三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性
第３３卷第３期 ２０１２年６月 大 连 交 通 Ｊ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬＩＡＮ 大 学 学 报 ＪＩＡＯＴＯＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０１２
文章编号：１６７３—９５９０（２０１２）０３—００８６—０４
三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性
王国灿
（大连交通大学理学院，辽宁大连１１６０２８）
摘要：利用积分算子和微分不等式技巧，研究了三阶微分方程非线性三点边值问题，得到了解的存在性 与唯一性． 关键词：三阶微分方程；非线性三点边值问题；存在性与唯一性；微分不等式
文献标识码：Ａ
０ 引言
在理论上有重要意义，而且在流体力学中有
重要应用的三阶非线性常微分方程三点边值问
题，文献［１—４］已作过一系列研究，但以往的工作
仅局限于特殊的非线性方程与Ｒｏｂｉｎ边值问题下
讨论过，尤其是解的唯一性，至今只有为数不多的
几篇论文［１，３］．本文利用微分不等式技巧，考虑
更一般的三阶非线性三点边值问题
ｍａ．．厂（ｔ， ， ， ） （１）
ｘ（ｏ）：Ａ， （一１）＝曰，ｇ（ （１）， ”（１））＝０（２）
我们将在通常意义下研究方程（１）之满足非
线性边值条件（２）的解的存在性，唯一性．
１ 辅助引理
考虑一类Ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分微分方程的非线性
边值问题
／／，”＝－厂（ｔ，Ｔｕ，Ｍ，ｌＺ ） （３）
ｕ（一１）＝Ｂ，ｇ（ｕ（１），ｕ （１））＝０ （４） ，ｔ 式中，［ ］（ｔ）＝ （ ）＋Ｉ Ｋ（ｔ，ｓ）ｕ（ｓ）ｄｓ，Ｋ（￡， ） 、 ＪＵ 于［一１，１］×［～１，１］上连续非负， （ｔ）于［一１，
１］上连续． 定义１如果存在函数 （ｔ）和Ｏｌ（ｔ）∈Ｃ２［一１，
１］，使得Ｏｌ（ｔ）≤ （ｔ）， （ｔ）≤ ｔ，［ ］（ｔ），
（ｔ）， （ｔ）），ＯＬ”（ｔ）≥Ｉ厂（ｔ，［ ］（ｔ），Ｏ１． （ｔ），
Ｏｌ （ｆ）），则称 （ｔ）和 （ｔ）为方程（３）的上下解．
引理１假设 （１）ｌ厂（ｔ， ，“，Ｗ）∈Ｃ（［一１，１］×Ｒ ），且在
［一１，０］上关于 单调不减，在［０，１］上关于 单
调不增；
（２）方程（３）满足Ｎａｇｍａｏ条件 ；
（３） （ｆ）， （ ）是方程（３）的上下解，且Ｏｔ（ｔ）≤
（ｔ），一１≤ｔ≤１，同时满足Ｏ／（一１）≤Ａ≤
（一１）， （１）≤Ｂ≤ （１）
则边值问题 ”：ｌ厂（ｔ，Ｔｕ，ｕ，ｕ ），１１，（一１）＝
Ａ，Ｍ（１）＝Ｂ有解 （ｔ）∈Ｃ ［一１，１］，且满足
Ｏｔ（ｔ）≤ｕ（ ）≤ （ｔ），一１≤ｔ≤１．
证明利用文献［３］定理４的方法易知结论
为真．
引理２假设
（１）引理１中的（１），（２）条件成立；
（２）ｇ（ ，ｒ１）∈Ｃ（Ｒ ），且ｇ（ ， ）对固定的
关于 单调不减；
（３）方程（３）有上解 （ ）和下解 （￡）满足
ｇ（Ｏｔ（１），Ｏｔ （１））≤０，ｇ（ （１），／３ （１））≥０，
＾ （一１）≤Ｂ≤ （一１）
则边值问题（３），（４）有解“（ｔ），使得ＯＬ（ｔ）≤
“（ ）≤ （ ），一１≤ｔ≤１．
证明 首先当Ｏ／（１）＝ （１）时，由Ｏｔ（ｔ）≤
（ｔ），又得Ｏｔ （１）≤卢 （１），又由（３）知 （１）≤
Ｏ／ （１），即有Ｏ／ （１）： （１），则边值问题“”＝
收稿日期：２０１１．０８—２６ 作者简介：王国灿（１９６３一），男，教授，硕士，主要从事常微分方程的边值问题的研究 Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｇｅ＠ｄ１．ｃｎ．
第３期 王国灿：三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性
－，＜ｔ，Ｔｕ，“， ），“（１）＝ （１），“（一１）＝Ｂ在［一１，
１］上满足ｏＬ（ｔ）≤Ｍ（ｔ）≤／３（ｔ）的解即为所求．
其次考虑 （１）＜ （１）时的情形．
根据引理１知边值问题 ＾ ｕ ＝－厂（ｔ，Ｔｕ， ， ），ｕ（１）＝ｏｔ（１），Ｍ（一１）＝Ｂ
有解，任取其一记为 。（ｔ），显然 （ ）≤ｏＬ。（ｔ）≤
／３（ｔ），于是ｏＬ （１）≥ 。（１），由条件（２）得
ｇ（ｏＬ。（１），ｏＬ 。（１））≤ｇ（ （１）， （１））≤０
如果上式等式成立，则％（ｔ）便是（３），（４）的解．
否则考虑边值问题
＾ ｕ”＝ ｔ，Ｔｕ，“，ｕ ），“（１）＝／３（１），ｕ（一１）＝Ｂ
又由引理１，此问题有解，并任取其一记为
／３ｏ（ｔ）， 有 ｏ（ｔ）≤／３ｏ（ｔ）≤／３（ｔ），一１≤ｔ≤１，
显然 。（１）≤／３ （１），再以ｇ（ ，叼）的单调性知
ｇ（ （１），／３ 。（１））≥ｇ（卢。（１）， 。（１））≥０ 同理，如果上式等式成立，则定理得证；否则取ｄ ＝
１ ÷［ＪＢ。（１）＋ 。（１）］，并考虑边值问题 厶 ＾ ｕ”＝ ｔ，Ｔｕ，ｕ，ｕ ），“（一１）＝ｄ１，Ｍ（１）＝Ｂ
从引理１可得其解存在，任取其一记为
（ｔ），则ｏＬｏ（ｔ）≤ （ｔ）≤／３０（ｔ），一１≤ｔ≤１，如
果ｇ（ｕ（１），ｕ （１））＝Ｏ，则定理为真；如果ｇ（ （１），
（１））＜０，则取 （ｔ）＝“（ｔ），／３ （ｔ）＝卢。（ｔ）；
如果ｇ（ｕ（１），ｕ （１））＞０，则取 １（ｔ）＝ ｏ（ｔ），
／３（￡）＝Ｍ（ｔ），于是
１ ／３ （１）一 。（１）＝－５ －［ 。（１）一 。（１）］ 厶 １ 再置ｄ：＝ １［ （１）＋ （１）］，并考虑边值 ‘ 问题
＾ “”＝ ｔ，Ｔｕ，ｕ， ），“（１）＝ｄ２，“（一１）＝Ｂ
显然问题有解，任取其一记为 （ｔ），与 （ｔ），
卢 （ｔ）的类似选取可得 （ｔ）， （ｔ）满足
Ｏｔ１（ｔ）≤ ２（ｔ）≤ （ｔ）≤卢１（ｔ），一１≤ｔ≤１
于是利用数学归纳法可得两串序列，｛Ｏｔ （ｔ）｝ ，
｛／３ （ｔ）｝ 满足
０（ｔ）≤ １（ｔ）≤…≤ＯＬ （ｔ）≤…
≤ （ｔ）≤…≤／３ （ｔ）≤／３ｏ（ｔ）（５）
１ ／３ （ｉ）一ＯＬ （Ｉ）＝ ［ （１）一 。（１）］（６）
此外，｛ （ｔ）｝，｛卢 （ｔ）｝，｛Ｏｌ （ｔ）｝，｛ （ｔ）｝还
于一１≤ｔ≤１上一致有界，同等连续，又由
｛Ｏｌ （ｔ）｝，｛ （ｔ）｝的选取知 ｇ（ （１）， （１））＜０，ｇ（ （１），卢 （１））＞０
故存在一致收敛的子序列｛ （￡）｝，｛ （ｆ）｝使得
（￡）一 。（ ），卢 （ ）一Ｍ 。（ ），
一１≤ｔ≤１．Ｊ—｝。。
ｏｔ ．（ｔ） “ｏ（ｔ），ｏｔ ．（ｔ） ｕ ０（ｔ），
一１≤ｔ≤１．ｉ—｝∞ ＾ 即ｕ。（ｔ），ｕ。（ｔ）都满足方程（３），且 （一１）＝Ｂ，
＾ 一 ｇ（‰（１），ｕ 。（１））≥０，ｔｔ０（一１）＝Ｂ，ｇ（ （１），
（１））≤０，由式（５），（６）可知“。（ｔ）≤ 。（ｔ），
一１≤ｔ≤１，且Ｍｏ（１）＝ｕ０（１），又ｆｔｏ（１）≤ｕ０（１），
于是有 。（１）≥ｆｔ 。（１），这样从条件（２）得０≤
ｇ（“ｏ（１），ｕ 。（１））≤ｇ（ 。（１），“ 。（１））≤０，于是
ｇ（ 。（１）， 。（１））＝ｇ（ｕ。（１），“ 。（１））＝０，且 ＾ ｕ。（一１）＝ｕ。（一１）＝Ｂ，从而定理得证．
引理３假设
＾ ，、 ＾ ＾ （１） （ｔ），ｂ（ｔ）， （ｔ）∈Ｃ［一１，１］，且 （ｔ）≥
０，一１≤ｔ≤０， （ｔ）≤０，０≤ｔ≤１；
（２）存在 （ｔ）∈Ｃ ｊ［一１，１］，使得ＪＢ （ｔ）＜
＾ ＾ ＾ （ｆ）卢”（ｔ）＋ｂ（ｔ）Ｂ （ｔ）＋ｃ（ ）卢（ｔ），卢 （ｔ）＞ｏ，
一１≤ｔ≤１， （ ）≤ｏ，一１≤ｔ≤ｏ， （ ）≥ｏ，
ｏ≤ｔ≤１，且 （１）＋６』３”（１）＞０，卢（０）＝
０，其中ｂ≥０．
则边值问题 ＾ Ａ 。Ｙ ＝ （ｔ）ｙ”＋ｂ（ｔ）ｙ ＋ （ｔ）ｙ （７）
（１）＋ｂｙ （１）＝０，ｙ（Ｏ）＝０，Ｙ （一１）＝０
（８）
只有零解．
证明采用反证法．如果边值问题（７），（８）
存在非零解Ｙ。（ｔ），则Ｙ 。（ｔ）≠０（一１≤ｔ≤１），且
可不妨设有ｔ。∈［一１，１］，使得Ｙ 。（ｔ。）＞０，因为
对任何实数Ｍ，Ｍｙ。（ｔ）亦是边值问题（７），（８）之
解，故由卢 （ｔ）＞０，又知集合Ｄ＝｛ ｌ Ｍｙ ｏ（ｔ）＜
（ｔ），一１≤ｔ≤１｝非空，令ＳｕｐＤ＝Ｍｏ，则有
Ｍｙ ０（ｔ）≤ＪＢ （ｔ），一１≤ｔ≤１ （９）
显然，Ｍｏ Ｄ，于是存在ｔ ∈［一１，１］，使得
Ｍｙ ０（ｔ１）＝ （ｔ ） （１０）
下面进一步证明ｔ ∈（一１，１），事实上，如果ｔ ＝
１，则Ｍｙ ｏ（１）＝卢 （１），据式（９）知Ｍｏｙ”。（１）≥
（１），于是，口（ 。（１））＋６（ ，，（】（１））≥
（１）＋ ”（１）＞０，这与（８）矛盾，类似地，ｔ
≠ ８８ 大 连 交 通 大 学 学 报 第３３卷
１，故ｔ ∈（一１，１），于是由式（９），（１０）知，
岷ｙ”。（ｔ、）＝ （ ），进而可知 （￡ ）＜
Ｍｏｙ”ｔ０（ｔ ），从而存在 ∈（一１，１一ｔ），使得当
ｔ１＜ｔ≤ｔ１＋ 时， （ｔＩ）＜Ｍｏｙ ｏ（ｔ１），这与式
（１０）矛盾，故引理３得证．
２ 主要结果
下面我们将讨论边值问题（１），（２）解的存在
性与唯一性．
定义２如果存在函数 （ ）和Ｏ／（￡）∈Ｃ３［一１，
１］，使得当一１≤ｔ≤１时，Ｏ／ （ｔ）≤卢 （ｔ），卢 （ｔ）≤
ｔ，卢（ｔ），卢 （ｔ）， （￡）），Ｏ／” （ ）≥＿厂（ｔ， （ｆ）， （ ），
”（ｔ）），且当一１≤ｔ≤０时， （ｔ）≤ （ｔ），当０≤
ｔ≤１时，Ｏ／（ｆ）≤ （￡），则称 （ ）和Ｏ／（ ）为方程
（１）的上下解．
如果函数满足下述两个条件之一者，则称方
程（１）满足Ｎａｇｕｍｏ条件：
（ ）对任何的Ｎ＞０，存在ｈ＝ｈ（Ｎ）＞０，使
得所有（ｔ， ， ， ”）∈［０，１］×［一Ⅳ，Ｎ］Ｘ Ｒ 成立
ｌ ｌ厂（ｔ， ， ， ）Ｉ≤＾ （１ Ｉ） （Ｉ １），
其中０≤ｒ１≤１，ｒ２＞０，ｒ１＋ｒ２≤３，且 （Ｚ）＝
ｍａｘ｛１， ，ｒ＞０，０≤Ｚ≤＋∞
（ ）对任何的（ｔ， ， ）∈［０，１］Ｘ Ｒ 使
得＿厂（ｔ， ， ， ”）＝Ｄ（Ｉ ”ｌ ），ｌ Ｉ—｝ｏ。．
定理１假设
（１）＿厂（ｔ， ， ， ”）∈Ｃ（［一１，１］×Ｒ ），满足
Ｎａｇｕｍｏ条件，且当一１≤ｔ≤０时，关于 单调不
减；当０≤ｔ≤１时，关于 单调不增；
（２）引理２中的条件（２）成立；
（３）方程（１）存在上下解 （ｔ）和 （ｔ），且
（０）＝Ａ＝ （０）， （一１）≤Ｂ≤ （一１），
ｇ（Ｏ／ （１），ＯＬ”（１））≤０，ｇ（卢 （１）， ”（１））≥０
则边值问题（１），（２）有一解 （￡）∈Ｃ ［一１，１］，
使得 （ｔ）≤ （ｔ）≤ （ｔ），一１≤ｔ≤０， （ｔ）≤
（ｔ）≤ （ｔ），０≤ｔ≤１． ｒｔ 证明令 ＝ｕ，则 （￡）＝Ａ＋Ｉ ｕ（ｓ）ｄｓ，于 ＪＵ 是边值问题（１），（２）转化为下述问题
，ｔ Ｍ ＝／（ｔ，Ａ＋Ｊ Ｍ（ｓ）ｄｓ， ，ｕ ） （１） ＪＵ ｇ（Ｍ（１），ｕ （１））＝０，Ｍ（一１）＝Ｂ （２）
然而，为成功地利用引理，我们需要由ＯＬ（ｔ），
（ｔ）及假设（１）～（３）构造（１） 的上下解．故
Ａ ＾ 置，＆（ｔ）＝ （ ）＋ 。， （ ）＝ＪＢ（ ）～６２．其中 。＝ Ａ— （０），６ ＝ （０）一Ａ．显然，＆（０）＝Ａ＝
一类三阶n点边值问题的正解的存在性
２０１１年２月 第３０卷第２期 洛阳师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｕｏｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｆｅｂ．．２０１１ Ｖｏ１．３０ Ｎｏ．２
一类三阶 ｎ点边 值问题的正解的存在性
王岩岩 ，刘 伟１，２，刘麦学
（１．周口师范学院数学系，河南周口４６６００１；２．上海交通大学电子信息与
电气工程学院自动化系，上海２００２４０；３．洛阳师范学院数学系，河南洛阳４７１０２２）
摘 要：令０ ≥０，ｉ＝１，…，ｍ一３且ｎ 一２＞０．再令 满足０＜ ｌ＜ ＜…＜ 一２＜１且 口。 ＜１．我们研究下面
边值问题正解的存在性
ｒｕ （ｔ）＋０（￡），（ ）＝０，ｔ∈（０，１）， ｛ ｍ一２ 【ｕ（Ｏ）＝ （０）＝０， （１）＝三ａｉ“ （ ）
其中ａ（ｔ）∈Ｃ（［０，１］，［０，。。］） ｔ）∈Ｃ（［０，１］，［０，。。］）．通过锥上的不动点定理证明了在／满足超线性或次
线性条件下，上述问题至少存在一个正解．
关键词：３阶ｎ点边值问题；正解；锥；不动点．
中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—４９７０（２０１１）０２—０００１—０７
０ 导 引
多点边值问题描述应用数学中许多现象，如弹性理论、非牛顿流体理论、多孔介质中气体的湍流理论
及生物生态学研究等领域．２Ｏ世纪８０年代，Ａ．Ｖ．Ｂｉｔｓａｄｚｅ和Ａ．Ａ．Ｓａｍａｒｓｋｉｉ首先研究了非局部线性椭圆
边界问题，Ｖ．Ａ．Ｉ１ ｉｎ和Ｅ．Ｉ．Ｍｏｉｓｅｅｖ首先研究了线性二阶常微分方程多点边值问题Ｈ卫］．从此开始，众多
学者开始研究非线性微分方程多点边值问题解的存在性，所用的工具为Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ度理论、锥上不动
点定理和临界点理论等 ］．
本文考虑下面方程的正解的存在性
ｆ“（ｔ）＋ａ（ｔ） “（ｔ））＝０，ｔ∈（０，１）， ｛ 一２ （１．１） 【ｎ（０）＝ （０）＝０，“ （１）＝∑ａｉ （ ）
一类非线性三点边值问题正解的存在性
第２４卷第１期 ２０１０年１月 山东理工大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１０ 文章编号：１６７２—６１９７（２０１０）０１—００１３—０３ 一类非线性三点边值问题正解的存在性 梁月亮，续晓欣，郭秋生 （中北大学理学院，山西太原０３００５１） 摘要：运用Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ非线性抉择定理和格林函数的性质，通过考察非线性项在有界集 上的性质，获得了一类非线性三点边值问题存在惟一正解的充分条件，推广和改进了相关文献的结 果． 关键词：边值问题；不动点定理；正解 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标识码：Ａ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ＬＩＡＮＧ Ｙｕｅ—ｌｉａｎｇ，ＸＵ Ｘｉａｏ—ｘｉｎ，ＧＵｏ Ｑｉｕ—ｓｈｅｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３００５１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ ｆｕｎｃ— ｔｉｏｎ，ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｏｎ ｓｏｍｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｓｅｔ，ａ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｈｒｅｅ—ｐｏｉｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ 本文主要研究下列三阶非线性边值问题正解的 存在性： （￡）一ｆ（ｔ， （￡））一０ （１） （Ｏ）一ａｕ（１），Ｕ／（叩）一Ｏ， （１）一０ （２） １ 其中寺＜叩＜１，０＜ａ＜１，，满足： 厶 。 （Ｈ。），∈Ｃ（［０，１３×［Ｏ，＋。。），［Ｏ，＋Ｃ×。））； （Ｈ，）存在ｔ。∈［Ｏ，１］，使得ｆ（ｔ。，０）≠０． 文献［１—４］以及其中所引用参考文献对非线性 边值问题正解的存在性作了大量的研究．在文献［３ —４］的启发下，利用文献［３３中的方法，通过引理２ 建立一个积分算子，并将边值问题解的存在性等价 转化为积分算子不动点的存在性，与此同时给出 ＢＶＰ（１）（２）存在惟一非平凡正解的充分条件． 本文所研究的空间为Ｂａｎａｃｈ空间ｃ［ｏ，１３，其 中范数为ｌＩ Ｕ ｌＩ＝ｍａｘ ｌ （￡）Ｉ． 记 ［Ｏ，１］一｛Ｕ∈ｃ［ｏ，１３：“≥０｝， 一｛ ∈ ［０，１］：ＩＩ ｌＩ≤ｄ）， 一｛ ∈ ［０，１］：ｌｌ ｌｌ＜ｄ）． １ 引理设定 引理１［ 设Ｘ为Ｂａｎａｃｈ空间，ｎ为Ｘ的一个 有界开子集，且 ∈ｎ，若Ｆ：ｎ—Ｘ为一个全连续算 子，则：要么存在Ｕ∈ 及 ＞１，使得Ｆ（ ）一Ａｘ， 要么算子Ｆ存在一个不动点Ｕ。∈ｎ． 引理２ 设Ｙ∈ ［０，１］， （￡）一 （ ） （３） （Ｏ）一删（１）， （ ）一０， （１）＝０ （４） 则ＢＶＰ（３）（４）存在惟一的正解 ｒ１ （￡）：ｌ Ｇ（ｔ，ｓ）ｙ（ｓ）ｄｓ且ｍ…ｉｎ （￡）≥ ＩＩ“ＩＩ， 收稿日期：２００９一Ｏ４—１２ 作者简介：梁月亮（１９７９一），男，讲师，硕士．Ｅ－ｍａｉ
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性：
1、问题概述
非线性分数阶微分方程（nonlinear fractional differential equation）边值问题（boundary value problem）指定考虑函数在一定区域内满足一个分数阶微分方程系统以及该区域边界一些条件的问题。它的研究与现实中相关的问题有很大的关联，拟和计算的精度主要取决于该正解的存在性和唯一性。
2、开展研究
由于非线性分数阶微分边值问题的存在性和唯一性的研究关系到研究的实际意义，因此，近年来，微分方程学家围绕该问题开展了深入探讨和研究。根据数学技巧和研究结果，针对非线性分数阶微分边值问题，提出了一系列有效方法，形成一套完整的存在性理论，以帮助解决非线性分数阶微分边值问题。
3、理论研究
在理论研究中，研究者首先提出了分数阶系统周期或非周期微分边值问题的存在性，发现分数阶系统微分边值问题的存在性密切依赖于其边值条件的满足程度，并利用契约技术确定具体的边界条件。研究者又进一步提出了重叠解和多重解的存在性，提出了不等式定理来证明其在有限区域内存在正解，以及足够条件以确定分数阶系统存在唯一正解，在研究遇到激烈反对的情况下，提出非线性的存在性，以帮助研究者准确直观地确定问题的解等。
非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性
第15卷第3期
2013年9月应用泛函分析学报
ACTAANAL_ySISFUNCTIONALISAPPLICATAV01．15．NO．3
Sep．，2013
DOI：10．3724／SP．J．1160．2013．00265
文章编号：1009-1327(2013)03—0265-07
非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性
王静，何明霞
甘肃联合大学师范学院，兰州730000
摘要：考虑二阶三点边值问题系统一uⅣ=f(t，u)，t∈(0，1)，--V”=g(t，u)，t∈(0，1)，u(0)=
Q札(叩)，u(1)=p札(叩)，v(O)=n"(叩)，v(1)=pu(叼)，其中，，g∈c(【o，1】×冗+，R+)，g(t，0)三0，
叩∈(0，1)且0
一些很好的性质；最后，运用锥上拉伸与压缩不动点定理研究了上述边值问题系统至少一个或多个正解
的存在性．
关键词：系统；二阶三点边值问题；正解；不动点；锥
中图分类号：0175文献标志码：A
二阶微分方程在应用数学与物理领域中有着极为广泛的应用背景，特别是在经典力学、化学及
电学中更为普遍【1】．近来，二阶边值问题系统受到了广泛的关注[2--6]．文【2]利用Guo—Krasnosel’skii
不动点定理讨论了二阶三点边值问题
J乱Ⅳ(t)+Aq(t)f(t，u(t))=0，0
Iu(o)=Qu(?7)，乱(1)=pu(叩)
正解的存在性，其中00为参数，q：(0，1)一[0，。。)，f：【0，1]X(0，∞)一
[0，∞)是连续的．本文讨论了如下常微分方程系统边值问题
f—uⅣ=，(t，u)，t∈(0，1)，
㈦-v"
…=g(
㈤t,u
，匕：豸竺‰㈣
u(o)=Qu(叩)，u(1)=p“(叼)，、‘7
【u(o)=(Yu(叼)，v(1)=p"(?7)
正解的存在性，其中f，g∈C([o，1]×R+，R+)，g(t，0)兰0，0
我们做如下记号：
护一lim
垤in
【。，f
，，掣，肛…lim
蚓in
叫f
，掣，
非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性
第３４卷第１期 ２０１３年 ２月 河南科技大学学报：自然科学版 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ． ２０１３
文章编号：１６７２—６８７１（２０１３）０１—００８５—０４
非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性
王翠菁 ，刘文斌 ，张金陵
（１．中国矿业大学理学院，江苏徐州２２１００８；２．徐州工业职业技术学院信息管理技术学院，江苏徐州２２１１４０；３．徐州高 等师范学校数理系，江苏徐州２２１１１６）
摘要：运用Ｂａｎａｃｈ压缩映射原理和广义Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，应用Ｇｒｅｅｎ函数，研究了一类Ｃａｐｕｔｏ型分数阶微分方 程边值问题解的存在性，得到其解存在唯一性的充分条件。 关键词：Ｂａｎａｃｈ压缩映射原理；Ｃａｐｕｔｏ微分；分数阶边值问题 中图分类号：Ｏ１７５．１４：Ｏ１７５．８ 文献标志码：Ａ
Ｏ 引言
微分方程理论在自然科学领域中有着非常广泛的应用，很多自然和社会现象的发展变化规律都可
以用微分方程来刻画，例如生物种群的繁衍、行星运行规律、镭的裂变、物体的冷却、血液的变化等。有 许多学者致力于整数阶微分方程的理论及应用的研究，其相关理论也１３趋成熟起来，他们在此方面也取 得到了很多的研究成果¨ 。
分数阶微积分，不仅是将传统意义下的整数阶微积分运算拓展到运算阶次为分数的情况，还包括阶
数为无理小数和复数的情形。因此，从整体情况来看，分数阶微积分运算将一般意义下的整数阶微分和
积分推广到任意阶，它是整数阶微积分运算的推广和扩充。目前，分数阶微积分运算在许多的领域中发 挥着至关重要的作用。有众多的科学领域应用分数阶微积分理论，例如连续力学、统计学、各种材料的
记忆、机械力学、机器人研究、地震分析、图像与信息处理、生物学、控制理论等。目前还出现了更为新颖
的应用，例如模式识别、系统辨识等 。 文献［１０］利用锥不动点理论、Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ定理讨论了Ｃａｐｕｔｏ型分数阶微分方程边值问题
具有变号非线性项的二阶三点边值问题多个正解的存在性
２０１１年第２７期 ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｏ高校讲坛。 科技■息 具有变号非线性项的二阶三点边值问题 多个正解的存在性 王海鹏１．２倪斌 （１．曲阜师范大学 山东 曲阜２７３１００；２．枣庄科技职业学院山东滕州２７７５００） 【摘要】非线性泛函分析是现代分子数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工 作者的关注。其中。非线性非局部边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一。利用Ｌｅｇｇｅｔｔ— Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点定理．研究了一类而阶三点半正边值问题 ｆ ）删“ Ｏ）－Ｉ ，“（力）＝Ｏ，Ｏ＜ｔ＜ｌ ，，、 ＩＭ （０Ｊ＝０，“（１）＝ （ ）， 多个正解的存在性．我们得到了新的结论。 【关键词】半正；非局部边值问题；正解；锥；不动点。 ０引言 多点边值问题在弹性稳定性理论当中有着广泛的应用．他的研究 始于盯’ 和Ｍｏｉｓｅｅ ，此后ＧｕｐｔⅡ研究了非线性三点边值的问题相， 参见文［１—３】。随后许多作者利用Ｂｔｍａｃｈ压缩原理、Ｌｅｒａｙ－Ｓｃｈａｕｄｅｒ二 择一原理．拓扑度理论．单调迭代方法或不动点定理研究多点边问题 参见文『４—６１等。 近来，文ｆ４】研究了下面的三点边值问题 ｆｕ ∞＋ａ（ｔ￣）－－０，０＜ｔ＜ｌ 【ｕ（ｏ）＝Ｏ，ｕ（１）＝ａｕ（７／）， 其中０＜，７＜１，ａ＞０是一个常数 ＥＣ（［０，＋∞），【Ｏ，＋∞）），ａＥｃ［ｏ，１】且 存在ｔ。 ｃ［ｏ，ｌ１使得ａ（ｔｏ）＞０．作者利用锥拉伸与压缩不动点定理在非线 性项，满足超线性或者次线性的条件下得到了正解的存在性和多解 性。 最近．文５研究研究了下面的半正三点边值问题 ｆ Ｏ）＋ｎ（￡）ｕ （ｔ）＋ｈｆｌｔ，ｕ（ｆ））＝Ｏ，Ｏ＜ｔ＜ｌ ｌｕ （０）＝０，Ｍ（１）＝ａｕ㈨， 其中０＜７／＜１，ａ＞Ｏ是一个常数，口∈Ｃ（［Ｏ，１），卜∞，Ｏ））ＪｅｑＯ，１］ｘＲ， Ｒ）Ｒ存在Ｍ＞Ｏ使得ｆ（ｔ，ｕ）≥ ，（ ，∽∈［０，１］ｘＲ．作者利用锥拉伸与压 缩不动点定理得到了一个正解的存在性 受以上文章的启发．本章考虑下列二阶三点半正边值问题 ｆ“”（￡）＋ “ （ｃ）ｔ ，ｕ（ｔ））－ｏ，Ｏ＜ｔ＜ｌ … Ｉｕ （０）＝ｏ，Ⅱ（１）：ａｕ（ ， 其中Ｏ＜ｔｘ， ＜１，ⅡＥＣ（【０，ｌ】，（一∞，ｏ）） 允许变号，利用Ｌｅｇｇｅｔｔ— Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点原理我们得到两个正解的存在性．这里我们不需要非 线性项满足超线性或者次线性条件 （ ６对所有ｕＥＰ【ｎ，ｂ，ｃ），ｌ ＩＡｕ ｌ Ｉ 则Ａ至少有三个不动点 ｕ ， 满足ｌｌ“１ ｌＩ（ｎ，６ ，ｌｌｎ３ ｌ１ 且 ｕ３）＜６。 引理２ 若条件 。）满足，则对任意的，，（１）∈ｑｏ，ｌ】边值问题 ｌｕ Ｏ）＋ ）ｕ （ｔ）＋ｙ（ｔ）－Ｏ，Ｏ＜ｔ＜ｌ ， ＩⅡ （０）＝ｏ，ｕ（１）＝ａｕ０７）， 存在唯一的解 ｔ）＝－』 （ ）出＋击』 而１ 一 ａ ｆ ‘而１ ）打） ， 其中 ｐ（￡）＝ｅｘｐ（』 打）． 引理３喏条件 。）满足， ）∈ｃ【０，ｌ担 ）≥０，ｔＥ［０，１】，则边值问 题（２）的唯一解满足ｕ（１）≥０，ｔ Ｅ【０，ＩＩ． 引理４ 若条件 。）满足，，，（１）∈ｃ ，ｌｌ￣ｌＪ边值问题（２）的唯一解满 足ｒａｉｎⅡ（ｆ）≥ｒ『Ｉｕ ｆｆ 其中 １－ａｔ／ 引理５喏条件 。）满足，设 是下面编制问题的唯一解： ｛“： ＋１ Ｉ’ｏ＜ ’ （３） （ｏ）＝Ｏ，“（１） Ｍ㈨， 则 （ｔ）≤ｒ ，其中 ｒ＝ （ ＋击 ｌ而１ １预备知识和引理 ２主要结果 为了方便．我们做了一下假设 一 【Ｏ，ｌ卜 一。。，Ｏ）连续。 （日 ｆ０，１］ｘ（Ｏ，＋ ）—咄连续，且存在Ｍ＞Ｏ使得 ｔ，Ｕ）≥— ，（１，ｕ）∈［０，１］ｘＲ 设Ｐ是Ｂｏｎａｃｈ空间中Ｅ的锥．映射口： 『Ｏ，＋ ）连续，如果对所 以ｘ．ｙ∈Ｐ．Ｏ≤￡≤１有 ａ（ｔｘ＋（１一ｃ）ｙ）≥ｆｃ缸）＋（１一ｃ）ｎ（ｙ）， 则称ａ是锥Ｐ上的非负连续凹泛函．设常数ｂ＞ａ＞Ｏ．口为锥Ｐ上的 非负连续凹泛函．定义凸集 ｛ｕＥ Ｉ ｌ“Ｉ】＜ｎ１ 月，ｎ，ａ，６）＝ Ｅ 口≤ａ（ｕ），ｌｌ ｕ ｌ Ｉ≤６｝． 本文的重要工具是下面的Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点定理。 引理１（Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ不动点定理 ）若Ａ 一 是全连续算 子，ｏ是锥Ｐ上的非负连续凹泛函，且对ｕ∈ 有ｎ㈤≤ｌＩＵ ｌＩ．假设存 在常数Ｏ＜ ６＜ｄ≤ｃ满足下列条件 （ｃ－）｛ｕＥＰ（ｏ．ｂ．ｄ）ｌａ（ｕ）＞ｂｌ≠ 且ａ（Ａｕ）＞ｂ对所有ｕＥ尸杠 ｄ）； （ｃ２）ＩｆＡｕ ｆＩ 对所有ＩＩＨ ｌＩ≤口 １６２ 令 ：ｑ＿ｏ，ｌ】，则在范数Ｉ Ｉ“ＩＩ＝ｍａｘｏ￣。“ 下Ｅ是Ｂａｎａ￣ｈ空间。在 Ｅ中定义雒 Ｐ＝（ｕＥＥｌｕ（Ｉ）≥ｏ．。ｍ—ｉｎ。ｕ（ｔ）￣Ｙ［１“Ｉ ｌ｝ 记 ￡＝』。１ 而１ 打 日＝击ｆ （ ． 定理１若条件 。），㈣成立，存在常熟口，ｂ，ｃ，Ｎ满足胛＜口如＋ Ｍｒ＜ｂ＜￣ｃ， ‘Ⅳ＜ ｃ Ｌ，且 ，ｕ）满足下列条件 （ ，“）≤号 ，ｏ，Ｈ）Ｅ【ｏ，１】ｘ【０，ａｈ （ｉｉ）Ｊ￣ｔ， ）≥争删， ，“）∈【０，１】ｘ［６—朋ｒ，争】； （ｉｉｉ）ｆｌｔ，ｕ）≤寺 ，（１，ｕ）Ｅ【０，１】×［０，ｃ】； 边值问题（４）至少有两个正解。 证明令 ＝Ｍｍ．
一类奇异三阶三点特征值问题的非平凡解
第２８卷第５期 Ｖｏ１．２８ Ｎｏ．５ 周口师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｏｕｋｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２０１１年９月 Ｓｅｐ．２０１１ 一类奇异三阶三点特征值问题的非平凡解 蝴 庆六 。 （１．南京财经大学应用数学系，江苏南京２１０００３； ２．周口师范学院数学系，河南周口４６６００１） 摘要：考察了非线性三阶三点特征值问题 ｆ （￡）＋Ｖ（￡，“（￡），“ （ ）， （￡））一０，０＜ｔ＜１， Ｉ“（ｏ）一口，“ （ｒ／）一口， （１）一），， ｒ１ 其中非线性项ｆ（ｔ，“。，“ｌ，“２）是一个强Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数．证明了＂－３ ｄ。＋ ＋ ＞０或者Ｉ Ｉ ｆ（ｔ，０，０，０） Ｊ ０ ＞０时存在 ＞０使得对于任何０＜ ≤Ａ ，此问题至少有一个非平凡解． 关键词：奇异常微分方程；边值问题；非平凡解；存在性 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—９４７６（２０１１）Ｏ５—０００６一Ｏ４ 近年来，非线性三阶三点边值问题受到了广泛 关注并取得了不少成果 ．本文将在非线性项变 号的情况下考察奇异三阶三点边值问题有关非平 凡解的特征值区间．文中始终假设寺≤＇７＜１并且 为正参数． 最近，张新广等 考察了具有齐次边界条件的 非线性三阶三点特征值问题 ， ｕ（Ｏ ０ ， 【 ）一 （刁）一 （１）一 ， 并且证明了下列存在定理： 定理１ 假设－厂：［０，１］×Ｒ× 一同连续并且 （ａ１）ｆ（ｔ，０，０）≠０； （ａ２）存在非负函数￡，￡， ∈Ｌ ［Ｏ，１］使得 ｌ［ （￡）＋ （￡）］出＞０并且 Ｊ ｆ（ｔ，Ｕｏ，“ ）ｌ≤ （ ）Ｉ“。Ｊ＋￡（￡）ｌ ｌ＋ （≠）， ａ．ｅ．ｔ Ｅ Ｅｏ，１］，ｙ（‰，“１）Ｅ同Ｘ同； 则存在 ＞０使得对于任何０＜ ≤ ，问题（Ｐ１） 至少有一个非平凡解． 顺便指出，文献Ｅｓ］中将问题（Ｐ１）的边界条 件 （１）一０误写为 （０）一０，请注意． 本文的目的是改进定理１，将考察具有非齐次 边界条件的奇异三阶三点特征值问题 ｒ （ ）＋ａｆ（￡，“（￡），ｕ （ ）， （￡））一０， （Ｐ２） ａ．ｅ．ｔ Ｅ Ｅｏ，１］， 【 （０）一口，Ｕ （７／）一Ｊ８，ＵＨ（１）一），， 并且证明下列存在定理： 定理２ 假设－厂：［ｏ，１］× ×同×同一Ｒ是强 Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数并且 （ｂ１）ａ ＋ ＋ ＞０或者 ｒ１ Ｉ ｌ ｆ（ｔ，０，０，０）Ｉ ｄｔ＞０； （ｂ２）存在正数ｄ＞ｍｉｎ 使得 ｔ ｏ・１・２ ｒ１ Ｉ （ ， ）ｄｔ＞０； √０ 则当０＜ ≤ 时问题（Ｐ２）至少有一个非平凡解 “ Ｅ Ｃ Ｅｏ，１］并且ｌｌ（ ）“ ｌＩ≤ｄ，ｉ＝＝＝０，１，２， 广ｒｌ １一ｌ 其中 一 ｛ 一 Ｕ （ｔ，ｄ０ ２ ０ ）ｄ Ｊ・ ｌ一，ｌ， ＬＪ 定理３ 假设，：［Ｏ，１］×同×同×同一同是强 Ｃａｒａｔｈｅｏｄｏｒｙ函数并且 （ｃ１）Ｏｔ—ｐ—ｙ一０并且 ｒ１ ｌ Ｉ ｆ（ｔ，０，０，０）｛ｄ￡＞０； （ｃ２）存在非负函数 ， ， ， Ｅ Ｌ Ｅｏ，１］使得 对于ａ．ｅ．ｔ Ｅ Ｅｏ，１］，Ｖ“ Ｅ同，ｉ一０，１，２有 收稿日期：２０１１—０３—２６ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（Ｎｏ．１１０７１１０９） 作者简介：姚庆六（１９４６一），男，上海人，教授，
一类p-Laplacian奇异型方程组三阶三点边值问题正解的存在性
文章编号：１６７４－７０７０（２０１０）０３－０２８４－０５
一类ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ奇异型方程组三阶三点 边值问题正解的存在性
摘要 利用不动点指数定理与不等式技 巧，讨论了一类ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ奇异型方程 组边值问题正解的存在性，建立其存在 一个正解的充分条件，并对其中的一个 结果给出了应用的例子． 关键词 ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子；不动点；奇异边值 问题：正解 中图分类号０１７５．８ 文献标志码Ａ
收稿日期２００９－１２—１６ 作者简介 刘勤风，男，硕士生，研究方向为泛函分析 及其应用．／ｉｕｑｉｎｆｅｎｇ３７１＠１２６．ＣＯＩＩ１． １南京信息工程大学数理学院，南京，２１００４４ 刘勤凤 肖建中 仓日华
０ 引言 Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ 本文考虑了一类具ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子的三阶三点奇异型方程组的 边值问题（ＢＶＰ） ｆ （Ｍ”）） ＋。－（ ）厂（“（ ），＂（ ））＝０， ∈（ｏ，１）， （１） 【（ （ ”）） ＋ａ２（ｔ）ｇ（Ｕ（ ）， （ｔ））＝０； ｆ“（０）＝ （１）＝ “（－ｑ），Ｕｎ（０）＝０， … ｔｖ（０）＝ （１）＝Ｏ／ （叼）， ”（０）＝０ 正解的存在性．其中 （ｓ）是ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子，即 。（ｓ）＝ｆ ｓ ｆ ｓ， ｐ＞ ，ｏ＜ ＜ （ ：１，２），７７∈（ｏ， ）， （ ）～，寺＋寺 １・ 具ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子的有关微分方程的边值问题，有着广泛的数 学与物理应用背景，如非牛顿流体理论，多孔介质中的气体湍流理论 等的研究 ，近年来对它的研究一直很活跃 ．对于一维情况的边 值问题，已有大量文献讨论其正解的存在性ｌ４ ］．文献［４］讨论了二阶 三点边值问题 ｆ１Ｌ （ｔ）＋ａ（ｔ）ｆ（ｔ，“（ｔ））＝０，０＜ ＜１， 【Ｍ（０）＝Ｍ（１）＝ＯｌＵ（卵）． 其中＂－ＯＬ∈（０，１），叼∈ｆ ０，了１ Ｉ，０∈ （０，１）是非负对称的．该文利用不 动点指数理论及线性算子的谱理论，给出了其至少存在一个和两个 对称正解的充分条件．文献［７］利用凸锥的不动点定理考虑了 ｆ（ （ｕ （ｔ））） ＋０（￡）厂（ｔ，“（ｔ），ｕ （ｔ））＝０，０＜ ＜１， 【ｕ（０）＝ｕ（１）＝ＯｄＵ（ ）， Ｕｎ（０）＝０ 存在三个正解的存在性．文献［８］讨论了三点奇异边值问题 ｆ（ （ｕ （ ））） ＋０（ ）厂（ｔ，ｕ（ｔ））＝０，０＜ｔ＜１， 【 （０）＝Ｍ（１）＝ＯＨＬ（卵），“”（０）＝０， 得到了存在一个或两个正解的充分条件．本文受以上文献的启发，讨 论了方程组ＢＶＰ（１）与（２）的正解的存在性，将文献［８］的某些结果 推广到二维的情形，并得到了一些新的结果． 在本文中，总假设以下两个条件成立： （Ａ１）ｆ，ｇ∈Ｃ（［０，＋∞）×［０，＋∞），［０，＋∞））；
高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性
第55
卷第1
期
2021
年2
月华中师范大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1
Feb&2021
DOI：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002
文章编号：
1000-1190(2021)01-0007-08
高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性
韩伟
!，
原战琴
(中北大学理学院，太原030051
)
摘要：
研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有
序的实Banach
空间上的非线性算子方程# = A
(,#
) +E(##
)
十e
来研究的.其中
@,B
为混合
单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来
近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.
关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题
中图分类号：
O175.25
文献标志码:A
开放科学(资源服务)标志码(OSID)：
众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微
分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学
'T.本文主要 实Banach
E中关于
方程
u = A(u,u) + B(u,u) + e解的存在性和唯一
性.其中
A'
A是 单 ，
e#P且
P是
E中
的一个正规锥
.事实上，文献[R-5]中解的存在性 和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在
P
j,e中
研究的.接下来得到
D
0
+G(,s)的取值范围
应的 , 到问题(1)非平凡解的存
在性和唯一性.
本文 研究的问题是
—D
"+ u () =
ftt,
u(t) ,
D0
+u(t) )
+g(t,
utt) ,
utt) )
—2,
t
# (0,1);
u
(
e >(0)
= 0 ,
i = 0 , 1, 2 , 3
,■•• ,0 ― 2 ； (1)
[[
D0
+u(t)(
=1
=BD0
方程的解的存在与唯一性的讲解
方程的解的存在与唯一性的讲解
知识点：方程的解的存在与唯一性
方程是数学中非常重要的工具，解方程就是找到满足等式关系的未知数的值。在实际问题中，解的存在与唯一性是确保问题得到正确解答的关键。本节内容将讲解方程的解的存在与唯一性。
二、方程解的存在性
1. 定义：如果一个方程有解，那么这个解就是方程的解。
2. 解的存在性：一个方程至少有一个解。
3. 判定方法：
(1) 对于一元一次方程，一定有解。
(2) 对于一元二次方程，当判别式大于等于0时，方程有解。
(3) 对于多项式方程，如果方程的次数为n，那么方程最多有n个解。
三、方程解的唯一性
1. 定义：如果一个方程只有一个解，那么这个解就是方程的唯一解。
2. 解的唯一性：一个方程的解是唯一的。
3. 判定方法：
(1) 对于一元一次方程，方程的解是唯一的。
(2) 对于一元二次方程，当判别式等于0时，方程有唯一解。
(3) 对于多项式方程，如果方程的次数为n，那么方程至多有n个解。
四、方程解的存在性与唯一性
1. 存在性与唯一性的关系：一个方程的解既存在又唯一。
2. 判定方法：
(1) 对于一元一次方程，一定存在且唯一。
(2) 对于一元二次方程，当判别式等于0时，存在且唯一。 (3) 对于多项式方程，如果方程的次数为n，那么方程最多有n个解，但不一定唯一。
本节内容讲解了方程的解的存在性与唯一性。解的存在性指的是方程至少有一个解，而解的唯一性指的是方程的解是唯一的。对于一元一次方程和一元二次方程，解的存在性与唯一性可以分别通过判定方法得出。对于多项式方程，解的存在性可以通过判定方法得出，但解的唯一性需要进一步分析。希望同学们通过本节内容的学习，能够更好地理解和掌握方程的解的存在性与唯一性。
习题及方法：
1. 习题：解方程 2x + 3 = 7。
答案：x = 2
解题思路：将方程两边同时减去3，得到2x = 4，再将两边同时除以2，得到x = 2。