高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)圆的方程
第三节圆的方程
[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.掌握确定圆的几何要素．
2.掌握圆的标准方程与一般方程.
圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆
的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题
的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如x年xTx
等.
[归纳·知识整合]
1．圆的定义
(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
(2)确定一个圆的要素是圆心和半径．
2．圆的方程
(1)标准方程
①两个条件：圆心(a，b)，半径r；
②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程
①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0；
③圆心坐标????
－
D
2，－
E
2，半径r＝
D2＋E2－4F
2.
[探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆．
2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？
提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：
圆的标准方程展开
配方
圆的一般方程
3．点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论
圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2?点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2?点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2 [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3) 解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1 D ．k <－1或k >4 解析：选D 由(2k )2＋42－4(3k ＋8)＝4(k 2－3k －4)>0，解得k <－1或k >4. 3．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1 5 D ．－1 5 解析：选A ∵点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， ∴(2a )2＋a 2<5，解得－1 4．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8 解析：选B ∵易得线段的中点即圆心为(1,1)，线段的端点为(0,2)，(2,0)，∴圆的半径为r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 5．(教材习题改编)经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是______________． 解析：圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y ＋1＝1 2(x －1)，即x － 2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝0 求圆的方程 [例1] (1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为______________． (2)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)法一：由题知k AB ＝2，A ，B 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )． ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 则?? ? b a －4＝－1 2，2a －b －3＝0， 解得????? a ＝2， b ＝1. ∴C (2,1)， r ＝|CA |＝ (5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则???? ? 2a －b －3＝0， (5－a )2 ＋(2－b )2 ＝r 2 ，(3－a )2 ＋(－2－b )2 ＝r 2 ， 解得????? a ＝2， b ＝1， r ＝10， 故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法三：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则??? ?? 25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0， 9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×????－D 2＋E 2 －3＝0， 解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. (2) 根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为|－1＋0＋3| 2＝2，故所求圆C 的方 程为(x ＋1)2＋y 2＝2. [答案] (1)x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) (2)(x ＋1)2＋y 2＝2 ————— —————————————— 求圆的方程的两种方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： ①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． ②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程. 1．求下列圆的方程： (1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,x)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有????? b ＝－4a ， (3－a )2 ＋(－2－b )2 ＝r 2 ，|a ＋b －1|2＝r ， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为 y ＋2＝x －3. 与y ＝－4x 联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r ＝ (1－3)2＋(－4＋2)2＝2 2. 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 则???? ? 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0， 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,x)，B (7,10)得AB 的中点坐标为(4,x)， k AB ＝－1 3，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0. 联立????? 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得????? x ＝1，y ＝2， 即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝ (1－1)2＋(2－12)2＝10， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100. 与圆有关的最值问题 [例2] 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)y x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． [自主解答] (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1 ＝3，解得k ＝ ±3. 所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3. (2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b | 2 ＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 本例条件不变，求点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋x ＝0的距离的最大值和最小值． 解：∵圆心(2,0)到直线3x ＋4y ＋x ＝0的距离为d ＝|6＋12|5＝18 5 ， ∴P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋x ＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为18 5－ 3. ————— —————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法 (1)形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋1 2m 2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r 2＝1＋(m －1)2－4×1 2 m 24＝－m 2－2m ＋2 4， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝πr 2 ＝34π. 与圆有关的轨迹问题 [例3] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. ————— —————————————— 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x ，y )； (2)列式：列出几何等式； (3)坐标化：用坐标表示得到方程； (4)化简：化简几何等式得到的方程； (5)证明作答：除去不合题意的点，作答． 3．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程． 解：设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得， ????? x ＝－1＋1＋2x 0 －13，y ＝2y 0 3， 则??? ?? x 0＝3x ＋1 2，y 0 ＝3y 2(y 0 ≠0)， 代入x 2＋y 2＝1，整理得，所求轨迹方程为 ????x ＋132＋y 2＝49 (y ≠0)． 1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 3个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题 1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题． 2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题． [典例] (x·x 高考)设集合A ＝? ??? ??(x ，y )?? m 2 ≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠?，则实数m 的取值范围是________． [解析] 由题意知A ≠?，则m 2≤m 2，即m ≤0或m ≥1 2 .因为A ∩B ≠?，则有： (1)当2m ＋1<2，即m <1 2时，圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离为d 1＝ |2－2m －1|2≤|m |，化简得 2m 2－4m ＋1≤0， 解得1－22≤m ≤1＋22， 所以1－ 22≤m ≤12 ； (2)当2m ≤2≤2m ＋1，即1 2≤m ≤1时，A ∩B ≠?恒成立； (3)当2m >2，即m >1时， 圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m 的距离为d 2＝|2－2m | 2≤|m |， 化简得m 2－4m ＋2≤0， 解得2－2≤m ≤2＋2， 所以1 综上可知，满足题意的m 的取值范围为????12，2＋2. [答案] ????12，2＋2 [名师点评] 1．本题有以下创新点 (1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，虽然两几何图形常见但不落俗套； (2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系，同时也考查了分类讨论思想． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)弄清集合代表的几何意义； (2)结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 3．解决直线和圆位置关系问题要注意以下几点 (1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是几何方法判断其位置关系； (2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论． [变式训练] 1．若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14 解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14? ????4a ＋b 22＝14×????422 ＝1. 当且仅当a ＝1 2，b ＝2时取等号． 2．如果点P 在平面区域???? ? 2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0， x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么 |PQ |的最小值为________． 解析：由点P 在平面区域 ???? ? 2x －y ＋2≥0， x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0 上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2 ＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示． 记Q 所在曲线的圆心为点M (0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M 的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－2×(－2)＋1| 12＋22 ＝ 5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ |的最小值为5－1. 答案：5－1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±3 解析：选B 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以 |a | 5 ＝ 5，即a ＝±5. 2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是( ) A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定 解析：选C 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心????－m 2，0，从而－m 2 ＋3＝0，即m ＝6. 3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π 解析：选B 设P (x ，y )，由题意知有，(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π. 4．(x·广州模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( ) A ．(x －5)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x －5)2＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 解析：选D 设圆心为(a,0)(a <0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝ 5，解得a ＝－5，所以，圆的方 程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 5．实数x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( ) A ．30＋226 B ．30＋426 C ．30＋213 D ．30＋413 解析：选B (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426. 6．圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －1 4＝0 B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－x －2y ＋1 4 ＝0 解析：选D 抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－1 2，圆与抛物线的准线及x 轴都相切， 则圆心在直线y ＝x ＋1 2(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)，联立可得圆心的坐标为????12，1，半径为1，则方程为????x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋1 4 ＝0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(x·开封模拟)若PQ 是圆O ：x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是________． 解析：由圆的几何性质知k PQ k OM ＝－1.∵k OM ＝2， ∴k PQ ＝－12，故直线PQ 的方程为y －2＝－1 2(x －1)， 即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0 8．(x·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在x 象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________． 解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b >0)，且??? ?322＋b 2 ＝1，可解得b ＝12， 所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋????y －1 22＝1. 答案：(x －1)2＋??? ?y －1 22＝1 9．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合 {}(x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2 ①{}(x ，y )|x 2＋y 2＝1；②{}(x ，y )|x ＋y ＋2>0； ③{}(x ，y )||x ＋y |≤6； ④{}(x ，y )|0 其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)． 解析：集合{ } (x ，y )|(x －x 0)2＋(y －y 0)2 (不包括圆周)， 由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意． 答案：②④ 三、解答题(本大题共3小题，每小题x 分，共36分) 10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程． 解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－1 16 ＝－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－5 7????x －132，即5x ＋7y －50＝0上， 则????? y ＝－6x ＋23， 5x ＋7y －50＝0， 解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. x ．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程． 解：(1)∵直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得????? a ＝－3，b ＝6，或????? a ＝5， b ＝－2. ∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. x ．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程； (2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求 PA ·PB 的取值范围． 解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线 x －3y ＝4的距离，即r ＝ |－4| 1＋3 ＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)． 设P (x ，y )，则|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2· (x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2. PA ·PB ＝(－2－x ，－y )· (2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)， 由于点P 在圆O 内，故? ???? x 2＋y 2<4，x 2－y 2 ＝2， 由此得y 2<1，所以PA ·PB 的取值范围为[－2,0)． 1．一动圆与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2＋8x ＋x ＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 解析：选C 设圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，圆x 2＋y 2＋8x ＋x ＝0的圆心为O 1(－4,0)，O ′为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则|O ′O 1|－|O ′O |＝(r ＋2)－(r ＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支 . 2．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵ k CM ＝1－02－1 ＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案：x ＋y －1＝0 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝2，过点A (－1,0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，则直线l 的方程为________． 解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，圆心C (1,0)到直线l 的距离为|k ＋k | k 2＋1 ，因为直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，所以直线l 被圆所截得的弦 所对的圆心角为π2，又圆C 的半径为2，所以 2cos π4＝|k ＋k |k 2＋1 ，得k 2＝13，即k ＝±3 3 ， 故直线l 的方程为y ＝33(x ＋1)或y ＝－3 3 (x ＋1)． 答案：y ＝ 33(x ＋1)或y ＝－3 3 (x ＋1) 4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 为圆上的动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大值、最小值及对应的P 点坐标． 解：若设P (x 0，y 0)，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2， 欲求d 的最值，只需求w ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点距离平方的最值，故过 原点O 与圆心C 的直线与圆的两个交点P 1，P 2即为所求． 设过O ，C 两点的直线交圆C 于P 1，P 2两点， 则w min ＝(|OC |－1)2＝16＝|OP 1|2， 此时d min ＝2×16＋2＝34，P 1???? 125，165； w max ＝(|OC |＋1)2＝36＝|OP 2|2， 此时d max ＝2×36＋2＝74，P 2????185，245. 第四节 基本不等式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解基本不等式的证明 过程． 2.会用基本不等式解决简 单的最大(小)值问题. 1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较 大小、求最值等，如x年xT5，xT8等． 2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函 数最值中的应用，如x年xT17等. [归纳·知识整合] 1．基本不等式ab≤ a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a＝b时， a＋b 2≥ab取等号，即a＝b? a＋b 2＝ab ②仅当a＝b时， a＋b 2≥ab取等号，即 a＋b 2＝ab?a＝b. 2．几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； b a＋ a b≥2(a，b同号)． ab≤???? a＋b 2 2(a，b∈R)；???? a＋b 2 2≤ a2＋b2 2(a，b∈R) 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 a＋b 2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2P(简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 42(简记：和定积最 大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y ＝x ＋1 x 在x ≥2 时的最小值，利用单调性，易知x ＝2时y min ＝5 2 . [自测·牛刀小试] 1．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 解析：选C f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1 x －2＋2， ∵x >2 ∴x －2>0 ∴f (x )≥2 (x －2)·1 x －2 ＋2＝4 当且仅当x －2＝1 x －2，即x ＝3时，“＝”成立，又f (x )在x ＝a 处取最小值，所以a ＝ 3. 3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0则xz y 2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为1 8 D ．最大值为1 8 解析：选D xz y 2 ＝xz (x ＋2z )2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2 ＝ 1x z ＋4z x ＋4≤18.当且仅x z ＝4z x ，即x ＝2z 时取等号． 4．函数y ＝x ＋1 x 的值域为________． 解析：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x <0时，－x >0， －x ＋1 －x ≥2 (－x )·1－x ＝2，所以x ＋1 x ≤－2. 综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2 x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 解析：由题意知：P ，Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为x 象限中的点，则m >0，n >0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4????m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4 m 2，即m ＝2时，取等号)．故线段PQ 长的最小值为4. 答案：4 利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：????1＋1a ??? ?1＋1 b ≥9. [自主解答] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a b . ∴????1＋1a ????1＋1b ＝????2＋b a ????2＋a b ＝5＋2????b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时取“＝”． ∴????1＋1a ????1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝1 2时等号成立． 法二：????1＋1a ????1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1 ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ， ∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤? ?? ??a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝1 2时取“＝”． 于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝1 2时取“＝”． ∴????1＋1a ??? ?1＋1 b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝1 2 时等号成立． 保持例题条件不变，证明： a ＋12 ＋ b ＋12 ≤2. 证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴ a ＋12 ＋ b ＋12 ＝ ????a ＋12×1＋??? ?b ＋12×1 ≤a ＋12＋12＋b ＋1 2＋12＝a ＋b ＋32＝42 ＝2. 当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝1 2时“＝”成立． ————— —————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 1．已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2 c ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ， ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a . 以上三式相加得： 2????bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式求最值 [例2] (1)(x·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.24 5 B.285 C ．5 D ．6 (2)已知 a >0， b >0，a 2＋ b 2 2 ＝1，则a 1＋b 2的最大值为________． [自主解答] (1)由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1 y ＝5(x >0，y >0)， 则3x ＋4y ＝1 5(3x ＋4y )????3x ＋1y ＝1 5? ???13＋12y x ＋3x y ≥15??? ? 13＋2 12y x ·3x y ＝1 5 (13＋x)＝5. 当且仅当12y x ＝3x y ，即x ＝2y 时， “＝”成立，此时由????? x ＝2y ， x ＋3y ＝5xy ，解得????? x ＝1，y ＝12. (2)∵a >0， ∴a 1＋b 2＝a 2(1＋b 2)＝ 2 a 2 ??? ?12＋b 2 2 ≤2· a 2＋12＋ b 222＝32 4 ， 高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3． 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== (３）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法) 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f:Ａ→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? （一对一,多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 1０． 如何求复合函数的定义域? [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是＿____＿_____＿_。 [] （答：，）a a - 1１． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、ｙ；③注明定义域) () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥--- 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k 1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得 高三数学知识点总结大全 高中数学重难点 高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。 必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用(高考必考) 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容) 理科：选修2—1、2—2、2—3 选修2--1：1、逻辑用语 2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化) 选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数 选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。高考必考，10分2、随机变量及其分布：不单独命题3、统计： 高考的知识板块 集合与简单逻辑：5分或不考 函数：高考60分：①、指数函数②对数函数③二次函数④ 高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 圆的方程知识点总结和经典例题 1．圆的定义及方程 注意点 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2 ＋E 2 －4F ＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＞r 2 . (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＝r 2 . (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＜r 2 . 3．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2 ＋B 2 ≠0)， 圆：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2(r >0)， d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为Δ. 相离 d >r Δ<0 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． （2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． （3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2 ＝d 2 ＋? ?? ? ?l 22 解题． 2．利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式 设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1：(x －a 1)2 ＋(y －b 1)2 ＝r 2 1(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2 ＋(y －b 2)2 ＝r 2 2(r 2>0)． 方法位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况 高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 最新高三数学知识点归纳五篇精选 学任何一门功课，都不能只有三分钟热度，而要一鼓作气，天天坚持，久而久之，不论是状元还是伊人，都会向你招手。下面就是我给大家带来的高三数学知识点，希望大能帮助到大家！ 高三数学知识点1 1、三类角的求法： ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。 2、正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： 3、怎样判断直线l与圆C的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 4、对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。 不看后悔!清华名师揭秘学好高中数学的方法 培养兴趣是关键。学生对数学产生了兴趣，自然有动力去钻研。如何培养兴趣呢? (1)欣赏数学的美感 比如几何图形中的对称、变换前后的不变量、概念的严谨、逻辑的严密…… 通过对旋转变换及其不变量的讨论，我们可以证明反比例函数、“对勾函数”的图象都是双曲线——平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值(小于两个定点之间的距离)的点的集合。 (2)注意到数学在实际生活中的应用。 例如和日常生活息息相关的等额本金、等额本息两种不同的还款方式，用数列的知识就可以理解. 学好数学，是现代公民的基本素养之一啊. (3)采用灵活的教学手段，与时俱进。 利用多种技术手段，声、光、电多管齐下，老师可以借此把一些知识讲得更具体形象，学生也更容易接受，理解更深。 (4)适当看一些科普类的书籍和文章。 比如：学圆锥曲线的时候，可以看看一些建筑物的外形，它们被平面所截出的曲线往往就是各种圆锥曲线，很多文章对此都有介绍;还有圆锥曲线光学性质的应用，这方面的文章也不少。 高三数学知识点2 1、圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高, 直线和圆的方程知识 点总结 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠ 高三数学必考知识点汇总 一 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+n-1d. 3.等差中项 如果A=a+b/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 1通项公式的推广：an=am+n-mdn，m∈N_. 2若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aqm，n，p，q∈N_. 3若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…k，m∈N_是公差为md的等差数列. 4数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. 5S2n-1=2n-1an. 6若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中中间项. 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=na1+an/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. 1若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. 2若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 1定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; 2等差中项法：验证2an-1=an+an-2n≥3，n∈N_都成立; 3通项公式法：验证an=pn+q; 4前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列. 二 1.不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的， 有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?. 另外，若b>0，则有>1?;=1?;<1?. 概括为：作差法，作商法，中间量法等. 3.不等式的性质 1对称性：a>b?; 2传递性：a>b，b>c?; 3可加性：a>b?a+cb+c，a>b，c>d?a+cb+d; 圆的方程题型总结 一、基础知识 1．圆的方程 圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系： 直线0Ax By C ++=，圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________； （2）当______________时，直线与圆相离； 当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系 圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ； 圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有：两圆相离? _____________________； 两圆外切 ?______________________； 两圆相交?______________________； 两圆内切?_____________________； 两圆内含?_____________________. 二、题型总结： （一）圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . 2．★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ） A ．－1所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ） A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是（ ） A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程（ ） A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8．★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ） A ．2 2 (7)(1)1x y +++= B ．2 2 (7)(2)1x y +++= C ． 2 2 (6)(2)1x y +++= D ．2 2 (6)(2)1x y ++-= 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 最新高三数学知识点总结 精品学习高中频道为各位同学整理了高三数学知识点总结，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性。 中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质： (3)德摩根定律： 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射? (一对一，多对一，允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? 15. 如何利用导数判断函数的单调性? 值是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) 注意如下结论：高三数学知识点总结
[全国通用]高中数学高考知识点总结
高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)
高三数学总复习知识点
高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
高三数学知识点总结材料大全
高考数学高考必备知识点总结
圆的方程知识点总结和典型例题
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