高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：α，范围0≤α x l //轴或与x 轴重合时，α=00。
2、斜率： k=tan αα与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2,y 2） α=κπ⇔2不存在⇒k=1212x x y y --022<⇔<<κππ当1x =2x 时，α=900，κ不存在。
当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。
几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。
②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系2、L 1 到L 2的角为0，则12121tan k k k k •+-=θ（121-≠k k ）3、夹角：12121tan k k k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B Ad③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是0221=+++C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' （2）点关于线的对称：设p(a 、b) 一般方法：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0中点满足L 方程解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。
P yLP 0 x（3L ：0）的对称直线l '：A （2X 0-X ）+B （2Y 0-Y ）+C=0 （4）直线关于直线对称①几种特殊位置的对称：已知曲线f(x 、y)=0关于x 轴对称曲线是f(x 、-y)=0 关于y=x 对称曲线是f(y 、x)=0 关于y 轴对称曲线是f(-x 、y)=0 关于y= -x 对称曲线是f(-y 、-x)=0 关于原点对称曲线是f(-x 、-y)=0 关于x=a 对称曲线是f(2a-x 、y)=0关于y=b 对称曲线是f(x 、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。
三、简单的线性规划不等式表示的区域约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。
要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。
②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、圆的方程1、圆的方程：①标准方程 ()22)(r b y a x =-+-，c （a 、b ）为圆心，r 为半径。
②一般方程：022=++++F EY DX y x ，⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，2422FE D r -+=当0422=-+F E D 时，表示一个点。
当0422<-+F E D 时，不表示任何图形。
③参数方程： θcos r a x +=θsin r b y +=θ为参数以A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是 （X-X 1）（X-X 2）+（Y-Y 1）（Y-Y 2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与r 比较大小。
3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：△＞0⇔相交、△＝0⇔相切、△＜0⇔相离②利用圆心c(a 、b)到直线AX+BY+C=0的距离d 来确定： d ＜r ⇔相交、d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt △） 4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆222r y x =+相切于点（x 1、y 1）的切线方程是211r y y x x =+ 与圆222)()(r b y a x =-+-相切于点（x 1、y 1）的切成方程 为：211))(())((r b y b y a x a x =--+--与圆022=++++F EY DX y x 相切于点（x 1、y 1）的切线是0)2()2(1111=++++++F y y E x x D y y x x （2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p 0(x 0，y 0)是圆222)()(r b y a x =-+-外一点22121)()(r b y a x =-+-①设切点是p 1(x 1、y 1)解方程组221010))(())((r b y b y a x a x =--+--先求出p 1的坐标，再写切线的方程②设切线是)(00x x k y y -=-即000=+--y kx y kx 再由r k y kx b ka =++--120，求出k ，再写出方程。
（当k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）③已知斜率的切线方程：设b kx y +=（b 待定），利用圆心到L 距离为r ，确定b 。
5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切） 6、圆系①同心圆系：222)()(r b y a x =-+-，（a 、b 为常数，r 为参数） 或：022=++++F EY DX y x （D 、E 为常数，F 为参数）②圆心在x 轴：222)(r y a x =+- ③圆心在y 轴：222)(r b y x =-+④过原点的圆系方程2222)()(b a b y a x +=-+- ⑤过两圆0:111221=++++F Y E X D y x C 和0:222222=++++F Y E X D y x C 的交点的圆系方程为0(2222211122=+++++++++F Y E X D y x F Y E X D y x 入（不含C 2），其中入为参数若C 1与C 2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 例3求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 例6两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。
类型六：圆中的对称问题例16、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是例17 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切 （1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程． 类型七：圆中的最值问题例18：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PBPA +的最小值是. 类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.例23 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．图类型九：圆的综合应用例24、已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．例25、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．例26 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．。
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
1.直线方程⑴点斜式；⑵斜截式；⑶截距式；⑷两点式；⑸一般式(A，B不全为0)。
(直线的方向向量，法向量）
2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系：
4.直线系。
5.几个公式⑴设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，⊿ABC的重心G是：()；⑵点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；
6.圆的方程：⑴标准方程：①；②。
⑵一般方程：(注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E2-4AF
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
8.圆系：⑴；注：当时表示两圆交线。
⑵。
9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离)①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离)①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且)①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。
高三数学直线与圆知识点复习
高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。
在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。
下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。
1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。
一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。
2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。
标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。
圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。
3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。
- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。
- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。
- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。
5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。
在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。
高中直线与圆的方程知识点总结
高中直线与圆的方程知识点总结直线与圆的方程在高中数学里就像两颗璀璨的星星，各自闪耀又相互关联。
咱先说说直线的方程吧。
直线在平面直角坐标系里那可是千变万化的。
最常见的斜截式方程y = kx + b，这里的k就像是直线的“坡度”，如果k 越大，直线就越陡峭，就好像爬山的时候，坡度大的路爬起来更费劲呢。
b 呢，是直线在y轴上的截距，就好比是直线这个小火车在y轴这个站台的起始位置。
那要是k = 0呢，直线就变成了一马平川的平地，也就是平行于x 轴的直线了。
还有点斜式方程，知道直线上一点的坐标和它的斜率就能确定这条直线的方程，这就像你知道一个人的起点和他前进的方向，就能知道他的路线一样。
再看看直线之间的关系。
平行的直线啊，它们的斜率相等，就像两条同向行驶而且速度一样的铁轨，永远不会相交。
而垂直的直线呢，它们斜率的乘积是 - 1，这就好比是两个互相制约的力量，一个向上一个向下，形成了一种完美的平衡关系。
说到圆的方程，标准方程(x - a)²+(y - b)² = r²，这里的(a,b)就是圆心的坐标，圆心就像圆这个大家庭的家长，r就是半径，半径就像是这个家庭的活动范围，在这个范围内的点都属于这个圆家族。
圆是一个特别对称的图形，关于圆心对称，不管从哪个方向看，都是那么圆润、和谐。
直线和圆的位置关系可有趣了。
有相交、相切和相离三种情况。
相交的时候，直线就像一个调皮的小孩，闯进了圆的领地，和圆有两个交点，就像小孩在圆里踩了两个脚印。
相切的时候呢，直线就像是圆的守护神，刚好和圆亲密接触于一点，这一点就是切点，多像两个好朋友轻轻地碰了一下手。
相离就比较惨了，直线和圆就像两个互不相干的陌生人，远远地分开，谁也不挨着谁。
那怎么判断直线和圆的位置关系呢？我们可以用圆心到直线的距离d和半径r来比较。
如果d < r，那就是相交，就好像一个小蚂蚁距离一个圆形的蛋糕中心的距离小于蛋糕的半径，那这个小蚂蚁肯定是在蛋糕上啦。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
直线与圆的方程知识点总结归纳
直线与圆的方程知识点总结归纳直线与圆是几何学中常见的两类曲线，在数学中有各自的方程表示形式。
在本文中，我们将总结和归纳直线与圆的方程的相关知识点。
让我们一起深入了解吧。
直线的方程在平面几何中，直线可以用多种形式表示。
其中，最常见的是点斜式和一般式。
1. 点斜式方程点斜式方程是直线的一种表示方法，使用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
设直线上一点为(x₁, y₁)，斜率为m。
那么点斜式方程可以表示为：y - y₁ = m(x - x₁)2. 一般式方程一般式方程是直线的另一种表示方法，使用直线的斜率和截距来表示。
设直线的斜率为m，截距为c。
那么一般式方程可以表示为：ax + by + c = 0其中，a和b为不同时为0的任意实数。
圆的方程在平面几何中，圆可以用多种形式表示。
常见的表示形式有标准式和一般式。
1. 标准式方程标准式方程是圆的一种表示方法，使用圆心的坐标和半径长度来表示。
设圆心坐标为(h, k)，半径长度为r。
那么标准式方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²2. 一般式方程一般式方程是圆的另一种表示方法，使用圆心的坐标和半径长度来表示。
设圆心坐标为(h, k)，半径长度为r。
那么一般式方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为不全为0的任意实数。
直线与圆的关系直线与圆的关系可以通过它们的方程来判断。
根据方程的形式，可以得出直线与圆的以下关系：1. 直线与圆相切如果直线的方程与圆的方程仅有一个交点，那么直线与圆相切。
2. 直线与圆相离如果直线的方程与圆的方程没有交点，那么直线与圆相离。
3. 直线与圆相交如果直线的方程与圆的方程有两个交点，那么直线与圆相交。
4. 直线为圆的切线如果直线的方程与圆的方程有一个交点，并且该交点为圆上的点，那么直线为圆的切线。
总结本文总结归纳了直线与圆的方程的相关知识点。
高中数学总复习之基础知识要点直线和圆的方程
§7. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程。
1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα≤≤。
注：①当90=α或12x x=时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在。
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是:1=+bya x .注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线。
附:直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线,如果b k ,变化时，对应的直线也会变化。
①当b为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b )的直线束。
②当k 为定值，b 变化时,它们表示一组平行直线。
3。
⑴两条直线平行：1l ∥212k k l=⇔两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的。
因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误。
(一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l=⇔,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B BA =是平行的必要不充分条件,且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l。
⑵两条直线垂直:两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k ll 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k ll ，且2l 的斜率不存在或02=k，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A BA 是垂直的充要条件)4。
第2章 直线和圆的方程基础知识点汇总
Ax0 By0 C A2 B2
.
（3）两平行线间的距离公式：
l1 ： Ax By C1 0 与 l2 ： Ax By C2 0 间的距离 d 为：Βιβλιοθήκη d C1 C2 . A2 B2
2.4 圆与方程
1.圆的方程：
⑴标准方程： x a2 y b2 r 2 (其中圆心为 (a, b) ，半径为 r .)
（一）对于直线 l1 : y k1x b1, l2 : y k2 x b2 有：
⑴ l1
// l2
bk11
k2 b2
；
⑵ l1 和 l2 相交 k1 k2 ；
⑶ l1
和 l2
重合
bk11
k2 b2
；
⑷ l1 l2 k1k2 1.
（二）对于直线 l : Ax By C 0 ：
2.直线和圆相交弦长公式： l 2 r 2 d 2 （ d 表示圆心到直线的距离）
3.两圆位置关系： d O1O2
（1）外离： d R r ； （2）外切： d R r ； （3）相交： R r d R r ； （4）内切： d R r （ R r ）； （5）内含： d R r （ R r .
斜率分别为 k1，k2 的两条不重合的直线l1, l2 ，有l1 / /l2 k1 k2 .
斜率分别为 k1，k2 的两条直线 l1, l2 ，有 l1 l2 k1k2 1 .
2.2 直线的方程
1.直线方程：
⑴点斜式： y y0 kx x0 （不能表示斜率不存在的直线）
⑵斜截式： y kx b（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与 y 轴的交点纵坐标（即 y
l1 l2 A1 A2 B1B2 0 .
2.3直线的交点坐标与距离公式
高中数学直线和圆知识点总结
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1xy a b+= （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：22122121()()PP x x y y =-+- （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：0022||Ax By C d A B++=+（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：1222||C C d A B-=+4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ⋅=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B++=+与半径R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d OO =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； 当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线； 当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； 当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线； 当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减 5．弦长公式：222l R d =-例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是． 解析：由题意知 ＞1，解得－＜k ＜. 答案：(－， )例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0例3设直线x－－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦的长为2，则实数m的值是．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m ＝±.答案：±例4若a，b，c是直角三角形三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：＋＋c＝0所截得的弦长为．解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：＋＋c＝0所截得的弦长为2 ，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.答案：2例5已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，，分别切⊙M于A，B两点．(1)若＝，求及直线的方程；(2)求证：直线恒过定点．解：(1)设直线交于点P，则＝，又＝1，⊥，⊥，得＝＝，又∵＝，∴＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．从而直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段是此圆与已知圆的公共弦，相减可得的方程为－2y＋3＝0，所以直线恒过定点.例6过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为．解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为. 设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即－y＋k－2＝0，则＝，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝.答案：1或例7圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为．解析：圆心(1,0)，d＝＝1.答案：1例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴＝a，∴a＝，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为．圆C的方程为x2＋y2＋＋F＝0，则错误!解得错误!圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案] (1)C (2)x2＋y2－4x－6＝0例10 (1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是．(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为，最小值为．解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于＝2，易知所求圆的半径等于＝.(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x －y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.答案：(1) (2)5＋5－例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则的最小值为．解析：表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线与圆相切时的斜率．设直线的方程为y －2＝k (x －1)即－y ＋2－k ＝0.由＝1得k ＝，结合图形可知，≥，故最小值为. 答案：例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△面积的最小值是． 解析：：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝， 则边上的高的最小值为－1.故△面积的最小值是×2×＝3－. 答案：3－例13平面直角坐标系中，直线10x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线、分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解： ⑴因为O 点到直线10x y -+=的距离为12，所以圆O 的半径为2216()()222+=， 故圆O 的方程为222x y +=． ⑵设直线l 的方程为1(0,0)x y a b ab+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O 相切，得222ab a b =+，即221112a b +=，2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=， 直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-，直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+，222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--， 故mn 为定值2．例14圆x 22=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求的长；（2）当弦被点P 平分时，求直线l 的方程.解:（1）当α=43π时，－1，直线的方程为y －2=－（1），即x ＋y －1=0. 故圆心（0，0）到的距离2100-+22，从而弦长2218-=30.（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12=－2，y 12=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,8,822222121y x y x两式相减得（x 12）（x 1－x 2）+（y 12）（y 1－y 2）=0， 即－2（x 1－x 2）+4（y 1－y 2）=0，∴212121=--x x y y. ∴直线l 的方程为y －2=21（x ＋1），即x －2y ＋5=0.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线－10=0上. (1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程; (2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆222相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解: (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x －a)2+(y －b)2=25,其中圆心()满足a －10=0.又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a ,可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a , 故所求圆C 的方程为(10)22=25或(5)2+(y －5)2=25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离1110+52.当r 满足5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 222相外切的圆； 当r 满足5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 222相外切；当r 满足5,即52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 222相外切.题目1．自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则切线l 的方程为 ．2．求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.3．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则的最小值 ．4．设O 为坐标原点，曲线x 22+2x －61=0上有两点P 、Q ，满足关于直线4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m的值；（2）求直线的方程.5．已知圆C：x22－244=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.6. 已知曲线C：x22－4＋2－20＋200.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.10 / 11。
完整版直线与圆知识归纳
直线与圆♦知识点归纳直线与方程1.直线的倾斜角规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角的取值范围为［0,）2斜率：k tan (a y)，k R斜率公式：经过两点R（x i，y i），P2（X2,y2）（X i X2）的直线的斜率公式为k p^X2 X1直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数f（X） log2（X 1）且a b c 0，则理，的大小关系a b c例2.已知实数x,y 满足y X 22x 2( 1 x 1)，试求丄卫的最大值和最小值x 2两直线位置关系直线间的夹角:两条直线的位置关系或B 2y设两直线的方程分别为:1；：y k ： b2或丨二箴B 1yC C 00 ；当 k 1k 2 或 A 1B 2A 2B 1 时它们①若 为丨1到12的角,ta n■k2—或 ta n 1 k 2^A B 2 A 2 BlAA B1 B 2②若 为1l 和12的夹角，则tank 2 k i1 k 2k 1或tanA B 2 A B 1 A A 2 B 1 B 2③当1 k 1k 2 0或A 1A 2 B 1B 2 0时，90° ；直线11到丨2的角 与11和丨2的夹角(7)相交，交点坐标为方程组yk 1x k 2x b 1或Axb 2 或 A 2x B 2yGC(?)；距离问题1.平面上两点间的距离公式R(x i, y i),P2(X2, y2)贝U PP2 J(X2 X i) (y2 y2.点到直线距离公式点P(x0,y0)到直线l : Ax By C 0的距离为：dAx0 By0 C3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l i和12的一般式方程为l i : Ax By C1，I2 : Ax By C2 0 ,则1i与12的距离为d I C1 C2J A2B24.直线系方程：若两条直线1i: Ax B i y 0，I2: A2X B2y C2 0有交点，则过1i与12交点的直线系方程为(Ax B1y G) + (A2X B2y C2) 0 或(A2 x B2y C2)+ (A i x B i y C1 )0 (入为常数)对称冋题X 1.中点坐标公式：已知点A(X1, yj, B(X2, y2)，则A, B中点H (x, y)的坐标公式为yX1 X22 * y22点P(x。
高中数学直线和圆知识点总结
直线与圆的位置关系判断方法
01 总结词
比较圆心到直线的距离与圆的 半径
02 详细描述
通过比较圆心到直线的距离与 圆的半径，可以判断直线与圆 的位置关系，即相离、相切或 相交。
03
总结词
04
利用直线方程和圆的方程联立求 解
详细描述
将直线方程和圆的方程联立起来 ，消去一个变量后可以得到一个 二次方程。根据二次方程的判别 式来判断直线与圆的位置关系， 判别式大于0时相交，等于0时相 切，小于0时相离。
直线的交点坐标与距离公式
01
两条直线的交点坐标
通过联立两条直线的方程求得。
02
两条平行线之间的距离公式
利用两平行线间的距离公式d = |c2 - c1| / |a|，其中a是直线的斜率，
c1和c2是直线在y轴上的截距。
03
两条垂直线之间的距离公式
利用两垂直线间的距离公式d = h / p，其中h是两垂直线在x轴上的距
高中数学直线和圆知识点总结
汇报人： 202X-01-08
• 直线知识点 • 圆知识点 • 直线与圆的综合应用 • 解题技巧与思路总结
01
直线知识点
直线的方程
01
02
03
04
直线的点斜式方程
通过直线上的一点和直线的斜 率来表示直线方程。
直线的两点式方程
通过直线上的两点来表示直线 方程。
直线的截距式方程
相切
当直线与圆只有一个交点 时，称直线与圆相切。此 时，圆心到直线的距离等 于半径。
相离
当直线与圆没有交点时， 称直线与圆相离。此时， 圆心到直线的距离大于半 径。
03
直线与圆的综合应用
直线与圆相交的弦长问题