有限元法

有限元法课程小结
这学期我们开始学习由钟向强老师给我们授课的有限元法，怀着期待与好奇开始了此课程的学习。

一、课堂笔记： 第一章：
有限元法（finite element method ）的定义：一种将连续体离
散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学问题的数值方法。

它的产生及其基本思想：工程数学方程⎩⎨
⎧微分方程
代数方程。

数学方程的求解分为⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧有限元法变分法差分法
数值法：近似计算
解析法：精确计算 差分法：基本思路：用均匀的网格离散求解域，用离散点的差分代替微分，从而将微分方程的求解转化为线性代数方程组的求解。

变分法：基本思路：微分方程边值问题的解等价于相应的泛函极值问题的解。

也就是使得未知函数泛函取得驻值的y(x)就是方程的解。

有限元法：在上述俩种方法建立，综合以上两种方法的优点。

基本思想： ①离散
差分法： 对方程进行离散，网格规则
有限元法：对物理模型进行离散，网格不规则 ②分片插值
变分法：在整个求解区域采用统一插值函数 有限元法：针对每一个单元选择插值函数 • 优点：有限元的优越性
优点：⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧处理不同类型材料保证规定的工程精度处理复杂的边界
分析形状复杂的结构
应用:
线性静力分析、动态分析、热分析、流场分析、电磁场
计算、非线性分析、过程仿真。

因此它广泛应用于各项领域，已经和我们生活密不可分。

第二章：有限元法的基本原理
1.弹性力学的基本概念
①外力：⎩⎨
⎧表面力：简称表力
体积力：简称体力
体力：即分布在物体体积内的力。

重力，惯性力。

是连续的分布
的。

体力集度： f
分解得 面力：分布于表面的力。

面力集度：
F V ∆∆ 0lim
V F f V
∆→∆=∆
x y z f f i f j f k
=++
F
S
∆∆
②应力：单位面积上分布的力。

同一物体上一点不同截面的应力
不同。

应力分量：应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不
是一般的矢量，而是二阶张量。

正负规定：正:截面的外法线方向和坐标轴正向一致,反之为负面 ③应变：形变就是形状的改变。

物体的形变可以归结为长度的改
变和角度的改变。

分类：⎩⎨
⎧切应变
线应变
④位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移
表示方法：物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上
的投影 u 、v 、w 来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。

这三个投影称为该点的位移分量。

2.
弹性力学的基本假设
①连续性假设
假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。

变形后仍然保持连续性 ②均匀性假设
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。

因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。

物体的弹性性质处处都是相同的
③各向同性假设
假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化 ④完全弹性假设
对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，外力消失后能够恢复原形，称为完全弹性 ⑤小变形假设
假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量 ⑥无初始应力假设
假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力 3.弹性力学基本方程
①平衡方程 （应力间的关系）
②几何方程（应变与位移的关系）
000yx x zx
vx xy y zy
vy yz xz z
vz p x
y z p x
y z p x
y z τσττστττσ∂⎧∂∂+++=⎪
∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+++=⎨
∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪
∂∂∂⎪⎩
③物理方程
4.边界条件
当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，在边界上应满足边界条件。

按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。

第三章 平面问题基本理论及有限元法 1．平面应变与应力问题
{}000
000000
x y z xy yz zx x
u x v
y y u w
z z v u v y x w y
x v w z y z y w u x z z
x εεεεγγγ∂⎧⎫⎪⎪∂∂⎧⎫⎪⎪∂∂
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎫∂∂∂⎪
⎪⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪∂∂⎩⎭∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪+∂∂∂∂⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂+⎪⎪⎪⎪∂∂⎩⎭∂
∂⎪⎪⎪⎪∂∂⎩⎭
()()()111111x x y z y y z x z z x y xy xy yz yz
zx zx
E E E G G G εσμσμσεσμσμσεσμσμσγτγτγτ⎧
=--⎪⎪
⎪=--⎪⎪
⎪=--⎪⎨
⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩
①平面应力问题
所以平面应力问题只剩下三个应力分量：
②平米应变问题：
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。

③平面问题的求解
综合三类关系求解⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧力的物理方程物理学关系：应变与应
移的几何方程几何学关系：应变与位
微分方程静力学关系：力的平衡
建立边界条件：⎪⎩
⎪⎨⎧混合边界条件位移边界条件应力边界条件
2 平面问题的有限元法
分析步骤：
0=zx τ0
=zy τ0
=z
σ)
,(y x xy yx xy τττ==)
,(y x x x σσ=(,)
y y x y σσ=)
0(,,,==zy zx xy z y x τττσσσ
①结构离散：将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元
的组合，单元也称为网格，连续体即有限个单元的组合体
可用于离散的单元：⎪⎩
⎪⎨⎧不规则四边形单元矩形单元
三角形单元
2、单元分析（位移、应力、应变）
任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系 ①位移函数
分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导） ②单元应力和应变
将位移表达式代入几何方程
③单元刚度矩阵
3、总刚度矩阵的集成
通过单元特性方程并不能求出单元节点位移。

因为包含单元间的作用力。

因此，必须将每个单元的特性方程相加消除内力的影响 总刚矩阵的特点：
（1）对称性：节省存储容量 （2）稀疏性：可能存在大量零元素 （3）带状性：半带宽与节点的编号有关
{}[]{}{}[]{}{}{}{}{}{}[]{}{}[]{}(26)i ii i ij j im m j
ji
i
jj
j
jm
m
m
mi
i
mj
j
mm
m
F k q k q k q F k q k q k q F k q k q k q ⎫
⎡
⎤=++⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++-⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎪
⎡⎤=++⎪⎣⎦⎭
（4）奇异性：保证刚体位移
4、载荷移置
移置可能在局部产生误差，但不会影响整个结构的力学特性。

1）集中力的移置（虚功等效）
2）面力的移置
3）体力的移置
5.约束处理
1）边界位移为零
2）边界位移为已知量
6、求解线性方程组
7、计算其它物理量
8、计算结果处理
9、结果显示、打印、分析
二、学习小结：
通过课堂的一个学期的学习，使我了解了有限元法的基本原理和应用的基本方法，它是主要的CAE方法，更使我了解到有限元法与各学科的联系是十分紧密的，在各项生产工作中发挥着巨大的作用，它的应用能够使产品设计更加合理，设计更加高效，能够有效提高工作效率，是现代设计密不可分的部分！。