一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性
一类非线性三点边值问题单调递增正解的存在性
２１ ０ ０年 ４月
德 州 学 院 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＤｅ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ
Ｖ０ ． ６， ． １ ２ Ｎｏ ２
Ａ ｐ ．， ０１ ｒ ２ ０
一
类 非 线 性 三 点 边 值 问题 单 调 递 增 正 解 的 存 在 性
其 中 ０ ＜ １ Ｏ ＜ ． ＜７ ，＜ａ
０ 引 言
文献 ［ ］ 一步 考 察 了 问题 （ ） ， 过 锥拉 伸 ３进 ３式 通
本文 的 目的是考 察下列 非线 性三点 边值 问题 的
正解存 在性
ｆＵ ｔ ＋ ｆ ｔ “ （） 一０， ｕ（） （， ￡） ０ ｆ １
子．
若 存 在 ｔ∈ Ｌ ， － 得 （ｏ ＞ ０ 则 ／ ￡ ＞ ０ ｔ ｏ １Ｊ 使 ｔ） ， ， ） ｔ （ ，
∈Ｅ ，］ ｏ １．
证明
根据 引理 ｌ及引 理 ２易 得 ｒ ｃ ｏ １ ） （ Ｅ ，］
证 经 单 证“） ｊ （ｓ（ｄ＋ 明 简 验 （ 一ｒ ）ｓｓ 。， ） １ Ｇ
２ ３
Ｉ ． ， ｆ ｆ＋ Ｓ Ｓ
１一
≤ １ （ ） ６
（ ） 的单 调 递增 正解 当且仅 当 “是 丁在 Ｃ ｏ １ １式 ＬＥ ， ］
中的不动 点．
Ｇ（ ， ｆ ）一 ｆ ｔ
【 一 １
０ Ｚ
≤１
引理 ３ Ｔ： Ｌ ， ］ Ｃ ｏ １ 是 全 连 续 算 Ｃ ｏ １ 一 Ｅ ， ］
郭 秋 生 ， 月亮。 梁
（．石 楼 中学 ，山 西 吕 梁 １ ０ ２ ０ ；．中 北 大 学理 学 院数 学 系 ，太 原 ３５０２ ００ ５ ） ３ ０ １
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理武晨;王全祥【摘要】考虑了一个三阶三点边值问题正解的存在性,通过利用Leray-Schauder 不动点定理得到了一个新的正解存在性结果.方法进一步改进和推广了已有的结果.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)002【总页数】5页(P95-99)【关键词】Leray-Schauder不动点定理;三阶三点边值问题;正解【作者】武晨;王全祥【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院,基础课程教学部,江苏南京 210019;南京农业大学工学院,江苏南京 210095【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言由于非线性三阶边值问题在生物工程、物理等领域的广泛的应用,对非线性三阶边值问题的研究一直是众多学者关注的热点,由此得到了许多三阶边值问题正解的存在性结果[1-10]．其中文[4]研究了如下的一个三阶三点边值问题(1)其中假设函数f满足条件:(C1) f∈C([0,+∞),[0,+∞));(C2) a(t)∈C([0,1],[0,+∞)),且在[τ,1]上a(t)不恒为0,其中τ为区间[0,1]上的任意实数.记假设：(i) f0=0且f∞=∞(超线性)；(ii) f0=∞且f∞=0(次线性)成立;则边值问题(1)至少存在一个正解．本文将利用Leray-Schauder不动点定理,在弱化文[4]中的条件下,得到边值问题(1)正解的存在性．1 预备知识引理1[4] 设边值问题(1)有唯一解其中引理2[4] 对任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.引理3[4] 令则对任意的(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中为任意常数．由引理3易得引理4[11](Leray-Schauder不动点定理) 假设X是Banach空间,T:X→X是全连续算子,如果存在R>0,对于λ∈(0,1),满足u=λTu,都有‖u‖≤R恒成立,则T有一个不动点．2 主要结果考虑Banach空间X=C[0,1],赋予范数定义算子定理1 假设 (C1),(C2)成立,若f0=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f0=0可知存在常数R1>0,使得当0<u(t)≤R1时,有f(u)≤εu(t)成立．令则K1是X中的凸子集,对于任意的u∈K1,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R1.因此TK1⊂K1,容易验证T:K1→K1是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R1,所以‖u‖≤R1．从而根据引理4可知,T在K1中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注1 定理1相比文[4]中弱去了条件f∞=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理2 假设 (C1),(C2)成立,若f∞=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f∞=0可知存在常数N>0,使得当u(t)>N时,有f(u)≤εu(t)成立．取令则K2是X中的凸子集,对于任意的u∈K2,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知≤从而‖Tu‖≤R2.因此TK2⊂K2,容易验证T:K2→K2是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R2,所以‖u‖≤R2．从而根据引理4可知,T在K2中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注2 定理2相比文[4]中弱去了条件f0=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理3 假设(C1),(C2)成立,若存在常数R3>0,使得当0<u≤R3时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明令则K3是X中的凸子集,对于任意的u∈K3,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R3.因此TK3⊂K3,容易验证T:K3→K3是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R3,所以‖u‖≤R3．从而根据引理4可知,T在K3中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．定理4 假设 (C1),(C2)成立,若存在常数N>0,R4>0,使得当u≥N时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明取令则K4是X中的凸子集,对于任意的u∈K4,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知从而‖Tu‖≤d,因此TK4⊂K4,容易验证T:K4→K4是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤d,所以‖u‖≤d.从而根据引理4可知,T在K4中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．3 应用示例例1 考虑非线性三阶边值问题(2)易得所以根据定理1可知上述边值问题(2)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f∞=∞的情况,因此根据文[4]的结论并不能得出边值问题(2)正解的存在性结果．例2 考虑非线性三阶边值问题(3)易得所以根据定理2可知上述边值问题(3)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f0=∞的情况,根据文[4]的结论并不能得出边值问题(3)正解的存在性结果,因此本文的结论更具一般性．参考文献：【相关文献】[1] Du Z J, Ge W G, Lin X J. Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary problems[J]. J Math Anal Appl, 2004, 294(1):104-112.[2] Feng Y Q, Liu S Y. Solvability of a third-order two-point boundary value problems[J].Appl Math Lett, 2005,18(9):1034-1040.[3] Yao Q L, Feng Y Q. The existence of solutions for a third-order two-point boundary problems[J]. Appl Math Lett, 2002, 15(2):227-232.[4] 郭丽君. 三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 兰州文理学院学报(自然科学版),2016,30(1):1-5.[5] Feng X F, Feng H, Bai D L. Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem[J]. Appl Math Comp, 2013,219(18): 9783-9790.[6] 刘瑞宽. 一类奇异三阶两点边值问题正解的存在[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):482-486.[7] 高婷,韩晓玲. 三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J]. 四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[8] 武晨. 非线性二阶三点边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 淮阴师范学院学报(自然科学版),2015,14(4):1-4.[9] 武晨. 一类三阶边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 南通大学学报(自然科学版),2017,16(2):87-89.[10] 程德胜,武晨. 一类三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 华侨大学学报(自然科学版),2017,38(1):127-130.[11] 武晨. 限区间上p-Laplacian方程解的存在性[J]. 长春师范大学学报(自然科学版),2015,34(10)1-4.。
一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性
一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性王彩勋【摘要】利用乘积锥上的不动点指数定理,研究了一类三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性.【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2016(015)015【总页数】2页(P58-59)【关键词】三阶微分方程组;乘积锥;不动点指数;正解【作者】王彩勋【作者单位】青海大学基础部【正文语种】中文三阶微分方程在应用数学和物理学的不同领域得到了广泛应用,但关于三阶微分方程组的研究并不多见。
文献[1]研究了当f是超线性或次线性的情况下, 三阶微分方程三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=(0),u′(1)=au′(η)至少存在一个正解。
本文进一步研究三阶微分方程组三点边值问题：正解的存在性。
文中总是假设下面条件成立：(H0)0<η<1，0<aη<1,ai∈C((0,1),R+)且满足:0<ai(t)dt<+∞,fi∈C([0,1]×R+×R+,R+),R+=[0，+∞),i=1,2方程组(1)中一个方程的非线性项是超线性的,另一个的是次线性的, 通过构造新的Green函数, 利用乘积锥上的不动点指数定理解决三阶微分方程组三点边值问题正解的存在性。
由文献[2]中非线性项的定义得到启发, 给出如下定义。
定义1如果fi,i=1,2满足：关于v+∈R+一致成立,则称1关于u在原点是超线性的,2关于v在原点是次线性的。
定义2如果i=1,2满足:关于v∈R+一致成立,关于u∈R+一致成立,则称2关于u在无穷远处是超线性的,2关于v在无穷远处是次线性的。
若1关于u在原点和无穷远处均是超线性的, 称1是超线性的；若2关于在原点和无穷远处均是次线性的, 称2是次线性的。
记E=C[0，1],取‖u‖|u(t)|, 则E是Banach空间。
当k≥2时定义K为：则K是E中的锥。
一类非线性三点边值问题正解的存在性
｛∈
［ ，］ ｌ ｌ＜ ｄ） ０ １ ：ｌ ｌ ．
其中寺 ＜ 叩 １０ ａ １，满足： ＜ ，＜ ＜ ，
厶 。
１ 引理 设 定
引理 １ ［ 设 Ｘ为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， ｎ为 Ｘ 的一 个
（ ） Ｈ。 ，∈ Ｃ ［ ，３× ［ ， 。 ） ［ ， Ｃ ） ； （０ １ Ｏ ＋ 。 ，Ｏ ＋ × ） 。
（ ）一 （ ） ￡ （ ）一 删 （ ） （ Ｏ １ ， ）一 ０， （ ）＝ ０ １ （） ３ （） ４
Ｂ （ ）２ ＶＰ １ （ ）存在惟 一 非平 凡正解 的充 分条 件．
本文所 研 究 的 空 间 为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ｃ ｏ １ ， ［ ，３ 其 中范 数为 ｌ Ｉ＝ ｍａ （）Ｉ Ｉ ｌ Ｕ ｘｌ ￡ ．
（ ） 在ｔ Ｈ， 存 。∈ ［ ， ］ 使得 ｆ ｔ，）≠ ０ Ｏ１ ， （。 ０ ．
文献［— ］ １ ４ 以及其 中所 引用 参考 文献 对非 线性 边 值 问题正解 的存 在 性 作 了 大量 的研 究 ． 在文 献 ［ ３
—
有界 开子 集 ， 且 ∈ｎ， Ｆ： 若 ｎ— Ｘ 为一个 全连续 算 子 ， ： 么存在 Ｕ∈ 则 要 及 ＞ １ 使得 Ｆ（ 一 Ａ ， ） ｘ，
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｂｙ ｕｓｎｇ ｔ ｒ ｙ — Ｓｃ ａ ｅ ｏ ｉ ｅ ｒａ ｔ ｒ ａ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｒ ｅ ｔｅ ｆＧｒ ｅ ｕ — ｉ ｈｅ Ｌｅ ａ ｈ ｕｄ ｒ ｎ ｎｌｎ ａ ｌｅ ｎ ｔｖ ｎ ｈｅ ｐ ｏｐ ｒ ｉｓ ｏ ｅ ｎ ｆ ｎｃ ｔｏ ｉ ｎ，ａ ｄ ｃ ｓｄｅ ｉ ｇ ｔ ｒ ｐｅ ｔ ｆｎ ｌｎｅ ｒｔ ｏ ｏｕ ａ ｙ ｓ ｔ ｕ ｆｃ ｅ ｏ ｉｉ ｏ ｎ ｏｎ ｉ ｒ ｎ ｈｅ ｐ ｏ ｒ ｙ ｏ ｏｎ ｉ ａ ｉｙ ｏｎ ｓ ｍｅ ｂ ｎｄ ｒ ｅ ，ａ ｓ ｆ ｉｉｎｔｃ ｎｄ ｔｏｎ ｆ ｒ
一类非线性三阶边值问题正解的存在性
（ ）ｏ４ ｆ＜ ２， ＨＥ ｆ ０， １ ＞ －
则ＢＰ １ Ｖ ０． 至少 存在一个正解 ． ）
由定理 １ 还可得到
取ｘｃ） 义Ａ — ＝Ｉ （定 ： 为Ａ＝。（ｆ （ ｓ ， ， Ｘ ｕＪ ｔ（ ｓ ， Ｘ则Ａ Ｃ，ｓ ） ｕ ｓ， ｌ ｅ ）ｕ ｄ
的不动点就是积分方程 的解． １（． 式， ￣ ２１ 易得 ｔ ） 引理 １Ｇ １） （ｓ有如下性质： ＇
【 （）ｕ（＝ ’）０ ｕ０ ’）ｕ（ ＝ ， ＝ ０ １
其 中， ： ×Ｒ＋ 为连续函数． ｆＩ ．Ｒ 受文［卜［】 ４ ５的启发， 应用指数 不动点定理代替锥拉伸与锥压缩不动点定理， 获得 了正解 的 存在性结果。 并且在非线性项的增 长限制上更加精确 ．
为了方便介绍， 先引入以下记号：
其 中 ｆ＋ ＝ｉ 。 （ ／ ， Ｂ Ｐ１２至少 存 在一 个正 （ ）ｌ ｍ ｆｕ ｕ 则 Ｖ （． ）） ）
解． ２ 准 备 工作 和 主 要 结 果证 明
ｆ ｌ ｉ ｍｉｔ ｌ 【ｕ／）ｏ］ ｓｐ ｍａｔ ｌ （ｕ／） ｏｉ ｎ ＝ ｍ Ｉｅ 】 ｔ ） ，－ｉ ｕ ｌｎ（ ’ ｕ ｆ ｍ ｆ ｘ ｎｌ ｔ ） ， ｓ （ ， ｕ ｆ
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第１ 第２ （０ ２ 卷 期 ２７ ０）
寸 Ｉ拒 青离 孑 牛
Ｖ１ ．２７ ｏ ２ｏ（０ ． Ｎ ２０ ） １
一
类非线性三 阶边值 问题 正解 的存在 性
魏 晋 滢
（ 西北师范大学 ， 甘肃兰州 ７ ０７ ） ３００
摘
要 ： 了三阶常微分方程边值 问题 讨论
把定理 １ 应用到问题
三阶微分方程在天文学 、 流体力学等学科 的研究 中有 着
广泛 的应用． 因此， 其解的存在性受到广泛 的关 注， 见文【卜【】 １ ３． 本文考察 了如 下的三阶常微分方程边值 问题： Ｉ［。 ， 设 ＝ｏ１ 】
三阶非线性方程三点边值问题的存在性
三 阶 非 线 性 方 程 三 点 边 值 问题 的存 在 性
王 国灿
（ 大连交通大学 理 学院， 辽宁 大连 １６ ２ ） １０ ８
摘
要： 研究 了三阶非线性方程的一类三点边值 问题 ， 利用 Ｖ ｌ ｒ 型积分算子和微分不等式理论 ， ｏｅ ａ ｔｒ 得到 了
解 的 存 在 性 和 唯 一性 ．
（ ） ｕ １ ＝ （ ） （） “ ｔ 一１ ， （ ） １ ， ｔ ≤ （）≤ 卢 ｔ （）的解
ｕｔ （）即为边值 问题 （ ） 一 （ ）的一个解 ． ３ ４
下面， 虑 Ｏ 考 ／ １ ＜ （一１ （一 ） ）的 情 形．让
ｔ
其中， Ｔ ］ｔ＝ （） ｔ ） （） ｓ ｔ ［ｕ （） ￡＋Ｊ（， “ｓ ｄ， ）∈ Ｓ （
到 “ｔ （）∈Ｑ（ 一１ ） 出 ｕ （ ）≤／ （ ）≤ （ ） 推 一１ ３ 一１
（ ）≤ （ ）所 以 ｈ ／（ ）“（ ） １ １， （Ｊ 一１ ， １ ）≤ ０ 类 ／ ． 似地 ， ／ ｔ （ 一１ ） 又推 出 ｕ（ ）≥ 对 ｄ ）∈ （ ） ， ， （ 一１
（ ） ， ｔ 是方程（ ） ３ （ ） （ ） ３ 的上下解 ， ０ 且 ［ ）≤ （ （） ，一１≤ ｔ≤ １ 同时 ， Ｏ 一１ ： （ ） （ ）＝ （ ） ／ （ ） １ ， 一１ １ ，
注ｎ ］本文考虑一类特殊的三点边值问题 ： ４．
＝
．
厂ｔ ，” （， ， ）
Ｉｔ ／ ）≤ ／ ￡ ，一１≤ ￡ １ ， （ ３ ） （ ≤ ．
利用 Ｖ ｌ ｒ 型 积分算 子 把 三 阶边值 问题 转 化 为 ｏｅｒ ｔ ａ 二 阶边值 问题来 处理 ， 到 了解 的存 在性 ． 得 这种技
一类三阶微分方程正解的存在性
（ ２ １
一
有唯一解， 其中：ｕ ） （ｓ （ｄ， （＝ｆ ｔ ） ｓ ｓ 而当０ ≤ 时，Ｇｆ ） ｔ ｉ｛， 一 ２ ｔ Ｇ ，ｙ ） ｔ １ （ ： ｍｎ， ｝ ｆ ；当０ ， ７ ／
ｔ 时， １
Ｇ ｔ ） ｍｉ｛，｝ ／ 一 ２ 注：通过计算，可直接得到０ （Ｓ≤ （，） ｔ ，０ ≤ ） （ Ｓ＝ｔ ｎｒＳ＋ ２ ｆ （ ， ／ ／ Ｇｔ ） Ｇ ，０ １ Ｓ １． ， 引理 ２ ：假设 ０ ＜／ ＜ １ ２，对任意的 ｙｔ ，］ （ｅＣ ［ １都有边值问题（） ） ０ ２的唯一解 甜ｆ满足 ｕｔ （ ） （ ０，并且 ）
关键 词 ：边值 问题 ；正解 ；不动 点定理 中图 分类 号 ：Ｏｌ５４ ７ ． 文 献标 志码 ：Ａ 文 章编 号 ： １ ７ — ３ ６２ １） ６ ０ ９ — ２ ６ ４ ３ ２ （０ １ ０ — ４ ６ ０
Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆＰｏ ｉｉ ｅＳ ｌ ｔｏ ｆａ Ｔｈ ｒ ｒ ｒＤｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｕａ ｉ ｎ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉ ｄ Ｏ ｄｅ ｆｅ ｅ ｔａ Ｅｑ ｔｏ
并 得 ｊ 了正解 的存 在性 ，其 中 ＞０，，∈［ ２ １ ， ａ ｝ ｛ ７ １ ，） ／ ∈Ｃ（ ，）［，ｏ） （ １ ０ ｏ） 厂∈Ｃ（ ，］［，ｏ ． ０ ， ［ １ ０ ｏ） ０ ， ）
（ １ ） 一
１ 一 些 引 理
首先， 约定 本文使 用 的符 号 如下 ：Ｃ［ ， ］是 Ｂ ｎ ｃ 间 ， ０１ ａａｈ空 其上 的范 数 ｌ ａ ｌ （） ，Ｃ ０ １ ＝ ｌ “ ｆｌ ［ ， ］ ＝ｍ ， ｘ
ＬＩＣｈｕ — ａ ｎｙ ｎ
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ａ ｅ ｔ ｓ Ｘｉｘａ ｇＵ ｉｅｓ ｙ Ｘ ｎ ｉｎ ５ ０ ３ Ｃｈｎ ） Ｄｅａｔ ｔ ｔ ｍａｉ ， ｎ ｉｎ ｎｖ ｒｉ ， ｉｘａ ｇ４ ３ ０ ， ｉａ ｍｅ ｏ Ｍ ｈ ｃ ｔ
非线性三阶三点边值问题系统的正解
女 Ⅱ 果（ ， ） ∈Ｃ ａ （ ［ ０ ， １ － １ ， Ｅ ０ ， ｏ ｏ ） ） ×Ｃ ａ （ Ｅ ０ ， １ ］ ， Ｅ ０ ， 。 。 ） ） 满足系统（ １ ） 中的微分方程 和边界条件 ， 则
称（ 甜 ， ） 为 系统 （ １ ） 的解．若 （ ， ） 为 系统 （ １ ） 的解 ，
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａｎ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ － ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ — —
非 线性 三阶三点边值 问题 系统，给 出其至少存在一个正解 的充分条件 ，所用 的主要工具是不动点指数理论．
关键词 ：三阶三点边 值 问题 ；系统；正解 ；存在 性；不动点指数
中图分类号 ： ０１ ７ ５ 文献标志码 ： Ａ
Ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ ａ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ ｎｏ ｎｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｔ ｈｉ ｒ ｄ － ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ
第４ ３ 卷 第 ４期 ２ ０ １ ７ 年 ８月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ １ ． ４ ３ Ｎｏ ． ４ Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ７
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ３ — ５ １ ９ ６ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４ — ０ １ ５ ０ — ０ ４
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（ ） ＥＣ ［ ，］［ ， ）且不恒为零． Ｈ２ ａ （Ｏ １ ，Ｏ ＋∞ ）
提的是 ， 不仅获得边值问题 （ ， ） １ ２ 正解（ 非平凡的
１ 预备 引理
引理 １ ３ 设 ａ ≠ １ 则对于 任意给定 的 ｈ ［ ６ ， ∈ ｃ ｏ１ ， ［ ，３ 边值问题
、
ｑ ａ ｉｎ ｗａ ｔ ｄｅ ｙ ｕ ｉｇ ｍ ｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ Ｎｏ ｎｙ ｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｏ ｉ ｖ ｏｕ ｉｎ ｗａ ｕ ｔ ｓｓｕ ｉｄ ｂ ｓ ｎ ｔｎ ｃｉｅａ ｉ ｔ ｏ ． ｏ ｎ ｏ ｔｏ ｌ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓ ｉ ｏ
ｎ） ａ
Ａｂ ｔａ ｔ ｌｓ ｆ ｏ ｌ ｅｒｔｒｅｐ ｉｔ ｏ ｎ ａｙ ｖｌｅｐ ｏ ｌｍ ｆ ｈｒ－ｒ ｅ ｒｉａｙ￣ｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｓｒ ｃ ：Ａ ｃａｓｏ ｎｉ ａ ｈ ｅ －ｏｎ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂｅ ｏ ｉ ｏ ｄ ｒｏｄｎ ｒ ｌｆｒ ｎ ｉ ＿ ｎ ｎ ｂ ｔ ｄ ｉ ａ
一
类非线性三阶三点边值 问题正解 的存在性
孙建平 ，曹
（． １ 兰州理工大学 理学院， 甘肃 兰州
珂
７０ １ ） ３ ０ ０
７０５ ； ． ３ ０ ０ ２ 甘肃联合大学 师范学院 ， 甘肃 兰州
摘要： 运用单调迭代 法研 究一类非线性三 阶常微分方程三点边值问题， 不仅获得其正解 的存在性， 还给 出正解的两
工具的． 譬如 ， ６考虑如下三阶三点边值问题 文［］
（） ￡ ＋口（）厂 （） ＝０ ｔ （ ￡） （） Ｏ 一 （ ） ０ 一Ｏ ｔ （ １ Ｅ Ｏ， ） （） １ （） ２ Ｕ （ ） 口 （） ｔ １ ＝ １ ７
式 中 ： ＜ ｒ １ １ ａ １ 通 过 运 用 Ｇｕ ０ ／ ，＜ ＜ ／ ＜ Ｋｒｓ ａ—
｛）。 （ ）。 与 分别收敛 于 Ｔ 的不动点 口 ｗＥ ，
， ｏ． ｗ］ 全文 假设 下述条 件成 立 ：
（ ）ｆ （Ｏ ＋ｏ）［ ， ｏ） Ｈ１ ∈Ｃ ［ ， ｏ ，０ ＋ｏ） ；
ｎ ｓｌ ｉ ｏｅ ｋｉ ｓ 不动点定理 ， 在非线性项满足超线性或次 线性的条件下得到边值问题 （ ， ） １２ 至少一个正解 的 存在性结果． 本文运用单调迭代法研究边值 问题 （ ，）值得 １２．
ｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｗａ ｅ ｏ ｆ ｎ ｔ ｎｏ ｉｅ ｒｆ ｎ ｔｏ ． ｔｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｓｚ ｒ ｕ ｃ ｉ ｒｌ ａ ｕ ｃｉｎ ｏ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌｅｐ ｏ ｌｍ ；ｐ ｓｔ ｅｓ ｌ ｔ ｎ ｘｓｅ ｃ ；ｍｏ ｏ ｏ ｉ ｔｒ ｔｏ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ；ｅ ｔ ｎ ｅ ｖ ｏ ｉ ｎ ｔ ｎｃｉｅａ ｉｎ ｍｅｈ ｄ
三阶微分方程起源于应用数学和物理学 的各种 不同领域， 例如， 带有固定或变化横截面的屈 曲梁 的 挠度 ， 三层梁 ， 电磁波 ， 地球引力吹积的涨潮等［． ¨ 近 来， 三阶三点边值问题正解 的存在性受到人们 的高 度重视［ 但现有文献大多是以各种不动点定理为 ２ － 引，
工具是下面的定理 ： 定理 ｌ。 设 Ｋ 是 Ｂ ｎｃ 间 Ｅ 的一 个 正规 ［ ］ ａａｈ空 锥且 ≤ ． 。 假定下述条件满足： （１ ａ）Ｔ： ， ］ Ｅ是 全连续 的； ａ）Ｔ在 ［ 一 （ｚ ［ ， ］ 上是单调递增的；ａ）Ｏ 是 的下解 ；ａ） （３ ＂ ０ （ ４ Ｗｏ Ｔ的上解 ． 是 若 构造 一 Ｔ ～ ，Ｏ — Ｔ 一 ，ｔ ｌ ２ ３ … １＂ｎ ｗ．１７ ， ， ， Ｃ ＂ — 则 有 ≤ ≤ … ≤ ≤ …≤ ≤ … ≤ ≤ ＷＯ且
ｏ ｔ ｉｅ ｕ ｗｏｉｅａ ｉｅｓ ｑ ｅ ｃ ｓｏ ｏ ｉｉｅｓ ｌ ｔ ｎ ｗｅ ｅａｓ ｉｅ ．Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｈ ｉｉｌ ａｕ ｆ ｈ ｂ ａｎ ｄｂ ｔ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｕ ｎ ｅ ｆｐ ｓｔ ｏｕ ｉ ｒ ｌｏ ｇｖ ｎ ｔ ｖ ｏ ｒｏ ｅ ，ｔ ｅｉ ｔ ｌ ｅｏ ｅ ｎ ａｖ ｔ
个迭代序列， 并且迭代序列的初值是零 函数或 一次 函数． 关键词 ：边值 问题 ；正解 ； 存在性 ；单调迭代 法
中图分类号 ： ７ Ｏ１ ５ 文献标识码 ： Ａ
Ｅｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｌｓ ｆｎ ｎｌ ａ ｈ ｒ － ｒ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉ ｅｓ ｌ ｔｏ ｆ ｒ ａ ｃａ ｓｏ ｏ ｉ ｒ ｔ ｉｄ ｏ ｄ ｒ ｎｅ
第３ ６卷 第 ２ 期 ２１ ０ ０年 ４月
兰州理源自工大学学
报
Ｖｏ ６ Ｌ３ Ｎｏ ２ ．
Ａｐ ． ０ ０ ｒ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａ ｚ ｏ ｉｅ ｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆ ｏＬ ｔ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ
文章 编 号 ：１ ７－１ ６２ １） ２ １ ３ ２ ６ ３５ ９ （０ ００ － ２ － Ｏ ０
ｔ ｅ － ｏ ｎ ｏ ｎ ｒ ａ ｕ ｏ ｌｍ ｓ ｈｒ ｅ ｐ ｉ ｔ ｂ ｕ ｄａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐｒ ｂ ｅ
Ｓ ＵＮ ｉｎｐｎ ＡＯ Ｊａ － ｉｇ ，Ｃ Ｋｅ＇
（ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ｉ ｃ ， ｍｈ ｕ Ｕｎｖ ｆ ｅ ｈ ，Ｌ ｎ ｈ ｕ ７ ０ ５ ， ｉａ ．Ｎ ｒ ｌ ｏｌｇ ， ｎ ｕ Ｌａ ｈ ｉ． ￣ ｈ ｕ ７ ０ １ ， ． １ ｃ ｏ ｌ ｅ ｅ Ｌａ ｏ ｉ．ｏ ｃ ． ａ ｚ ｏ ３ ０ ０ Ｃｈｎ ；２ ｏ ｍａ ｌ ｅ Ｇａ ｓ ｉ ｅ ｏＳ ｎ ｃ Ｔ Ｃ ｅ ｎ Ｕｎ ｖ ，Ｌ ｏ ３ ０ ０ ａ