圆的培优专题(含解答)

一运用辅助圆求角度

1、 如图，△ ABC 内有一点 D , DA = DB = DC ，若 DAB = 20 , DAC = 30 ,

1

贝U 乙 BDC = _______ . ( • BDC = "2- ■ BAC = 100 )

2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC ,若 C = 100 ，则 BAD = __________________ . ( 50 )

3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD ，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩

乙 BAD = _________ .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 °+ 60 ° = 100*)

解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗!

4、 如图，口 ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若 • D = 60 ,

贝U AEC = _________ . (/ AEC = 2 ^B = 2 ^D = 120 )

5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC , ABC = ADC = 70 ,

贝U DAO + DCO = ______________ .(所求=360 - Z ADC —乙 AOC = 150

)

A

第1题

第2题 第3题

第5题 第6题

第4题 :第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到

(ABC = ADC = 25 )

6、如图，四边形ABCD 中，ACB = ■ ADB = 90 , - ADC = 25，则ABC = ___________________

ACBD共圆.

运用圆周角和圆心角相互转化求角度

9、如图，AB为O O的直径, BC = 3AC，则—ABC =

解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!

10、如图，AB为O O的直径，点C、D在O O上，• BAC = 50，则.ADC = ___________________

11、如图，O O的半径为1,弦AB = ，弦AC = 3 ，则• BOC = _________ 12、如图，PAB、PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若AC =CD , - P= 30 ,

则• BDC = ___________ .（设.ADC = x，即可展开解决问题）

解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！

圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!

1、如图，AB是O O的弦，OD_AB，垂足为C,交O O于点D，点E在O O上，若.BED

7、如图，AB为O O的直径，C为AB的中点, D为半圆AB上一点，则• ADC =

8、如图，AB为O O的直径, CD过OA的中点E并垂直于OA，则.ABC

=

第10题第11题第12题

=30 , O O的半径为4，则弦AB的长是_____________ .

略解：••• OD _AB ,••• AB = 2AC，且.ACO = 90 ,

••• . BED = 30 . AOC = 2 BED = 60

•. OAC = 30 , OC=-^- OA = 2,贝U AC = 2、3，因此AB = 4 3.

2、如图，弦AB垂直于O O的直径CD , OA = 5, AB = 6,贝U BC = ___________ .

1

略解：•••直径CD _ 弦AB ,• AE = BE =1 AB=3

•OE = 52—3 =4，贝U CE= 5+ 4 = 9

• BC = - 92 32 =3.10

第1题第2题第3题

3、如图，O O的半径为25 , 弦AB 丄CD ,垂足为P, AB = 8, CD = 6,贝U OP= _____________ 略解：如图，过点O作OE_AB , OF_CD，连接OB , OD.

则BE = 2 AB = 4, DF =十CD = 3,且OB = OD = 2 5

OE = ,(2、、5)2-42=2 , OF= •.(2I5)2-32T1

又AB _CD，则四边形OEPF是矩形，则OP= ,22(.11)2

4、如图，在O O内，如果OA = 8, AB = 12, • A = ■ B = 60，则O O的半径为______________ 略解：如图，过点O作OD _ AB，连接OB」AD = | AB = 4,因此，BD = 8, OD = 4、3 • OB = 4.7 .

5、如图，正△ ABC 内接于O O , D 是O O 上一点，.DCA = 15 , CD = 10,贝U BC = __________ 略解：如图，连接 OC , OD ，则.ODC = . OCD

•/△ ABC 为等边三角形，则

OCA = ■ OCE = 30 ,二 ODC = • OCD = 45

•••△ OCD 是等腰三角形，则 OC = 5、2

6、如图，O O 的直径AB = 4, C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，• AEC = 60 , CE 的延

长线交O O 于点D ，贝y CD = __________

则 DE = 2CD = 2 .200

2

-1502 =100 ・ 7 ,

所以受影响的时间为 100--7 “10・7 =10 （时）

过点O 作OE _ BC , 贝V BC = 2CE

=

第5题 第6题

略解：如图，连接 OC ,贝U OC = 2

如图，以A 为圆心200千米为半径作O A 交BF 于 D 、E 两点，连接AD ,