2017届高三数学理科二轮复习专练-直线与圆综合练
2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题5 第16讲 高考中圆
[解] 如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.
设A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)， 则直线AB的方程为ax＋by＝1，即bx＋ay－ab＝0.
因为AB与圆C相切，所以|b＋ba2＋－aa2b|＝1. 化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2. 5分 因此AB＝ a2＋b2＝ a＋b2－2ab ＝ a＋b2－4a＋b＋4 ＝ a＋b－22. 因为0＜a＜1,0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 12分
(2)因为M→P·M→Q＝0，所以∠PMQ＝π2.
又由(1)得MP＝MQ＝r＝
5，所以点M到直线l的距离d＝
10 2.
14分
由点到直线的距离公式可知，|2m－4m－2＋2m4－1|＝ 210，解得m＝± 6. 16分
2．(2013·江苏高考)如图16－2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l： y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4030，
从而BC＝CF－BF＝150.
因此新桥BC的长是150 m． 8分
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连结MD，则MD⊥BC，且MD是圆 M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝MMDF＝OFM－DOM＝6830r－d＝35， 所以r＝680－5 3d. 12分
[解] (1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y＝－3x， 设Q(x0,2)(x0>0)，由|3x01＋02|＝7 510及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2). 5分 ∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0， 由xy＋＝y－－36x＝，0， 得yx＝＝9－，3， 即B(－3,9)， ∴AB＝ －3－62＋92＝9 2，从而t＝396 22＝14 h. 即货运汽车需要1 5分钟时间. 8分
高考数学二轮复习 专题十五 直线与圆练习 理
专题限时集训(十五) [直线与圆](时间：5分钟＋40分钟)基础演练夯知识1. 已知倾斜角为α的直线l与直线m：x－2y＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )A.4 3B.3 4C.4 5D.2 32. 直线x＋y＝5和圆O：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )A. 相离B．相切C．相交不过圆心D．相交过圆心3. 设直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )A. 充分不必要条件B．必要不充分条件C. 充要条件D．既不充分也不必要条件4. 已知p：a＝2，q：直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 两条平行直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：ax＋8y＋2＝0之间的距离是__________．提升训练强能力6. 直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为抛物线x2＝4y的焦点，则直线l的方程为( )A. 2x＋3y－3＝0B．x－y－1＝0C. x＋y－1＝0D．x－y＋1＝07. 方程(x2＋y2－2x)x＋y－3＝0表示的曲线是( )A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线8. 已知点A(－3，0)，B(0，3)，若点P在圆x2＋y2－2x＝0上运动，则△PAB面积的最小值为( )A．6 B．6 2C ．6＋322D ．6－3229. 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A. 62B.32C.94D ．2 310. 函数f (x )＝－1be ax(a >0，b >0)的图像在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b的最大值是( ) A ．4 B ．2 2 C. 2 D ．211. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2确定的平面区域为M ，圆O ：x 2＋y 2＝4 与区域M 的边界相交于点A 、B ，O 是原点，则∠AOB ＝________．12．若直线x －y －1＝0被⊙C ：(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：12x －5y ＋c ＝0(其中c 为常数)，下列有关直线l 与圆O 的命题：①当c ＝0时，圆O 上有四个不同点到直线l 的距离为1；②若圆O 上有四个不同点到直线l 的距离为1，则－13＜c ＜13； ③若圆O 上恰有三个不同点到直线l 的距离为1，则c ＝13； ④若圆O 上恰有两个不同点到直线l 的距离为1，则13＜c ＜39； ⑤当c ＝±39时，圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1. 其中正确命题的序号为________．14.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点A 是上顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若圆C 的圆心在y 轴上，且与直线AF 2及x 轴均相切，求圆C 的方程．15. 已知点E (－2，0)，F (2，0)，曲线C 上的动点M 满足EM →·FM →＝－3.定点A (2，1)，由曲线C 外一点P (a ，b )向曲线C 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |＝|PA |.(1)求曲线C 的方程；(2)若以点P 为圆心的圆和曲线C 有公共点，求半径取最小值时圆P 的标准方程．16. 在平面直角坐标系中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，点P 为平面内一动点，且满足tan ∠PAB ·tan ∠PBA ＝34.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点P 位于y 轴左侧，过点P 作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求|MN |的取值范围．专题限时集训(十五)【基础演练】1．A [解析] 依题意得k ＝tan α＝12，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43，选A. 2．A [解析] 圆O 的圆心坐标为(0，2)，半径为2，圆心到直线x ＋y ＝5的距离d ＝32＝92>4＝2，故直线与圆的位置关系是相离． 3．C [解析] 由于两直线方程中的常数项之比为－1，所以两直线平行的充要条件是2m －1＝m 1≠－1.由2m －1＝m 1，得m (m －1)＝2，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝－1时，两直线重合，所以m ≠－1.故“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件．4．A [解析] 直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切的充要条件是|a |2＝1，即a ＝±2，所以p 是q 的充分不必要条件．5．1 [解析] 由直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0平行可得a ＝6，所以l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0，故两条直线间的距离d ＝|－4－1|32＋42＝1. 【提升训练】6．D [解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0，1)．根据圆的性质可知，直线l 垂直于点(0，1)与圆心(－1，2)的连线，点(0，1)与点(－1，2)的连线的斜率为－1，所以直线l 的斜率为1，又直线l 过点(0，1)，所以其方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.7．D [解析] 依题意得 x ＋y －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0，又圆(x －1)2＋y 2＝1与直线x ＋y －3＝0相离，且在直线下方，因此方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是一条直线．8．D [解析] 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1，0)，半径为1，直线AB 的方程为x －y ＋3＝0.圆心到直线AB 的距离d ＝22，故圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点到直线AB 的距离的最小值为22－1.因为||AB ＝32，所以△PAB 面积的最小值为12×(22－1)×32＝6－322.9．C [解析] 由两圆外切得d ＝（a ＋b ）2＋0＝3，得a 2＋2ab ＋b 2＝9，因此9≥4ab ，即ab ≤94，当且仅当a ＝b ＝±32时取等号，所以ab 的最大值为94.选C.10．C [解析] ∵ f ′(0)＝－a b ，f (0)＝－1b，∴ f (x )的图像在x ＝0处的切线方程为ax ＋by ＋1＝0，∵它与圆x 2＋y 2＝1相切，∴1a 2＋b2＝1，即a 2＋b 2＝1.∵ a >0，b >0 时有⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22＝12，∴a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，∴a ＋b 的最大值是 2. 11．30° [解析] 由图形知A (0，2)，B ()1，3，因此∠AOB ＝30°.12．－1或3 [解析] 半径r ＝2，半弦长为2，从而圆心到直线的距离d ＝2，由圆心到直线的距离公式可得a ＝－1或a ＝3.13．①②⑤ [解析] 圆心O 到直线l 的距离为|c |13，当|c |13＜1即－13＜c ＜13时，圆O上有四个不同点到直线l 的距离为1；当c ＝±13时，圆O 上恰有三个不同点到直线l 的距离为1；当13＜c ＜39或－39＜c ＜－13时，圆O 上恰有两 个不同点到直线l 的距离为1；当c ＝±39时，圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1.故①②⑤正确．14．解： (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，1a 2＋94b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，因此椭圆的方程为x 24＋y232＝1.(2)由题意得A (0，3)，F 1(1，0)，直线AF 2的方程为3x ＋y －3＝0,由x 轴与圆相切，设圆的方程为x 2＋(y －m )2＝m 2， 则|m －3|3＋1＝|m |，解得m ＝－3或m ＝33，故圆C 的方程为x 2＋(y ＋3)2＝3或x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －332＝13.15．解：(1)设M (x ，y )，则EM →＝(x ＋2，y )，FM →＝(x －2，y )， ∴ EM →·FM →＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2－4＋y 2＝－3，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. (2)∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ .由勾股定理，得|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2.由|PQ |＝|PA |，得(a 2＋b 2)－1＝(a －2)2＋(b －1)2， 化简得2a ＋b －3＝0，即b ＝－2a ＋3.设圆P 的半径为R ，∵圆P 与曲线C 有公共点，∴|R －1|≤|OP |≤R ＋1，即R ≥||OP |－1|且R ≤|OP |＋1.|OP |＝a 2＋b 2＝a 2＋（－2a ＋3）2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －652＋95，故当a ＝65时，|OP |min ＝355，此时b ＝－2a ＋3＝35，R min ＝355－1， 故所求圆P 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－12. 16．解：(1)设动点P (x ，y )．因为tan ∠PAB ·tan ∠PBA ＝34，所以－y x ＋2·y x －2＝34(x ≠±2),整理得x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．故动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1(－2<x 0<0)．设切线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则过点P 的圆C 的切线PM 的方程是y －y 0＝k 1(x －x 0)，令x ＝0，得y M ＝y 0－k 1x 0，同理可得y N ＝y 0－k 2x 0.设过点P 的圆C 的切线斜率为k ，则|k （1－x 0）＋y 0|1＋k2＝1， 即k 2(x 20－2x 0)＋2ky 0(1－x 0)＋y 20－1＝0，所以k 1＋k 2＝－2y 0（1－x 0）x 20－2x 0，k 1·k 2＝y 20－1x 20－2x 0， 所以|MN |＝|y M －y N |＝|x 0||k 1－k 2|＝|x0|（k1＋k2）2－4k1k2＝x0－6x0－2＝1－4x0－2.因为－2<x0<0，所以|MN|的取值范围是(2，3)．。
高考数学二轮复习小题专项练习(十)直线与圆理
小题专项练习(十) 直线与圆一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[·哈尔滨市第三中学第三次模拟]圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝12．[·浙江杭州第二次质检]设圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含3．[·辽宁模拟]将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝04．[·福建三明市模拟试卷二]与双曲线x 22－y 2＝1的渐近线平行，且距离为6的直线方程为( )A ．x ±2y －6＝0 B.2x ±2y ±6＝0C ．x ±2y ±6＝0 D.2x ±2y ＋6＝05．[·丹东总复习质量测试]圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋4＝0相外切，则C 的方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋2＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2＝0C ．x 2＋y 2＋4x ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝06．[·浙江杭州二中月考 ]已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝1，直线l ：y ＝k (x －1)＋1，则l与C 的位置关系是( )A ．一定相离B ．一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心7．[·四川高三联测]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x －2)2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 38．[·哈尔滨六中第三次模拟]已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线l 交于P ，Q 两点，当四边形MNPQ 为矩形时，圆F 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝8 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝19．[·临川一中全真模拟]已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线10．[·山东日照校际联合考试]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点，直线l 分别与以PF 1，PF 2为直径的圆相切于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.7 B ．3C ．4D ．511．[·四川蓉城四月联考]已知圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，C 2：(x －5)2＋y 2＝225，动圆C满足与C 1外切且与C 2内切，若M 为C 1上的动点，且CM →·C 1M →＝0，则|CM →|的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 512．[·安徽示范高中第八次月考]已知圆C 经过原点O 且圆心在x 轴正半轴上，经过点N (－2,0)且倾斜角为30°的直线l 与圆C 相切于点Q ，点Q 在x 轴上的射影为点P ，设点M为圆C 上的任意一点，则|MN ||MP |＝( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[·浙江绍兴一中模拟]已知直线l 1：3x ＋y －1＝0，l 2：ax ＋y ＝1，且l 1⊥l 2，则l 1的倾斜角为________，原点到l 2的距离为________．14．[·全国卷Ⅰ]直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.15．[·天津卷]在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________________．16．[·福建南平综合质量检查]直线l 与椭圆C ：x 24＋y 22＝1，相交于P ，Q 两点，若OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，则以O 点为圆心且与直线l 相切的圆的方程为________．。
直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练课件高考全国通用理科数学二轮复习
(1)设
2
M(x,y)是椭圆 2
+
2
=1(a>b>0)上的一点,其焦点为
2
F1(-c,0),F2(c,0),则
|MF1|=a+ex,|MF2|=a-ex(其中 e 是离心率).
(2)设
2
M(x,y)是双曲线 2
−
2
=1(a>0,b>0)上的一点,其焦点为
2
e为双曲线的离心率.
A. 3
【名校课堂】获奖PPT-专题七.直线、 圆、圆 锥曲线 小综合 题专项 练课件 高考全 国通用 理科数 学二轮 复习（ 最新版 本）推 荐
B.2 3
C. 5
D.2 5
)
【名校课堂】获奖PPT-专题七.直线、 圆、圆 锥曲线 小综合 题专项 练课件 高考全 国通用 理科数 学二轮 复习（ 最新版 本）推 荐
= 5,得, Nhomakorabea【名校课堂】获奖PPT-专题七.直线、 圆、圆 锥曲线 小综合 题专项 练课件 高考全 国通用 理科数 学二轮 复习（ 最新版 本）推 荐
1
2
2
= 4,
解得 a=1.
+ 2 = 4 2 ,
- = 2,
【名校课堂】获奖PPT-专题七.直线、 圆、圆 锥曲线 小综合 题专项 练课件 高考全 国通用 理科数 学二轮 复习（ 最新版 本）推 荐
考向一
圆锥曲线中的面积问题
2
2
1.(2020 全国Ⅰ,文 11)设 F1,F2 是双曲线 C:x - 3 =1 的两个焦点,O 为坐标原点,
点 P 在 C 上且|OP|=2,则△PF1F2 的面积为(
7
2017高考新课标数学(理)二轮复习配套检测：知识专题大突破专题六解析几何专题训练15含解析
专题训练（十五)直线与圆一、选择题1．直线l过点（－1,2)，且与直线2x－3y－1＝0垂直,则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0答案：A 解析：解法一：由题意可得，l的斜率为－错误!，所以直线l的方程为y－2＝－错误!(x＋1），即3x＋2y－1＝0。
解法二：设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，将点（－1，2)代入，得C＝－1，所以l的方程是3x＋2y－1＝0。
2．设向量a＝（a，1），b＝（1,b)（ab≠0)，若a⊥b，则直线b2x ＋y＝0与直线x－a2y＝0的位置关系是（)A．平行B．相交且垂直C．相交但不垂直D．重合答案：B 解析：由题意知，两直线都经过点（0，0)．∵a⊥b，∴a·b＝a＋b＝0，∴a＝－b，由于直线b2x＋y＝0的斜率为－b2，直线x－a2y＝0的斜率为错误!，则（－b2）·错误!＝－1,故两直线垂直．3．已知圆C1：(x－a）2＋（y＋2）2＝4与圆C2：（x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切,则ab的最大值为( ）A。
错误!B．错误!C.错误!D．2错误!答案：C 解析:由两圆外切，得错误!＝2＋1,即(a＋b）2＝9，∴ab≤2＝错误!.错误!4．已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4,a）作圆C的一条切线，切点为B,则｜AB｜＝（)A．2 B．4错误!C．6 D．2错误!答案：C 解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C:x2＋y2－4x－2y ＋1＝0的对称轴,∴圆心C（2,1）在直线x＋ay－1＝0上,∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1），∴｜AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36，∴|AB｜＝6。
5．（2016·湖北武汉模拟)设定点A（3,1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小值是( ）A．3错误!B．错误!C．2错误!D．错误!答案：C 解析：设点P,Q分别为点A关于直线y＝x和x轴的对称点，则P(1，3),Q（3，－1),根据对称性知△ABC的周长为L＝|AB|＋｜BC|＋｜CA｜＝｜QB｜＋|BC｜＋|PC|，则当P，B，C，Q在同一直线上时，△ABC的周长L取得最小值,其最小值为L＝|PQ|＝1－32＋3＋12＝2错误!，故选C。
精品高考数学二轮复习 小题考法专训 直线与圆 作业(全国通用)
小题考法专训（六） 直线与圆A 级——保分小题落实练 一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.3．(2020·开封定位考试)已知圆(x －2)2＋y 2＝9，则过点M (1,2)的最长弦与最短弦的长之和为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D 圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为(2,0)，半径为3，所以过点M 的最长弦的长为6，最短弦的长为232－[(2－1)2＋(0－2)2]2＝4，所以过点M 的最长弦与最短弦的长之和为10，故选D.4．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A. 5．已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( ) A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a 2＝3，得a ＝ 3. 6．已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．±2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.7．已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C 在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r＝(2－2)2＋(2－4)2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.8．(2020·石家庄模拟)已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( )A ．8B ．2 2C ．5D ． 5解析：选D 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵圆C 经过点(－1,0)和(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，∴a ＋b －2＝0.① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，∴|a |＝|b |.② 由①②得a ＝b ＝1，∴圆C 的半径为5，故选D.9．若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3,0)，又P (1,1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.根据弦MN 所在的直线经过点P (1,1)得所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选D.10．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C. 3D ．±3解析：选D 圆的方程可以化为x 2＋(y －3)2＝3，圆心为C (0,3)，半径为3，根据△ABC 为等边三角形可知AB ＝AC ＝BC ＝3，所以圆心C (0,3)到直线y ＝ax 的距离d ＝32×3＝32，所以32＝|a ×0－3|a 2＋1⇒2＝a 2＋1⇒a ＝±3.11．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝ (9－d 2)d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.二、填空题13．已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝014．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为______________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：将已知圆化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×(42)2－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 815．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为_______．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35 16．(2020·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx (k ＞0)关于y 轴对称，则k 的最小值为________．解析：由圆C 过点(0,1)，(0,3)知，圆心的纵坐标为1＋32＝2，又圆C 与x 轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x ＝22－⎝⎛⎭⎫3－122＝3，即圆心为(3，2)，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4.因为k ＞0，所以k 取最小值时，直线y ＝－kx 与圆相切，可得2＝|3k ＋2|k 2＋1，即k 2－43k ＝0，解得k ＝43(k ＝0舍去)． 答案：4 3B 级——拔高小题提能练1．[多选题]若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则下列关于y x －1的判断正确的是( )A.y x －1的最大值为 3 B ．yx －1的最小值为－ 3C.y x －1的最大值为33D ．y x －1的最小值为－33解析：选CD 由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点(x ，y )与点(1,0)连线的斜率，易知，y x －1最大值为33，最小值为－33.2．(2020·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是x 轴正半轴和y ＝x (x ＞0)图象上的两个动点，且|MN |＝2，则|OM |2＋|ON |2的最大值是( )A ．4－2 2B ．43C ．4D ．4＋2 2解析：选D 直线y ＝x 的倾斜角为π4，所以由题意知∠MON ＝π4，则在△MON 中，|MN |2＝|OM |2＋|ON |2－2|OM |·|ON |cos ∠MON ，即2＝|OM |2＋|ON |2－2|OM |·|ON |≥|OM |2＋|ON |2－2·|OM |2＋|ON |22，整理，得|OM |2＋|ON |2≤42－2＝4＋22，当且仅当|OM |＝|ON |＝2＋2时，等号成立，即|OM |2＋|ON |2的最大值为4＋22，故选D.3．已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP ―→＝PQ ―→，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则|x |的取值范围是( )A ．|x |≥1B ．|x |＞1C ．|x |≥2D ．|x |≥22解析：选A 由题意，设P (cos θ，sin θ)，则Q (2cos θ＋3，2sin θ)，所以k AP ＝sin θcos θ＋3，所以直线PM 的方程为(cos θ＋3)x ＋y sin θ－3cos θ－1＝0，直线BQ 的方程为x sin θ－y cos θ－3sin θ＝0，联立解得x ＝3＋cos θ1＋3cos θ＝33＋233(1＋3cos θ)，因为1－3≤1＋3cos θ＜0或0＜1＋3cos θ≤1＋3，所以x ≤－1或x ≥1，即|x |≥1，故选A.4．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2.动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0化为(x －1)2＋y 2＝9，圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大值为(0－1)2＋(－1－0)2＝2，所以动直线l 被圆C 截得的最短弦长为29－(2)2＝27.答案：0或2 275．已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， 所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)． 答案：[2＋22，＋∞)。
高考数学二轮复习专题五直线与圆
[解题方略] 求圆的方程的2种方法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与
几何法 圆的位置关系，从而求得圆的基本量 和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由 条件求得各系数，从而求得圆的方程
[跟踪训练]
1．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0，2)，B(－1，1)
两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为( )
5 ，∴三角形
ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
(2)设圆心M为(x，－4x)，kMP＝2x－－43x，
kl＝－1，所以kMP·kl＝－1，所以x＝1，所以M(1，－4)，所
以r＝|MP|＝ （1－3）2＋（－4＋2）2＝2 2所以所求圆的方程为
(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
[答案] (1)D (2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8
又|PQ|＝2× 4－d2，|MN|＝2× 4－d21， 所以S＝12|PQ|·|MN|，即S＝12×2× 4－d2×2× 4－d21 ＝2 16－4（d21＋d2）＋d21d2
＝2 12＋d21d2≤2
12＋d21＋2 d22＝2
当且仅当d1＝d时，等号成立，
12＋14＝7，
所以四边形PMQN面积的最大值为7.
2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则三角形ABC外接圆的方程是 ()
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5 C．(x－3)2＋y2＝5 D.(x＋3)2＋y2＝5 (2)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于 点P(3，－2)的圆的方程为________________．
直线 l2 过定点
()
A．(3，1)
高考数学二轮专题复习与测试练习题 专题5 第1课时 直线与圆 文
高考数学二轮专题复习与测试练习题 专题5 第1课时 直线与圆 文(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件，故选C.答案： C2．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B ．54C ．－65D ．56解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－11＋2·k ＝－12＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ，解得k ＝－32，b ＝54，∴直线方程为y ＝－32x ＋54，其在x 轴上的截距为56.答案： D3．(2013·福建省质量检查)已知点A (1,2)，B (3,2)，以线段AB 为直径作圆C ，则直线l ：x ＋y －3＝0与圆C 的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离解析： 以线段AB 为直径作圆C ，则圆C 的圆心坐标C (2,2)，半径r ＝12|AB |＝12×(3－1)＝1.点C 到直线l ：x ＋y －3＝0的距离为|2＋2－3|2＝22＜1，所以直线与圆相交，并且点C 不在直线l ：x ＋y －3＝0上，故应选B.答案： B4．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C ．(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499解析： 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由于圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，令x ＝0，得(y －b )2＝b 2－a 2，此时在y 轴上截得的弦长为|y 1－y 2|＝2b 2－a 2，由已知得，2b2－a 2＝25，即b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝73(舍去)．所以，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案： A5．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17解析： 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C ′1(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC ′1|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 答案： A6．(2013·保定调研)若实数x ，y 满足x |x |－y |y |＝1，则点(x ，y )到直线y ＝x 的距离的取值范围是( )A ．[1，2)B ．(0，2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(0,1]解析： ①当x ≥0且y ≥0时，x |x |－y |y |＝x 2－y 2＝1；②当x ＞0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝x 2＋y 2＝1；③当x ＜0且y ＞0时，无意义；④当x＜0且y＜0时，x|x|－y|y|＝y2－x2＝1.作出图象如图所示，因为直线y＝x为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y＝x的距离的最大值为1，所以选D.答案： D7．(2013·东城区检测)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为________；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝________.解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24，根据切点在第四象限，可得k＝－24.答案：－2 48．(2013·武昌区联考)已知x2＋y2＝4上恰好有3个点到直线l：y＝x＋b的距离都等于1，则b＝________.解析：由题意知原点到直线l的距离d为1，即d＝|0－0＋b|2＝1，∴b＝± 2.答案：± 29．(2012·江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是____________．解析：直线与圆的位置关系如图所示，设P(x，y)，则∠APO＝30°，且OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP＝2，即x2＋y2＝4.又x＋y－22＝0，联立解得x＝y＝2，即P(2，2)．答案：(2，2)10．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．解析：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得，a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为 (a －1)x ＋y ＋4a －1a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等， ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11.如图所示，已知直线l ：y ＝x ，圆C 1的圆心为(3,0)，且经过点A (4,1)．(1)求圆C 1的方程；(2)若圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，点B 、D 分别为圆C 1、C 2上任意一点，求|BD |的最小值．解析： (1)依题意，设圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，因为圆C 1经过点A (4,1)，所以r 2＝(4－3)2＋12＝2.所以圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)由(1)，知圆C 1的圆心坐标为(3,0)，半径为2，C 1到直线l 的距离d ＝|3－0|1＋1＝322，所以圆C 1上的点到直线l 的最短距离为322－2＝22.因为圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，所以|BD |min ＝2×22＝ 2. 12．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解析： (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －32＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
训练目标
(1)直线与圆的位置关系的判断与应用；
(2)训练解题步骤的规范性．
训练题型
(1)求圆的方程；(2)切线问题、弦长问题；
(3)直线与圆的位置关系的应用．
解题策略
利用直线与圆的位置关系的几何意义、弦长公式及弦心距、半径、弦长的一半
之间的关系，列方程或不等式.
1．过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为________________．
2．已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为________．
3．(2016·丽水一模)已知圆x2＋y2＝4，过点P(0，3)的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，
则△OAB的面积的最大值是________．
4．已知圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴的右侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆C的标准
方程为________．
5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的
面积为________．
6．过点P(12，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程
为____________________．
7．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线
l的倾斜角的取值范围是______________．
8．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使AB最
小，则直线l的方程是________________．
9．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三
角形，则实数a的值为________．
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y
＝33x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切．
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．
答案精析
1．2x＋3y－1＝0 2.3 3.2
4．(x－2)2＋y2＝2
解析 设圆心为(a,0)(a＞0)，由题意得|a|2＝2，所以a＝2(a＝－2舍去)，即圆C的圆心为C(2,0)，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
5．102
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC＝210，最短弦
BD恰以E(0,1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3)，
故EF＝5.
∴BD＝210－52＝25，
∴S四边形ABCD＝12AC·BD＝102.
6．2x－4y＋3＝0
解析 设AB的中点为D，则cos∠ACB＝2cos2∠ACD－1.
所以当cos∠ACD最大时，cos∠ACB最大，∠ACB最小．
当斜率存在时，设l：y－1＝k(x－12)，
即kx－y＋1－k2＝0，则圆心C到直线l的距离d＝|k2＋1|k2＋1.
当CP⊥AB时，d最大．
此时kCP＝－2，所以k＝12，
所以y＝12x＋34；
当斜率不存在时，d＝12＜14＋154＝52，舍去．
综上，直线l：y＝12x＋34，即2x－4y＋3＝0.
7.π12，5π12
解析 由x2＋y2－4x－4y－10＝0，
得(x－2)2＋(y－2)2＝18，
所以r＝32.
如图，若圆O′上至少有三个不同的点到直线l的距离为22，则需要直线l
在如图中的l1和l2之间(包括l1和l2)，l1和l2为临界位置，此时圆心O′(2,2)
到直线l：ax＋by＝0的距离为d＝2，从而易求l1的倾斜角为π12，l2的倾斜
角为5π12，所以直线l的倾斜角的取值范围为π12，5π12.
8．x－y＋3＝0
解析 易知点P在圆的内部，根据圆的性质，若使AB最小，则AB⊥CP，因为圆心C(0,1)，所以k
CP
＝2－1－1－0＝－1，kl＝1，因此直线l的方程为y－2＝x＋1，
即x－y＋3＝0.
9．±1
解析 因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离d＝rsin 45°
＝22，即d＝1a2＋1＝22，所以a＝±1.
10．解 (1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(23，2)，
因为直线l的斜率为33，
所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，所以k2＝3，
所以反射光线l2所在的直线方程为
y－2＝3(x－23)，
即3x－y－4＝0.
由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，
因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
所以b＝－3a＋8，①
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，
所以a＝33，②
由①②得a＝33，b＝－1，
故圆C的半径r＝3，
故所求圆C的方程为
(x－33)2＋(y＋1)2＝9.
综上，l2所在直线的方程为3x－y－4＝0，圆C的方程为(x－33)2＋(y＋1)2＝9.
(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为
B′(x0，y0)，
即y0－42＝33·x02，且y0＋4x0＝－3，
解得x0＝－23，y0＝2，故B′(－23，2)．
由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，
PB＋PQ最小，
故PB＋PQ的最小值为
B′C－3
＝－23－332＋2＋12－3
＝221－3，
由 y＋12＋1＝x－33－23－33，y＝33x，
得P(32，12)，
故PB＋PQ的最小值为221－3，
此时点P的坐标为(32，12)．