域是W ，从区域W 中随
机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .
12. 由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝 对值等于7的四位数的个数是 . 13. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的
值为 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）
如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，
AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .
图3
日销售量/个a a a a a 图4
E
F
D
C
B
A P
三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，
4
π
是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,
2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且45f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
345f πβ⎛
⎫+=
⎪⎝⎭
，求()sin αβ+的值. 17.（本小题满分12分）
广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频 率分布直方图（如图3）．
表1
将日销售量在各组的频率作为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求1a ，3a 的值.
（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50 个的概率；
（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图4，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；
（2）求二面角A PC B --的平面角的正弦值.
19.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11
n n a
S a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设11
11n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，
问AM BM +=0是否成立？请说明理由．
21.（本小题满分14分） 已知函数()2ln a
f x x x x
=-
-，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.。