圆的培优专题含解答

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中考数学圆的综合(大题培优)及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动．（1）当t =0时，点F 的坐标为；（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离；（3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标；（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论；（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）；（2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°，∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t =，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．3．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB12=，求点P的坐标②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y43=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，33953-，1255）【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC22AC AB3，∴C（6，3∴K（4，2），∴P（0，3案为：（0，3（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=43x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA•MB，∴MP5PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴ONPK=OMMK=NMMP，∴4PK=3MK35，∴PK125MK=955，∴OK=55﹣3，∴P（955﹣3，1255）．点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．4．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=23，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，3，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=123，3，在Rt△DEP中，∵37∴22(7)(3)=2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，∴△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=17，∴AE=577 ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE AE DF AD= ，即57571257DF = ，解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=12BD=3， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．6．如图，□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线，切点为A ，连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠B ＝67.5°，BC ＝2，求线段PC ，PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S ．【答案】（1）见解析；（2）14π-【解析】【分析】（1）过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE ＝CE ＝1，PC ＝OC 22OE CE 2+部分的面积.【详解】（1）过C点作直径CM，连接MB，∵CM为直径，∴∠MBC＝90°，即∠M+∠BCM＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠M，∠BCP＝∠ACD，∴∠M＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCM＝90°，即∠PCM＝90°，∴CM⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）连接OB，∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，即∠PAD＝90°，∵BC∥AD，∠AEB=∠PAD＝90°，∴AP⊥BC．∴BE＝CE＝12BC＝1，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，AP⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，∵∠PCM＝90°，∴∠CPO＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，∴OE＝CE＝1，PC＝OC＝22OE CE2+=，∴S＝S△POC－S扇形OFC＝()245π21π221 23604⨯⨯⨯-=-．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.7．如图，已知△ABC，23BC=，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是DF的中点，求:BD CD的值；（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．【答案】(1) 2442y x x (0≤x≤3); (2) 45; (3) BD 的长是1或1+52. 【解析】【分析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式．（2）由勾股定理求得：AC=22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和Rt △AHC 推知12DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答．【详解】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos AD DF x x ADF==-+∠ ∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴AC =．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ DCQ CQ ∠=．在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQ CQ =．设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵3k =k =，∴53DC ==． ∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =．（3）如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD DF DC =． ∵DF =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即23x =-,整理得 210x x --=，解得 x =综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或2．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，BD AD =，DE ⊥BC ，垂足为E ．（1）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CE =1，AC =4，求阴影部分的面积．【答案】（1）ED 与O 相切.理由见解析；（2）2=33S π-阴影. 【解析】【分析】（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可．【详解】（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，如图，∵BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD260233604π⋅⋅=-•22 23=π3-．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．9．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝36．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，∴△CDB≌△AEO（AAS），∴CD＝AE，∵EC＝EA，∴AC＝2CD．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=，在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3．【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）332 23π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。

第二十四章圆培优检测卷(解析版)(重点突围)

《第二十四章圆》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知O e 的半径为3cm ，点A 到圆心O 的距离为2cm ，那么点A 与O e 的位置关系是（）A ．点A 在O e 内B ．点A 在O e 上C ．点A 在O e 外D ．不能确定【答案】A【分析】根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系进行判断即可．【详解】解：由题意得：2,3d r ==，故：d r <，∴点A 在O e 内，故选A ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A ．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A 进行判断，根据对称轴的定义对B 进行判断，根据垂径定理的推论对C 进行判断，根据圆周角定理的推论对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B 、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D ．理及圆周角定理的推论．3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P 到⊙O 的最近点的距离为2cm ，最远点的距离为7cm ，则⊙O 的半径是（）A ．5cm 或9cmB ．2.5cmC ．4.5cmD ．2.5cm 或4.5cm【答案】D【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【详解】解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径为7﹣2＝5（cm ），∴该圆的半径是2.5cm ；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径＝7+2＝9（cm ），∴圆的半径为4.5cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若130ADC Ð=°，则BAC Ð的度数为（）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B Ð，根据直径所对的圆周角是直角可得=90°ACB Ð，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，,60OA OB AOB =Ð=°Q ，AOB \ 是等边三角形，12,12OA AB AP AB \====，223OP OA AP \=-=，即这个正六边形的边心距为3，【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．25°【答案】C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A ＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∵BC与半⊙O相切于点C，∴∠OCB＝90°，∵∠A＝25°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．【答案】32【分析】首先根据圆周角定理求出∠【答案】1【分析】连接OA、OC、OD然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：连接OA、OC∵点O为正六边形ABCDEF【答案】15【分析】如图，连接CQ，然后求出【详解】解：如图，连接CQ．由题意CQ＝CP，CDPQ＝∴DQ＝DP＝12∵PA＝QB，【答案】1或3或5e与坐标轴的切点为【分析】设PQ点D是切点，P e的半径是1Q，PB=2Q=，PC2\=+=，52 AP AC PC定及性质，利用分类讨论的思想求解．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）(1)点M的坐标为　(2)点D（5，﹣2）在⊙M【答案】(1)（2，0）(2)内【分析】（1）由网络可得出线段（2）解：由图知，圆的半径AM∵2513>，∴点D在圆M内，(1)求正六边形的边长；(2)以A为圆心，AF为半径画弧【答案】(1)6(2)4π(1)求ACBÐ的度数；e的半径为3，求圆弧 AC的长．(2)若O【答案】(1)30°(2)2pe的切线∵AB是O^∴OA AB∴90Ð=OAB°∵90Ð=DAC°Ð=Ð∴DAC OAB（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，与A ，B 重合），过O 作OC ⊥AP (1)试判断CD 与AB 的数量和位置关系？并说明理由；(2)若45B Ð=°，AP=4，则⊙∵45B Ð=°，四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．A D AE DE E E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ACE ≌△DBE （ASA ），∴BE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴AE -BE ＝DE -CE ，即AB ＝CD ．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在Rt ABC 中，∠C =90º，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过O 作OE ∥AB ，交BC 于E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)如果⊙O 的半径为3，DE =4，求AB 的长；(3)在（2）的条件下，求△ADO 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)10AB =(3) 4.32ADO S =△【分析】（1）根据平行线的性质，得出123A Ð=ÐÐ=Ð，，再根据等边对等角，得出1A Ð=Ð，再根据等量代换，得出32Ð=Ð，再利用SAS ，得出OCE ODE ≌△△，进而得出OCE ODE Ð=Ð，进而得出OD DE ^，即可得出结论；（2）根据（1），得出ODE 是直角三角形，根据勾股定理，得出5OE =，再根据三角形的中位线定理，即可得出AB 的长；（3）连接CD ，根据圆周角定理，得出90ADC Ð=°，再根据等面积法，得出CD 的长，然后根据勾股定理，得出AD 的长，再根据三角形的面积公式，得出ADC 的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可得出ADO △的面积．（1）证明：如图，∵OE AB ∥，∴123A Ð=ÐÐ=Ð，，∵OA OD =，∴1A Ð=Ð，∴32Ð=Ð，∵OC OD OE OE ==，，∴()OCE ODE SAS △≌△，∴OCE ODE Ð=Ð，∵90C Ð=°，∴90OCE ODE Ð=Ð=°，即OD DE ^，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），可得：三角形ODE 是直角三角形，在Rt ODE △中，∵34OD DE ==，，∴5OE =，【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在圆心，OB为半径的圆与(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．【答案】(1)8 3(2)3∵Oe与AC相切于点∴AC OD^，∴∠ADO=90°，即∠PDO∵∠ABC =90°， AB =8，∴22AC AB BC =+=∵OD AC ^，AB BC ^∴1122AC OD BC OB ×+×∴AC OD BC OB ×+×=∵∠EFD=∠ODF=∠OEF=90°∴四边形ODFE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODFE是正方形，===∴AF DF OD r∵222，∵OD<OA，∴OB+OD<OB+OA，∴2r<8，∴r<4，∴r的取值范围是252-【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值范围等知识与方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）(1)求抛物线解析式及D 点坐标．(2)猜测直线CM 与D e 的位置关系，并证明你的猜想．(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)()2125344y x =--+；(3,0)(2)相切；证明见解析；由抛物线的解析式得：M (3,254∵D (3,0)，∴()22225225403416CM æö=-+-=ç÷èø∴222CM CD DM +=，根据题意得∠CP C¢=∠CGD=∠GDO ∴∠CPH+∠HP C¢=90°，∠GCP+∴∠GCD=∠HP C¢，OC=GD=4，∵CP=C¢P∴∆CGP≅∆PH C¢，∴PG=C¢H=GD-DP=4-k，CG=PH六、（本大题共12分）。

中考数学圆的综合培优练习(含答案)及答案解析

中考数学圆的综合培优练习(含答案)及答案解析一、圆的综合1．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．3．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=_____；如图3，正三角形的边长a n=_____（用含n的代数式表示）．3831343n 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ．本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h 32，∴1＝32－1)2＋14a 22，解得a 2＝8313. (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 3a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，解得a n 43n4．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．5．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重2PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴2AP=QB+BP=PC+PB，∴2．（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ，即OC 最小值是32﹣3；（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=43OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC =43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ，当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2，∴OC 的最小值为34×2=32，故答案为32．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.6．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；(3)如图2，当∠DCE ＝2∠F ，CE ＝3，DG ＝2.5时，求DE 的长．【答案】（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2【解析】【分析】（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；（2）证△ABC∽△FBO得BC ABBO BF=，结合AB＝2BO即可得；（3）证ECD∽△EGC得EC EDEG EC=，根据CE＝3，DG＝2.5知32.53DEDE=+，解之可得．【详解】解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∴CG 与⊙O 相切；（2）∵∠AOE ＝∠FCE ＝90°，∠AEO ＝∠FEC ，∴∠OAE ＝∠F ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△FBO ， ∴BC AB BO BF =，即BO •AB ＝BC •BF ， ∵AB ＝2BO ，∴2OB 2＝BC •BF ；（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ，∴∠F ＝∠GCF ，∴∠EGC ＝2∠F ，又∵∠DCE ＝2∠F ，∴∠EGC ＝∠DCE ，∵∠DEC ＝∠CEG ，∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC ED EG EC=， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53DE DE =+，整理，得：DE 2+2.5DE ﹣9＝0，解得：DE ＝2或DE ＝﹣4.5（舍），故DE ＝2．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．7．如图，已知在△ABC 中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P ，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P 的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π8．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴»»BD CD=，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，3，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=123，3，在Rt△DEP中，∵37∴22(7)(3)=2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，∴△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=17，∴57∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴BE AE DF AD=，即5757125DF=，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=12BD=3，∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣（扇形BOD的面积﹣△BOD的面积）=22160(23)3123(23)2π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．9．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=10，CH52=.（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3102【解析】【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得2，由（2）可知10，从而可得EF=FH﹣10-2．【详解】（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是⊙O的直径，∵∠C=∠D，∴tanC=3，∴AB=3BC=3×2=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2，∴△ACH为直角三角形，∴AC⊥AH，∴AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，∵AH是圆O的切线，∴∠ABD=∠HAD，∵D是»CE的中点，∴»»，CD ED∴∠CED=∠EBD，又∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，∴∠ABD=∠AFE，∴∠HAF=∠AFH，∴AH=HF；（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH10）22EH，解得：2，∵由（2）可知10，∴EF=FH﹣102．【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.10．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于»AB的点是；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．【答案】（1）P2，P3；（2）x P＜-5或x P＞-53．（3）-3＜t＜2或2＜t＜2【解析】【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于»AB的点是P2，P3．（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由283y xy x+⎧⎨+⎩＝＝，解得52xy-⎧⎨-⎩＝＝，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，由283y xy x+⎧⎨-+⎩＝＝，解得53143xy⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-53，∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜-5或x P＞-53．（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=2，∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1，∴T（0，1-2），此时t=1-2，∴当-3＜t＜1-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．22∴T（0，22如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT=OM+TM=4-2+3=7-2，∴T（0，7-2），此时t=7-2，∴当1+2＜t＜7-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜1-2或1+2＜t＜7-2．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.11．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD ，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD ，根据直角三角形的性质，可得OC 与OD 的关系，根据等量代换，可得答案．（1）⊙O 与BC 相切，理由如下连接OD 、OB ，如图所示：∵⊙O 与CD 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∠ODC=90°．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC 垂直平分BD ，AD=CD=CB ．∴△ABD 的外接圆⊙O 的圆心O 在AC 上，∵OD=OB ，OC=OC ，CB=CD ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC=∠ODC=90°，又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切；（2）∵AD=CD ，∴∠ACD=∠CAD ．∵AO=OD ，∴∠OAD=∠ODA ．∵∠COD=∠OAD+∠AOD ，∠COD=2∠CAD ．∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．∴OD=12 OC ，即r=12（r+2）． ∴r=2．【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．12．如图，AB 是O e 的直径，DF 切O e 于点D ，BF DF 于F ，过点A 作AC //BF交BD 的延长线于点C .（1）求证：ABC C ∠∠=；（2）设CA 的延长线交O e 于E BF ，交O e 于G ，若¼DG的度数等于60o ，试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作辅助线，连接OD ，由DF 为⊙O 的切线，可得OD ⊥DF ，又BF ⊥DF ，AC ∥BF ，所以OD ∥AC ，∠ODB=∠C ，由OB=OD 得∠ABD=∠ODB ，从而可证∠ABC=∠C ；（2）连接OG ，OD ，AD ，由BF ∥OD ，»GD =60°，可求证»BG =»»GD AD ==60°，由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．【详解】（1）连接OD ，∵DF 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DF ．∵BF ⊥DF ，AC ∥BF ，∴OD ∥AC ∥BF ．∴∠ODB=∠C ．∵OB=OD ，∴∠ABD=∠ODB ．∴∠ABC=∠C ．（2）连接OG ，OD ，AD ，DE ，DE 交AB 于H ，∵BF ∥OD ，∴∠OBG=∠AOD ，∠OGB=∠DOG ，∴»»GD AD ==»BG．∵»GD=60°， ∴»BG =»»GD AD ==60°，∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∵OD//CE∴∠ODE=∠E=30°．在△ODH 中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，∴∠OHD=90°，∴AB ⊥DE ．∴点D 和点E 关于直线AB 对称．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 与⊙O 相切；（2）若AE ＝6，sin ∠CFD ＝35，求EB 的长．【答案】(1)见解析（2）32【解析】【分析】 ()1如图，欲证明EF 与O e 相切，只需证得OD EF ⊥．()2通过解直角AEF V 可以求得AF 10.=设O e 的半径为r ，由已知可得△FOD ∽△FAE ，继而得到OF OD AF AE =，即10r r 106-=，则易求15AB AC 2r 2===，所以153EB AB AE 622=-=-=．【详解】（1）如图，连接OD ，OC OD =Q ，OCD ODC ∠∠∴=．AB AC =Q ，ACB B ∠∠∴=，ODC B ∠∠∴=，OD //AB ∴，ODF AEF ∠∠∴=，EF AB ⊥Q ， ODF AEF 90∠∠∴==o ，OD EF ∴⊥，OD Q 是O e 的半径，EF ∴与O e 相切；()2由()1知，OD//AB ，OD EF ⊥．在Rt AEF V 中，AE 3sin CFD AF 5∠==，AE 6=，则AF 10=， OD //AB Q ，∴△FOD ∽△FAE ，OF OD AF AE∴=，设O e 的半径为r ，10r r 106-∴=，解得，15r 4=， 15AB AC 2r 2∴===，153EB AB AE 622∴=-=-=．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.14．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）．已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<．【解析】【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ=计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…；（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，2212122k +∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．15．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上.(1)如图1，若AC ＝3，∠CAB ＝30°，求半圆O 的半径；(2)如图2，M 是»BC的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE ，BC 于点F ，D . 过点F 作FG ∥AB 交边BC 于点G ，若△ACE 与△CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）半圆O的半径为3；（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是»BC的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1）∵ AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°．在Rt△ACB中，AB＝cos AC CAB ∠＝3 cos30︒＝23．∴ OA＝3（2）⊙D与直线AC相切.理由如下：由（1）得∠ACB＝90°．∵∠AEC＝∠ECB＋∠6，∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．∵△ACE与△CEB相似，∴∠AEC＝∠CEB＝90°．在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．∵ M是»BC的中点，∴∠COM＝∠BOM．∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5．∴ CF＝CD．过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．∴∠ACE＝∠6＝∠FPE．又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△ACF≌△APF．∴ CF＝FP．∵ FP∥GB，FG∥AB，∴四边形FPBG是平行四边形．∴ FP＝GB．∴ CD＝GB．∵ CD⊥AC，∴点D到直线AC的距离为线段CD的长∴⊙D与直线AC相切.。

人教培优圆的综合辅导专题训练附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时N A′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧BE的长．【答案】（1）证明见解析（2）4 3【解析】分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，∴＝·4π＝π．点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．3．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）图1中，线段AE=；（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．①当α=30°时，请求出线段AF的长；②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；③当α=°时，DM与⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2) 25-504.【解析】分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE是⊙O的切线；（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去△AOD的面积即可.详解：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠ADC=∠ABC，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝=90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.5．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，CB ∥PO ．（1）判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC 的长．【答案】（1）PC 是⊙O 的切线，理由见解析；（2352【解析】试题分析：（1）要证PC 是⊙O 的切线，只要连接OC ，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC ，根据已知先证明△ACB ∽△PCO ，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC 的长．试题解析：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．证明：连接OC∵CB ∥PO∴∠POA=∠B ，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC ，OP=OP∴△APO ≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA 是⊙O 的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC 是⊙O 的切线．（2）连接AC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB ∽△PCO ∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．6．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC == AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC =2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=12∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°．又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ．又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径．在Rt △ADC 中，∠C =45°，AC 2，∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．7．问题发现．(1)如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM+MN 的最小值．(3)如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB ∽求得GM 的值，再由ACD ACG AGCD S SS =+四边形求解即可.试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，22ABC CD AB AC BC S ⋅⋅==， ∴341255AC BC CD AB ⋅⨯===，（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，则CM MN +的最小值为C N '的长，设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥，∴BMC BCD ∽，且125CH =，∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=， ∴C NC BCD '∽，∴244965525CC BC C N BD ⨯⋅===''，即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+四，321GB EB AB AE ==-=-=，∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB ∽，∴EM AE BC AC=， ∴24855AE BC EM AC ⋅⨯===， ∴83155GM EM EG =-=-=， ∴ACD ACG AGCD S S S =+四边形，113345225=⨯⨯+⨯⨯， 152=．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．8．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB ＝12°，∴∠AOE ＝78°，∴∠DCA ＝39°，∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ，∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．AB 是⊙O 直径，在AB 的异侧分别有定点C 和动点P ，如图所示，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD ，交PB 的延长线于D ，已知5AB =，BC ∶CA ＝4∶3．（1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD ∆的面积最大？请直接写出这个最大面积．【答案】(1)证明见解析；（2）CD =142；（3）当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=503. 【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC ∽△PCD ，可得AC BC CP CD =,即可得证．（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE 的长，由锐角三角函数可求PE 的长，即可得PC 的长，由AC•CD=PC•BC 可求CD 的值；（3）当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =⨯⨯，由（1）可得：43CD PC =，可得2142233PCD SPC PC PC =⨯⨯=，当PC 最大时，△PCD 的面积最大，而PC 为直径时最大，故可求解．【详解】证明：（1）∵AB 为直径，∴∠ACB =90°∵PC ⊥CD ，∴∠PCD =90°∴∠PCD =∠ACB ，且∠CAB =∠CPB∴△ABC ∽△PCD ∴AC BC CP CD= ∴AC •CD =PC •BC（2）∵AB =5，BC ：CA =4：3，∠ACB =90°∴BC =4，AC =3，当点P 运动到AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E∵点P 是AB 的中点， ∴∠PCB =45°，且BC =4∴CE =BE 2BC 2 ∵∠CAB =∠CPB∴tan ∠CAB =43=BC AC =tan ∠CAB =BE PE ∴PE =322∴PC =PE +CE =3222=22 ∵AC •CD =PC •BC ∴3×CD =22×4 ∴CD =23（3）当点P 在AB 上运动时，S △PCD =12×PC ×CD ，由（1）可得：CD =43PC∴S △PCD =1423PC PC ⨯⨯=23PC 2， ∴当PC 最大时，△PCD 的面积最大，∴当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=23×52=503【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC 的长是本题的关键．10．如图，已知等边△ABC ，AB=16，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）求FG 的长；（3）求tan ∠FGD 的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD ，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB 得到∠ODB=60°，得到OD ∥AC ，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt △CDF 的三角函数得出CF 的长度，从而得到AF 的长度，最后根据Rt △AFG 的三角函数求出FG 的长度；(3)过点D 作DH ⊥AB ，根据垂直得出FG ∥DH ，根据Rt △BDH 求出BH 、DH 的长度，然后得出∠GDH 的正切值，从而得到∠FGD 的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C ＝∠A ＝∠B ＝60°，而OD ＝OB ， ∴△ODB 是等边三角形，∠ODB ＝60°， ∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线(2)∵OD ∥AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6.在Rt △CDF 中，∠C ＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝CD ＝3，∴AF ＝AC －CF ＝12－3＝9 在Rt △AFG 中，∵∠A ＝60°，∴FG ＝AF·sinA ＝9×＝(3)如图②，过D 作DH ⊥AB 于H.∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ，∴FG ∥DH ，∴∠FGD ＝∠GDH.在Rt △BDH 中，∠B ＝60°，∴∠BDH ＝30°，∴BH ＝BD ＝3，DH ＝BH ＝3.∴tan ∠GDH ＝＝＝， ∴tan ∠FGD ＝tan ∠GDH ＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。

初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案

初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案一、圆的综合1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ；（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】试题分析：（1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ∆≅∆ ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ．（1）求证：∠ABD =2∠BDC ；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ；（3）在（2）的条件下，若OH =5，AD =24，求线段DE 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE =. 【解析】【分析】（1）连接AD ，如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，根据圆周角定理得到∠CAB =∠BDC =α，由AB 为⊙O 直径，得到∠ADB =90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE =∠ADC ，等量代换得到∠ACE =∠CAE ，于是得到结论；（3）如图2，连接OC ，根据圆周角定理得到∠COB =2∠CAB ，等量代换得到∠COB =∠ABD ，根据相似三角形的性质得到OH =5，根据勾股定理得到AB =22AD BD +=26，由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD ．如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，则∠CAB =∠BDC =α，∵点C 为弧ABD 中点，∴AC =CD ，∴∠ADC =∠DAC =β，∴∠DAB =β﹣α，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°， ∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ；（3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==，∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18，∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线CM ，延长BC 到点D ，使CD=BC ，连接AD 交CM 于点E ，若⊙OD 半径为3，AE=5，（1）求证：CM ⊥AD ；（2）求线段CE 的长.【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理证得AC 垂直平分BD ，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可. 详解：证明：（1）连接OC∵CM 切⊙O 于点C ， ∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=1AD2∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧().AB()1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)()2若AB的中点C到弦AB的距离为2080m AB m=，，求AB所在圆的半径．【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：()1连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；()2连接OA OC OC，，交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到1OC AB AD BD AB402⊥===，，则CD20=，设O的半径为r，在Rt OAD中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+，然后解方程即可．详解：()1如图1，点O 为所求；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥，1402AD BD AB ∴===，设O 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，在Rt OAD 中，222OA OD AD =+，222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，即AB 所在圆的半径是50m ．点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．6．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD 3FC 的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE33∠==设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋32，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．7．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210) 240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．8．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ． (1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）215. 【解析】【分析】()1由BD 为O 的直径，得到D ABD 90∠∠+=，根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到结论；()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OHOC==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影定理得到212AF 916==，根据相交弦定理即可得到结论．【详解】()1BD 为O 的直径，90BAD ∴∠=，90D ABD ∴∠+∠=，FB 是O 的切线， 90FBD ∴∠=， 90FBA ABD ∴∠+∠=，FBA D ∴∠=∠， AB AC =，C ABC ∴∠=∠， CD ∠=∠，ABF ABC ∴∠=∠；()2如图2，连接OC ，90OHC HCA ∠=∠=，//AC OH ∴，ACO COH ∴∠=∠， OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠，即ABD ACO ∠=∠， ABC COH ∴∠=∠，90H BAD ∠=∠=，ABD ∴∽HOC ， 2AD BD CH OC ∴==， 12CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC ∽HOC ，2AB BDOH OC∴==， 6OH =，O 的半径为10，212AB OH ∴==，20BD =，2216AD BD AB ∴=-=，在ABF 与ABE 中，90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ABF ∴≌ABE ，BF BE ∴=，AF AE =， 90FBD BAD ∠=∠=，2AB AF AD ∴=⋅，212916AF ∴==，9AE AF ∴==，7DE ∴=，2215BE AB AE =+=， AD ，BC 交于E ， AE DE BE CE ∴⋅=⋅，9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．9．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．（1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．【答案】(1)CD=2523812n n- ;(3) n 9559155 【解析】分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论；（2）解Rt △POH ，得到Rt 3mOH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论．详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝．由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3m OH ＝．在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝．在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝．可得： 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝．（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝，解得9n ：＝．即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．ii ）11O P OO ＝22233m m n m -+-（）（）n ＝，解得：23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得9155n ：＝． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132nn n-＝，解得955n ：＝．综上所述：n 的值为955或9155．点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．10．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD . (1)求证：EF ∥BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2，求BE 的长.【答案】(1)见解析；(2) 233π【解析】【分析】（1）根据EF ＝BD 可得EF ＝BD ，进而得到BE DF ，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF ，根据切线的性质及垂径定理求出GF 、GE 的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG ，进而求出∠BDE 的度数，确定BE 所对的圆心角的度数，根据∠DFH ＝90°确定DE 为直径，代入弧长公式即可求解. 【详解】 (1)∵EF ＝BD ， ∴EF ＝BD ∴BEDF∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF∥CD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2∴cos∠BHG＝HGHB ＝12，∠BHG＝60°.∴∠FDB＝∠BDE＝30°∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.∴弧BE＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.11．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA＝∠ABC；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）6334π-.【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ；（2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B, ∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形， ∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º, ∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA, 同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=3 Rt △ACM 中，易得AC=33=3＝OC,∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º, ∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝OA×tan30º=3 , ∵△CDO ≌△EDO(AAS)， ∴EG=CD=AC×sin60º=332， ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOES ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235．【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°． ∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 533522⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．13．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴332∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×（2+3）×332=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．14．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高．(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②7；（231312PQ PQ ≤≤≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可；（2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．且∴≤≤≠PQ1PQ1PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

圆的培优专题(含解答)

第4题第5题第6题第1题第2题第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20︒，∠DAC ＝30︒，则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 12∠BAC ＝100︒）2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100︒，则∠BAD ＝ . （50︒）3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20︒，∠BDC ＝30︒，则 ∠BAD ＝ . （∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40︒＋60︒＝100︒）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60︒，则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120︒）5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70︒，则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360︒－∠ADC －∠AOC ＝150︒）6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90︒，∠ADC ＝25︒，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25︒）解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.第10题第11题第12题第7题第8题第9题二运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ .答案：7、45︒； 8、30︒； 9、22.5︒； 10、40︒； 11、150︒； 12、110︒ 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30︒，则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！第1题第2题第3题圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30︒，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90︒， ∵∠BED ＝30︒，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60︒∴∠OAC ＝30︒，OC ＝ 12 OA ＝2，则AC ＝23，因此AB ＝43.2、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝12 AB=3∴OE ＝22534-=，则CE ＝5＋4＝9 ∴BC ＝2293310+=3、如图，⊙O 的半径为25，弦AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8，CD ＝6，则OP ＝ . 略解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，连接OB ，OD. 则BE ＝12 AB ＝4，DF ＝12 CD ＝3，且OB ＝OD ＝25OE ＝22(25)42-=，OF ＝22(25)311-=又AB ⊥CD ，则四边形OEPF 是矩形，则OP ＝222(11)15+=4、如图，在⊙O 内，如果OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60︒，则⊙O 的半径为 . 略解：如图，过点O 作OD ⊥AB ，连接OB ，则AD ＝12 AB ＝4，因此，BD ＝8，OD ＝43∴OB ＝22(43)847+=.第4题第5题第6题5、如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15︒，CD ＝10，则BC ＝略解：如图，连接OC ，OD ，则∠ODC ＝∠OCD∵△ABC 为等边三角形，则∠OCA ＝∠OCE ＝30︒，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45︒ ∴△OCD 是等腰三角形，则OC ＝52 过点O 作OE ⊥BC ，则BC ＝2CE ＝566、如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为AB 的中点，E 为OB 上一点，∠AEC ＝60︒，CE 的延长线交⊙O 于点D ，则CD ＝略解：如图，连接OC ，则OC ＝2∵C 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，又∠AEC ＝60︒，∴∠OCE ＝30︒ 如图，过点O 作OF ⊥CD ，则OF ＝12 OC ＝1，CF ＝3，∴CD ＝2CF ＝237、如图，A 地测得台风中心在城正西方向300千米的B 处，并以每小时107千米的速度沿北偏东60︒的BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求出受影响的时间？解：如图，过点A 作AC ⊥BF 交于点C ，∵∠ABF ＝30︒，则AC ＝12 AB ＝150<200，因此A 地会受到这次台风影响；如图，以A 为圆心200千米为半径作⊙A 交BF 于D 、E 两点，连接AD ，则DE ＝2CD ＝2222001501007-=，所以受影响的时间为100710710÷=（时）圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求CD 的长. 解：如图，连接AB ，BD ，在CB 的延长线上截取BE ＝AC ，连接DE ∵∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD 又∠CAD ＝∠EBD ，AC ＝BE ∴△CAD ≌△EBD （SAS ） ∴CD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE∵AB 为⊙O 的直径，则∠ACB ＝∠ADB ＝90︒∴BC ＝221068-=；∠ADC ＋∠CDB ＝∠CDB ＋∠BDE ＝90︒，即∠CDE ＝90︒ ∴△CDE 是等腰直角三角形且CE ＝14，∴CD ＝722、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的中点，M 、D 分别是CB 及AB 延长线上一点，且 MA ＝MD ，若CM ＝2，求BD 的长.解：如图，连接AC ，则AC ＝BC ，∠C ＝90︒，即△ABC 是等腰直角三角形过点M 作MN ∥AD ，则∠NMA ＝∠MAD则△CMN 也是等腰直角三角形，则MN ＝2CM ＝2 ∴∠ANC ＝∠MBD ＝135︒，又MA ＝MD ，∴∠D ＝∠NMA ＝∠MAD ∴△AMN ≌△BMD （AAS ） ∴BD ＝MN ＝23、如图，AB 为⊙O 的直径，点N 是半圆的中点，点C 为AN 上一点，NC ＝3. 求BC －AC 的值.解：如图，连接AN ，BN ，则△ABN 是等腰直角三角形在BC 上截取BD ＝AC ，连接DN ∵AN ＝BN ，∠CAN ＝∠DBN ，AC ＝BD ∴△ACN ≌△BDN （SAS ）∴CN ＝DN ，∠CNA ＝∠DNB ，∴∠CND ＝∠CNA ＋∠AND ＝∠ADN ＋∠DNB ＝90︒，即△CND 是等腰直角三角形 ∴CD ＝2NC ＝6，∴BC －AC ＝BC －BD ＝CD ＝64、如图，点A 、B 、C 为⊙O 上三点，AC BC =，点M 为BC 上一点，CE ⊥AM 于E ， AE ＝5，ME ＝3，求BM 的长.解：如图，在AM 上截取AN ＝BM ，连接CN ，CM. ∵AC BC =，∴AC ＝BC ，又∠A ＝∠B ∴△ACN ≌△BCM （SAS ） ∴CN ＝CM ，又CE ⊥AM ∴NE ＝ME ＝3， ∴BM ＝AN ＝AE －NE ＝25、如图，在⊙O 中，P 为BAC 的中点，PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，若AC ＝3，AD ＝1，求AB 的长.解：如图，连接BP 、CP ，则BP ＝CP ，∠B ＝∠C 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，又PD ⊥CD ∴∠BEP ＝∠CDP ∴△BEP ≌△CDP （AAS ） ∴BE ＝CD ＝3+1＝4，PE ＝PD连接AP ，则Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），则AE ＝AD ＝1 ∴AB ＝AE+BE ＝56、如图，AB 是O 的直径，MN 是弦，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F ，AB ＝10，MN ＝8. 求BF －AE 的值.解：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，则AE ∥BF ，∴∠A ＝∠B如图，延长EO 交BF 于点G ，则∠AOE ＝∠BOG ，AO ＝BO∴△AOE ≌△BOG （AAS ），则OE ＝OG 过点O 作OH ⊥MN ，FG ＝2OH ，HN ＝4连接ON ，则ON ＝5，OH ＝22543-=，则BG －AE ＝FG ＝6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60︒，求BNBC的值. 解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90︒ 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形∴BN ＝22AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60︒， ∴BC ＝32AB ， ∴BN BC ＝63（方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解）2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝22，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90︒ 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90︒ ∴∠DAC ＝∠EDB ，则CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，则AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE ＝2AD ＝4，即⊙O 的半径为23、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45︒， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F.（1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC. （1）证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45︒，则△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，则∠CAE ＝∠ECB如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90︒ ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，则∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG （AAS ），则CE ＝CG ＝EF （2）略解：AC ＝CD ＝2246213+=.4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. （1）求证：AF ＝CF ；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长（1）证：如图，延长CD 交⊙O 于点G ，连接AC ∵直径AB ⊥CG ，则AG AC CE == ∴∠CAE ＝∠ACG ，则AF ＝CF（2）解：如图，连接OC 交AE 于点H ，则OC ⊥AE ，EH ＝AH ＝12 AE=4∴ OH ＝22543-=，则CH ＝5－3＝2 设HF ＝x ，则CF ＝AF ＝4－x 则2222(4)x x +=-，∴32x =，即HF ＝32∴EF ＝1125、如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD. （1）求证：AD ＝AN ；（2）若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径. （1）证：∵CD ⊥AB ，AM ⊥BC∴∠C ＋∠CNM ＝∠C ＋∠B ＝90︒ ∴∠B ＝∠CNM ，又∠B ＝∠D ，∠AND ＝∠CNM ∴∠D ＝∠AND ，即AD ＝AN （2）解：∵直径CD ⊥弦AB ，则AE ＝22 又AN ＝AD ，则NE ＝ED如图，连接OA ，设OE ＝x ，则NE ＝ED ＝1x + ∴OA ＝OD ＝21x +∴222(22)(21)x x +=+，则1x = ∴⊙O 的半径OA ＝3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，求证：∠AOD ＋∠BOC ＝180︒. 证：如图，连接AC ，∵AB ⊥CD ，则∠CAB ＋∠ACD ＝90︒ 又∠AOD ＝2∠ACD ，∠BOC ＝2∠BAC ∴∠AOD ＋∠BOC ＝180︒.2、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若⊙O 的半径为R ，求证：AC 2＋BD 2＝4R 2. 证：∵AB ⊥CD ，则∠CAB ＋∠ACD ＝90︒ 如图，作直径AM ，连接CM 则∠ACM ＝∠ACD ＋∠DCM ＝90︒∴∠CAB ＝∠DCM ， ∴BC DM = ∴CM BD =， ∴CM ＝BD ∵AC 2＋CM 2＝AM 2 ∴AC 2＋BD 2＝4R 2.3、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若点M 为AC 的中点，求证ME ⊥BD. 证：如图，连接ME ，并延长交BD 于点F ∵AB ⊥CD ，且点M 为AC 的中点 ∴ME 为Rt △AEC 斜边上的中线 ∴AM ＝ME∴∠A ＝∠AEM ＝∠BEF 又∠B ＝∠C ，∠A ＋∠C ＝90︒ ∴∠BEF ＋∠B ＝90︒，即∠BFE ＝90︒ ∴ME ⊥BD.4、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若ON ⊥BD 于N ，求证：ON ＝12AC. 证：如图，作直径BF ，连接DF ，则DF ⊥BD ，又ON ⊥BD ， ∴ON ∥FD ，又OB ＝OF ∴ON ＝12DF 连接AF ，则AF ⊥AB ，又CD ⊥AB ∴AF ∥CD∴AC FD =，则AC ＝FD ∴ON ＝12AC 5、在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于点E ，若AC ＝BD ，ON ⊥BD 于N ，OM ⊥AC 于M. （1）求证：ME //ON ；（2）求证：四边形OMEN 为菱形. 证：（1）如图，延长ME 交OD 于点F ∵OM ⊥AC ，则点M 为AC 的中点∵ AB ⊥CD ，则ME 为Rt △ACE的斜边上中线 ∴AM ＝EM ，∴∠A ＝∠AEM ＝∠BEF 又∠B ＝∠C ，∠A ＋∠C ＝90︒ ∴∠B ＋∠BEF ＝90︒，则∠BFE ＝90︒ ∴MF ⊥BD ，又ON ⊥BD ∴MF ∥ON（2）由（1）知MF ∥ON ，同理可证OM ∥NE ， ∴四边形OMEN 是平行四边形 ∵AC ＝BD ，∴OM ＝ON ∴四边形OMEN 为菱形.圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝90︒. 求证：CA ＋CB ＝2CD.证：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC （SAS ） ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝45︒∴△CDE 是等腰直角三角形，则CA ＋CB ＝CE ＝2CD.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120︒，求CA+CBCD 的值.解：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC （SAS ） ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝60︒ ∴△CDE 是等边三角形∴CD ＝CE ＝CA ＋BC ，即CA+CBCD＝13、如图，过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ，求OA ＋OB 的值. 解：如图，过点M 作ME y ⊥轴，MF ⊥x 轴，连AM 、BM 由M （1，1）知：四边形OFME 是正方形 ∴OE ＝OF ＝4，EM ＝FM ，又∠MBF ＝∠MAE ， ∴△AEM ≌△BFM （AAS ），则AE ＝BF ∴OA ＋OB ＝AE ＋OE ＋OF －BF ＝8.二圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90︒. 求证：（1）PA PB =；（2）AC －BC ＝2PC. 证：（1）如图，连接AP ，则∠PCQ ＝∠PAB 又∠PCQ ＝∠PCA ，则∠PAB ＝∠PCA ∴PA PB =（2）连接BP ，由（1）得，PA ＝PB在AC 上截取AD ＝BC ，连PD ，又∠PAD ＝∠PBC ∴△PAD ≌△PBC （SAS ），则PD ＝PC又∠PCD ＝45︒，则∴PCD 是等腰直角三角形，∴AC －BC ＝CD ＝2PC. 5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝120︒. 求BC －AC PC的值.解：如图，在BC 上截取BD ＝AC ，连AP 、BP 、DP ∵∠PCB ＝∠PCQ ＝∠PBA ∴AP ＝BP ，又∠CAP ＝∠DBP ∴△CAP ≌△DBP （SAS ），则CP＝DP 又∠ACB ＝120︒，∴∠PCD ＝30︒， ∴BC －AC PC ＝ CD PC＝36、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点这P 为OA 上动点（异于O 、A ）. 求PB －PAPO的值.解：如图，在BP 上截取BC ＝AP ∵A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4 又∠OAP ＝∠OBC ∴△OAP ≌△OBC （SAS ）∴OC ＝OP ，且∠COP ＝∠AOB ＝90︒，则PB －PA PO ＝ PCPO＝2.第6题一切线与一个圆答案：1、70︒；2、20︒；3、80︒；4、120︒；5、130︒；6、45︒1、如图，AD 切⊙O 于A ，BC 为直径，若∠ACB ＝20︒，则∠CAD ＝ .2、如图，AP 切⊙O 于P ，PB 过圆心，B 在⊙O 上，若∠ABP ＝35︒，则∠APB ＝ .3、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为ACB 上一点，若∠BCA ＝50︒，则∠APB ＝ .4、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，C 为AB 上一点，若∠BCA ＝150︒，则∠APB ＝ .5、如图，点O 是△ABC 的内切圆的的圆心，若 ∠BAC ＝80︒，则∠BOC ＝ .6、如图，PA 切⊙O 于A ，若PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于D ，则∠ADP ＝ . （设元，列方程）二切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 、AC 分别切小圆于D 、E ，小圆的DE 的度数为110︒，则大圆的BC 的度数为 .8、如图，⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且点O 1在⊙O 2上，若∠D ＝110︒，则∠C ＝ 9、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于D ，AB 过点D ，若∠AO 2D ＝100︒，C 为优弧BD 上任一点，则∠DCB ＝ . 答案：7、140︒；8、40︒；9、50︒（过点D 作两圆的切线）第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题第9题1、如图，在⊙O 的内接△ACB 中，∠ABC ＝30︒，AC 的延长线与过点D 的切线BD 交于点D ，若⊙O 的半径为1，BD //OC ，则CD ＝ . （CD ＝33）2、如图△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，过点A 的切线与OC 的延长线交于D ，∠BAC ＝75︒， CD ＝3，则AD ＝ . （AD ＝3）3、如图，⊙O 为△BCD 的外接圆，过点C 的切线交BD 的延长线于A ，∠ACB ＝75︒，∠ABC ＝45︒，则 CD DB的值为 . （CDDB ＝2）4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC 交AB 于E ，过C 作⊙O 的切线交DB 的延长线于M ，若AB ＝4，∠ADC ＝45︒，∠M ＝75︒，则CD ＝ . （CD ＝23）5、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于B ，AD ⊥BD 于D ，AD 交⊙O 于E ，⊙O 的半径为1，则AE ＝ . （AE ＝1）6、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，BC ＝5，⊙O 与ABC 的三边相切于D 、E 、F ，若⊙O 的半径为2，则△ABC 的周长为 . （C ＝30）7、如图，△ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝12，BC ＝16，点O 在AB 上，⊙O 与BC 相切于D ，连接AD ，则BD ＝ . （示：过D 作DE ⊥AB ，设CD ＝DE ＝x ，BD ＝10）解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥BE 于D. （1）判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长. 解：（1）DC 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接OC ，BC ，则∠ABC ＝∠CBD ＝∠OCB ∴OC ∥BD ，又CD ⊥BE ∴OC ⊥CD ，又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线（2）如图，过O 作OF ⊥BD ，则四边形OFDC 是矩形，且BE ＝EF ∴OF ＝CD ＝3，DF ＝OC ＝5，∴EF ＝BF ＝22534-=，∴DE ＝DF －EF ＝12、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线 BF 交AD 的延长线于点F. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求DF 的长. （1）证：显然，∠CAD ＝∠OAD ＝∠ODA ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 半径 ∴DE 为⊙O 的切线（2）解：如图，过点O 作OG ⊥AC ，则OGDE 是矩形，即OG ＝DE ＝3，DE ＝OD ＝5 ∴AG ＝22534-=，则AE ＝5＋4＝9，∴2293310+= 连接BD ，则BD ⊥AD ，∴BD ＝2210(310)10-=设DF ＝x ，则22(10)x +＝BF ＝22(310)10x +-，∴DF ＝103x =.3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE. （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝2，DE ＝1，求CD 的长.（1）证：如图，连接OA ，则∠ADE ＝∠ADO ＝∠OAD ∴OA ∥CD ，又AE ⊥CD ∴OA ⊥AE ，又OA 为⊙O 的半径 ∴AE 是⊙O 的切线（2）解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，则CD ＝2DF ，且四边形OFEA 是矩形 ∴EF ＝OA ＝OD ，OF ＝AE ＝2 设DF ＝x ，则OD ＝EF ＝1x + ∴2222(1)x x +=+，∴ 1.5x = ∴CD ＝2CF ＝23x =4、如图，AE 是⊙O 的直径，DF 切⊙O 于B ，AD ⊥DF 于D ，EF ⊥DF 于F. （1）求证：EF ＋AD ＝AE ；（2）若EF ＝1，DF ＝4，求四边形ADFE 的周长. （1）证：如图，连接CE ，则四边形CDFE 是矩形连接OB 交CE 于点G ， ∵DF 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥DF ，OB ⊥CE∴BG ＝CD ＝EF ，OG ∥AC ，又AO ＝OE ∴AC ＝2OG∴EF ＋AD ＝AC ＋CD ＋EF ＝2OG ＋2BG ＝2OB ＝AE. （2）解：显然CE ＝DF ＝4，CD ＝EF ＝1设AC ＝x ，则AD ＝1x +，AE ＝2x +∴2224(2)x x +=+，则3x =，则AC ＝3，AD ＝4，AE ＝5 ∴四边形CDFE 的周长为14.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC ＝BC，AC＝12 OB.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45︒，OC＝2，求弦CD的长. （1）证：∵OC＝OB，∴AC为OAB的OB边上的中线，又AC＝12OB∴△OAB是直角三角形，且∠OAB＝90︒，又OA为⊙O的半径∴AB是⊙O的切线（2）解：显然，OA＝OC＝AC，即△OAC是等边三角形∴∠AOC＝60︒，∴∠D＝30︒如图，过点A作AE⊥CD于点E，∵∠ACD＝45︒，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝22AC＝22OC＝2，DE＝3AE＝6∴CD＝62+2、如图，PA、PB切⊙O于A、B，点M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP于N.（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O的半径3r=，PA＝9，求OM的长.（1）证：如图，连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥AP，又MN⊥AP∴OA∥MN，又OM//AP，∴四边形OANM是矩形，即OM＝AN（2）解：如图，连接OB，∵PB、PA为⊙O的切线∴∠OBM＝∠MNP＝90︒，PB＝PA＝9∵OM//AP，∴∠OMB＝∠P，又OB＝OA＝MN，∴△OBM≌△MNP（AAS）∴OM＝PM，则32＋OM2＝（9－OM）2，∴OM＝53、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线， E 为切点，连接CE 交AB 于F.（1）求证：DE ＝DF ；（2）连接AE ，若OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长. （1）证：如图，连接OE ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥DE ，又OC ⊥AB∴∠C ＋∠CFO ＝∠OEF ＋∠DEF ＝90︒ 又∠C ＝∠OCF ，∠CFO ＝∠DFE ∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF （2）解：显然，OE ＝OB ＝OF ＋BF ＝4设BD ＝x ，则DE ＝DF ＝3x +，OD ＝4x + ∴222(3)4(4)x x ++=+，∴x =4.5 ∴DE ＝7.54、如图，正方形ABCO 的顶点分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切于F ，已知A (0,8)，求圆心M 的坐标. 解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E ∵⊙M 与x 轴相切，即OC 是⊙M 的切线∴EF ⊥OC ，又四边形ABCO 是正方形 ∴EF ⊥AB ，又A （0，8）即AB ＝EM ＝OA ＝8 ∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝x ，则EM ＝8－x∴2224(8)x x +-=，∴5x =，即MF ＝5 ∴点M 的坐标为（－4，5）圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD为⊙O的直径，A为BC的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长.（1）证：如图，连接AB∴∠BAD＝∠BDF＝90︒∴∠ABC＋∠AEB＝∠ADB＋∠FDE＝90︒又∠ABC＝∠ADB，∠AEB＝∠DEF∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝EF（2）解：如图，过点F作FG⊥ED，则EG＝GD＝2＝AE ，又∠BAE＝∠FGE＝90︒，∠AEB＝∠GEF，∴△ABE≌△GFE（ASA），∴BE＝EF，即DE为R△BDF的斜边上中线∴DF＝EF＝DE＝4，BF＝8，则BD＝432、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O的一点，OC⊥AD，CF⊥DB于F.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若BF＝1，DB＝3，求⊙O的半径.（1）证：∵AB为⊙O的直径Array∴DF⊥AD，又OC⊥AD∴OC∥DF，又CF⊥DB∴OC⊥CF，又OC为⊙O的半径∴CF为⊙O的切线（2）解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，则BE＝DE＝1.5，EF＝2.5又OC⊥CF，CF⊥EF∴四边形OCFE是矩形∴⊙O有半径OC＝EF＝2.53、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC ＝OD ；（2）过D 作DM 切⊙O 于M ，若AB ＝2，DM ＝22，求⊙O 的半径. （1）证：如图，连接OA 、OB ，则OA ＝OB ∴∠OAB ＝∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90︒ ∴∠OAD ＝∠OBC ∴△OAD ≌△OBC （SAS ） ∴OC ＝OD（2）解：如图，连接OM 、BD ，则OM ⊥DM ，且BD ＝2AB ＝22＝DM 又OM ＝OB ，OD ＝OD ，△ODM ≌△ODB （SSS ） ∴OB ⊥BD ，又∠ABD ＝45︒∴∠OAB ＝45︒，即△OAB 是等腰直角三角形 ∴OA ＝22AB ＝2 4、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. （1）求证：AD ＝BD ；（2）弦CE 交BD 于M ，若3ABCBCMS S=，求BD CE. （1）略证：连接CD ，则CD ⊥AB又AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，∴AD ＝BD （2）解：如图，连接BE ，过A 作AN ⊥CE 于N ， ∵3ABCBCMSS=，∴2ACMBCMSS=∴AN ＝2BE∵∠CAN ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∠ANC ＝∠CEB ∴△ANC ≌△CEB （AAS ） ∴BE ＝CN ，CE ＝AN设CN ＝BE ＝x ，则CE ＝AN ＝BE ＝2x ， ∴BC ＝5x ，∴AB ＝2BC ＝10x ，即BD ＝102x ∴BD CE ＝104.圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ，与边AC 交于E ，过D 作DF ⊥AC 于F.（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝5，AB ＝5，求AE 的长. （1）证：如图，连接AD ，OD ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB ＝AC ，OA ＝OB ∴∠EAD ＝∠DAB ＝∠ADO ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的直径 ∴DF 为⊙O 的切线（2）解：∵∠EAD ＝∠DAB ，∴BD ＝DE ＝5，又AB ＝5，∴AD ＝225(5)25-= ∵DF ×AC ＝AD ×CD ，∴DF ＝2，CF ＝EF ＝52(5)21-=，∴AE ＝5－2＝3 2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，过D 作DE ⊥AE. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，若∠CAB ＝120︒，求 DEOC的值. （1）证：如图，连接AD ，OD ，则AD ⊥BC 又AB ＝AC ，∴CD ＝BD ，又AO ＝OB ∴OD ∥AC ，又DE ⊥AE∴OD ⊥DF ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，过点O 作OF ⊥BD 于F ，则BD ＝2BF ∵AB ＝AC ，∠CAB ＝120︒，∴∠B ＝30︒ 设OF ＝x ，则BF ＝3x ，OB ＝2x ，∴AC ＝AB ＝4x ，CD ＝BD ＝23x ，则CF ＝33x由勾股定理，得OC ＝27x ，由面积法，得DE ＝3x ，∴DE OC＝2114.3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF ⊥AC. （1）证：DF 为⊙O 的切线；（2）若AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC. （1）证：如图，连接OD ，∵ AB ＝AC ，OB ＝OD ∴∠B ＝∠C ＝∠ODB ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DF 为⊙O 的切线（2）解：如图，连接OG ，∵AC 为⊙O 的切线∴OG ⊥AC ，又OD ⊥DF ，DF ⊥AC ，OG ＝OD ∴四边形ODFG 是正方形，即OB ＝OG ＝GF ＝3 设AG ＝x ，则AB ＝AC ＝4x +，则AO ＝1x + ∴2323(1)x x +=+，∴4x =，则AC ＝84、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为CD 的中点，E 为CD 延长线上一点，EG 切⊙O 于G. （1）求证：KG ＝GE ；（2）若AC //EG ，DK CK ＝ 35 ，AK ＝210，求⊙O 的半径.（1）证：如图，连接OG ，OA 交CD 于点F ∵A 为CD 的中点，EG 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥CD ，OG ⊥GE∴∠OAG ＋∠AKF ＝∠OGA ＋∠EGK 又∠OAG ＝∠OGA ，∠AKF ＝∠EKG ∴∠EGK ＝∠EKG ∴KG ＝GE（2）解：∵AC ∥EG ，∴∠CAK ＝∠EGK ，又∠EGK ＝∠EKG ＝∠CKA ∴∠CAK ＝∠CKA ，∴CA ＝CK设CK ＝CA ＝5x ，则DK ＝3x ，∴CD ＝8x ，CF ＝4x ，EG ＝x ∴AF ＝22(5)(4)3x x x -=在Rt △AFK 中，222(3)(210)x x +=，∴2x =∴CE ＝8，AE ＝6，设⊙O 的半径为R ，则R 2＝82＋（R －6）2，∴R ＝253圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，点M 为BC 上一点，且CM ＝AC.（1）求证：M 为△ABE 的内心；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求△BEM 的面积. （1）证：如图，连接CE ，则AC ＝CE ＝CM ∴∠CME ＝∠CEM ，∠CEA ＝∠CBE ∴∠CBE ＋∠BEM ＝∠CEA ＋∠AEM ∴∠AEM ＝∠BEM ，又∠ABC ＝∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心.（2）解：如图，过点M 作MN ⊥BE 于点N ，则MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB ＝10，AE ＝8，则BE ＝221086-=∴MN ＝681022+-=， ★★ MN ＝2a b c +-＝aba b c++＝2 ∴BME 的面积为12×6×2＝6.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. （1）求证：BC ＝2DM ；（2）若DM ＝52，AB ＝8，求OM 的长. （1）证：如图，连接BD ，CD ， ∵BC 为直径，AD 平分∠BAC ∴BD ＝CD ，∠BDC ＝90︒， ∴BC ＝2CD连接CM ，则∠ACM ＝∠BCM ，∠DAC ＝∠BCD∴∠DMC ＝∠ACM ＋∠DAC ＝∠BCM ＋∠BCD ＝∠DCM ， ∴DM ＝CD ，即BC ＝2DM（2）解：显然，BC ＝2DM ＝10，AB ＝8，则AC ＝6，且∠MAE ＝45︒如图，过M 作ME ⊥BC 于点N ，作MF ⊥AC 于点F ，则ME ＝MF ＝AF ＝2 ∴ CF ＝CE ＝4，则OE ＝1 ∴OM ＝22215+=.3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，I 是△ABD 的内心，DI 的延长线交⊙O 于N.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE ＝4，CE ＝2，求⊙O 的半径和IN 的长. （1）证：∵D 是BC 的中点，OA ＝OD ∴∠CAD ＝∠DAO ＝∠ADO ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AB ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.（2）解：如图，过点O 作OF ⊥AC ，则AF ＝CF ∵DE ⊥AB ，OD ⊥DE∴四边形ODEF 是矩形，则OF ＝DE ＝4设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OD ＝EF ＝R ，AF ＝CF ＝R －2 ∴（R －2）2＋42 ＝R 2，∴R ＝5，∴AB ＝10，如图，连接BI ，AN ，BN ，则IN ＝BN ＝AN ＝52 ★4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，I 是△ABC 的内心，⊙O 交AB 于E ，BE 为⊙O 的直径. （1）求证：AI 与⊙O 相切；（2）若BC ＝6，AB ＝5，求⊙O 的半径. （1）证：如图，延长AI 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，连接OI ，则∠OIB ＝∠OBI ＝∠OBD ∴OI ∥BC ，又AD ⊥BC ∴AD ⊥OI ，又OI 为⊙O 的半径 ∴AI 与⊙O 相切（2）显然BD ＝3，AB ＝5，则AD ＝4如图，过点I 作IF ⊥AB 于点F ，则BF ＝BD ＝3，AF ＝2，IF ＝ID ，设IF ＝ID ＝x ，则AI ＝4x -，∴2222(4)x x +=-，则IF ＝32x =设O 的半径为R ，则OF ＝3－R ，∴（3－R ）2＋（32 ）2 ＝R 2，∴R ＝158圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图，点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点，求证PA ＝PB ＋PC. 证：如图，在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD∵△ABC 是等边三角形，∠ABC ＝∠ACB ＝60︒ ∴∠DPC ＝∠ABC ＝60︒∴△PCD 是等边三角形，即CD ＝PC ∵∠ACD ＋∠BCD ＝∠BCP ＋∠BCD ＝60︒ ∴∠ACD ＝∠BCP ，又AC ＝BC ∴△ACD ≌△BCP （SAS ） ∴AD ＝BP∴PA ＝AD ＋DP ＝PB ＋PC.2、已知弦AD ⊥BD ，且AB ＝2，点C 在圆上，CD ＝1，直线AD 、BC 交于点E. （1）如图1，若点E 在⊙O 外，求∠AEB 的度数；（2）如图2，若C 、D 两点在⊙O 上运动，CD 的长度不变，点E 在⊙O 内，求∠AEB 的度数. 解：（1）如图－1，连接OC ，OD ∵AD ⊥BD∴AB 为⊙O 的直径，且AB ＝2∴CD ＝OC ＝OD ＝1，即△OCD 是等边三角形 ∴∠COD ＝60︒∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒∴∠AEB ＝60︒ （2）如图－2，连接OC ，OD同理可得：∠ACD ＝60︒， ∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒又∠ADB ＝90︒，∴∠AED ＝120︒图－1图－23、已知直线l 经过⊙O 的圆心O ，且交⊙O 于A 、B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30︒，点 P 是直线l 上一个动点（与O 不重合），直线CP 与⊙O 交于Q ，且QP ＝QO. （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，求∠OCP 的度数；（2）如图2，当点P 在线段OA 的延长线上时，求∠OCP 的度数；（3）如图3，当点P 在线段OB 的延长上时，求∠OCP 的度数. 解：（1）如图－1，设∠OCP ＝x ∵OC ＝OQ ，则∠OQP ＝x 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒ ∴∠OCP ＝40x =︒（2）如图－2，设∠COQ ＝x ，又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ 又OC ＝OQ∴∠OQP ＝∠OCQ ＝60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴∠COQ ＝20x =︒ ∴∠OCP ＝100︒ （3）如图－3，设∠QPO ＝x∴QP ＝PO ，则∠QOP ＝∠QPO ＝x ∴OC ＝OQ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ∴230x x +=︒ ∴∠QPO ＝x ＝10︒ ∴∠OCP ＝20︒图－1图－2图－3圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。

九年级培优圆的综合辅导专题训练及答案

九年级培优圆的综合辅导专题训练及答案一、圆的综合1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（29）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

初三培优圆的综合辅导专题训练及答案解析

初三培优圆的综合辅导专题训练及答案解析一、圆的综合1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，»»BF FA=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=23DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出EH∥DG，求出OM=12AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝12MOBM=，tanP=12COPO=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OC=OA，∴∠PAC=∠OCA，∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，∵FG∥AD，∴∠FGD+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠FGD=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA=90°，∴∠BED=90°，∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，∴四边形HGDE是矩形，∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，∵»»BF AF=，∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°，∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，∴∠HEF=∠HFE，∴FH=EH，∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，∴△FHO≌△EHO，∴∠FHO=∠EHO=45°，∵四边形GHED是矩形，∴EH∥DG，∴∠OMH=∠OCP=90°，∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，∴HM=MO，∵OM⊥BE，∴BM=ME，∴OM=12 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，∴ME=CD=2a，BM=2a，在Rt△BOM中，tan∠MBO=122 MO aBM a==，∵EH∥DP，∴∠P=∠MBO，tanP=12 COPO=，设OC=k，则PC=2k，在Rt△POC中，，解得：在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，a=1，∴HE=3a=3，在Rt△HFE中，∠HEF=45°，∴．【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．2．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧»BE的长．【答案】（1）证明见解析（2）4 3【解析】分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，∴＝·4π＝π．点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．4．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形；（2）如图②，若BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）π2【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；（2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且132OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =CG CD =12，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°．连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴¶3031802AE ππ⋅⨯==．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t =2t +6，解出即可；第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣2），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE ，BE =3﹣2=1，∴AB=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE∴tan ∠EBA =AEBE =，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠FBD =12∠FBA =11202⨯︒=60°． ∵BC 是⊙M 的切线，∴MF ⊥BC ．∵F 是BC 的中点，∴BF =MF =1，∴△BFM 是等腰直角三角形，∴∠MBF =45°，∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）连接BM ，过M 作MN ⊥BD ，垂足为N ，作ME ⊥BC 于E ，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠CBD =60°，∴∠NBE =60°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =30°．∵ME =1，∴EB ∴3t =2t +6，t =6第二种情况：如图6．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠DBC =60°，∴∠NBE =120°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =60°．∵ME =MN =1，∴Rt △BEM 中，tan60°=ME BE ，EB =160tan ︒=3，∴3t=2t+6+33，t=6+33；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+3．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．6．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB12=，求点P的坐标②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y43=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，33953-，1255）【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC=22AC AB=43，∴C（6，43），∴K（4，22），∴P（0，23）．故答案为：（0，23）．（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=43x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA•MB，∴MP=35，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴ONPK=OMMK=NMMP，∴4PK=3MK=35，∴PK=125，MK=95，∴OK=95﹣3，∴P（95﹣3，125）．点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．7．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 53，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=3m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan∠BAC53，∴设NG=3，可得AN=11m，AG22-14m，AG AM∵∠ACG=60°，∴CN=5m，AM3，MG22-m=1，AG AM∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝OB ，点D 是»AC 上一动点，点E 是CD 中点，连接BD 分别交OC ，OE 于点F ，G ．（1）求∠DGE 的度数；（2）若CF OF ＝12，求BF GF的值；（3）记△CFB ，△DGO 的面积分别为S 1，S 2，若CF OF＝k ，求12S S 的值．（用含k 的式子表示）【答案】(1)∠DGE ＝60°；(2)72；(3)12S S =211k k k +++. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE 的度数；（2）过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3,根据勾股定理求出BF 的长度，再证得△FGO ∽△FCB ，进而求得BF GF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出12S S 的值．【详解】解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝12∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点，∴OE ⊥CD ，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HFHB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF ==由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12，∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中，BF =由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OFCB BF=，即1GO k =+， ∴GO=过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ， ∵点E 是CD 中点，∴DE＝12CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴12SS=BFGO=22111k kkk k+++++=211k kk+++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．9．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E 是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23【解析】【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在OCE∆中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=2，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23，则EF=GE-FG=23-2.【试题解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.∴EF=GE-FG=23-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.10．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35 2.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD22AC CD5∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即3425∴OB ＝352∴⊙O 的半径为35．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若∠C ＝60°，AC ＝12，求»BD的长． (3)若tan C ＝2，AE ＝8，求BF 的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)103. 【解析】分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2）根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600 ∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴»BD =6062180ππ⨯= 即»BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE== 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．在平面直角坐标系XOY 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，若P 、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x 轴平行（含重合），则称P 、Q 互为“向善点”．如图1为点P 、Q 互为“向善点”的示意图．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（m ，0）（1）在点M （﹣1，0）、S （2，0）、T （3，3A 点互为“向善点”的是_____；（2）若A 、B 互为“向善点”，求直线AB 的解析式；（3）⊙B 3⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”，请直接写出m 的取值范围．【答案】（1）S ，T ．（2）直线AB 的解析式为y ＝3x 或y ＝﹣3x +23；（3）当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S ，T 与A 点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m 的分式方程，解之经检验后可得出点B 的坐标，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况求出m 的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵30330,3tan 601(1)221︒--===---，3333tan 6031︒-==-， ∴点S ，T 与A 点互为“向善点”．故答案为S ，T ．（2）根据题意得：303-=，解得：m 1＝0，m 2＝2，经检验，m 1＝0，m 2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B 的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，），B （0，0）或（2，0）代入y ＝kx +b ，得：30k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩320k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：30k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为y 3或y 33．（3）当⊙B 与直线y 3相切时，过点B 作BE ⊥直线y 3于点E ，如图2所示．∵∠BOE ＝60°，∴sin60°＝32BE OB ， ∴OB ＝2，∴m ＝﹣2或m ＝2；当⊙B 与直线y ＝﹣3x +23相切时，过点B 作BF ⊥直线y ＝﹣3x +23于点F ，如图3所示．同理，可求出m ＝0或m ＝4．综上所述：当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A 点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．13．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．14．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3×（3mn＋mn）＝3mn．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.15．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（23323π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。

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第4题第5题第6题第1题第2题第3题圆的培优专题1——与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、如图，△ABC 内有一点D ，DA ＝DB ＝DC ，若∠DAB ＝20︒，∠DAC ＝30︒，则∠BDC ＝ . （∠BDC ＝ 12∠BAC ＝100︒）2、如图，AE ＝BE ＝DE ＝BC ＝DC ，若∠C ＝100︒，则∠BAD ＝ . （50︒）3、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝20︒，∠BDC ＝30︒，则 ∠BAD ＝ . （∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40︒＋60︒＝100︒）解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD 中，点E 为AB 、BC 的垂直平分线的交点，若∠D ＝60︒，则∠AEC ＝ . （∠AEC ＝2∠B ＝2∠D ＝120︒）5、如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70︒，则∠DAO ＋∠DCO ＝ . （所求＝360︒－∠ADC －∠AOC ＝150︒）6、如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠ADB ＝90︒，∠ADC ＝25︒，则∠ABC ＝ . （∠ABC ＝∠ADC ＝25︒）解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD 共圆.第10题第11题第12题第7题第8题第9题二运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ .答案：7、45︒； 8、30︒； 9、22.5︒； 10、40︒； 11、150︒； 12、110︒ 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50︒，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB 2，弦AC 3∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30︒，则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！第1题第2题第3题圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算1、如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，若∠BED ＝30︒，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是 . 略解：∵OD ⊥AB ，∴AB ＝2AC ，且∠ACO ＝90︒， ∵∠BED ＝30︒，∴∠AOC ＝2∠BED ＝60︒∴∠OAC ＝30︒，OC ＝ 12 OA ＝2，则AC ＝23，因此AB ＝432、如图，弦AB 垂直于⊙O 的直径CD ，OA ＝5，AB ＝6，则BC ＝ . 略解：∵直径CD ⊥弦AB ，∴AE ＝BE ＝12 AB=3∴OE 22534-=，则CE ＝5＋4＝9 ∴BC ＝2293310+=3、如图，⊙O 的半径为25弦AB ⊥CD ，垂足为P ，AB ＝8，CD ＝6，则OP ＝ . 略解：如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，连接OB ，OD. 则BE ＝12 AB ＝4，DF ＝12 CD ＝3，且OB ＝OD ＝25 OE 22(25)42-=，OF ＝22(25)311-= 又AB ⊥CD ，则四边形OEPF 是矩形，则OP 222(11)15+=4、如图，在⊙O 内，如果OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60︒，则⊙O 的半径为 . 略解：如图，过点O 作OD ⊥AB ，连接OB ，则AD ＝12 AB ＝4，因此，BD ＝8，OD ＝43∴OB 22(43)847+=.第4题第5题第6题5、如图，正△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，∠DCA ＝15︒，CD ＝10，则BC ＝略解：如图，连接OC ，OD ，则∠ODC ＝∠OCD∵△ABC 为等边三角形，则∠OCA ＝∠OCE ＝30︒，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45︒ ∴△OCD 是等腰三角形，则OC ＝52 过点O 作OE ⊥BC ，则BC ＝2CE ＝566AB ∠60︒的延长线交⊙O 于点D ，则CD ＝略解：如图，连接OC ，则OC ＝2∵C 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，又∠AEC ＝60︒，∴∠OCE ＝30︒ 如图，过点O 作OF ⊥CD ，则OF ＝12 OC ＝1，CF ＝3，∴CD ＝2CF ＝237、如图，A 地测得台风中心在城正西方向300千米的B 处，并以每小时10760︒的BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A 地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求出受影响的时间？解：如图，过点A 作AC ⊥BF 交于点C ，∵∠ABF ＝30︒，则AC ＝12 AB ＝150<200，因此A 地会受到这次台风影响；如图，以A 为圆心200千米为半径作⊙A 交BF 于D 、E 两点，连接AD ，则DE ＝2CD ＝222001501007-= 所以受影响的时间为100710710=（时）圆的培优专题3——圆与全等三角形1、如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求CD 的长. 解：如图，连接AB ，BD ，在CB 的延长线上截取BE ＝AC ，连接DE ∵∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD 又∠CAD ＝∠EBD ，AC ＝BE ∴△CAD ≌△EBD （SAS ） ∴CD ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE∵AB 为⊙O 的直径，则∠ACB ＝∠ADB ＝90︒∴BC 221068-=；∠ADC ＋∠CDB ＝∠CDB ＋∠BDE ＝90︒，即∠CDE ＝90︒ ∴△CDE 是等腰直角三角形且CE ＝14，∴CD ＝22、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的中点，M 、D 分别是CB 及AB 延长线上一点，且 MA ＝MD ，若CM 2BD 的长.解：如图，连接AC ，则AC ＝BC ，∠C ＝90︒，即△ABC 是等腰直角三角形过点M 作MN ∥AD ，则∠NMA ＝∠MAD则△CMN 也是等腰直角三角形，则MN 2＝2 ∴∠ANC ＝∠MBD ＝135︒，又MA ＝MD ，∴∠D ＝∠NMA ＝∠MAD ∴△AMN ≌△BMD （AAS ） ∴BD ＝MN ＝23、如图，AB 为⊙O 的直径，点N 是半圆的中点，点C 为AN 上一点，NC 3 求BC －AC 的值.解：如图，连接AN ，BN ，则△ABN 是等腰直角三角形在BC 上截取BD ＝AC ，连接DN ∵AN ＝BN ，∠CAN ＝∠DBN ，AC ＝BD ∴△ACN ≌△BDN （SAS ）∴CN ＝DN ，∠CNA ＝∠DNB ，∴∠CND ＝∠CNA ＋∠AND ＝∠ADN ＋∠DNB ＝90︒，即△CND 是等腰直角三角形 ∴CD 26，∴BC －AC ＝BC －BD ＝CD 64、如图，点A 、B 、C 为⊙O 上三点，AC BC =，点M 为BC 上一点，CE ⊥AM 于E ， AE ＝5，ME ＝3，求BM 的长.解：如图，在AM 上截取AN ＝BM ，连接CN ，CM. ∵AC BC =，∴AC ＝BC ，又∠A ＝∠B ∴△ACN ≌△BCM （SAS ） ∴CN ＝CM ，又CE ⊥AM ∴NE ＝ME ＝3， ∴BM ＝AN ＝AE －NE ＝25、如图，在⊙O 中，P 为BAC 的中点，PD ⊥CD ，CD 交⊙O 于A ，若AC ＝3，AD ＝1，求AB 的长.解：如图，连接BP 、CP ，则BP ＝CP ，∠B ＝∠C 过点P 作PE ⊥AB 于点E ，又PD ⊥CD ∴∠BEP ＝∠CDP ∴△BEP ≌△CDP （AAS ） ∴BE ＝CD ＝3+1＝4，PE ＝PD连接AP ，则Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），则AE ＝AD ＝1 ∴AB ＝AE+BE ＝56、如图，AB 是O 的直径，MN 是弦，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F ，AB ＝10，MN ＝8. 求BF －AE 的值.解：∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，则AE ∥BF ，∴∠A ＝∠B如图，延长EO 交BF 于点G ，则∠AOE ＝∠BOG ，AO ＝BO∴△AOE ≌△BOG （AAS ），则OE ＝OG 过点O 作OH ⊥MN ，FG ＝2OH ，HN ＝4连接ON ，则ON ＝5，OH ＝22543-=，则BG －AE ＝FG ＝6.圆的培优专题4——圆与勾股定理1、如图，⊙O 是△BCN 的外接圆，弦AC ⊥BC ，点N 是AB 的中点，∠BNC ＝60︒，求BNBC的值. 解：如图，连接AB ，则AB 为直径，∴∠BNA ＝90︒ 连接AN ，则BN ＝AN ，则△ABN 是等腰直角三角形∴BN ＝22AB ；又∠BAC ＝∠BNC ＝60︒， ∴BC ＝32AB ， ∴BN BC ＝63（方法2，过点B 作BD ⊥CN ，即可求解）2、如图，⊙O 的弦AC ⊥BD ，且AC ＝BD ，若AD ＝22，求⊙O 半径. 解：如图，作直径AE ，连接DE ，则∠ADE ＝90︒ 又AC ⊥BD ，则∠ADB ＋∠DAC ＝∠ADB ＋∠EDB ＝90︒ ∴∠DAC ＝∠EDB ，则CD BE =，∴DE BC =， ∵ AC ＝BD ，∴AC CD =，则AD BC DE == ∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰直角三角形 ∴AE ＝2AD ＝4，即⊙O 的半径为23、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为CB 延长线上一点，且∠CAD ＝45︒， CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F.（1）求证：CE ＝EF ；（2）若DF ＝2，EF ＝4，求AC. （1）证：∵ AB 为⊙O 的直径，∠CAD ＝45︒，则△ACD 是等腰直角三角形，即AC ＝DC 又CE ⊥AB ，则∠CAE ＝∠ECB如图，过点C 作CG 垂直DF 的延长线于点G又CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，则四边形CEFG 是矩形，∠AEC ＝∠DGC ＝90︒ ∴EF ＝CG ，CE ∥DG ，则∠ECB ＝∠CDG ＝∠CAE ∴△ACE ≌△DCG （AAS ），则CE ＝CG ＝EF （2）略解：AC ＝CD ＝2246213+=.4、如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，AC CE =. （1）求证：AF ＝CF ；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求EF 的长（1）证：如图，延长CD 交⊙O 于点G ，连接AC ∵直径AB ⊥CG ，则AG AC CE == ∴∠CAE ＝∠ACG ，则AF ＝CF（2）解：如图，连接OC 交AE 于点H ，则OC ⊥AE ，EH ＝AH ＝12 AE=4∴ OH ＝22543-=，则CH ＝5－3＝2 设HF ＝x ，则CF ＝AF ＝4－x 则2222(4)x x +=-，∴32x =，即HF ＝32∴EF ＝1125、如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD. （1）求证：AD ＝AN ；（2）若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径. （1）证：∵CD ⊥AB ，AM ⊥BC∴∠C ＋∠CNM ＝∠C ＋∠B ＝90︒ ∴∠B ＝∠CNM ，又∠B ＝∠D ，∠AND ＝∠CNM ∴∠D ＝∠AND ，即AD ＝AN （2）解：∵直径CD ⊥弦AB ，则AE ＝22 又AN ＝AD ，则NE ＝ED如图，连接OA ，设OE ＝x ，则NE ＝ED ＝1x + ∴OA ＝OD ＝21x +∴222(22)(21)x x +=+，则1x = ∴⊙O 的半径OA ＝3圆的培优专题5——圆中两垂直弦的问题1、在⊙O中，弦AB⊥CD于E，求证：∠AOD＋∠BOC＝180︒.证：如图，连接AC，∵AB⊥CD，则∠CAB＋∠ACD＝90︒又∠AOD＝2∠ACD，∠BOC＝2∠BAC∴∠AOD＋∠BOC＝180︒.2、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若⊙O的半径为R，求证：AC2＋BD2＝4R2. 证：∵AB⊥CD，则∠CAB＋∠ACD＝90︒如图，作直径AM，连接CM则∠ACM＝∠ACD＋∠DCM＝90︒∴∠CAB＝∠DCM，=∴BC DM=，∴CM BD∴CM＝BD∵AC2＋CM2＝AM2∴AC2＋BD2＝4R2.3、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若点M为AC的中点，求证ME⊥BD.证：如图，连接ME，并延长交BD于点F∵AB⊥CD，且点M为AC的中点∴ME为Rt△AEC斜边上的中线∴AM＝ME∴∠A＝∠AEM＝∠BEF又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90︒∴∠BEF＋∠B＝90︒，即∠BFE＝90︒∴ME⊥BD.4、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若ON⊥BD于N，求证：ON＝12 AC.证：如图，作直径BF，连接DF，则DF⊥BD，又ON⊥BD，∴ON∥FD，又OB＝OF∴ON＝12DF连接AF，则AF⊥AB，又CD⊥AB ∴AF∥CD∴AC FD=，则AC＝FD∴ON＝12AC5、在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若AC＝BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M. （1）求证：ME//ON；（2）求证：四边形OMEN为菱形.证：（1）如图，延长ME交OD于点F∵OM⊥AC，则点M为AC的中点∵AB⊥CD，则ME为Rt△ACE的斜边上中线∴AM＝EM，∴∠A＝∠AEM＝∠BEF又∠B＝∠C，∠A＋∠C＝90︒∴∠B＋∠BEF＝90︒，则∠BFE＝90︒∴MF⊥BD，又ON⊥BD∴MF∥ON（2）由（1）知MF∥ON，同理可证OM∥NE，∴四边形OMEN是平行四边形∵AC＝BD，∴OM＝ON∴四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6——圆与内角（外角）平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝90︒. 求证：CA ＋CB 2CD.证：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC （SAS ） ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝45︒∴△CDE 是等腰直角三角形，则CA ＋CB ＝CE 22、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝120︒，求CA+CBCD 的值.解：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝BC ，连DE ，AD ，BD ∵CD 平分∠ACB ，∴AD ＝BD 又∠DAE ＝∠DBC ，AE ＝BC ∴△DAE ≌△DBC （SAS ） ∴CD ＝DE ，又∠ACD ＝60︒ ∴△CDE 是等边三角形∴CD ＝CE ＝CA ＋BC ，即CA+CBCD＝13、如图，过O 、M (1,1)的动圆⊙1O 交y 轴、x 轴于点A 、B ，求OA ＋OB 的值. 解：如图，过点M 作ME y ⊥轴，MF ⊥x 轴，连AM 、BM 由M （1，1）知：四边形OFME 是正方形 ∴OE ＝OF ＝4，EM ＝FM ，又∠MBF ＝∠MAE ， ∴△AEM ≌△BFM （AAS ），则AE ＝BF ∴OA ＋OB ＝AE ＋OE ＋OF －BF ＝8.二圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 求证：（1）PA PB =；（2）AC －BC ＝2PC. 证：（1）如图，连接AP ，则∠PCQ ＝∠PAB 又∠PCQ ＝∠PCA ，则∠PAB ＝∠PCA ∴PA PB =（2）连接BP ，由（1）得，PA ＝PB在AC 上截取AD ＝BC ，连PD ，又∠PAD ＝∠PBC ∴△PAD ≌△PBC （SAS ），则PD ＝PC又∠PCD ＝45︒，则∴PCD 是等腰直角三角形，∴AC －BC ＝CD ＝2PC. 5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝120︒. 求BC －AC PC的值.解：如图，在BC 上截取BD ＝AC ，连AP 、BP 、DP ∵∠PCB ＝∠PCQ ＝∠PBA ∴AP ＝BP ，又∠CAP ＝∠DBP ∴△CAP ≌△DBP （SAS ），则CP ＝DP 又∠ACB ＝120︒，∴∠PCD ＝30︒， ∴BC －AC PC ＝ CD PC＝36、如图，A (4,0)，B (0,4)，⊙1O 经过A 、B 、O 三点，点这P 为OA 上动点（异于O 、A ）. 求PB －PAPO的值.解：如图，在BP 上截取BC ＝AP ∵A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4 又∠OAP ＝∠OBC ∴△OAP ≌△OBC （SAS ）∴OC ＝OP ，且∠COP ＝∠AOB ＝90︒，则PB －PA PO ＝ PCPO ＝2.第6题一切线与一个圆答案：1、70︒；2、20︒；3、80︒；4、120︒；5、130︒；6、45︒1、如图，AD切⊙O于A，BC为直径，若∠ACB＝20︒，则∠CAD＝.2、如图，AP切⊙O于P，PB过圆心，B在⊙O上，若∠ABP＝35︒，则∠APB＝.3、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为ACB上一点，若∠BCA＝50︒，则∠APB＝.4、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为AB上一点，若∠BCA＝150︒，则∠APB＝.5、如图，点O是△ABC的内切圆的的圆心，若∠BAC＝80︒，则∠BOC＝.6、如图，PA切⊙O于A，若PA＝AB，PD平分∠APB交AB于D，则∠ADP＝. （设元，列方程）二切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC分别切小圆于D、E，小圆的DE的度数为110︒，则大圆的BC的度数为.8、如图，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，若∠D＝110︒，则∠C＝9、如图，⊙O1和⊙O2外切于D，AB过点D，若∠AO2D＝100︒，C为优弧BD上任一点，则∠DCB＝. 答案：7、140︒；8、40︒；9、50︒（过点D作两圆的切线）第1题第2题第3题第4题第5题第7题第8题第9题1、如图，在⊙O的内接△ACB中，∠ABC＝30︒，AC的延长线与过点D的切线BD交于点D，若⊙O的半径为1，BD//OC，则CD＝. （CD＝33）2、如图△ABC内接于⊙O，AB＝BC，过点A的切线与OC的延长线交于D，∠BAC＝75︒，CD＝3，则AD＝. （AD＝3）3、如图，⊙O为△BCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A，∠ACB＝75︒，∠ABC＝45︒，则CDDB的值为. （CDDB＝2）4、如图，AB为⊙O的直径，弦DC交AB于E，过C作⊙O的切线交DB的延长线于M，若AB＝4，∠ADC＝45︒，∠M＝75︒，则CD＝. （CD＝23）5、如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O的半径为1，则AE＝. （AE＝1）6、如图，△ABC中，∠C＝90︒，BC＝5，⊙O与ABC的三边相切于D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为. （C＝30）7、如图，△ABC中，∠C＝90︒，AC＝12，BC＝16，点O在AB上，⊙O与BC相切于D，连接AD，则BD＝. （示：过D作DE⊥AB，设CD＝DE＝x，BD＝10）解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题圆的培优专题9——圆的切线与垂径定理1、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AE 的中点，CD ⊥BE 于D. （1）判断DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若DC ＝3，⊙O 的半径为5，求DE 的长. 解：（1）DC 是⊙O 的切线，理由如下：如图，连接OC ，BC ，则∠ABC ＝∠CBD ＝∠OCB ∴OC ∥BD ，又CD ⊥BE ∴OC ⊥CD ，又OC 为⊙O 的半径 ∴DC 是⊙O 的切线（2）如图，过O 作OF ⊥BD ，则四边形OFDC 是矩形，且BE ＝EF ∴OF ＝CD ＝3，DF ＝OC ＝5，∴EF ＝BF ＝22534-=，∴DE ＝DF －EF ＝12、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线 BF 交AD 的延长线于点F. （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求DF 的长. （1）证：显然，∠CAD ＝∠OAD ＝∠ODA ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 半径 ∴DE 为⊙O 的切线（2）解：如图，过点O 作OG ⊥AC ，则OGDE 是矩形，即OG ＝DE ＝3，DE ＝OD ＝5 ∴AG ＝22534-=，则AE ＝5＋4＝9，∴2293310+= 连接BD ，则BD ⊥AD ，∴BD ＝2210(310)10-=设DF ＝x ，则22(10)x +＝BF ＝22(310)10x +-，∴DF ＝103x =.3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE. （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝2，DE ＝1，求CD 的长.（1）证：如图，连接OA ，则∠ADE ＝∠ADO ＝∠OAD ∴OA ∥CD ，又AE ⊥CD ∴OA ⊥AE ，又OA 为⊙O 的半径 ∴AE 是⊙O 的切线（2）解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，则CD ＝2DF ，且四边形OFEA 是矩形 ∴EF ＝OA ＝OD ，OF ＝AE ＝2 设DF ＝x ，则OD ＝EF ＝1x + ∴2222(1)x x +=+，∴ 1.5x = ∴CD ＝2CF ＝23x =4、如图，AE 是⊙O 的直径，DF 切⊙O 于B ，AD ⊥DF 于D ，EF ⊥DF 于F. （1）求证：EF ＋AD ＝AE ；（2）若EF ＝1，DF ＝4，求四边形ADFE 的周长. （1）证：如图，连接CE ，则四边形CDFE 是矩形连接OB 交CE 于点G ， ∵DF 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥DF ，OB ⊥CE∴BG ＝CD ＝EF ，OG ∥AC ，又AO ＝OE ∴AC ＝2OG∴EF ＋AD ＝AC ＋CD ＋EF ＝2OG ＋2BG ＝2OB ＝AE. （2）解：显然CE ＝DF ＝4，CD ＝EF ＝1设AC ＝x ，则AD ＝1x +，AE ＝2x +∴2224(2)x x +=+，则3x =，则AC ＝3，AD ＝4，AE ＝5 ∴四边形CDFE 的周长为14.圆的培优专题10——圆的切线与勾股定理1、如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝12 OB.（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45︒，OC＝2，求弦CD的长. （1）证：∵OC＝OB，∴AC为OAB的OB边上的中线，又AC＝12OB∴△OAB是直角三角形，且∠OAB＝90︒，又OA为⊙O的半径∴AB是⊙O的切线（2）解：显然，OA＝OC＝AC，即△OAC是等边三角形∴∠AOC＝60︒，∴∠D＝30︒如图，过点A作AE⊥CD于点E，∵∠ACD＝45︒，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝22AC＝22OC2DE3AE＝6∴CD622、如图，PA、PB切⊙O于A、B，点M在PB上，且OM//AP，MN⊥AP于N.（1）求证：OM＝AN；（2）若⊙O的半径3r=，PA＝9，求OM的长.（1）证：如图，连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥AP，又MN⊥AP∴OA∥MN，又OM//AP，∴四边形OANM是矩形，即OM＝AN（2）解：如图，连接OB，∵PB、PA为⊙O的切线∴∠OBM＝∠MNP＝90︒，PB＝PA＝9∵OM//AP，∴∠OMB＝∠P，又OB＝OA＝MN，∴△OBM≌△MNP（AAS）∴OM＝PM，则32＋OM2＝（9－OM）2，∴OM＝53、如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线， E 为切点，连接CE 交AB 于F.（1）求证：DE ＝DF ；（2）连接AE ，若OF ＝1，BF ＝3，求DE 的长. （1）证：如图，连接OE ∵PE 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥DE ，又OC ⊥AB∴∠C ＋∠CFO ＝∠OEF ＋∠DEF ＝90︒ 又∠C ＝∠OCF ，∠CFO ＝∠DFE ∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF （2）解：显然，OE ＝OB ＝OF ＋BF ＝4设BD ＝x ，则DE ＝DF ＝3x +，OD ＝4x + ∴222(3)4(4)x x ++=+，∴x =4.5 ∴DE ＝7.54、如图，正方形ABCO 的顶点分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切于F ，已知A (0,8)，求圆心M 的坐标. 解：如图，连接FM 交延长交AB 于点E ∵⊙M 与x 轴相切，即OC 是⊙M 的切线∴EF ⊥OC ，又四边形ABCO 是正方形 ∴EF ⊥AB ，又A （0，8）即AB ＝EM ＝OA ＝8 ∴ AE ＝4设MF ＝AM ＝x ，则EM ＝8－x∴2224(8)x x +-=，∴5x =，即MF ＝5 ∴点M 的坐标为（－4，5）圆的培优专题11——圆的切线与全等三角形1、如图，BD为⊙O的直径，A为BC的中点，AD交BC于E，过D作⊙O的切线，交BC的延长线于F. （1）求证：DF＝EF；（2）若AE＝2，DE＝4，求DB的长.（1）证：如图，连接AB∵BD为⊙O的直径，DF为⊙O的切线∴∠BAD＝∠BDF＝90︒∴∠ABC＋∠AEB＝∠ADB＋∠FDE＝90︒又∠ABC＝∠ADB，∠AEB＝∠DEF∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝EF（2）解：如图，过点F作FG⊥ED，则EG＝GD＝2＝AE，又∠BAE＝∠FGE＝90︒，∠AEB＝∠GEF，∴△ABE≌△GFE（ASA），∴BE＝EF，即DE为R△BDF的斜边上中线∴DF＝EF＝DE＝4，BF＝8，则BD＝432、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O的一点，OC⊥AD，CF⊥DB于F.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若BF＝1，DB＝3，求⊙O的半径.（1）证：∵AB为⊙O的直径∴DF⊥AD，又OC⊥AD∴OC∥DF，又CF⊥DB∴OC⊥CF，又OC为⊙O的半径∴CF为⊙O的切线（2）解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，则BE＝DE＝1.5，EF＝2.5又OC⊥CF，CF⊥EF∴四边形OCFE是矩形∴⊙O有半径OC＝EF＝2.53、如图，以⊙O 的弦AB 为边向圆外作正方形ABCD. （1）求证：OC ＝OD ；（2）过D 作DM 切⊙O 于M ，若AB ＝2，DM ＝22O 的半径. （1）证：如图，连接OA 、OB ，则OA ＝OB ∴∠OAB ＝∠OBA ∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90︒ ∴∠OAD ＝∠OBC ∴△OAD ≌△OBC （SAS ） ∴OC ＝OD（2）解：如图，连接OM 、BD ，则OM ⊥DM ，且BD 2＝22DM 又OM ＝OB ，OD ＝OD ，△ODM ≌△ODB （SSS ） ∴OB ⊥BD ，又∠ABD ＝45︒∴∠OAB ＝45︒，即△OAB 是等腰直角三角形 ∴OA ＝22AB 24、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D. （1）求证：AD ＝BD ；（2）弦CE 交BD 于M ，若3ABCBCM S S=，求BD CE. （1）略证：连接CD ，则CD ⊥AB又AC ＝BC ，∠ACB ＝90︒，∴AD ＝BD （2）解：如图，连接BE ，过A 作AN ⊥CE 于N ， ∵3ABCBCMSS=，∴2ACMBCMSS=∴AN ＝2BE∵∠CAN ＝∠BCE ，AC ＝BC ，∠ANC ＝∠CEB ∴△ANC ≌△CEB （AAS ） ∴BE ＝CN ，CE ＝AN设CN ＝BE ＝x ，则CE ＝AN ＝BE ＝2x ， ∴BC 5x ，∴AB 210x ，即BD 10x ∴ BD CE ＝104.圆的培优专题12——圆的切线与等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于D ，与边AC 交于E ，过D 作DF ⊥AC 于F.（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝5，AB ＝5，求AE 的长. （1）证：如图，连接AD ，OD ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB ＝AC ，OA ＝OB ∴∠EAD ＝∠DAB ＝∠ADO ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的直径 ∴DF 为⊙O 的切线（2）解：∵∠EAD ＝∠DAB ，∴BD ＝DE ＝5，又AB ＝5，∴AD ＝225(5)25-= ∵DF ×AC ＝AD ×CD ，∴DF ＝2，CF ＝EF ＝52(5)21-=，∴AE ＝5－2＝3 2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以边AB 为直径作⊙O ，交BC 于D ，过D 作DE ⊥AE. （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，若∠CAB ＝120︒，求 DEOC的值. （1）证：如图，连接AD ，OD ，则AD ⊥BC 又AB ＝AC ，∴CD ＝BD ，又AO ＝OB ∴OD ∥AC ，又DE ⊥AE∴OD ⊥DF ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，过点O 作OF ⊥BD 于F ，则BD ＝2BF ∵AB ＝AC ，∠CAB ＝120︒，∴∠B ＝30︒ 设OF ＝x ，则BF ＝3x ，OB ＝2x ，∴AC ＝AB ＝4x ，CD ＝BD ＝23x ，则CF ＝33x由勾股定理，得OC ＝27x ，由面积法，得DE ＝3x ，∴DE OC ＝2114.3、如图，AB ＝AC ，点O 在AB 上，⊙O 过点B ，分别交BC 于D 、AB 于E ，DF ⊥AC. （1）证：DF 为⊙O 的切线；（2）若AC 切⊙O 于G ，⊙O 的半径为3，CF ＝1，求AC. （1）证：如图，连接OD ，∵ AB ＝AC ，OB ＝OD ∴∠B ＝∠C ＝∠ODB ∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ∴OD ⊥DF ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DF 为⊙O 的切线（2）解：如图，连接OG ，∵AC 为⊙O 的切线∴OG ⊥AC ，又OD ⊥DF ，DF ⊥AC ，OG ＝OD ∴四边形ODFG 是正方形，即OB ＝OG ＝GF ＝3 设AG ＝x ，则AB ＝AC ＝4x +，则AO ＝1x + ∴2323(1)x x +=+，∴4x =，则AC ＝84、如图，CD 是⊙O 的弦，A 为CD 的中点，E 为CD 延长线上一点，EG 切⊙O 于G. （1）求证：KG ＝GE ；（2）若AC //EG ，DK CK ＝ 35 ，AK ＝210O 的半径.（1）证：如图，连接OG ，OA 交CD 于点F ∵A 为CD 的中点，EG 是⊙O 的切线 ∴OA ⊥CD ，OG ⊥GE∴∠OAG ＋∠AKF ＝∠OGA ＋∠EGK 又∠OAG ＝∠OGA ，∠AKF ＝∠EKG ∴∠EGK ＝∠EKG ∴KG ＝GE（2）解：∵AC ∥EG ，∴∠CAK ＝∠EGK ，又∠EGK ＝∠EKG ＝∠CKA ∴∠CAK ＝∠CKA ，∴CA ＝CK设CK ＝CA ＝5x ，则DK ＝3x ，∴CD ＝8x ，CF ＝4x ，EG ＝x ∴AF ＝22(5)(4)3x x x -=在Rt △AFK 中，222(3)(210)x x +=，∴2x = ∴CE ＝8，AE ＝6，设⊙O 的半径为R ，则R 2＝82＋（R －6）2，∴R ＝253圆的培优专题13——圆与三角形的内心1、如图，AB 是⊙O 的直径，AC CE =，点M 为BC 上一点，且CM ＝AC.（1）求证：M 为△ABE 的内心；（2）若⊙O 的半径为5，AE ＝8，求△BEM 的面积. （1）证：如图，连接CE ，则AC ＝CE ＝CM ∴∠CME ＝∠CEM ，∠CEA ＝∠CBE ∴∠CBE ＋∠BEM ＝∠CEA ＋∠AEM ∴∠AEM ＝∠BEM ，又∠ABC ＝∠CBE ∴点M 为△ABE 的内心.（2）解：如图，过点M 作MN ⊥BE 于点N ，则MN 为△ABE 的内切圆的半径. ∵AB ＝10，AE ＝8，则BE 221086-=∴MN ＝681022+-=， ★★ MN ＝2a b c +-＝aba b c++＝2 ∴BME 的面积为12×6×2＝6.2、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 点M 是△ABC 的内心. （1）求证：BC 2DM ；（2）若DM ＝52AB ＝8，求OM 的长. （1）证：如图，连接BD ，CD ， ∵BC 为直径，AD 平分∠BAC ∴BD ＝CD ，∠BDC ＝90︒， ∴BC 2 连接CM ，则∠ACM ＝∠BCM ，∠DAC ＝∠BCD∴∠DMC ＝∠ACM ＋∠DAC ＝∠BCM ＋∠BCD ＝∠DCM ， ∴DM ＝CD ，即BC 2（2）解：显然，BC 2＝10，AB ＝8，则AC ＝6，且∠MAE ＝45︒如图，过M 作ME ⊥BC 于点N ，作MF ⊥AC 于点F ，则ME ＝MF ＝AF ＝2 ∴ CF ＝CE ＝4，则OE ＝1 ∴OM 22215+3、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，I 是△ABD 的内心，DI 的延长线交⊙O 于N.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE ＝4，CE ＝2，求⊙O 的半径和IN 的长. （1）证：∵D 是BC 的中点，OA ＝OD ∴∠CAD ＝∠DAO ＝∠ADO ∴OD ∥AE ，又DE ⊥AB ∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.（2）解：如图，过点O 作OF ⊥AC ，则AF ＝CF ∵DE ⊥AB ，OD ⊥DE∴四边形ODEF 是矩形，则OF ＝DE ＝4设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OD ＝EF ＝R ，AF ＝CF ＝R －2 ∴（R －2）2＋42 ＝R 2，∴R ＝5，∴AB ＝10，如图，连接BI ，AN ，BN ，则IN ＝BN ＝AN ＝52 ★4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，I 是△ABC 的内心，⊙O 交AB 于E ，BE 为⊙O 的直径. （1）求证：AI 与⊙O 相切；（2）若BC ＝6，AB ＝5，求⊙O 的半径. （1）证：如图，延长AI 交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，连接OI ，则∠OIB ＝∠OBI ＝∠OBD ∴OI ∥BC ，又AD ⊥BC ∴AD ⊥OI ，又OI 为⊙O 的半径 ∴AI 与⊙O 相切（2）显然BD ＝3，AB ＝5，则AD ＝4如图，过点I 作IF ⊥AB 于点F ，则BF ＝BD ＝3，AF ＝2，IF ＝ID ，设IF ＝ID ＝x ，则AI ＝4x -，∴2222(4)x x +=-，则IF ＝32x =设O 的半径为R ，则OF ＝3－R ，∴（3－R ）2＋（32 ）2 ＝R 2，∴R ＝158圆的培优专题14——圆中动态问题1、如图，点P 是等边△ABC 外接圆BC 上的一个动点，求证PA ＝PB ＋PC. 证：如图，在AP 上截取PD ＝PC ，连接CD∵△ABC 是等边三角形，∠ABC ＝∠ACB ＝60︒ ∴∠DPC ＝∠ABC ＝60︒∴△PCD 是等边三角形，即CD ＝PC ∵∠ACD ＋∠BCD ＝∠BCP ＋∠BCD ＝60︒ ∴∠ACD ＝∠BCP ，又AC ＝BC ∴△ACD ≌△BCP （SAS ） ∴AD ＝BP∴PA ＝AD ＋DP ＝PB ＋PC.2、已知弦AD ⊥BD ，且AB ＝2，点C 在圆上，CD ＝1，直线AD 、BC 交于点E. （1）如图1，若点E 在⊙O 外，求∠AEB 的度数；（2）如图2，若C 、D 两点在⊙O 上运动，CD 的长度不变，点E 在⊙O 内，求∠AEB 的度数. 解：（1）如图－1，连接OC ，OD ∵AD ⊥BD∴AB 为⊙O 的直径，且AB ＝2∴CD ＝OC ＝OD ＝1，即△OCD 是等边三角形 ∴∠COD ＝60︒∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒∴∠AEB ＝60︒ （2）如图－2，连接OC ，OD同理可得：∠ACD ＝60︒， ∴∠CBD ＝12 ∠COD=30︒又∠ADB ＝90︒，∴∠AED ＝120︒图－1图－23、已知直线l 经过⊙O 的圆心O ，且交⊙O 于A 、B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30︒，点 P 是直线l 上一个动点（与O 不重合），直线CP 与⊙O 交于Q ，且QP ＝QO. （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，求∠OCP 的度数；（2）如图2，当点P 在线段OA 的延长线上时，求∠OCP 的度数；（3）如图3，当点P 在线段OB 的延长上时，求∠OCP 的度数. 解：（1）如图－1，设∠OCP ＝x ∵OC ＝OQ ，则∠OQP ＝x 又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ ∴2(30)180x x +︒+=︒ ∴∠OCP ＝40x =︒（2）如图－2，设∠COQ ＝x ，又∠AOC ＝30︒，QP ＝QO ∴∠QOP ＝∠QPO ＝30x +︒ 又OC ＝OQ∴∠OQP ＝∠OCQ ＝60x +︒ ∴(60)2(30)180x x +︒++︒=︒ ∴∠COQ ＝20x =︒ ∴∠OCP ＝100︒ （3）如图－3，设∠QPO ＝x∴QP ＝PO ，则∠QOP ＝∠QPO ＝x ∴OC ＝OQ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ∴230x x +=︒ ∴∠QPO ＝x ＝10︒ ∴∠OCP ＝20︒图－1图－2图－3圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。