高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定成长学案新人教A版选修4-1

三 圆的切线的性质及判定定理
主动成长
夯基达标
1.若直线与圆的公共点的个数不少于1个,则直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对
思路解析:依据直线和圆三种位置关系的定义,结合条件“直线与圆的公共点的个数不少于
1个”,应该确定直线与圆的位置关系是相交或相切.
答案:D
2.⊙O内最长的弦长为m,直线l与⊙O相离且与O的距离为d,则d与m的关系是( )

A.d =m B.d >m C. D.

思路解析:因为圆的最长弦为直径,所以此圆的半径为.又因为直线l与⊙O相离,所以
.
答案:C
3.已知直线AB经过⊙O上的一点C,并且OA =OB,CA =CB.求证:直线AB是⊙O的切线.

图2-3-6
思路分析:由于直线AB经过⊙O上一点C,所以连结OC,只要证明OC⊥AB即可.

证明:如上图,连结OC,
∵OA =OB,CA =CB,
∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
又∵点C在⊙O上,
∴AB是⊙O的切线.
4.已知l1、l2分别切⊙O于点A、B,且l1∥l2,连结AB,如图2-3-7所示.
求证:AB是⊙O的直径.

图2-3-7
思路分析:过A、O作直线OA,再证OA过点B.不能先连结AB,因为没有相关的定理可运
用.

证明:过O、A两点作直线OA.
∵l1切⊙O于点A,∴OA⊥l1.
∵l1∥l2,∴OA⊥l2.
∵l2切⊙O于点B,
∴OA过切点B（经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点）.
∴AB为⊙O的直径.
5.如图2-3-8所示,D是⊙O的直径AB延长线上一点,PD是⊙O的切线,P是切点,∠D =30°.
求证:PA =PD.

图2-3-8
思路分析:欲证PA =PD,只要证∠A =∠D =30°即可.

证明:连结OP,∵PD是⊙O的切线,P为切点,
∴PO⊥PD.
又∵∠D =30°,
∴∠POD =60°.
∴∠A =30°.
∴∠A =∠D.∴PA =PD.
6.如图2-3-9,已知直角梯形ABCD中,∠A =∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分
∠ADC,CE平分∠BCD.求证:以AB为直径的圆与DC相切.

图2-3-9
思路分析:要证以AB为直径的圆与直线DC相切,只要证AB中点(圆心)到直线DC距离等于

半径(AB的一半),先证E为AB中点,再证E到DC距离等于AB.
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证明:过E作EF⊥DC,垂足为F.
∵ED平分∠ADC,DA⊥EA,EF⊥DF,
∴EA =EF.
同理,EB =EF,∴EB =EA,
即E为AB中点.

又EF =EA =EB =,
∴以AB为直径的圆与DC相切.
7.如图2-3-10,在△OAB中,若OA =OB =2a,⊙O的半径r =a.问:AB与⊙O相切、相交、相
离时,∠AOB的取值范围如何?

图2-3-10
思路分析:先作出O到AB的距离OC,根据AB与⊙O的不同位置关系确定OC的取值范围,从
而再确定∠AOB的取值范围.
解:过O作OC⊥AB,垂足为C,

(1)当AB与⊙O相切时,OC =r =a,此时cos∠AOC = =,
∴∠AOC=60°.
又∵OA =OB,∴OC平分∠AOB.
∴∠AOB =120°.

(2)当AB与⊙O相交时,OC ∴60°<∠AOC<90°.
∴120°<∠AOB<180°.

(3)当AB与⊙O相离时,OC >r,此时cos∠AOC >,
∴0°<∠AOC <60°.∴0°<∠AOB<120°.
8.如图2-3-11,△ABC中,AD为BC边上的高,且AD = BC,E、F分别是AB、AC的中点,以
EF为直径作⊙O.求证:⊙O与BC相切.
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图2-3-11
思路分析:此题属于“作垂直证半径”类型,只要证明EF的中点到BC的距离等于EF的一半
即可.

证明:取EF中点O,作OG⊥BC于G,
设AD与EF交于H,
∵E、F为AB、AC中点,

∴EF∥.又,∴EF =AD.
∵OG⊥BC,AD⊥BC,且EF∥BC,
∴四边形OGDH为矩形.

∴OG =HD =,即.
∴⊙O与BC相切.
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9.如图2-3-12,已知菱形ABCD中,∠BAD =60°,对角线AC与BD交于O,边长AB=16,以O为
圆心,半径为多少时,所作的圆才能与菱形的四边都相切?

图2-3-12
思路分析:本题实际上是求菱形内切圆的半径,根据条件容易确定答案.
解:在菱形ABCD中,
∵∠BAD =60°,
∴△ABD为正三角形.
又∵AB =BD =16,AC⊥BD,且平分∠DAB,

∴OD =8, .
过O作OE⊥AD,垂足为E,由AD·EO=OA·OD,
∴,即以O为圆心,为半径所作的圆与菱形各边都相切.
10.如图2-3-13,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,∠
POC
=∠PCE.
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图2-3-13
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若OE∶EA =1∶2,PA =6,求⊙O的半径;
(3)在(2)的条件下,求sin∠PCA的值.
思路分析:(1)要证切线PC,仍是先证PC⊥OC.
(2)要求半径,可以求OA,先求OE,这可以在Rt△PCO中,利用∠POC=∠PCE,列出有关方
程求解.

(3)求sin∠PCA,先求sin∠ACE =.
(1)证明:在△OCP和△CEP中,
∵∠POC=∠PCE,∠OPC=∠CPE,
∴△COP∽△ECP.∴∠OCP=∠CEP.
∵CD⊥AB,∴∠CEP =90°.
∴∠OCP =90°.∴PC为⊙O的切线.
(2)解:设OE=x,则EA =2x,OA =OC =3x.
∵∠COP =∠PCE,∴sin∠OPC=sin∠OCE,

即=,解得x =1.
∴OA =3.
(3)解:∵∠OCP=90°,∴∠PCA +∠ACO =90°.
∴sin∠PCA =cos∠ACO.
又OA =OC,∴∠ACO =∠CAO.
∴sin∠PCA =cos∠CAO.
而AE =2,OE =1,OC =3,

∴ =.

而cos∠CAO = = =,

即sin∠PCA =.
11.如图2-3-14,已知⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB =45°,∠ABC=120°,⊙O的半径为1.

图2-3-14
(1)求弦AC、AB的长;
(2)若P为CB延长线上的一点,试确定P点的位置,使得PA与⊙O相切,并证明你的结论.
思路分析:(1)要求AC,可在△AOC中求解,求AB,可在△AOB中求解.
(2)要确定P的位置,只需求PB,可在△APB中求解,过P作PE⊥AB,则将斜三角形分解为直
角三角形.

解:(1)过O作OD⊥AC于D,
∵∠ABC=120°,则∠AOC=120°.
又OA =OC,
∴∠OAD =∠OCD=30°.

在Rt△AOD中,cos∠OAD =,又OA =1,

∴AD =OA·cos30°=.∴AC =2AD =.
在△AOB中,OA =OB =1,∠AOB =2∠ACB =90°,∴.
(2)过P作PE⊥AB于E,设BE =a,
∵∠ABP =180°-∠ABC =60°,
∴∠BPE =30°.∴BP =2BE =2a.

在Rt△BPE中,PE = =.
∵PA切⊙O于A,∴∠OAP =90°.
∵∠OAB =45°,∴∠PAE =45°.

在Rt△PAE中,AE =PE =,

又∵AE +EB =AB =,

∴,解得.
∴PB =2a =-.