7、圆的培优专题：与切线有关的计算
教案标题初中数学知识点球的切线与切圆的计算
教案标题初中数学知识点球的切线与切圆的计算初中数学知识点：球的切线与切圆的计算球的切线与切圆是初中数学中的一个重要知识点，它与几何图形和立体图形的计算息息相关。
本文将为您详细介绍球的切线与切圆的计算方法。
一、切线的定义与性质在数学中，切线是指与圆或球相切于一点且仅有一个交点的直线。
对于球体来说，相切的切线与球体的切点处的切平面是相切的。
给定一个球体和球外一点P，我们来计算球体与点P处的切线。
首先，连接球心O与点P，并做球心O到点P的垂线段。
球心O到点P的距离为r（r为球的半径），垂线段与切线的交点为A。
连接点P与切点A，可以得到切线。
根据勾股定理，我们可以得出以下关系式：OP² = OA² + AP²由此，可以得到切线PA的长度为：AP = √(OP² - OA²)二、切线与切圆的计算对于球体上的任意一点M，我们来计算球的切线与圆的关系。
首先，连接点M与球心O，并做球心O到点M的垂线段。
球心O到点M的距离为r（r为球的半径），垂线段与切线的交点为B。
我们可以将球切面看作一个圆，在切面上点B与切点A之间的弦与切线PA相等。
根据这一性质，我们可以得到切线与切圆的关系。
对于圆上的任意一点N，连接点N与切点A，并做点N与圆心O的垂线段。
圆心O到点N的距离为r'（r'为切圆的半径），垂线段与切线PA的交点为B'。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：OA² = ON² + AN²OB² = ON² + NB²因为切线PA与切圆相切，所以OB'与切线PA也垂直。
根据上述关系式，可以得到切线PA的长度为：AP = √(OA² - ON²)B'P = √(OB'² - ON²)对于切点A与切点B'之间的弦AB'，可以得到以下关系式：AB' = 2 √(ON² - OA²)综上所述，我们可以通过计算球心到切线的距离来得到切线的长度，进而计算切线与切圆的关系。
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。
中考数学专题复习：与圆切线有关的线段计算
中考数学专题复习：与圆的切线有关的线段计算斗门区第四中学卢燕英教学目标：1、掌握圆的切线证明的技巧．2、会选择适当的作辅助线的方法．3、学会计算与圆的切线有关的线段．教学重点：1、圆的切线的证明 2、与圆的切线有关的线段的计算．教学难点：灵活运用勾股定理、相似三角形对应边成比例、三角函数等建立方程进行有关线段的计算．教学方法:启发引导与归纳讨论相结合．教学过程：一、复习：1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．（解决与圆的切线有关题目）解题技巧是：圆心与切点的连线是常用的辅助线．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线．证圆的切线技巧：（1）如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，连半径，证垂直”．（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．二、运用技巧类型一：“有交点，连半径，证垂直”．【难点在于如何证明两线垂直】1.如图，AB=AC，AB为⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M，求证：DM与⊙O相切．【说明】：此题可以引导学生通过证明平行来证明垂直，也可通过证明两角互余，来证明垂直，解题中要注意知识的综合运用。
（还有的题目也可证明三角形全等来证明垂直，这里就没去举例）类型二：“无交点，作垂直，证半径”．【难点在于作出的垂线段，如何证明该垂线段等于半径】2．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC上任一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切．小结：切线证明的步骤及方法：①审题；②根据题意选择适当的添辅助线方法；③证垂直或证半径．三、实战中考例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．变式训练：如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．A B【解题的关键】构造思想——运用相似三角形对应边成比例，或三角函数边角的关系、勾股定理等找出隐藏的线段之间的数量关系，建立数学模型，利用方程的思想，设出未知数表示关键的线段，再运用线段之间的数量关系建立方程来解决问题。
（完整版）圆的切线问题
（完整版）圆的切线问题圆的切线问题1. 自一点引圆的切线的条数（1）若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；（2）若点在圆上，则过此点可以作圆的一条切线，切此点是切点；（3）若点在圆内，则过此点不能作圆的切线。
2. 切线方程的几个重要结论（1）经过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+；（2）经过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+--；（3）经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为0220000=++?++?++F y y E x x D y y x x ；（4）已知圆222r y x =+的切线方程的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y 。
3. 切线长公式过圆外一点),(00y x P 引圆的两条切线，则切线的长为22020002020)()(r b y a x F Ey Dx y x --+-=++++。
4. 切点弦方程过圆222r y x =+外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别是B A 、，则过两切点BA 、的弦所在直线的方程为200r y y x x =+。
（即此弦所在的直线方程的求法为：以圆心)0,0(O 和),(00y x P 的为直径两端点的圆的方程为0)()(00=-+-y y y x x x ，两圆方程联立方程组=-+-=+,0)()( ,00222y y y x x x r y x ，同时消去22y x 、项得直线方程就是切点弦虽在的直线方程。
）。
九年级中考复习专题七圆切线证明及计算
中考复习专题七--- 圆切线与计算5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角均分线，B M均分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．1、如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A 是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（）若为的中点，求证：直线是⊙的切线． 2 D AP CD O （1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，cosC= 1时，求⊙O的半径36、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延伸BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；2、在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）假如BC=8，AB=5，求CE的长．7、已知：△ABC是边长为4 的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC订交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．4、如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD对于直线（1）求证：直线EF 是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．AD成轴对称．（1）试说明：AE为⊙O的切线；（2）延伸AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．8、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延伸线上的一点，14、如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧ACA E⊥C D交DC的延伸线于E，C F⊥AB于F，且CE=CF．的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）判断DE与⊙O的地点关系，并说明原因；（1）求证：MN是半圆的切线；（2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的长．（2）求证：FD=FG．（3）若△DFG的面积为 4.5 ，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．15、如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E 点。
圆的切线方程公式推导过程
圆切线方程公式推导过程
圆的切线方程公式推导过程如下：
1. 设圆的标准方程为(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}，其中(a, b) 是圆心，r 是半径。
2. 设切线的斜率为k，则切线方程可以表示为y = kx + m。
3. 将切线方程y = kx + m 代入圆的方程(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}，得到：(x - a)^{2} + (kx + m - b)^{2} = r^{2}
4. 展开并整理上述方程，得到：
(1 + k^{2})x^{2} + 2(km - b)x + m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2} = 0
5. 由于切线与圆只有一个交点，因此上述方程应该只有一个解，即判别式Delta 应该等于0：
Delta = [2(km - b)]^{2} - 4(1 + k^{2})(m^{2} - 2bm + b^{2} - r^{2}) = 0
6. 展开并整理上述方程，得到：
k^{2}m^{2} - 2kbm + b^{2} - k^{2}m^{2} + 2kbm - b^{2} + r^{2} = 0
r^{2} = 0
7. 由于r^{2} 显然不为0，因此上述方程可以简化为：
2kbm - 2kbm = 0
8. 由于上述方程对所有的k 和m 都成立，因此我们可以得到切线的斜率k 与圆的半径r、圆心(a, b) 和切线在y 轴上的截距m 无关。
9. 最后，我们可以得到圆的切线方程为y = kx + m，其中k 是任意实数，m 是切线在y 轴上的截距。
由于切线与圆只有一个交点，因此m 可以是任意实数。
圆形切线经典习题
圆形切线经典习题1. 切线定义在数学中，一条切线是一条与圆的曲线相切，且切点与圆心连线垂直的直线。
切线的长度与半径相等。
2. 切线性质- 切线与圆的交点处，切线的斜率是切点处切线的斜率的负倒数。
- 切线与半径在交点处构成直角。
3. 切线计算设圆的方程为 x^2 + y^2 = r^2，圆心为 (a, b)，切线的斜率为 k，则切线方程为：y - b = k(x - a)4. 经典题题1已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 4 和点 P(1, -1) 是圆上的一点，求通过点 P 切圆的切线方程。
题2已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 9 和切点为 A(3, -2)，求通过切点A 切圆的切线方程。
题3已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 25 和切线方程为 y = 2x + 1，求切点坐标。
题4已知圆的方程为 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25，求与圆相切且斜率为 3 的切线方程。
5. 解答题1通过点 P 切圆的切线方程为：y - (-1) = k(x - 1)题2通过切点 A 切圆的切线方程为：y - (-2) = k(x - 3)题3设切点坐标为 (x1, y1)，代入切线方程得：2x1 + 1 = y1代入圆的方程得：x1^2 + y1^2 = 25联立解方程得切点坐标。
题4斜率为 3 的切线方程为：y - 3 = 3(x - 2)解得切点坐标。
以上是圆形切线的经典习题及解答。
通过这些习题的练习，可以加深对圆形切线的理解与掌握。
圆的切线证明及有关计算
能力提升
3. （14.贺州 九下P102 第11题变式）
如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ分别与⊙Ｏ相切于Ｅ，Ｆ，Ｇ， 且ＡＢ∥ＣＤ，ＢＯ＝６ｃｍ，ＣＯ＝８ｃｍ．
（１）求证：ＢＯ⊥ＣＯ；
（２）求ＢＥ和ＣＧ的长．
能力提升
4. （13.南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC，AB是⊙ O的直径，⊙O交BC于点D，
A．8 B．6 C．5 D．4
类型二 与切线判定有关的证明
3.已知如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D, 且
DE⊥AC于点E.
C
(1)求证:DE是⊙O的切线； (2)若∠C＝30°,CD＝10 cm,
求⊙O的直径．
D
E
A
·
O
B
分析： (1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径, 证明这条半径________所证直线；
两点，且∠P=70°，则∠C=__5__5_°__.
（变式） （12.贵港）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，点C
在⊙O上，且∠ACB=50°，则∠P=__8_0__°__.
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC 的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，
切点分别为D，E，则⊙O的半径为（ Ｄ ）
(2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求．
解：(1)连接OD，OD是半径， C
∵O是AB的中点,D是BC的中点，
D
∴OD是△ABC 中_位__线__, 即OD∥_A__C_.
E
A
·
O
B
∵DE⊥AC ,则DE_⊥__OD，
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则大圆的 的度数为.
8、如图，⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，若 D＝ ，则 C＝
9、如图，⊙O1和⊙O2外切于D，AB过点D，若 AO2D＝ ，C为优弧 上任一点，
则 DCB＝.答案：7、 ；8、40 ；9、 （过点D作两圆的切线）
4、如图，PA、PB为⊙Байду номын сангаас的切线，C为 上一点，
若 BCA＝ ，则 APB＝.
5、如图，点O是△ABC的内切圆的的圆心，若
BAC＝ ，则 BOC＝.
6、如图，PA切⊙O于A，若PA＝AB，PD平分
APB交AB于D，则 ADP＝.（设元，列方程）
二 切线与两个圆
7、如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB、AC
圆的培优专题7——与切线有关的角度计算
一 切线与一个圆答案：1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ；6、
1、如图，AD切⊙O于A，BC为直径，若 ACB＝ ，则 CAD＝.
2、如图，AP切⊙O于P，PB过圆心，B在⊙O上，若 ABP＝ ，则 APB＝.
3、如图，PA、PB为⊙O的切线，C为 上一点，若 BCA＝ ，则 APB＝.