三角函数讲义2

1.2.1任意角的三角函数（1）
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b
=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么
（1）比值
y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r
α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r
α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x
α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y
α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=
+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等
于0， 所以tan y x α=
无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y
x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域
注意：
(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合
(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.
(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. 函 数 定 义 域 值 域 sin y α= R
[1,1]- cos y α= R [1,1]- tan y α= {|,}2k k Z πααπ≠+∈ R
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值
y r
对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r
对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练习： 确定下列三角函数值的符号：
(1)
cos 250； （2）sin()4π-； （3）tan(672)-； （4）11tan 3π
例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）0； （2）π； （3）32
π． 例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值
例4．求证：若sin 0α<且tan 0α>，则角θ是第三象限角，反之也成立
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：
sin(2)sin k απα+=，
cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈．
tan(2)tan k απα+=，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例5．求下列三角函数的值：（1）9cos
4π， （2）11tan()6π-， 例6．求函数x
x x x
y tan tan cos cos +=的值域
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为
2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x
α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？
3．背景：如果5
3sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：α
ααcon sin tan =
（2）平方关系：1sin 22=+ααcon
说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
tan cot 1(,)2
k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： 2cos 1sin αα=±-， 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=
等。

2．例题分析：
一、求值问题
例1．（1）已知12sin 13α=
，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4cos 5
α=-
，求sin ,tan αα． 总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。

在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。

有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．
．
例3、已知α=αcos 2sin ，求
ααααcos 2sin 5cos 4sin +-
“化1法” ．αααα22cos cos sin 2sin 2-+⑵
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
二、化简
练习1．化简21sin 440-．
练习2．)2
3( cos 1cos 1cos 1cos 1 πθπθθθθ<<-+++-化简 三、证明恒等式
例4．求证：
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=-．
参考资料 化简12sin 40cos40-．
思考1．已知)0(5
1cos sin π<θ<=
α+α，求的值。

及θ-θθ33cos sin tan 解：1︒ 由),2
(0cos ,0,2512cos sin ππ∈θ∴<θπ<θ<-=αα得： 由57cos sin ,2549)cos (sin 2=θ-θ=α-α得： 联立： 34tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -=θ⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=θ=θ⇒=θ-θ=θ+θ 2︒ 125
91)53()54
(cos sin 3333=
--=θ-θ 2、已知是第四象限角，α+-=α+-=α,5
3cos ,524sin m m m m 求的值。

αtan 解：∵sin 2α + cos 2α = 1 ∴1)53()524(22=+-++-m m m m 化简，整理得：8,00
)8(21==∴=-m m m m 当m = 0时，是第四象限角不合）与，α-=α=α(5
3cos ,54sin 当m = 8时，5
12tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α，。