关于非线性奇异三阶两点边值问题的正解
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非线性三阶三点边值问题的正解
文［ ７． 文［ 币， 者应 ｒｎ ｅｓｌ 点 １］ ． 在 ７ 作 用Ｋ ｓｓ＇ｌ ］ ａ ｏｌｋ 不动 定理， 证明了 三阶 边值问 下列 三点 题
‘ 【 ｕ０ （ ）＝ ｕ （ ）＝ ０， （）一 叩 ０ １ ｕ （ ）＝ ０
㈩ 、
正解 的存 在 ， 中 ∈ （ ，）ａ∈ （ ， 是 常数 ， ｃ ［ ， ，０ ∞） ， 线性项 厂 超线 性 的 ， 其 ０１， ０ １） ∈ （０ ∞）［ ， ）非 是 或者
且 非线 性项 ｆ是超 线性 的 ， 或者 次线 性 的 ． 究 了边值 ＮＮ （） 研 ３ 正解 的存 在性 ．
１ 预 备知 识 和 主 要 引理
为 了证 明本 文 的主要 结果 ， 们先 给 出下 面一些 引理 及其 证 明 ． 我
引理 １ 如果 ｇＥ ｃ ｏ １ ， 边值 问题 ［ ，］则
，
ｃ（ ， ）≤ Ｇ（ ５ １５ ，）≤ Ｇ（ ， ）＝１ （ ｓ １ｓ ２
—
ｓ） ．
证 明 对 于任意 的 ｔｓＣ ［，］若 ｓ≤ ｔ由（） 们得 到 ， Ｏ １ ， － ， ３我
Ｇ（ ）＝ （ 时 一ｓ）≤ （ ｓ—ｓ）： Ｇ ） ２ ２ （ ，
Ａｕ ．２ ０ ｇ ０８
非线性三阶三点边值 问题 的正解
李春红 ， 柏传 志
（． １延边大学 理学院数学系 ， 吉林 延 吉 １３０ ； ． 阴师范学院 数学系 ，江苏 淮安 ３００ ２淮 ２ ３０ ） ２ ３０
摘
要 ：应用 Ｋａｎｓｌｓｌ不动 点定理 ， 究 了三 阶三 点边值 问题 正解 的存 在 性 ， 出 了正解 ｒｓｏｅ’ｋ ｌ 研 给
由（） 的边 值条 件 ， ４式 我们 得到 Ｂ ： Ｃ ：０并 且 ，
非线性三阶常微分方程组三点边值问题的多个正解
・
３ ・ ５
何希 萍 ：非 线性三阶 常微 分方程 组三点边值 问题 的 多个 正解
…
”
Ｇ （ ＝ ｆ ，） ｆ
ｔ ．
一 一
ｌ 十
ｒ
１
）（ｔ ～ — ｉ ｔ ， ２２ ｔ ｔ ，≤Ｓ ）
）ｔ Ｓ ｌ ， ，
（．） １３
ｆ ， ［ ＋ （ 一Ｓ 】 ≤Ｓ 一１ ２ ， ） ， ， ） ３ ｔ
Ｕ（） （ ） ， （ ） ， ｆ ＝０ ＝１２… ｉ Ｉ＝ ， ， ＝０ ２ ， ＋ ３ ３ （ ） ，ｉ ，， ，，
的 Ｇｅｎ函数 ，则 由文 ［ 知 ｒｅ ２］
收稿 日期 ：２ １ — ８ ３ ００ ０ — ０ 作者简介 ：何希萍 （９ ０ ，女 ，甘肃武威人 ，副教授 ，硕士 ，研 究方向：微 分方程 １７ 一）
最定理和 Ｌｒｙｓｈ ｕｅ 不动点定理建立了该问题至少有三个正解及任意奇数个正解的存在性准则． ｅａ—ｃａ ｄｒ
关 键 词 ：边值 问题 ；三 阶 ；三 点 ；正解 ；锥 ；不动 点
中图分类号 ：０ ７ １５
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１７ — ５０ （０ １ ２ ０ ８— ４ ６ ２ ０ ２ ２ １ ）０ — ０ １０
三个 正解 的存在性准则 ． 这里 ０ ， ０和 （ ＝２ ＋ （ 一 （ 一２： １ ＞０ ｔ＜ ｔ＜ ｔ ， ， ， ， ｆ） ， ｔ＋， ， ３ ， ） ，ｌ ２ ３
且 ｔ 一ｔ ＞ ｔ 一 ｔ ． ２ ｌ ３ ２
，
对 于 问题 （ ． ） （ ．） １１ ， １ ，假设对某 一小于 ｆ 一 ， ２ ，的正常数 ｈ １ ｉ
Ｆ： Ｄ Ｊ 全连 续 ，则 Ｆ在 Ｄ上必有 不动 点． ［ ）
３ ・ ５
何希 萍 ：非 线性三阶 常微 分方程 组三点边值 问题 的 多个 正解
…
”
Ｇ （ ＝ ｆ ，） ｆ
ｔ ．
一 一
ｌ 十
ｒ
１
）（ｔ ～ — ｉ ｔ ， ２２ ｔ ｔ ，≤Ｓ ）
）ｔ Ｓ ｌ ， ，
（．） １３
ｆ ， ［ ＋ （ 一Ｓ 】 ≤Ｓ 一１ ２ ， ） ， ， ） ３ ｔ
Ｕ（） （ ） ， （ ） ， ｆ ＝０ ＝１２… ｉ Ｉ＝ ， ， ＝０ ２ ， ＋ ３ ３ （ ） ，ｉ ，， ，，
的 Ｇｅｎ函数 ，则 由文 ［ 知 ｒｅ ２］
收稿 日期 ：２ １ — ８ ３ ００ ０ — ０ 作者简介 ：何希萍 （９ ０ ，女 ，甘肃武威人 ，副教授 ，硕士 ，研 究方向：微 分方程 １７ 一）
最定理和 Ｌｒｙｓｈ ｕｅ 不动点定理建立了该问题至少有三个正解及任意奇数个正解的存在性准则． ｅａ—ｃａ ｄｒ
关 键 词 ：边值 问题 ；三 阶 ；三 点 ；正解 ；锥 ；不动 点
中图分类号 ：０ ７ １５
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１７ — ５０ （０ １ ２ ０ ８— ４ ６ ２ ０ ２ ２ １ ）０ — ０ １０
三个 正解 的存在性准则 ． 这里 ０ ， ０和 （ ＝２ ＋ （ 一 （ 一２： １ ＞０ ｔ＜ ｔ＜ ｔ ， ， ， ， ｆ） ， ｔ＋， ， ３ ， ） ，ｌ ２ ３
且 ｔ 一ｔ ＞ ｔ 一 ｔ ． ２ ｌ ３ ２
，
对 于 问题 （ ． ） （ ．） １１ ， １ ，假设对某 一小于 ｆ 一 ， ２ ，的正常数 ｈ １ ｉ
Ｆ： Ｄ Ｊ 全连 续 ，则 Ｆ在 Ｄ上必有 不动 点． ［ ）
非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性
第15卷第3期2013年9月应用泛函分析学报A C TA A N A L _ySI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A V 01．15．N O ．3Sep ．，2013D O I ：10．3724／SP ．J ．1160．2013．00265文章编号：1009-1327(2013)03—0265-07非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性王静，何明霞甘肃联合大学师范学院，兰州730000摘要：考虑二阶三点边值问题系统一u Ⅳ=f (t ，u)，t ∈(0，1)，--V ”=g(t ，u)，t ∈(0，1)，u(0)=Q 札(叩)，u(1)=p 札(叩)，v(O )=n"(叩)，v(1)=pu(叼)，其中，，g ∈c (【o ，1】×冗+，R +)，g(t ，0)三0，叩∈(0，1)且0<卢≤Q <1．首先给出了线性边值问题的G r een 函数；其次，给出了G r een 函数的一些很好的性质；最后，运用锥上拉伸与压缩不动点定理研究了上述边值问题系统至少一个或多个正解的存在性．关键词：系统；二阶三点边值问题；正解；不动点；锥中图分类号：0175文献标志码：A二阶微分方程在应用数学与物理领域中有着极为广泛的应用背景，特别是在经典力学、化学及电学中更为普遍【1】．近来，二阶边值问题系统受到了广泛的关注[2--6]．文【2]利用G uo —K r as nosel ’s ki i 不动点定理讨论了二阶三点边值问题J 乱Ⅳ(t )+A q(t )f (t ，u(t ))=0，0<t <1，I u(o)=Q u(?7)，乱(1)=pu(叩)正解的存在性，其中0<叩<1，0≤p ≤a<1，A >0为参数，q ：(0，1)一[0，。
)，f ：【0，1]X (0，∞)一[0，∞)是连续的．本文讨论了如下常微分方程系统边值问题f —u Ⅳ=，(t ，u)，t ∈(0，1)，㈦-v"…=g(㈤t,u ，匕：豸竺‰㈣u(o)=Q u(叩)，u(1)=p “(叼)，、‘7【u(o)=(Y u(叼)，v(1)=p"(?7)正解的存在性，其中f ，g ∈C ([o ，1]×R +，R +)，g(t ，0)兰0，0<叼<1，0<p ≤O t <1．为了便于讨论，我们做如下记号：护一lim 垤in 【。
非线性三阶周期边值问题的正解
收 稿 日期 ： ０ ８ １— ７ 修 订 日期 ： ０ ９ １ —９ ２ ０ — ２１ ； ２ ０ —０ ２
Ｅ— ａ ｌ ａ ｉ ｇｌ ０ ＠ｈｏ ｍ ａ ｌＣ ｌ ｍ ｉ：ｙ ｏｑ ｎ ｉ ｕ２ ０２ ｔ ｉ． Ｏｌ ｌ
１ ９ ４６
数
学
物
理
学
报
Ｖ １０ ０ ＿ ３ Ａ
．
２ 准 备工 作
其中０ ＜去． ＜Ｐ 这里函数札 ∈Ｃ ［２］ 。 ，ｅ ０ ｒ称为问题 （１的正解， Ｐ） 如果 ｉ（ 是 （１的解并 ｔ Ｐ） ＊）
且 “ （ ＞０ ０ ｔ ２ ． ） ， Ｉ ｒ 非线性 周期边 值 问题 具有 广泛 的应 用价值 ， 这是 由于物 理及 工程 中的周期现 象必然 引 出 这类 问题 ．目前 多数作 者的兴 趣集 中在二 阶或 四阶周期 边值 问题 ［ １ ， 有少数论 文 ［ － ６ １ １仅 － ］ １ １ ２ ］ 研 究过三 阶周期 边值 问题 （ ） ＰＩ．例如 ＬＫ ｎ ， ． ｎ ．ｏ ｇ ｓ Ｗａ ｇ和 ＪＷａ ｇ在 文献 ［ ］ ． ｎ １ 中证 明了下列 ４ 单个 正解 的存在 定理 ． 定理 １１ 假设 ｆ：０ ２ ］ ０ ＋ ． ［，７ ×（， ∞） ［， 。 连续 并且对 于 每一个 ∈［ ２ ］ ｆｔ ｒ 一 ０ ＋。 ） ０ ３， （ ） ， ，
１ 引 言
本 文研 究下列 非 线性三 阶周 期边 值 问题 的 单个和 多重 正解 的存在性
ｆ ） Ｐ１
、 Ｊ ） 。 ｌ ） ≤７ ｌ（ ＋ ｕ ＝（（，０ ２ （ （ ， ｕ ） ） ， ｒ ，
。 ０ 一 ｕ。 ２ｒ ） （ （７ ， （ ’ ） ｉ ，， ， ＝０ １２
，
，
换句话 说，存 在 ０＜。＜ｂ 。。
Ｅ— ａ ｌ ａ ｉ ｇｌ ０ ＠ｈｏ ｍ ａ ｌＣ ｌ ｍ ｉ：ｙ ｏｑ ｎ ｉ ｕ２ ０２ ｔ ｉ． Ｏｌ ｌ
１ ９ ４６
数
学
物
理
学
报
Ｖ １０ ０ ＿ ３ Ａ
．
２ 准 备工 作
其中０ ＜去． ＜Ｐ 这里函数札 ∈Ｃ ［２］ 。 ，ｅ ０ ｒ称为问题 （１的正解， Ｐ） 如果 ｉ（ 是 （１的解并 ｔ Ｐ） ＊）
且 “ （ ＞０ ０ ｔ ２ ． ） ， Ｉ ｒ 非线性 周期边 值 问题 具有 广泛 的应 用价值 ， 这是 由于物 理及 工程 中的周期现 象必然 引 出 这类 问题 ．目前 多数作 者的兴 趣集 中在二 阶或 四阶周期 边值 问题 ［ １ ， 有少数论 文 ［ － ６ １ １仅 － ］ １ １ ２ ］ 研 究过三 阶周期 边值 问题 （ ） ＰＩ．例如 ＬＫ ｎ ， ． ｎ ．ｏ ｇ ｓ Ｗａ ｇ和 ＪＷａ ｇ在 文献 ［ ］ ． ｎ １ 中证 明了下列 ４ 单个 正解 的存在 定理 ． 定理 １１ 假设 ｆ：０ ２ ］ ０ ＋ ． ［，７ ×（， ∞） ［， 。 连续 并且对 于 每一个 ∈［ ２ ］ ｆｔ ｒ 一 ０ ＋。 ） ０ ３， （ ） ， ，
１ 引 言
本 文研 究下列 非 线性三 阶周 期边 值 问题 的 单个和 多重 正解 的存在性
ｆ ） Ｐ１
、 Ｊ ） 。 ｌ ） ≤７ ｌ（ ＋ ｕ ＝（（，０ ２ （ （ ， ｕ ） ） ， ｒ ，
。 ０ 一 ｕ。 ２ｒ ） （ （７ ， （ ’ ） ｉ ，， ， ＝０ １２
，
，
换句话 说，存 在 ０＜。＜ｂ 。。
具有变号非线性项的二阶三点边值问题多个正解的存在性
Ｅ中定义雒
ｍ Ｐ（ ＝ｕＥＥｕＩ ｌ（≥ｏ． ｉ ｕ） Ｙ １ ） 。— ｎ （ ［ ｌ ｔ ￣ “Ｉ ｝
。
（ ｆ，］ Ｏ ＋ ）咄 连续 ， 日 ０ １ （ ， — ｘ 且存在 Ｍ Ｏ ＞ 使得 ｔＵ≥— （，）ຫໍສະໝຸດ ０ １ｘ ，） ， ｕ ∈［，］Ｒ １
记 设 Ｐ Ｂｎｃ 是 ｏａｈ空间 中 Ｅ的锥 ． 映射 口 『， ） ： Ｏ ＋ 连续 ， 果对所 如 以 ｘｙ ．∈Ｐ． ≤￡ Ｏ ≤１有 ａ ｘ （ ｃ ） ｃ ＋１ ｃ （ ， （ ＋１ ） ≥ｆ （ ） ｙ ｔ 一 ｙ 缸） 一 ｎ ） 定 理 １ 条件 。㈣ 成立 ， 在 常熟 口ｂｃＮ满足 胛 ＜ 如＋ 若 ） ， 存 ，，， 口 则称 ａ 是锥 Ｐ 的非负连续凹泛 函． 上 设常数 ｂａＯ口 ＞＞ ． 为锥 Ｐ 的 上 非负连续凹泛函 ． 凸集 定义 Ｍ ＜ ＜ ｃ ‘ ＜ｃ 且 ，） 下列条件 ｒ ｂ￣ ， Ⅳ Ｌ ｕ 满足
山东 滕州 ２ ７ ０ ） ７５ ０
【 要】 摘 非线性泛 函分析是现代分子数学的一个重要分 支， 因其能很好的解释 自然界 中的各种各样的 自然现 象受到 了越 来越 多的数 学工
作者的关 注。其 中。 非线性 非局部 边值问题 来源于应用数学和物理的 多个分 支， 目 是 前分析数 学 中 究最为 活跃 的领域之 一。利用 Ｌｇｅ — 研 ｅｇｔ ｔ
，ｌ １ ｌｎ ｌ ３
ｔ』 ） ＝（ － ）击 』１ 出 ＋ 而 ｆ１ ‘ 而 ） 打， ）
其中
一 ａ
存在 ｔ ［，１ 。 ｏｌ ｃ 使得 ａｏ０ （＞ ． ｔ 作者利用锥拉伸与压缩不动点定理在非线 ） 性项 ， 满足超线性 或者次线性 的条 件下得到 了正解的存 在性和 多解
ｍ Ｐ（ ＝ｕＥＥｕＩ ｌ（≥ｏ． ｉ ｕ） Ｙ １ ） 。— ｎ （ ［ ｌ ｔ ￣ “Ｉ ｝
。
（ ｆ，］ Ｏ ＋ ）咄 连续 ， 日 ０ １ （ ， — ｘ 且存在 Ｍ Ｏ ＞ 使得 ｔＵ≥— （，）ຫໍສະໝຸດ ０ １ｘ ，） ， ｕ ∈［，］Ｒ １
记 设 Ｐ Ｂｎｃ 是 ｏａｈ空间 中 Ｅ的锥 ． 映射 口 『， ） ： Ｏ ＋ 连续 ， 果对所 如 以 ｘｙ ．∈Ｐ． ≤￡ Ｏ ≤１有 ａ ｘ （ ｃ ） ｃ ＋１ ｃ （ ， （ ＋１ ） ≥ｆ （ ） ｙ ｔ 一 ｙ 缸） 一 ｎ ） 定 理 １ 条件 。㈣ 成立 ， 在 常熟 口ｂｃＮ满足 胛 ＜ 如＋ 若 ） ， 存 ，，， 口 则称 ａ 是锥 Ｐ 的非负连续凹泛 函． 上 设常数 ｂａＯ口 ＞＞ ． 为锥 Ｐ 的 上 非负连续凹泛函 ． 凸集 定义 Ｍ ＜ ＜ ｃ ‘ ＜ｃ 且 ，） 下列条件 ｒ ｂ￣ ， Ⅳ Ｌ ｕ 满足
山东 滕州 ２ ７ ０ ） ７５ ０
【 要】 摘 非线性泛 函分析是现代分子数学的一个重要分 支， 因其能很好的解释 自然界 中的各种各样的 自然现 象受到 了越 来越 多的数 学工
作者的关 注。其 中。 非线性 非局部 边值问题 来源于应用数学和物理的 多个分 支， 目 是 前分析数 学 中 究最为 活跃 的领域之 一。利用 Ｌｇｅ — 研 ｅｇｔ ｔ
，ｌ １ ｌｎ ｌ ３
ｔ』 ） ＝（ － ）击 』１ 出 ＋ 而 ｆ１ ‘ 而 ） 打， ）
其中
一 ａ
存在 ｔ ［，１ 。 ｏｌ ｃ 使得 ａｏ０ （＞ ． ｔ 作者利用锥拉伸与压缩不动点定理在非线 ） 性项 ， 满足超线性 或者次线性 的条 件下得到 了正解的存 在性和 多解
奇异非线性二阶三点边值问题正解的存在性
摘 要： 利用 Ｋ ａ ｓｏｅ’ ｉ不动点理论 ， 究 了奇异非线 ｝ ｒｎｎ ｓｌｋｉ ｓ 研 生
定 理 ｌ 设 Ｅ 是 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， 是 一 个 ｎｃ Ｋ ｃＥ 锥 ， 和 Ｑ２ Ｅ 中满 足 ０ Ｑ１ 为 ∈Ｑｌ ， ｃ Ｑ２的有 界 开 １ 子 集 ， Ｔ： 设 Ｋｎ（ ＼ ） Ｋ 是 一 个 全 连 续 算 子 ． ２ Ｑｔ 如 果下 列条 件之 一成 立 ：
：，
近 年 来， 常微 分 方 程 多 点边 值 问题 的研 究 受 到 了人们 的广 泛关 注．线 性微 分 方程 的 多点边 值 问题 的研 究起 源于 Ｉ’ 和 Ｍｏｓｅ ［］ Ｉｎ ｉ ｉ ｖ２， ｅ 其后 Ｃ ｐａ４研 究 ｕ ｔ［］ 了非 线 性三 点边 值 问题 ．此 后， 多 作者 借 助 于不 许 动 点理论 、迭 合度 理论 及非 线性 抉择 等研 究 了更一 般 的非 线 性 多 点边 值 问题 ，取得 了许 多研 究成 果 ． 但 这 些 结果 大 多 是建 立 在 非 线性 项 非 负 的基础 上 ，
上（ ＜，边 问 ｙ） ｏ 值 题 ｏ 则
＜
究 尚不 多见．本 文考虑 以下边值 问题
Ｉｕ Ｏ 一 （ ＝０ （ ＋ ，） ｕｑ （ ０ ｕ １ （ ： （ ａ ） ） ， Ｚ ） １＝ ｂ ）
有 唯一 解．
Ｉ （ ＋ ｈ）（ ＝ ， ＜ ＜． ｆ Ａ（ｆｕ ０ ０ ｔ １ Ｍ ） ｔ ） 一 Ｉｕ ） ｐ ） ０ （ ＋ ＇（ ＝ ｕ １ 一 （ 一 ｕ ０ ＝ ， １ ｂ ，） ｂ （） ａ０ （ ） ｕ１ ｒ
二 阶 三 点 边值 问题
ｒ
Ｉ ） ｈｔ （） ， ＜ｔ ； “（ ＋Ａ （ｆ ｕ ＝０ ０ ＜ｌ ）
Ｉ （ 一 （） ， （ ＋６ ） 易（） ｆ） ０＝０ １ ｕ １＝ “ ． ０ ， ） （
定 理 ｌ 设 Ｅ 是 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， 是 一 个 ｎｃ Ｋ ｃＥ 锥 ， 和 Ｑ２ Ｅ 中满 足 ０ Ｑ１ 为 ∈Ｑｌ ， ｃ Ｑ２的有 界 开 １ 子 集 ， Ｔ： 设 Ｋｎ（ ＼ ） Ｋ 是 一 个 全 连 续 算 子 ． ２ Ｑｔ 如 果下 列条 件之 一成 立 ：
：，
近 年 来， 常微 分 方 程 多 点边 值 问题 的研 究 受 到 了人们 的广 泛关 注．线 性微 分 方程 的 多点边 值 问题 的研 究起 源于 Ｉ’ 和 Ｍｏｓｅ ［］ Ｉｎ ｉ ｉ ｖ２， ｅ 其后 Ｃ ｐａ４研 究 ｕ ｔ［］ 了非 线 性三 点边 值 问题 ．此 后， 多 作者 借 助 于不 许 动 点理论 、迭 合度 理论 及非 线性 抉择 等研 究 了更一 般 的非 线 性 多 点边 值 问题 ，取得 了许 多研 究成 果 ． 但 这 些 结果 大 多 是建 立 在 非 线性 项 非 负 的基础 上 ，
上（ ＜，边 问 ｙ） ｏ 值 题 ｏ 则
＜
究 尚不 多见．本 文考虑 以下边值 问题
Ｉｕ Ｏ 一 （ ＝０ （ ＋ ，） ｕｑ （ ０ ｕ １ （ ： （ ａ ） ） ， Ｚ ） １＝ ｂ ）
有 唯一 解．
Ｉ （ ＋ ｈ）（ ＝ ， ＜ ＜． ｆ Ａ（ｆｕ ０ ０ ｔ １ Ｍ ） ｔ ） 一 Ｉｕ ） ｐ ） ０ （ ＋ ＇（ ＝ ｕ １ 一 （ 一 ｕ ０ ＝ ， １ ｂ ，） ｂ （） ａ０ （ ） ｕ１ ｒ
二 阶 三 点 边值 问题
ｒ
Ｉ ） ｈｔ （） ， ＜ｔ ； “（ ＋Ａ （ｆ ｕ ＝０ ０ ＜ｌ ）
Ｉ （ 一 （） ， （ ＋６ ） 易（） ｆ） ０＝０ １ ｕ １＝ “ ． ０ ， ） （
一个三阶非线性微分方程正解的存在性
ｌｚ ｌ 的 Ｂ ｎｃ 空间． 胛ｌ ｌ‘ ｝ ａａ ｈ 引理 ｌ （ 见文［］ 设 Ｇ ｔｓ 是齐次三阶两点 １） （ ，） 边 值 问题
ｆ‘ （ ）＝ ０ ０≤ ｔ≤ ｌ ｔ ｚ ， ，
Ｏ Ｉ １ ‘ 《
’
Ｏ１ （ Ｉ吉 《 Ｉ ）’． Ｉ Ｇ ≤ ａ 《 ｘ 二
ｔ 一ｔ１ ） ） （ 一ｔ］＝ｓ １ ） ０ （ 一ｔ ≥ ， 故 Ｇ ｔｓ 关 于 ｔ （ ，） 单调递增 ， 又因为 Ｇ １ｓ （ ，）＝
。Ｇ（ ， ）ｌ Ｇ（ ， ）＝ ｔｓ ＝ ０ ｓ ≤ １；
Ｏ‘ Ｉ １ ‘ 。
如果Ｉ （）ｔ （）ｔ ２ ｃｔ ｔ ， 口ｔｄ ＋Ｉ ｔ ＋ Ｉ （） ＜ｌ则 ６ ｄ ｄ
，
正解．
本文讨论下列非线性项含一阶导数的三阶两点
边 值 问题 （） 的存 在性 ， 到如 下结论 ： １解 得
证 明： 先证明 ｍ ｘＩ （ ，）Ｉ 事实上 ａ Ｇ ｔｓ ≤ １，
Ｕ‘ Ｉ ｌ ‘ ●
（ ） ０≤ ｓ≤ ｔ １ １当 ≤ 时， 因为 Ｇ ） ［ １ ） （ 一ｓ ］ （ （ ＝ｓ （ 一ｔ 一ｔ １ ） ≥ １
№ ． ３
Ａｕ ． ０ ７ ｇ２ ０
一
个 三 阶非 线 性 微 分 方 程 正解 的存 在 性
许 也 平
（ 杭州广播 电视大学， 浙江 杭州 ３ ０ １ ） １０２
摘 要 ： 讨论了一个三阶非线性微分方程两点边值问题的正解的存在性． 在非线性项满足线性增长的限制的条
件下 ． 过构造适 当的 Ｂ ｒｃ 通 ａｍ ｈ空间并利用 Ｌ ｒｙ ｃ ｅａ —ｓｌ ｒ 脚 非线性 抉择证明了－ 个存 在定 理 ． 二
关 键词 ： 三阶非线性两点边值问题； 存在性；ｅ ｙ ｓｌ Ｌｒ — ｃ ａ 咖 ｒ 非线性抉择
ｆ‘ （ ）＝ ０ ０≤ ｔ≤ ｌ ｔ ｚ ， ，
Ｏ Ｉ １ ‘ 《
’
Ｏ１ （ Ｉ吉 《 Ｉ ）’． Ｉ Ｇ ≤ ａ 《 ｘ 二
ｔ 一ｔ１ ） ） （ 一ｔ］＝ｓ １ ） ０ （ 一ｔ ≥ ， 故 Ｇ ｔｓ 关 于 ｔ （ ，） 单调递增 ， 又因为 Ｇ １ｓ （ ，）＝
。Ｇ（ ， ）ｌ Ｇ（ ， ）＝ ｔｓ ＝ ０ ｓ ≤ １；
Ｏ‘ Ｉ １ ‘ 。
如果Ｉ （）ｔ （）ｔ ２ ｃｔ ｔ ， 口ｔｄ ＋Ｉ ｔ ＋ Ｉ （） ＜ｌ则 ６ ｄ ｄ
，
正解．
本文讨论下列非线性项含一阶导数的三阶两点
边 值 问题 （） 的存 在性 ， 到如 下结论 ： １解 得
证 明： 先证明 ｍ ｘＩ （ ，）Ｉ 事实上 ａ Ｇ ｔｓ ≤ １，
Ｕ‘ Ｉ ｌ ‘ ●
（ ） ０≤ ｓ≤ ｔ １ １当 ≤ 时， 因为 Ｇ ） ［ １ ） （ 一ｓ ］ （ （ ＝ｓ （ 一ｔ 一ｔ １ ） ≥ １
№ ． ３
Ａｕ ． ０ ７ ｇ２ ０
一
个 三 阶非 线 性 微 分 方 程 正解 的存 在 性
许 也 平
（ 杭州广播 电视大学， 浙江 杭州 ３ ０ １ ） １０２
摘 要 ： 讨论了一个三阶非线性微分方程两点边值问题的正解的存在性． 在非线性项满足线性增长的限制的条
件下 ． 过构造适 当的 Ｂ ｒｃ 通 ａｍ ｈ空间并利用 Ｌ ｒｙ ｃ ｅａ —ｓｌ ｒ 脚 非线性 抉择证明了－ 个存 在定 理 ． 二
关 键词 ： 三阶非线性两点边值问题； 存在性；ｅ ｙ ｓｌ Ｌｒ — ｃ ａ 咖 ｒ 非线性抉择
非线性奇异三阶两点边值问题的一个正解存在定理
收稿 日期 ： ０ １—１ ２１ ０—２ ０
基 金 项 目 ： 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（ １ ７ １ ９ 国 １０ １ ０ ） 作者简介 ： 庆六（９６ ）男 ， 姚 １ ４ 一 ， 上海 人 ， 授 ， 要 从 事 非 线 性 常 微 分 方 程 研 究 ， － ｉ ｙ ｏｉｇｉ２ ０ ＠ ｈ ｔ ｉ ｃｒ 教 主 Ｅ ｍａ ：ａｑｎ ｌ ０２ ｏｍａ ．ｏ ｌ ｕ ｔ ｎ
２
滨 州 学 院 学 报
第 ２ ７卷
数 ｙＥ Ｃ（ ，）及连续 函数 ｇ：０ ＋ ｏ ） ［ ， Ｑ ） 得 Ｏ１ ［， ｏ 一 Ｏ ＋ ｏ 使
ｌ ｕ ｇ（ ） ｕ＜＋ ∞ ｉ ｓｐ ｕ ／ ａ ｒ
并 且 ｆ（ ， ｔ ）≤ Ｍｕ ＋ ｙ ￡ ｇ（ ， ￡“ 一 （） “） （ ， ）Ｅ （ １ ０， ）× （ ＋ Ｏ３ ． ０， ＜）
则 问 题 （ ） 少 有 一 个 正 解 Ｕ Ｅ Ｋ． Ｐ 至
本 文将证 明下列 存在 定理 ， 一定理 改 进 了定 理 １ 这 ． 定理 ２ 假设（１ Ｂ ）ｆ：Ｏ １ × （ ， 。 ） ［ ， 。 ） （ ，） ０ ４ 。 一 ０ ４ 。 连续 并且存 在 正数 Ｍ ＞ ０ ０＜ ｄ＜ １ 非 负函 － － ， ，
解存在 定 理．
关键 词 ： 非线性 常微 分 方程 ； 奇异 边值 问题 ； 解 ； 正 存在 性
中 图分 类 号 ： ７ ． ０ １ ５８ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３—２ １ （ ０ １ ０ —０ ０ —０ １７ ６８ ２１ ）６ ０ １ ５
本 文 考察 下列 非线性 三 阶两 点边 值 问题 的正解 ，
则 问题 （ ）至少有 一个 正解 “ Ｅ Ｋ． Ｐ
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Ｔ （ ＝ Ｊ （ｓ （ （ ）
和一个 积分算 子 ： —ｃ ０ １ ［ ， ］
由引理 １ １ ，Ｖ （ ． ） ． 知 Ｂ Ｐ １ １ 有一解 ｕ ｔ等价 于 ｕ是 的一个不动点． （）
我们 作以下假设 ： （ ） Ｈ１ ａ∈Ｃ （ １ ，０ ） 且 ０＜ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｄ ＜ ， （ ０，） ［ ， ） （ ，） （） ｓ （ ２，ＥＣ ［ ，］ ［ ， ） ． Ｈ ） （ ０ １ ，０ ） 由（ ） ＨＩ 知存 在 ｔ∈（ １ 使得 ａ ｔ）＞ ． ０ ０，） （。 ０ 引理 １ ３ 假设 （ ） Ｈ ） ． ＨＩ （ ２ 都成立 ， 则 ：
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第２ ３卷 第 ５期 ２０ ０ ７年 １ ０月
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ Ｈ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥＲ ＵＮＩ ＲＳＴ ＮＺ Ｅ Ｓ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ５ ０ｔ ０７ ｃ ．２ Ｏ
Ｉｕ） ｕ） Ｉ ｔ ［ｓ一 （Ｉｕ） （ 一 （ｌ Ｇ， 。）。ｓｆ（） Ｔ￡ ｎ ￡ Ａ （ｓ （ ）（ｓ Ｉ Ｊ ） ｃ
ｌ ｎ １
≤ ｃ ，ｌ ｓ一 （ ｌｕ） ．（ｓ 。）。ｓ ｕ） ．ｏ）。）。ｓ （） ｒ ｏ） （ 一 （ｌ （） ｒ ｓ （ ） ｓ （ ＋ ，ｌｓ ） ｓ ｃ
∞
：
｛ 二
一
≤
０≤ ｃ ｔｓ （，）≤ ｃ ｏ ｓ ＝ （ ，） １
÷，≤￡ ≤ｌ ０ ， ｓ
ｕ ㈤ ≥
。
证 设 ∈ ０ ］ ｃ， ≥ ，￡ ）（ ）ｓ 到 ∈ ０ ］ 明 ｙ Ｃ［１由 （ ） Ｏ （ Ｇ￡ ｙ） ｕ Ｃ［１ ，， ｔ ｓ ｕ） Ｊ ， （ ｓ 得 ，．
和算子
：— ，ｕ） Ａ Ｇ ，。ｓ ｕ ） ｝ （ ＝ Ｊ （ｓ ） （ ） ￡ ） ｔ） （ ｓ ，
显然 由 Ａ ｃｌ—Ａｚｌ 定 理的应用知 在 Ｋ上是全连续 的． ｓｏ ｉ ｒ ａ ｅ 令 Ｂ ＝｛ ∈Ｋ： ｕ ￣Ｒ｝证 明 一致收敛 于 Ｔ ， ｎ ｕ Ｐ Ｐ＜ ， Ａ （ — ） ． 事实上 ， 对于任意 ｔ ０，］ 对 于每个固定 Ｒ＞ ， ｕＥ ∈［ １ ， ０且 Ｂ ，
Ｇ ｌ — —） （睾： 二二 ｔ＿ 一 １ ０ｓ 一 ，） （
（ ） 果 ０＜ｔｔ≤ｓ ， ４如 ， ０ ＜１则
＝
≥ 二 ｌ） —（＿ （ １ ＿ ’ 一ｓ
≥ — ＋≥ 一 — １２。 １ ； 一‘ ２ 一 １
爷 等 ≥
，
＝
２
２
（ ） 果 ０＜ ０ ≤￡ ， ２如 ｔ≤ｓ ≤１ 则
（ １一ｔ ）
Ｇ，一 一 （ ｓ＝ 。一 一 ≥ （）（ 。 ） 一 （ ｓ ２ ） （ｔ ） ｓ ＿ ２一一 ） １
＝
１
ｔ
２
— —
２
（ ） 果 ０＜￡ ≤ ≤１ 则 ３如 ≤ｓ ，
Ｇ ）≥
≥
Ｇ ）≥ ｌ ｌｌ ｕ
因此 ， 对于 ｔ ０，） 我们有 ∈（ ０ ，
．
） Ｇ － ＿
㈤ ＝
证 明完 毕 ． 定义一个锥
＝
｛ ，：。 （；—— ｌｌ ｕ ［１。ｎ ￡；— ｌ１ ｃ ０］ ［ｕ） ＿ －ｕ） ｍ］ ｉ ， ！！ ： ｉ
关 于 非 线 ， 奇 异 三 阶 两 点 边 值 问 题 的 正 解 陛
郭 建敏
（ 山西 大同大学 ， 山西 大同 ０ ７０ ） ３０ ８
摘
要： 利用关于锥拉伸锥压缩的 Ｋａ ｏ ｌ ｉ不动点定理讨论 了非线性 奇异三阶 两点 ｒｓ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅｋ
ｒ” ｔ Ｍ ）＋Ａ （ ） Ｍ ｔ ） ＝０， ＜ｔ＜ １ （ ａｔ （） ０ ， 【 （ ）＝ Ｍ （ ） ＝Ｍ （ ） ＝０ Ｍ１ １ Ｏ ．
证 明 ： 引 理 ２ ２得 （ ＣＫ， 义 函 数 由 ． Ｋ） 定
是全连续 的．
卜（ ０ ≤ ） ｔ÷
。 ） ｌ （ —≤ ≤ 一 （≥ ） ： 。） ｌ ￡ １ — ｎ ２ （ ￡ ＿
ｌ ｎ ｎ
ｌ 一 ） 一 ≤≤ 。 ｔ （ １ １
利用关于锥拉伸锥压缩的Ｋａｎｓｓｉ ｒ ｏ ｌｉ不动点定理建立关于 Ｂ Ｐ １ １正解存在的 的区间． ｓ ｅｋ Ｖ （． ）
』 一 （ ： ，≤ （ ｙ ） ０ ≤ ） ０
Ｌ （ ） ＝ ｕ（ ） ＝ ｕ（ ） ＝ ０ ｕ１ １ ０ ．
（１ １） ．
ｕ） Ｊ （ｓ （ （ ） ｔ） ｓ ￡ ｃ ，ｙ）
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第 ５期
我 们 考 虑 Ｆ面 四种 情 形 ．
郭建敏 ： 于非线性奇异三 阶两点边值 问题 的正解 关
（ ） 果 ０＜ ≤￡ｔ≤１ 则 １如 ｓ ， ０ ，
（ １一ｔ ） Ｇ ｓ 一 （ ｔ） ＝ （ ） （ １一 ０ 一 １一 ）
设（ Ｉ ： ｕＩ证 ｔｓ。． ｕ ｘ（， 明寺 ≥亏 ，）（］ ：ｕ ｍ１） ａ ｔ先 ｌ ｌ ） ， ｔ １ ｏ
收稿 日期 ： ０ ２ ６—０ ０ ８—１ ４
作 者简 介 ： 郭建敏（９２ ， 山西大同 ， １ 一）女， ７ 人 山西大同大学 学与计算机科 学学院讲师， 数 从事微分工程研 究。
边 值 问题
的正 解 的存 在 性 ，其 中 是 一 个正 常数 ，得 到上 述边 值 问题 至 少存 在 一个 正解 的 的 区间．
关键 词 ： 正解 ； 非线 性 边值 问题 ； 不动 点 定理
中 图分类 号 ：０ ５ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：６ １—１９ ２０ ０ １１ １７ ４ １（０７） ５—０ １ ００—０ ５
和一个 积分算 子 ： —ｃ ０ １ ［ ， ］
由引理 １ １ ，Ｖ （ ． ） ． 知 Ｂ Ｐ １ １ 有一解 ｕ ｔ等价 于 ｕ是 的一个不动点． （）
我们 作以下假设 ： （ ） Ｈ１ ａ∈Ｃ （ １ ，０ ） 且 ０＜ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｄ ＜ ， （ ０，） ［ ， ） （ ，） （） ｓ （ ２，ＥＣ ［ ，］ ［ ， ） ． Ｈ ） （ ０ １ ，０ ） 由（ ） ＨＩ 知存 在 ｔ∈（ １ 使得 ａ ｔ）＞ ． ０ ０，） （。 ０ 引理 １ ３ 假设 （ ） Ｈ ） ． ＨＩ （ ２ 都成立 ， 则 ：
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忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ Ｈ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥＲ ＵＮＩ ＲＳＴ ＮＺ Ｅ Ｓ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ５ ０ｔ ０７ ｃ ．２ Ｏ
Ｉｕ） ｕ） Ｉ ｔ ［ｓ一 （Ｉｕ） （ 一 （ｌ Ｇ， 。）。ｓｆ（） Ｔ￡ ｎ ￡ Ａ （ｓ （ ）（ｓ Ｉ Ｊ ） ｃ
ｌ ｎ １
≤ ｃ ，ｌ ｓ一 （ ｌｕ） ．（ｓ 。）。ｓ ｕ） ．ｏ）。）。ｓ （） ｒ ｏ） （ 一 （ｌ （） ｒ ｓ （ ） ｓ （ ＋ ，ｌｓ ） ｓ ｃ
∞
：
｛ 二
一
≤
０≤ ｃ ｔｓ （，）≤ ｃ ｏ ｓ ＝ （ ，） １
÷，≤￡ ≤ｌ ０ ， ｓ
ｕ ㈤ ≥
。
证 设 ∈ ０ ］ ｃ， ≥ ，￡ ）（ ）ｓ 到 ∈ ０ ］ 明 ｙ Ｃ［１由 （ ） Ｏ （ Ｇ￡ ｙ） ｕ Ｃ［１ ，， ｔ ｓ ｕ） Ｊ ， （ ｓ 得 ，．
和算子
：— ，ｕ） Ａ Ｇ ，。ｓ ｕ ） ｝ （ ＝ Ｊ （ｓ ） （ ） ￡ ） ｔ） （ ｓ ，
显然 由 Ａ ｃｌ—Ａｚｌ 定 理的应用知 在 Ｋ上是全连续 的． ｓｏ ｉ ｒ ａ ｅ 令 Ｂ ＝｛ ∈Ｋ： ｕ ￣Ｒ｝证 明 一致收敛 于 Ｔ ， ｎ ｕ Ｐ Ｐ＜ ， Ａ （ — ） ． 事实上 ， 对于任意 ｔ ０，］ 对 于每个固定 Ｒ＞ ， ｕＥ ∈［ １ ， ０且 Ｂ ，
Ｇ ｌ — —） （睾： 二二 ｔ＿ 一 １ ０ｓ 一 ，） （
（ ） 果 ０＜ｔｔ≤ｓ ， ４如 ， ０ ＜１则
＝
≥ 二 ｌ） —（＿ （ １ ＿ ’ 一ｓ
≥ — ＋≥ 一 — １２。 １ ； 一‘ ２ 一 １
爷 等 ≥
，
＝
２
２
（ ） 果 ０＜ ０ ≤￡ ， ２如 ｔ≤ｓ ≤１ 则
（ １一ｔ ）
Ｇ，一 一 （ ｓ＝ 。一 一 ≥ （）（ 。 ） 一 （ ｓ ２ ） （ｔ ） ｓ ＿ ２一一 ） １
＝
１
ｔ
２
— —
２
（ ） 果 ０＜￡ ≤ ≤１ 则 ３如 ≤ｓ ，
Ｇ ）≥
≥
Ｇ ）≥ ｌ ｌｌ ｕ
因此 ， 对于 ｔ ０，） 我们有 ∈（ ０ ，
．
） Ｇ － ＿
㈤ ＝
证 明完 毕 ． 定义一个锥
＝
｛ ，：。 （；—— ｌｌ ｕ ［１。ｎ ￡；— ｌ１ ｃ ０］ ［ｕ） ＿ －ｕ） ｍ］ ｉ ， ！！ ： ｉ
关 于 非 线 ， 奇 异 三 阶 两 点 边 值 问 题 的 正 解 陛
郭 建敏
（ 山西 大同大学 ， 山西 大同 ０ ７０ ） ３０ ８
摘
要： 利用关于锥拉伸锥压缩的 Ｋａ ｏ ｌ ｉ不动点定理讨论 了非线性 奇异三阶 两点 ｒｓ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅｋ
ｒ” ｔ Ｍ ）＋Ａ （ ） Ｍ ｔ ） ＝０， ＜ｔ＜ １ （ ａｔ （） ０ ， 【 （ ）＝ Ｍ （ ） ＝Ｍ （ ） ＝０ Ｍ１ １ Ｏ ．
证 明 ： 引 理 ２ ２得 （ ＣＫ， 义 函 数 由 ． Ｋ） 定
是全连续 的．
卜（ ０ ≤ ） ｔ÷
。 ） ｌ （ —≤ ≤ 一 （≥ ） ： 。） ｌ ￡ １ — ｎ ２ （ ￡ ＿
ｌ ｎ ｎ
ｌ 一 ） 一 ≤≤ 。 ｔ （ １ １
利用关于锥拉伸锥压缩的Ｋａｎｓｓｉ ｒ ｏ ｌｉ不动点定理建立关于 Ｂ Ｐ １ １正解存在的 的区间． ｓ ｅｋ Ｖ （． ）
』 一 （ ： ，≤ （ ｙ ） ０ ≤ ） ０
Ｌ （ ） ＝ ｕ（ ） ＝ ｕ（ ） ＝ ０ ｕ１ １ ０ ．
（１ １） ．
ｕ） Ｊ （ｓ （ （ ） ｔ） ｓ ￡ ｃ ，ｙ）
维普资讯
第 ５期
我 们 考 虑 Ｆ面 四种 情 形 ．
郭建敏 ： 于非线性奇异三 阶两点边值 问题 的正解 关
（ ） 果 ０＜ ≤￡ｔ≤１ 则 １如 ｓ ， ０ ，
（ １一ｔ ） Ｇ ｓ 一 （ ｔ） ＝ （ ） （ １一 ０ 一 １一 ）
设（ Ｉ ： ｕＩ证 ｔｓ。． ｕ ｘ（， 明寺 ≥亏 ，）（］ ：ｕ ｍ１） ａ ｔ先 ｌ ｌ ） ， ｔ １ ｏ
收稿 日期 ： ０ ２ ６—０ ０ ８—１ ４
作 者简 介 ： 郭建敏（９２ ， 山西大同 ， １ 一）女， ７ 人 山西大同大学 学与计算机科 学学院讲师， 数 从事微分工程研 究。
边 值 问题
的正 解 的存 在 性 ，其 中 是 一 个正 常数 ，得 到上 述边 值 问题 至 少存 在 一个 正解 的 的 区间．
关键 词 ： 正解 ； 非线 性 边值 问题 ； 不动 点 定理
中 图分类 号 ：０ ５ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：６ １—１９ ２０ ０ １１ １７ ４ １（０７） ５—０ １ ００—０ ５