第1章有限元法简介
“有限元法原理及应用”讲义-2012
二、最小总势能原理
一个“系统”是一个结构加上作用与其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功 为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势 能定义为 0，则在任何可能的构形上任何一部分外力的势能就是“0 － 外力所作的功” 。 如何对系统总势能进一步理解？ 系统总势能用符号 p 表示， 它是系统位移的泛函， 对于系统每一个 “可能位移” （场） ， 系统有一个总势能与之对应。它是系统的一个状态函数。 “可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。 举例：对于一个图 1-1 所示，一端受集中力 P，具有刚度 k 的单自由度线性弹簧。
d p kDeq dD PdD 0
2
所以： Deq
P k
该结果与静力学求出的结果相同！ 2、多自由度系统、矩阵形式 如果决定一个系统的构形需要 n 个独立的量， 那么这个系统就具有 n 个自由度， 称为广 义坐标。 对于有限自由度（离散系统）问题，势能 p 是广义坐标的函数。广义坐标记为 Di 。 势能表达式为： p p ( D1 , D2, ..., Dn ) 它的全微分为：
位移是可能的待定参数必须满足一定约束关系因此该问题的独立参量广义坐标只里兹解往往是过刚的除非假定场包含了精确由于前面两点经典里兹法在解决实际问题时尤其是几何形状复杂的二三维问题解决的办法下面以一维直杆的分析为例子研究基于里兹法考虑图21a所示的结构长度改为3l把杆分为三个部分
“有限元法原理及应用”讲义
对于图 1-3 所示的多自由度弹簧系统，其总势能为：
p
1 1 1 2 k 1 D1 k 2 ( D 2 D1 ) 2 k 3 ( D 3 D 2 ) 2 P1 D1 P2 D 2 P3 D 3 2 2 2
有限元分析基础教案(武汉理工)
有限元分析基础第一章有限元法概述在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。
但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。
否则力学分析将无法进行。
但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。
所以过去设计经验和类比占有较大比重。
因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。
如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。
近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。
该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。
使计算精度和计算领域大大改善。
§1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来一，历史有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。
1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。
50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。
1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。
60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。
具体表现在：1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。
2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。
3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。
二，现状现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。
已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。
大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如：SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program）美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件美国航天航空局的NASTRAN系列软件除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。
有限元分析基础课件第一章
物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型， 这一步称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来； 单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描 述变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实 际情况相符合。
1956年Turener和Clough等用有限元法第一次得 出了平面应力问题的正确答案。 1960年Clough又进一步应用有限元法处理了平面弹 性问题，并提出了有限元法的名称，这才使得有限元 法的理论和应用都得到了迅速发展。 20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展 有限元法得到了迅猛的发展。
对于实际的连续结构，任何位置的物体都是相 互连接、相互作用的，而在被离散成有限元模型 后，假设相邻单元除节点外都是不相互连接、不相 互作用的，这一点是不符合实际的，但当单元趋近 无限小、节点无限多时，则这种离散结构将趋近于 实际的连续结构。 有限元法的离散处理的本质就是将原始的无限 自由度的连续体物理系统转换成由有限个节点自由 度组成的离散系统，且当所分割的单元无限小时， 该离散系统完全等价于原始的连续系统。
有限元基础理论
与ANSYS应用
CAD/CAE/CAM：CAD 工具用于产品结构设计，形 成产品的数字化模型，有限元法则用于产品性能的分 析与仿真，帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏 的可能原因，分析结构参数对产品性能的影响，对产 品性能进行全面预测和优化；帮助工艺人员对产品的 制造工艺及试验方案进行分析设计。当前，有限元法 在产品开发中的作用，已从传统的零部件分析、校核 设计模式发展为与计算机辅助设计、优化设计、数字 化制造融为一体的综合设计。
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强 的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图 形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分 析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形 图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表 输出。
有限元分析
τ yz =τzy
τxy =τ yx， yz =τzy， zx =τxz τ τ
(1- 1)
应力分量
σ σ τ τ τ 可以证明： 可以证明：如果 σx、 y、 z、 xy、 yz、 zx 这六个量 点是已知的， 在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力 点是已知的 和剪应力，因此， 这六个量可以完全确定该点的应力状态， 和剪应力 ， 因此 ， 这六个量可以完全确定该点的应力状态 ， 应力分量。 它们就称为在该点的应力分量 它们就称为在该点的应力分量。
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成 物体是均匀的，
这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质， 的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因 而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数 才不随位置座标而变。 弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变 而物体的弹性常数 弹性模量和波桑系数 才不随位置座标而变。
(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除 物体是完全弹性的，
去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样， 去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样， 当温度不变时， 当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬 时所受的外力，与它过去的受力情况无关。 时所受的外力，与它过去的受力情况无关。
[
]
1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移 位移及应变、几何方程、
弹性体在受外力以后，还将发生变形。 弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变 变形 形状态，一般有两种方式来描述： 形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 、给出各点的位移； 、给出各体素的变形 各体素的变形。 各点的位移 弹性体内任一点的位移，用此位移在 、 、 三 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三 位移 个坐标轴上的投影u、 、 来表示 来表示。 个坐标轴上的投影 、v、w来表示。以沿坐标轴正方 向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移 向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移 分量。一般情况下，弹性体受力以后， 分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并 不是定值，而是坐标的函数。 不是定值，而是坐标的函数。
有限元分析基础
有限元分析基础第⼀讲第⼀章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引⾔(introduction)有限元(FEM 或FEA)是⼀种获取近似边值问题的计算⽅法。
边值问题(boundary valueproblems, 场问题field problem )是⼀种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，⼀些相关变量满⾜微分⽅程如物理⽅程、位移协调⽅程等且满⾜特定的区域边界)。
边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表⼀种物理模型。
场变量是满⾜微分⽅程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。
根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。
1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出⼀个近似解，再将所有单元按标准⽅法组合成⼀个与原有系统近似的系统。
下⾯⽤在⾃重作⽤下的等截⾯直杆来说明有限元法的思路。
等截⾯直杆在⾃重作⽤下的材料⼒学解答图1.1 受⾃重作⽤的等截⾯直杆图1.2 离散后的直杆受⾃重作⽤的等截⾯直杆如图所⽰，杆的长度为L ，截⾯积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内⼒为N 。
试求：杆的位移分布，杆的应变和应⼒。
)()(x L q x N -=EAdxx L q EA dx x N x dL )()()(-==-==x x Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()((1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L AqE x x -==εσ等截⾯直杆在⾃重作⽤下的有限元法解答 (1) 离散化如图1.2所⽰，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过⼀个铰接点连接。
第一章 绪论
§1-1 有限单元法的发展
一、什么是有限元法？ 、什么是有限元法？
例如: 例如 左图所示, 左图所示 , 为分析齿轮上一个齿内的应 力分布, 力分布 , 可分析图中所示的一个平面截 面内位移分布.作为近似解, 面内位移分布.作为近似解,可以先求出 图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。 三角形就是单元,其顶点就是节点。 从物理角度理解, 从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节 点处以铰链相链接, 点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结 在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下, 构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各 节点的位移,进而求出应力. 节点的位移,进而求出应力. 从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域, 从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域, 子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示. 子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示.
三、有限元法与传统设计方法的比较
1.一种现代设计方法 一种现代设计方法 必须通过计算机才能实现随着计算机的发展而 发展。 发展。 2.设计周期短 2.设计周期短 画——加——打 加 打
§1-3 有限单元法分析过程
1 结构离散化（P4） 结构离散化（ ） 包含以下两个方面的内容： 包含以下两个方面的内容： (1)单元类型选择 单元类型选择 ( 2)单元划分 单元划分
§1-2 有限元法的基本思想和特点
一、有限元法的基本思想 (1)结构离散化 结构离散化 假想把连续系统(包括杆系、连续体，连续介质)分割成数目 假想把连续系统 包括杆系、连续体，连续介质 分割成数目 包括杆系 有限的单元．单元之间只在数目有限的指定点(称为节点 称为节点)处相 有限的单元．单元之间只在数目有限的指定点 称为节点 处相 互连接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。 互连接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在节点 上引进等效载荷(或边界条件 或ห้องสมุดไป่ตู้界条件)， 上引进等效载荷 或边界条件 ，代替实际作用于系统上的外载 荷(或边界条件 。 或边界条件)。 或边界条件 (2)力和位移关系方程 力和位移关系方程 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则(内力学关系 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则 内力学关系 或选择一个简单函数)建立求解未知量与节点相互作用 建立求解未知量与节点相互作用(力 之间 或选择一个简单函数 建立求解未知量与节点相互作用 力)之间 的关系(力 位移 热量—温度 电压—电流等 位移、 温度、 电流等)。 的关系 力—位移、热量 温度、电压 电流等 。 (3)整体分析 整体分析 把所有单元的这种特性关系按—定的条件集合起来 定的条件集合起来， 把所有单元的这种特性关系按 定的条件集合起来，引入 边界条件．构成一组以节点变量(位移 温度、电压等)为未知 位移、 边界条件．构成一组以节点变量 位移、温度、电压等 为未知 量的代数方程组，求解之就得到有限个节点处的待求变量。 量的代数方程组，求解之就得到有限个节点处的待求变量。 所以，有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统， 所以，有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统， 理想化为只有有限个自由度的单元集合体， 理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合 于数值求解的结构型问题。 于数值求解的结构型问题。
变分原理-第1章
§1-2 变分及其特性 函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。 1、泛函的定义 定义 如果对于某一类函数 {y (x )}中每个函数 y (x ) ，V 有一值与之对应，或
者 V 对应于函数 y (x ) 的关系成立，则我们称变量 Π 是函数 y (x ) 的泛函，即
V = V ( y (x )) 。可变函数 y ( x ) 称为自变函数，依赖自变函数而变的量 V ，称为自变
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
L=∫
x2
x1
dy dz 1+ + dx dx
2
2
dx
（1-3）
其中： y = y ( x) ， z = z ( x) 满足约束条件
ϕ ( x, y , z ) = 0
（1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 x1 ≤ x ≤ x 2 区间内决定两个函数
变分原理及有限元法
史治宇
结构强度研究所
有限元理论与方法
第一章 绪论有限元发展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。
美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。
美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。
1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。
有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。
这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。
有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为基本未知数力 法——取节点力作为基本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。
{}[]{}e u N δ= (1)3、分析单元的力学特性（1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2)非线性有限元线性有限元几何非线性 材料非线性有限元（2）利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式{}[][]{}[]{}eD D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程（平衡方程）[]{}{}e e K R δ=4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。
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Fix uix k ii 0 F v iy iy 0 0 K ＝ ＝ F jx u jx k ji 0 F jy v jy 0 0
k ij 0 uix 1 v 0 0 iy EA 0 l 1 k jj 0 u jx 0 0 0 v jy
钱学森
钱伟长
胡海昌
杨桂通
徐芝伦
软件名称
简介
MSC/Nastran
LS-Dyna MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS FLUENT ABAQUS
著名结构分析程序，最初由NASA研制。
动力学分析程序（大多为显式算法） 非线性分析软件 通用结构分析软件（耦合场分析） 流场分析软件 非线性分析软件（非协调单元，非线性 直接解算方法）
令杆件两端节点分别产生单位位移，可以计算产生这样的单 位位移所需要的力，而力的大小就是刚度系数。 EA 首先取 ui 1，u j 0, 此 时 需 要 压 力 ui。 按 照 局 部 坐 标 系 l EA EA 和力的规定， Fi ui，F j ui， 则 l l EA EA ui l k , k
单元2 3
F3 10N
x
考虑y方向的单元刚度矩阵
Fi k ii k ij ui EA 1 1 ui ＝ u l F u k k 1 1 jj j j ji j
若考虑y方向，则有：
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
物体的变形与外力作用的关系是线性的， 除去外力，物体可回复原状 ，而且这个关系和 时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹 性材料
好处：应力应变之间的函数简化为线性函数， 且材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变
弹性力学的基本假定
弹性力学基本假设
• 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分 主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难， 将使得问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出 一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。 • 基本假设是学科的研究基础。 • 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所 填满, 不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任 何空隙 好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
0 1 0 uix 0 0 0 0 0 1 0 u jx 0 0 0 0 [K] 0 1 0 uix v 0 0 0 iy 0 1 0 u jx 0 0 0 v jy
1.2.1 有限元法基本步骤
1、结构的离散化 ——把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
注意： （1）离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来。 （2）单元的类型及形状的选择。 （3）网格的大小及疏密的合理布置。 （4）用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获得的计算结果就越逼近 实际情况。
FLAC 3D…… 岩土，焊接，金属成形，海洋，爆炸， 电磁场，热场，耦合场等等
前处理 几何建模 材料属性和 单元定义 求解 选择求解方法 施加边界载荷 后处理 求解设置 网格划分
通用后处理
时间历程后处理
设计分析„„
1.1.2 有限元法的基本思想
“化整为零，集零为整”。 也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单 元所组成的集合体，简称“离散化”。然后对每个单元进行 力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。 最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的 力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程 组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和 应力。
网格划分中的每一个小部分称为单元。
网格间相互联结点称为节点。
网格与网格的交界线称为边界。 显然，图中的节点数是有限的，单元数目也是有限的，这就是 “有限元”一词的由来。
1.1.3 有限元法基本求解方法
解题思路
载荷
已知量
平衡方程
位 移
几何方程
基本 未知量
应 变
物理方程
应 力
1.2 有限元法的步骤
e
2. 单元分析
——找出单元节点力和节点位移的关系式。
（1）选择位移模式 选用一种函数，来近似地表示单元内任意点的位移随坐 标变量变化的函数，这种函数称为位移模式 。 （2）建立单元刚度方程
k ee F e
式中 角标e—单元编号； e —单元的节点位移向量； F e —单元的节点力向量； k e —单元刚度矩阵。
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位 移远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都 远小于1
好处：变形与结构原尺寸相比属高阶小量，可 略去因变形引起的结构尺寸变化
弹性力学中的位移
注意：ui=1和uj=0，kii表示第i节点产生单位位移，而 其它点固定时，需要在第i节点所施加的力。 kji表示第i节点产生单位位移，而其它点固定 时，需要在第j节点所施加的力。 刚度系数的物理意义：产生单位节点位移所需要的节点力。
杆单元
E1 , A1 , l1
u1
1 单元1 2
u2
E2 , A2 , l2
E1 , A1 , l1
u1
1 单元1 2u2源自E2 , A2 , l2单元2 3
F3 10N
x
杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
杆单元
考虑一个2节点一维等截面杆单元：
L— 杆长 A— 截面积 E— 弹性模量
杆单元
杆单元
杆单元
杆单元伸长量：
f i ：节点力，沿X轴正向为正，沿X轴负向为负 Fi ：杆件轴力，拉正压负
有限元方法与分析应用
主讲教师：吕言新
机电工程学院
课程参考书
• 曾攀.有限元分析及应用.清华大学出版社; • 王勖成，绍敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出
版社;
• 陈惠发.弹性与塑性力学.
• 王新荣.ANSYS有限元基础教程.电子工业出版社;
• 徐芝纶.弹性力学.高等教育出版社； • Rao S S. The Finite Element Method in Engineering. Oxford: pergamon Press.
人类认识客观世界，获取复杂对象各类信息的三类科学研究方法：
理论分析
实验研究
获取复杂结构各
种信息；
对工程设计进行
科学计算
有限元分析（FEA）
评判；
对工程事故进行
技术分析
有限元方法（FEM）应用与实施包括的三方面内容：
计算原理、计算机软件、计算机硬件 。
虚拟试验
第 1章
有限元法简介
第 1章
有限元法简介
1.1 有限元法的产生
传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效 分析。为了正确、合理地确定最佳设计方案，需要寻求一 种简单而又精确的数值计算方法。有限元法正是适应这种 要求而产生和发展起来的。 有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世 纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。 理论基础牢靠， 物理概念清晰， 解题效率高，适应 性强，目前已成为工程、结构或构件进行动、静、热特性 分析的重要手段，它的程序包是计算机辅助设计方法库中 不可缺少的内容之一。
（3）计算等效节点力
3. 整体分析 有限元法的分析过程是先分后合。即先进行单元分析， 在建立了单元刚度方程以后，再进行整体分析，把这些方程 集成起来，形成求解区域的刚度方程，称为有限元位移法基 本方程。 Kδ F 式中
K ——整体结构的刚度矩阵；
——整体节点位移向量；
F
——整体载荷向量。
弹簧单元及弹簧系统
EA fj F u j ui L EA fi F u j ui L
l l 同理，取ui=0, uj=1，则 EA EA k ij , k jj l l k ii k ij EA 1 1 K l k k 1 1 jj ji
Fix uix k ii 0 0 0 0 0 ＝ K ＝ k ji 0 F jx u jx 0 0 0 0
k ij 0 uix 1 0 0 0 EA 0 l 1 k jj 0 u jx 0 0 0 0
ii ji
u i 设节点位移和节点力矢量形式： δ ＝ u j
设节点位移和节点力之间关系：
Fi F F j
kij ui kjj u j
F K
Fi kii ＝ Fj kji
3、均匀性(Homogeneity)
物体是均匀的, 整个物体由同一材料组成 好处：各部分物理性质相同，不因位置改变而改 变。可以截取任意部分为研究对象。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。