高三数学点与圆直线共16页文档
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
第49讲 直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定【答案】C【解析】∵圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1，∴a2＋b2>1，即点P(a，b)在圆外．故选C.2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或2【答案】C【解析】∵直线kx－y－4k＋3＝0过定点(4，3)，且点(4，3)在圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0内，∴交点个数为2个．故选C .3、若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A . [－3，－1]B . [－1，3]C . [－3，1]D . (－∞，－3]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C .4、过点(2，3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 【答案】 x ＝2或4x －3y ＋1＝0【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k(x －2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝2，符合题意，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.5、直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则AB ＝________． 【答案】 10【解析】 由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，又圆心(1，2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋（－1）2＝102，由⎝⎛⎭⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝⎛⎭⎫5－52＝10，即AB ＝10.6、(多选)已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A. 6B.5 C ．－ 6 D ．－5【答案】BD【解析】因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.7、(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】AD【解析】圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为22， 则有d ＝|6－m |1＋1＝22， 解得m ＝2或10，故选A 、D.8、(2019·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________. 【答案】－12或－72【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m ＝－12或－72.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 【答案】(1)A (2)C【解析】 (1)由题意知圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． (2)因点P 在圆内，故有a 2＋b 2＜r 2，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，所以m ⊥OP ，所以直线m的斜率k m ＝－a b ，因此m ∥l .又直线l 到圆心(0,0)的距离d ＝r 2a 2＋b 2＞r 2r ＝r ，故直线l 与圆相离．故选C.变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)(2)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( ) A ．(2＋1，＋∞) B ．(2－1，2＋1) C ．(0，2－1) D ．(0，2＋1)【答案】(1) C (2)A【解析】(1)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.变式2、已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【解析】(1)(方法1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(方法2)求圆心到直线的距离d ＝41＋k 2＜2解得k ＞3或k ＜－ 3. (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为1∶3的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C(0，4)，半径r ＝2.在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r·sin 45°＝2，故圆心C(0，4)到直线kx －y ＝0的距离||0－41＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，故l 的方程为y ＝±7x.方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 考点二 圆的弦长问题例2、已知直线ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，若弦AB 的长为32，求实数a 的值．【解析】 因为圆心到直线ax －y ＋2－a ＝0的距离为||2a ＋1a 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫||2a ＋1a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫3222＝9，解得a ＝1或a ＝7.变式1、（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线3x －y ＋1－3＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l ：ax －y ＋2－a ＝0被圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9截得的弦长最短时，实数a 的值为________． （3）若直线l ：ax －y ＋2－a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°，则实数a 的值为________．【答案】（1） 2 6 （2）2 （3）1或7【解析】（1） 圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0的圆心为C(3，1)，半径r ＝3，点C 到直线3x －y ＋1－3＝0的距离d ＝3，所求弦长为l ＝2r 2－d 2＝2 6.【解析】（2） 由ax －y ＋2－a ＝0得直线l 恒过点M(1，2)．又因为点M(1，2)在圆C 的内部，当MC 与l 垂直时，弦长最短，所以k MC ·k l ＝－1，所以2－11－3×a ＝－1，解得a ＝2 .（3）由题意，得圆心C(3，1)，半径r ＝3且∠ACB ＝90°，则圆心C 到直线l ：ax －y ＋2－a ＝0的距离为22r ，即||2a ＋1a 2＋1＝322，解得a ＝1或a ＝7.变式2、（1） 过点M(1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝9相交于A ，B 两点，若弦AB 的长为25，则直线l 的方程为 _（2）已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝________. 【答案】（1） x ＝1或3x －4y ＋5＝0（2）±5【解析】 （1）当直线l 的斜率不存在时，x ＝1，符合条件；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y－2＝k(x －1)，所以圆心到直线kx －y ＋2－k ＝0的距离为||2k ＋1k 2＋1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫||2k ＋1k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2522＝9，解得k ＝34，即直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.（2）记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 考点三 圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程； (2)求过点M 的圆C 的切线方程．【解析】 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. (2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 【解析】 (1) 由题意得圆心C(1，2)，半径r ＝2.因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1，所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， 所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0，满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k|k 2＋1＝2，解得k ＝34，所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上所述，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. 因为MC ＝（3－1）2＋（1－2）2＝ 5，所以过点M 的圆C 的切线长为MC 2－r 2＝5－4＝1.变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1)．【解析】(1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b|2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m|5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3， ∴过切点A(4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．【答案】 (1).(2). 3- 【解析】由题意，12,C C 1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.B.C.5D.5【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为12113255d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==；所以，圆心到直线230x y --=. 故选：B.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D【解析】设直线l 在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.5、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ） A．2 B．2CD- 【答案】D【解析】 由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =. 因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+==即2d ==，解得2=m或2m =-，故选D. 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B．C．5+D．3+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+故选：C.7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】 (1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
高三数学复习总结《直线和圆》
高三数学复习——直线与圆的方程一、知识梳理（一）直线的方程1、直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系___________；α=________时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是___________,三点C B A ,,共线的充要条件是_____________2.直线方程的五种形式: 点斜式方程是:______________________斜截式方程为:________________________截距式方程为:____________________________一般式方程为:___________________________,斜率K=_______________3、两条直线的位置关系：平行与垂直已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=若1l //2l ，则_________，若21l l ⊥,则___________4、几个公式：①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P ____________________②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d _________________[例1 ]. 11．过点P （1，2）的直线 与两点A （2，3）、B （4，-5）的距离相等，则直线 的方程为（ ）A ．4x+y-6=0B ．x+4y-6=0C ．3x+2y=7或4x+y=6D ．2x+3y=7或x+4y=6[例2] 已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ： x+6my-4=0 问 m 为何值时 （1）1l 与2l 相交（2）1l 与2l 平行（3）1l 与2l 垂直;（二）圆的标准方程与一般方程1、①圆的标准方程为_____________________，其中圆心为_____________,半径为_______； ②圆的一般方程为____________________，圆心坐标_________，半径为___________。
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高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率（前提是斜率都存在）21k k ≠ 特例----垂直时：<1> ；0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即 <2> 斜率都存在时： 。
121-=∙k k ②平行：<1> 斜率都存在时：；2121,b b k k ≠= <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：；2121,b b k k ==二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式： 将已知点直接带入即可；)(00x x k y y -=-k y x 与斜率),(00 ②斜截式： 将已知截距直接带入即可；b kx y +=k b 与斜率),0( ③两点式： 将已知两点直),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中),(),,(2211y x y x 接带入即可；④截距式：将已知截距坐标直接带入即可；1=+bya x ),0(),0,(b a ⑤一般式： ，其中A 、B 不同时为00=++C By Ax 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA CC d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点： ),(00y x )2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点： 靠近A 的三分点坐标),(),,(2211t s t s )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题(7)--_直线与圆的方程 注：【高三数学第二轮专题复习必备精
高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
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则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
高三数学(文)一轮复习课件8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系ppt版本
微知识❸ 两圆公切线的条数
位置关系 内含 内切 相交
公切线条数 0
12
外切 3
外离 4
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切。(√) 解析：正确。直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切， 有两组解时，直线与圆相交。
解析：(1)如图，若|MN|＝2 3 ，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线 的距离满足d2＝22－( 3)2＝1。
∵直线方程为y＝kx＋3， ∴d＝|k·2－1＋3＋k2 3|＝1，
解得k＝±
3 3
若|MN|≥2 3，则－ 33≤k≤ 33。
(2)把圆的方程化为标准方程是x＋12k2＋(y＋1)2＝16－34k2，
【微练3】(1)两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1
＝0的公切线有且仅有( B )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝ kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立 组成方程组的解的情况
外离 外切 相交 内切 内含
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝_|r_1_－__r2_| (r1≠r2) 0_≤____ d__＜__ |r1－r2|(r1≠r2)
_无__解 _一__组___实数解 __两__组__不__同__的__实数解
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切。 (×)
高考数学复习考点知识讲解课件44 直线与圆 圆与圆的位置关系
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5．(教材P98T3改编)已知直线l：y＝k(x－2)被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长的范 围是(0， 10)，则k的取值范围是____－__13_，__12__∪__12_，__3______．
[解析] 圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线l过定点(2,0)，且点(2,0)在圆C
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2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝ 2 r2－d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程 代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· xM＋xN2－4xM·xN. 3．两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
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(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
核心考点突破
02
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考点一 直线与圆的位置关系的判断——自主练透
对点训练
1．(2022·广东茂名一模)过三点A(0,0)，B(0,2)，C(2,0)的圆M与直线l：kx－y＋2－2k