弹性地基梁结构模态分析
3、弹性地基梁理论解析
3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。
3.1 概述
一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x) 的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所 示。由微段平衡条件得： 根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力 p(x)与该点梁酌挠度成正比，即
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得
由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—3)代入公式(5—2)， 并利用公式(5—4) 后， 得弹性地基梁的挠度曲线微分方程
式中 α——弹性地基梁的弹性特征值(1／厘米） E——梁材料的弹性模量(公斤／厘米2) I——梁截面惯性矩(厘米4)。
当利用分部积分
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似 为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
将C1l—C4 代入公式(5—10)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：
弹性地基梁计算模型
梁的结构优化
梁截面优化
梁的材料优化
优化梁的截面尺寸和形状，以提高梁 的承载力和稳定性。
选择高强度、轻质材料，如铝合金、 碳纤维等，以提高梁的承载力和刚度。
梁跨度优化
根据实际需求和工程条件，合理选择 梁的跨度，以减小梁的挠度和应力。
06 结论与展望
研究结论
弹性地基梁计算模型在工程实 践中具有广泛的应用价值，能 够有效地解决实际工程中的梁
在弹性地基梁的计算中，有限元法可以将梁的变形和内力 分布进行离散化处理，通过建立离散化模型来求解梁的位 移和应力分布。
有限元法的优点在于可以处理复杂的边界条件和材料非线 性问题，适用于各种类型的梁结构和地基条件。
有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的 方法，通过求解差分方程来逼近原微分方程的解。
结果讨论
根据计算结果，对弹性地基梁的设计和施工提出建议和优化方案。
05 弹性地基梁的优化与改进
计算方法的优化
01
02
03
有限元法
采用有限元法进行弹性地 基梁的计算，能够更精确 地模拟梁的变形和应力分 布。
边界元法
边界元法适用于处理复杂 边界条件的地基梁问题， 能够减少计算量，提高计 算效率。
无网格法
研究展望
01
进一步研究弹性地基梁计算模型的精度和稳定性，提高模型的可靠性 和适用范围。
02
探索更加高效的数值算法和计算方法，以加速弹性地基梁计算模型的 求解过程。
03
将弹性地基梁计算模型应用于更加复杂的工程结构中，如大跨度桥梁、 高层建筑等，以拓展其应用领域。
04
结合先进的技术手段，如人工智能、大数据等，对弹性地基梁计算模 型进行优化和完善，提高其预测和评估能力。
3弹性地基梁理论华科地下工程
x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：
yq
x xa
aq bk
4 ( x-u)
du
分布荷载作用于地基梁
a. 均布荷载
荷载均布与ab段
xa x xb （积分限 [xa , x]）
yq
q bk
1 1 ( x xa )
q
q
bk
4 ( x xa )
M
q
q
2
2
3 ( x
xa )
q
2
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
Y 0 化简得：
dQ ky q( x) dx
MA 0 省略二阶微量化简得：
Q dM dx
合并二式得：
d2M dx2
ky q( x)
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy
dx
d
d2y
M EI dx EI dx2
dM
d3y
Q dx EI dx3
d4y 代入化简得到挠曲微分方程： EI dx4 ky q( x)
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
EI
d4y dx4
ky
0
y eax A1 cos x A2 sinx eax A3 cos x A4 sinx
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• 没有反映地基的非弹性性质； • 没有反映地基的不均匀性； • 没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。
弹性地基梁理论课件
假设梁为连续的一维 弹性体，且忽略梁的 轴向变形。
弹性地基梁的研究目的和意义
研究目的
通过分析弹性地基梁的振动特性，为工程实践提供理论根据和设计指点，以提高结构的稳定性和安全 性。
研究意义
弹性地基梁理论有助于揭示地基与梁之间的相互作用机制，预测结构的振动响应，从而优化结构设计 ，减少地震等自然灾害的影响。此外，该理论还为研究其他复杂结构（如高层建筑、大跨度桥梁等） 的地基基础问题提供了基础和借鉴。
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弹性地基梁理论课件
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目 录
• 弹性地基梁理论概述 • 弹性地基梁的力学模型 • 弹性地基梁的数值模拟 • 弹性地基梁的实验研究 • 弹性地基梁的应用案例 • 弹性地基梁的未来研究方向 • 参考文献
PART 01
弹性地基梁理论概述
利用边界积分方程求解弹 性问题，适用于处理无界 问题等。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
边界条件
束缚梁的位移、转角等物理量， 如在支撑处的位移束缚、固定束 缚等。
初始条件
指定梁的初始状态，如初始应力 、初始位移等。
弹性地基梁的求解方法
解析法
利用数学解析方法求解方程，适 用于简单边界条件和初始条件的
情况。
数值法
采用数值计算方法求解方程，如有 限元法、有限差分法等，适用于复 杂边界条件和初始条件的情况。
荷载结构分析之平面弹性地基梁法
荷载结构分析之平面弹性地基梁法1.计算原理平面弹性地基梁法假定挡土结构为平面应变问题，取单位宽度的挡土墙作为竖向放置的弹性地基梁，支撑和沃苏什卡锚杆简化为弹簧支座，基坑内则开挖面齿轮以下土体采用弹簧模拟，挡土结构作用已知的水压力和土压力。
图6-5为平面弹性地基梁法奇特的计算简图。
取长度为b0的围护结构作为统计分析对象，列出弹性地基梁的变形微分方程如下：考虑土体的分层（m值不同）及水平支撑的存在等实际个别情况，可梁沿着竖向将弹性地基梁划分成若干单元，立出每个单元的上述微分方程，一般可采用杆系有限元方法求解。
划分单元时，尽考虑土层的分布、地下水位、支撑的位置、基坑的开挖深度等不利因素。
分析多道支撑分层开挖之时，根据基坑开挖、支撑危急情况划分施工工况，按照工况的顺序进行支护结构的变形和内力计算，计算中需综合考虑各工况下要下边界条件、荷载形式等的变化，并取上一工况计算围护结构位移作为下一工况的初始值。
弹性支座的反力可由下式计算：2.支撑刚度计算对于采用十字交叉对撑钢筋混凝土支撑或钢支撑（如图6-6所示），内提振支撑刚度的取值如下式所示：对于复杂杆系结构的水平支撑系统，不能简单地采用式（6-3）来推算出支撑的刚度，但较合理地确定其支撑刚度也很困难。
国家规范发展中国家建筑基坑工程技术规范[2]建议采用考虑围护结构、水平支撑体空间作用的协同自由度分析方法确定。
当采用主体结构的梁板作为水平支撑时，水平支撑的刚度可采行采用下式来确定：3.水平弹簧支座刚度量度基坑开挖面或地面以下，水平弹簧支座的压缩弹簧刚度KH可按下式计算图6-7给出了地基水平基床系数的五种不尽相同分布形式，地基水平向基床系数采用下式表示：当有樟叶的标准贯入击数N值时可用经验公式求水平向基床系数：若假设水平向基床系数沿深度为常数或在定值一定深度其值达到恒定值时可按表6-1中的经验值取值。
中国《公路桥涵设计规范》（1975年试行本）和胡礼人著《桥梁桩基设计》分别给出了各类土和岩石的水平向基床系数经验参考值，如表6-2和表6-3所示上海市基坑工程设计规程根据的工程经验，对各类土提议了如表6-4所示的水平向基床系数值范围。
弹性地基梁分析--midas 迈达斯
例题 弹性地基梁分析1例题弹性地基梁分析2 例题. 弹性地基梁分析概要此例题将介绍利用MIDAS/Gen做弹性地基梁性分析的整个过程，以及查看分析结果的方法。
此例题的步骤如下:1.简要2.设定操作环境及定义材料和截面3.利用建模助手建立梁柱框架4.弹性地基模拟5.定义边界条件6.输入梁单元荷载7.定义结构类型8.运行分析9.查看结果例题 弹性地基梁分析31.简要本例题介绍使用MIDAS/Gen 进行弹性地基梁的建模分析。
(该例题数据仅供参考)基本数据如下：¾ 轴网尺寸：见平面图 ¾ 柱： 900x1000，800x1000¾ 梁： 500x1000，400x1000，1000x1000 ¾ 混凝土：C30图1 弹性地基梁分析模型例题弹性地基梁分析42.设定操作环境及定义材料和截面在建立模型之前先设定环境及定义材料和截面1.主菜单选择 文件>新项目2.主菜单选择 文件>保存: 输入文件名并保存3.主菜单选择 工具>单位体系: 长度 m, 力 kN图2. 定义单位体系4.主菜单选择 模型>材料和截面特性>材料：添加：定义C30混凝土材料号：1 名称：C30 规范：GB(RC)混凝土：C30 材料类型：各向同性5.主菜单选择 模型>材料和截面特性>截面：添加：定义梁、柱截面尺寸注：也可以通过程序右下角随时更改单位。
例题 弹性地基梁分析5图3 定义材料图4 定义梁、柱截面例题弹性地基梁分析6 3.用建模助手建立模型1、主菜单选择模型>结构建模助手>框架:输入：添加x坐标，距离8，重复1；距离10，重复2；距离8，重复1；添加z坐标，距离8，重复1；距离6，重复1；编辑： Beta角，0；材料，C30；截面，500x1000；点击；插入：插入点，0，0，0；图5 建立框架例题 弹性地基梁分析72、主菜单选择 模型>单元>修改单元参数分别将梁及柱修改为相应的截面。
弹性地基上的梁和板分析
第四章弹性地基上的梁和板分析
4.1地基计算模型（①静力平衡②变形协调）
1.地基模型是描述地基土应力和应变关系的数学表达式。
2.选择地基模型一般要考虑建筑物荷载大小，地基土性质以及地基承载力等因素。
4.1.1 线性弹性地基模型（当建筑物的荷载较小，而地基承载力较大时，地基土的应变关系可采用线弹性地基模型进行分析。
线性弹性地基模型认为，地基土在荷载作用下其应力应变关系为直线关系。
）
最简单和常用的三种线性弹性地基模型为：①文克勒地基模型（地基某点的沉降只与该点的作用力有关，而与作用于其他点上的压力无关。
实质上就是把地基看作无数分割开的小土柱，若用一根根弹簧代替土柱，则有变成一群不相连的弹簧体系，这就是文克勒地基模型）②弹性半空间地基模型（弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的，各向同性的弹性半空间体）③分层地基模型（分层地基模型是以计算地基基础最终沉降的分层总和法为基础构建的地基模型）
4.1.2非线性弹性地基模型（地基土在荷载作用下的应力-应变关系假设为线性关系之适于应力-应变的开始阶段，随着荷载的增加，土体的变形呈非线性特征。
）
4.2文克勒地基上梁的计算
①满足地基与基础之间的变形协调条件。
②基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足静力平衡条件。
弹性地基梁结构5种计算模式的选择
弹性地基梁结构5种计算模式的选择弹性地基梁结构在进行计算时，程序给出了5种计算模式，现对这5种模式的计算和选择进行一些简单介绍。
⑴按普通弹性地基梁计算：这种计算方法不考虑上部刚度的影响，绝大多数工程都可以采用此种方法，只有当该方法时基础设计不下来时才考虑其他方法。
⑵按考虑等代上部结构刚度影响的弹性地基梁计算：该方法实际上是要求设计人员人为规定上部结构刚度是地基梁刚度的几倍。
该值的大小直接关系到基础发生整体弯曲的程度。
而上部结构刚度到底是地基梁刚度的几倍并不好确定。
因此，只有当上部结构刚度较大、荷载分布不均匀，并且用模式1算不下来时方可采用，一般情况可不用选它。
⑶按上部结构为刚性的弹性地基梁计算：模式3与模式2的计算原理实际上最一样的，只不过模式3自动取上部结构刚度为地基梁刚度的200倍。
采用这种模式计算出来的基础几乎没有整体弯矩，只有局部弯矩。
其计算结果类似传统的倒楼盖法。
该模式主要用于上部结构刚度很大的结构，比如高层框支转换结构、纯剪力墙结构等。
⑷按SATWE或TAT的上部刚度进行弹性地基架计算：从理论上讲，这种方法最理想，因为它考虑的上部结构的刚度最真实，但这也只对纯框架结构而言。
对于带剪力墙的结构，由于剪力墙的刚度凝聚有时会明显地出现异常，尤其是采用薄壁柱理论的TAT软件，其刚度只能凝聚到离形心最近的节点上，因此传到基础的刚度就更有可能异常。
所以此种计算模式不适用带剪力墙的结构。
另外，设计人员在采用《JCCAD用户手册及技术条件》附录C中推荐的基床反力系数K时，该值已经包含上部刚度了，所以没有必要再考虑一次。
⑸按普通梁单元刚度的倒楼盖方式计算：模式5是传统的倒楼盖模型，地基梁的内力计算考虑了剪切变形。
该计算结果明显不同与上述四种计算模式，因此一般没有特殊需要不推荐使用。
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弹性地基梁结构模态分析张渔勇武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室，湖北武汉 (430070）E-mail ：zhyy0214@摘 要：推导文中设定边界情况下弹性地基梁振型函数，并由弹性地基梁的控制方程推导弹性地基梁的频率公式。
通过计算机仿真分析，比较分析计算频率与理论频率误差，并获得该梁的振动模态。
分析表明，文中所建立的有限元模型合理，频率误差很小，满足工程精度要求。
关键词：弹性地基梁；频率；模态1. 基本理论如图1所示，建一两端可上下滑动、跨长为L 的欧拉梁(忽略其剪切变形和转动惯量)，荷载P 以速度s 从弹性地基梁上通过，此时系统的控制方程为：242241(,)(,)(,)()()n i i i v x t v x t EI Kv x t P t x st l t x ρδ==∂∂++=−−∂∂∑ (1-1) 式中，ρ：弹性地基梁单位长度的质量；(,)v x t ：荷载()P t 位于x 处t 时刻的动挠度；K ：地基弹性模量；EI ：弹性地基梁的抗弯刚度；()x st δ−：狄拉克函数；()P t ：弹性地基梁上移动荷载。
i l为第i 个荷载到第一个荷载的距离，其中10l =。
2. 两端可上下滑动支座情况振型函数推导梁的振动如下式所示：(,)()(sin cos )v x t X x A t B t ωω=+ (1-2)式中,()X x ω分别为自振频率、振型函数。
将(1-2)式代入下式，2424(,)(,)0v x t v x t EI t x ρ∂∂+=∂∂ (1-3)可得到：444()0d X k X x dx −= (1-4)式中24k EI ρω=式子(1-4)的通解为：1234()cos sin kx kx X x A e A e A kx A kx −=+++ (1-5)或1234()cos sin X x B chkx B shkx B kx B kx =+++ (1-6)令11322431342411(),()2211(),()2211(cos ),(sin )2211(cos ),(sin )22kx kx kx kx B c c B c c B c c B c c A chkx kx B shkx kx C chkx kx D shkx kx ⎫=+=+⎪⎪⎪=−=−⎪⎬⎪=+=+⎪⎪⎪=−=−⎪⎭ (1-7)于是()X x 又可以表示为：1234()kx kx kx kx X x c A c B c C c D =+++ (1-8) ,,,kx kx kx kx A B C D 称为影响函数，它们之间存在以下微分关系： ,,kx kx kx kx kx kx kx kxdA dBkD kA dx dx dC dDkB kC dx dx ====另外这些函数还具有以下极为重要的特点，即当0x =时：'''''''''''''''2'''''''''31,0,0,0;0,,0,0;0,0,,0;0,0,0,.kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx A A A A B B k B B C C C k C D D D D k ⎫====⎪====⎪⎬====⎪⎪====⎭ (1-9)由于影响函数具有以上特性，故便于以初参数表示积分常数1234,,,c c c c 。
通常将坐标原点置于梁的左端，则根据左端的边界条件：'''''''0000(0),(0),(0),(0)M QX X X X X X EI EI ===−=− (1-10)可以求得：'00123423111(0),(0),,M Qc X c X c c k k EI k EI ===−=− (1-11) 这样(3-8)式就可以表示为：'000023111()kx kx kx kx M Q X x X A X B C D k k EI k EI =+−− (1-12)对x 求导数，得到：''0000211()kx kx kx kxM QX x kX D X A B C k EI k EI =+−− (1-13)2'0000()1kx kx kx kxM Q M x k X C kX D A B EI EI k EI =−−++ (1-14)32'0000()kx kx kx kxM Q Q x k X B k X C k D A EI EI EI =−−++ (1-15)上式中影响函数,,,kx kx kx kx A B C D 可由文献[1]。
'0000,,,X X M Q 为四个初参数，分别代表sin()1t ωγ+=时梁左端的位移、倾角、弯矩、剪力。
这四个初参数在任意支座条件下，必有二个为已知，另二个为未知。
[2]对两端可上下滑动支座情况，梁的边界条件为：0x =时，'000,0X Q == x l =时，'0,0l l X Q ==利用式(1-12)并考虑上述边界条件可得：021()kx kxM X x X A C k EI =−(1-16)由右边的边界条件当x l =时，'0,0ll X Q ==，代入式(3-13)与(3-15)可得： 0030000kl kl kl kl B kD X M kEIkD k B X M EI ⎫−=⎪⎪⎬⎪−+=⎪⎭ (1-17) 令00,X M 的系数行列式等于零，即得频率方程：220kl kl D B −= (1-18)化简后，得：sin 0shkl kl ⋅= (1-19)因为0shkl ≠，所以sin 0kl =同时可以得知，0kl =及(1,2,3,)kl j j π==L 均满足上式，但0kl =不代表振动的情形，故只能取j k l π=(1,2,3,)j =L 振型函数由式(1-16)求得。
由于sin 0kl =，故由式(1-7)可知：12kl kl B D shkl ==(1-20)由式(1-17)之任一式得：200M k EIX = (1-21)将式(1-21)代入(1-16)可得：0()cos X x X kx = (1-22)因为振动形式与振幅大小无关，故常数0X 可任意选定，通常取为1，从而得到：()cos X x kx = (1-23)第j 阶振型函数为：()cos cosj j j X x k x xl π== (1-24)3. 弹性地基梁固有频率推导令方程(1-1)右边为0得到：2424(,)(,)(,)0v x t v x t EI Kv x t t x ρ∂∂++=∂∂ (1-25)将(1-2)式代入(1-25)式得：424d XEI KX X d x ρω+= (1-26)该边界条件下弹性地基梁的振型函数由(1-24)式可得：cosn n xX L π= (1-27)它是满足边界条件的解。
将(1-27)式代入(1-26)式得：42()n EI K L πρω+= (1-28)推导得弹性地基梁的固有频率为：24()n n EI K L πωρρ=+nω= (1-29) 4. 数值仿真计算4.1 建模该模型采用ANSYS [3]中的BEAM3单元模拟轨道部分，采用COMBINI4单元模拟轨道系统的弹性支撑，轨距为0.75米。
模型计算简图见图2，计算参数取自日本新干线，见表2。
表2 计算参数[4] 轨道材料密度 梁截面面积 截面惯性矩 弹性模量支座弹性系数7880 kg/m36.405E-3 m21.96E-5 m42.06E11 N/m20.983E8 N/m4.2 模态分析计算梁长L=15米，200个弹性支座。
对所建立的模型进行模态分析，其前四阶模态如图3，4，5，6所示。
图3 第一阶模态图4 第二阶模态图5 第三阶模态图6 第四阶模态4.3 频率分析由表2给出的相关参数，根据公式(1-29)可计算出上述轨道梁固有频率理论值，将各阶理论值与ANSYS 模态分析计算值进行比较，其相对百分比误差均(RPE)未超过5%。
100%true ansystruef f RPE f −=× (1-30)式中：ansysf 为ANSYS 分析值；true f 为理论计算值。
表3 频率比较模态ansysftrue fRPE (%)1 256.491 256.482 0.0035 2 256.669 256.596 0.02843 257.235 257.089 0.05684 258.281 258.413 0.05115 259.855 261.182 0.5086 262.457 266.143 1.38 7 267.057 274.118 2.58 8 274.626285.9183.955. 结论分析表明，利用ANSYS 建立弹性地基梁结构有限元模型较合理，在频率分析中，其前八阶的相对百分比误差均没超过5%，满足工程要求。
参考文献[1]王光远著，建筑结构的振动，科学出版社，1978[2]李桂青.抗震结构计算理论和方法[M].北京：地震出版社，1985. [3]ANSYS 9.0 Documentation[4]谢伟平，王国波，于艳丽.移动荷载作用下双层Euler 梁模型土动力响应分析.地震工程与工程振动，2004, 24(1):82-86Mode Analysis for Elastic Foundation Beam StructureZhang YuyongHubei Key Lab. of Roadway, Bridge & Structure Eng, WUT. Wuhan (430070)AbstractThe paper deduces the shape function of elastic foundation beam based on a certain boundary condition, and through the control equation of elastic foundation beam, a frequency formulation of elastic foundation beam has been derived. By means of computer simulations calculation, the paper compares the relative percentage error between calculated frequency and frequency in theory; meanwhile the mode of elastic foundation beam can be obtained. The research shows that the FEM model established in this paper is reasonable, the error on frequency is slight small and it can satisfy the precision requirement.Keywords: elastic foundation beam; frequency; mode作者简介：张渔勇，男，硕士研究生，主要研究方向是工程结构抗震、健康监测。