浙教版九年级数学上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定
浙教版数学九年级上册4.4.两个三角形相似的判定(一)
4.4.两个三角形相似的判定（一）一．选择题1.已知下列命题：①含有o 30角的直角三角形都相似；②所有等腰直角三角形都相似；③有一个角是o 60的等腰三角形都相似；④有一个角是o 45的等腰三角形都相似.其中真命题有（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=o 90,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E,则CE 的长为( )A. 23B. 67C. 625 D. 2 3．点Ｅ是□ABCD 的边BC 延长线上的一个点，AE 与CD 相交于G ，则图中相似三角形共有（ ）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对4.如图，在△ABC 中，∠ABC=o 90，BD ⊥AC, DE ⊥BC,垂足分别为D,E,则图中与△ABC 相似的三角形共有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第2题) (第3题) (第4题)5．如图，已知点E,F 分别是△ABC 中AC,AB 边的中点，BE,CF 相交于点G,FG=2，则CF 的长为 （ ）A. 4B. 4.5C. 5D. 6二．填空题6.已知，如图四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似三角形有_________对7. 如图，在锐角△ABC 中，高CE 和BF 相交于点D,请写出图中的两对相似三角形：_______________________(用相似符号连结)(第5题) (第6题) (第7题)8.如图，∠DAB=∠CAE,请补充一个条件：________________,使△ABC ∽△ADE9．如图，∠BAC=o 90，AD ⊥BC,则△ABC ∽________∽_________10.如图，点D 和E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，且∠AED=∠ABC,若DE=3，BC=6，AB=8，则AE 的长为__________,(第8题) (第9题) (第10题)三．解答题11.如图，已知□ABCD 中，EF//AB,DE:EA=2：3，EF=4，求CD 的长12.如图，△PMN 是等边三角形，∠APB=o 120，求证：AP PN PM AM ∙=∙13. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF//BC,EF 交AD 于H,求证：EH=FH14.如图，M 为线段AB 的中点，AE 于BD 交于C, ∠DME=∠A=∠B,且DM 交AC 于F,ME 交BC 于G,写出图中三对相似三角形，并证明其中一对。
4.4 两个三角形相似的判定 浙教版九年级数学上册同步练习(含答案)
4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共9小题）1. 如图所示，如果 ∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABC ∽△ADE 的是 ( )A. ∠B =∠DB. ∠C =∠AEDC. AB AD =DEBCD. AB AD =ACAE2. 如图所示，在方格纸中，△ABC 和 △EPD 的顶点均在格点上，要使 △ABC ∽△EPD ，则点 P 所在的格点为 ( )A. P 1B. P 2C. P 3D. P 43. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC =14BC ，则图中的相似三角形共有 ( )A. 4 对B. 3 对C. 2 对D. 1 对4. 如图所示，在等边三角形 ABC 中，点 D ，E 分别在 AC ，AB 上，且 ADAC =13，AE =BE ，则有 ( )A. △AED∽△BEDB. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABDD. △BAD∽△BCD5. 如图所示，已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90∘C. P是BC的中点D. BP:BC=2:36. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图所示，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为( )A. 3B. 253C. 3或5 D. 3或2538. 如图所示，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC，DE交于点O．下列四个结论：①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A，O，C，E四点在同一个圆上．一定成立的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中，错误的是( )A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD⋅CDD. CD⋅AB=AC⋅BD二、填空题（共5小题）10. 如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．11. 如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90∘，AC=6，AD=2，当AB=时，这两个直角三角形相似．12. 如图所示，已知，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且E为AB边中点，则图中有对相似三角形．13. 如图所示，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E，设AP=x，当x=时，△ABP与△EBC相似．14. 如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．三、解答题（共7小题）15. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2=DB⋅CE．求证：△ADB∽△EAC．16. 如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由．17. 如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE．（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．18. 如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．19. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90∘，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1所示，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2所示，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，再找出一对相似三角形并证明你的结论．20. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC，BD交于点E，DC2=CE⋅CA．（1）求证：BC=CD．（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=22，求DF的长．21. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方问移动．点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t(s)时，△EFG的面积为S(cm2)．（1）当t=1(s)时，S的值是多少?（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似?请说明理由．答案1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. D10. △APB∽△CPA11. 3或3212. 313. 814. 4或915. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ABD=∠ACE．∵AB2=DB⋅CE，∴ABCE =DBAB．∴ABCE =DBAC．∴△ADB∽△EAC．16. （1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE．（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．∴ABAD =ACAE．∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．17. （1）因为BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，因为 ABAC =BDAE =3，所以 △ABD ∽△CAE ．（2） 因为 AB =3AC =3BD ，AD =22BD ，所以 AD 2+BD 2=8BD 2+BD 2=9BD 2=AB 2．所以 ∠D =90∘．因为 △ABD ∽△CAE ，所以 ∠E =∠D =90∘．因为 AE =13BD ，EC =13AD =232BD ，AB =3BD ，所以BC 2=(AB +AE )2+EC 2=3BD +13BD2+BD 2=12BD 2=12a 2.所以 BC =23a ．18. （1） ∵ △ABC ≌△DCE ≌△FEG ，∴ BC =CE =EG =13BG =1，FG =AB =3．∴ BG =3． ∴ FGEG =BGFG =33=3．∵ ∠BGF =∠FGE ， ∴ △BFG ∽△FEG ． ∵ △FEG 是等腰三角形， ∴ △BFG 是等腰三角形． ∴ BF =BG =3．（2） 问题：求证 BP =PR ．证明：∵ ∠ACB =∠REB ， ∴ AC ∥DE ．又 ∴ BC =CE ， ∴ BP =PR ．19. （1） ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠MBE =45∘．∴ ∠BME +∠MEB =135∘． ∵ △DEF 是等腰直角三角形， ∴ ∠DEF =45∘．∴ ∠NEC +∠MEB =135∘．∵ ∠B =∠C =45∘， ∴ △BEM ∽△CNE ． （2） △ECN ∽△MEN ．证明：与（1）同理得 △BEM ∽△CNE ， ∴ BECN =EMNE ． ∵ BE =EC ， ∴ ECCN =EMNE ．∵ ∠ECN =∠MEN =45∘， ∴ △ECN ∽△MEN ．20. （1） 因为 DC 2=CE ⋅CA ，所以 DCCE =CADC ．所以 △CDE ∽△CAD ．所以 ∠CDB =∠DAC ．所以 BC =CD ．所以 BC =CD ．（2） 如图所示，连接 OC ，过点 O 作 OG ⊥CD 于点 G ．因为 BC =CD ，所以 ∠BAD =∠BOC ．所以 OC ∥AD ．所以 △PCO ∽△PDA ．所以 PCPD =POPA ．因为 PB =OB ，CD =22，所以 PCPC +22=23．所以 PC =42．因为 OG ∥AF ，所以 △PGO ∽△PFA ．所以 PGPF =POPA ．所以 PC PD =PGPF ．所以 4242+22=42+242+22+DF，解得 DF =322．21. （1） 当 t =1(s) 时，AE =2(cm)，EB =10(cm)，BF =4(cm)，FC =4(cm)，CG =2(cm)，S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×(10+2)×8―12×10×4―12×4×2=24(cm 2). （2） ①如图1所示，当 0 s ≤t ≤2 s 时，点 E ，F ，G 分别在边 AB ，BC ，CD 上移动，此时 AE =2t (cm)，EB =(12―2t )(cm)，BF =4t (cm)，FC =(8―4t )(cm)，CG =2t (cm)， S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×8×(12―2t +2t )―12×4t (12―2t )―12×2t (8―4t )=8t 2―32t +48. ②当点 F 追上点 G 时，4t =2t +8，解得 t =4(s)．如图2所示，当 2 s <t ≤4 s 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F ，G 都在边 CD 上移动，此时 CF =(4t ―8)(cm)，CG =2t (cm)，FG =CG ―CF =2t ―(4t ―8)=8―2t (cm)，S =12FG ×BC =12(8―2t )×8=―8t +32.∴S =8t 2―32t +48,0≤t≤2―8t +32.2<t ≤4． （3） 如图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2．在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90∘．①若EBFC =BFCG，即12―2t8―4t =4t2t，解得t=23．当t=23时，△EBF∽△FCG．②若EBGC =BFCF，即12―2t2t =4t8―4t，解得t=32．当t=32时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=23或t=32时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似．。
【最新】浙教版九年级上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定
新浙教版九年级上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，四边形错误！未找到引用源。
的对角线错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
相交于错误！未找到引用源。
，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若错误！未找到引用源。
，则下列结论中一定正确的是错误！未找到引用源。
A. ①和②相似B. ①和③相似C. ①和④相似D. ②和④相似2. 下列判断中，不正确的是错误！未找到引用源。
A. 两直角边长分别是错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
的两个直角三角形相似B. 斜边和一直角边长分别是错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
的两个直角三角形相似C. 两条边长分别是错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
的两个直角三角形相似D. 两个等腰直角三角形相似3. 如图所示，有点光源错误！未找到引用源。
在平面镜上方，若点错误！未找到引用源。
恰好在点光源错误！未找到引用源。
的反射光线上，并测得错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，则点光源错误！未找到引用源。
到平面镜的距离错误！未找到引用源。
的长度为错误！未找到引用源。
A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
4. 如图，在正方形网格上有错误！未找到引用源。
个三角形：① 错误！未找到引用源。
；② 错误！未找到引用源。
；③ 错误！未找到引用源。
；④ 错误！未找到引用源。
；⑤ 错误！未找到引用源。
；⑥ 错误！未找到引用源。
．② 错误！未找到引用源。
⑥中与①相似的是错误！未找到引用源。
A. ②③④B. ③④⑤C. ④⑤⑥D. ②③⑥5. 下列错误！未找到引用源。
的正方形网格中，小正方形的边长均为错误！未找到引用源。
新浙教版九年级数学上册课后练习：4.4 两个三角形相似的判定
新浙教版九年级数学上册课后练习：4．4两个三角形相似的判定(第1题)1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一个定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(C)A．1条 B．2条C．3条 D．4条,(第2题)) ,(第3题)) 3．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格中的格点，为使△DEM∽△ACB，则点M应是F，G，H，O四点中的点(C)A．F B．GC．H D．O4．下列叙述中，不正确的是(C)A．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，∠A′＝20°，则△ABC与△A′B′C′相似B．△ABC的两个角分别是35°和100°，△A′B′C′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角形相似C．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为25°，则△ABC与△A′B′C′相似D．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为105 °，则△ABC与A′B′C′相似(第5题)5．如图，已知∠1＝∠2，可补充条件__∠E＝∠C或∠D＝∠B(不唯一)__(写出一个即可)，使△ADE∽△ABC.6. 已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝2 cm，BC＝3 c m，AC＝4 cm，A′B′＝5 cm，则△A ′B ′C ′的周长是__22.5__cm(第7题)7．如图，已知AC⊥CD，垂足为C ，BD ⊥CD ，垂足为D ，AB 与CD 交于点O.若AC ＝1，BD ＝2，CD ＝4，则AB ＝__5__．8. 如图，BE ，CF 是△ABC 的中线且交于点G .求证：BG ＝2EG .(第8题)【解】 连结EF.∵BE ，CF 为△ABC 的中线， ∴EF 为△ABC 的中位线， ∴EF∥BC，∴△EGF ∽△BGC ， ∴EG BG ＝EF BC ＝12， ∴BG ＝2EG.9．如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O ，再在他们所在的同一侧选点A ，B ，D 使得AB⊥AO，DB ⊥AB ，然后确定DO 和AB 的交点C.测得AC ＝120m ，CB ＝60m ，BD ＝50m ，你能帮助他们算出大峡谷的宽AO 吗？(第9题)【解】 ∵AB⊥AO，DB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B＝90°. 又∵∠OCA ＝∠DCB ， ∴△ACO ∽△BCD ，∴AC BC ＝AO BD ，即12060＝AO 50， ∴AO ＝100(m)．(第10题)10．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线分别交⊙O，BC 于点D ，E ，连结BD ，则图中相似三角形有(C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解】 ∵∠D＝∠C，∠CAD ＝∠DB E ， ∴△BDE ∽△ACE.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵∠D＝∠C， ∴△AB D∽△AEC.∵∠DBC ＝∠CAD＝∠BA D ，∠D ＝∠D， ∴△BDE ∽△ADB.∴共有3对相似三角形．11．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC ⊥BD 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F.求证：(第11题)(1)△AEB∽△OFC； (2)AD ＝2OF.【解】 (1)连结OB ，则∠BAE＝12∠BOC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ， ∴∠COF ＝12∠BOC.∴∠BAE ＝∠COF. ∵AC ⊥BD ，OF ⊥BC ， ∴∠OFC ＝∠AEB＝90°， ∴△AEB ∽△OFC . (2)∵△AEB ∽△OFC ， ∴AE BE ＝OF CF.由圆周角定理，得∠D ＝∠BCE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴AD BC ＝AE BE，∴OF CF ＝ADBC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ，∴BC ＝2CF ， ∴AD ＝BC CF·OF ＝2OF ， 即AD ＝2OF .12．如图，在⊙O 上，位于直径AB 的异侧有一个定点C 和一个动点P ，AC ＝12AB ，点P在半圆弧AB 上运动(不与A ，B 两点重合)，过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D .(1)如图①，求证：△PCD ∽△ABC ；(2)当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图②中画出此时的△PCD ，并说明理由．(第12题)【解】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵PD ⊥CD ，∴∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠ACB .∵∠A 与∠P 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠P ， ∴△PCD ∽△ABC .(2)如图②，当PC 是⊙O 的直径时(此时B ，D 两点重合)，△PCD ≌△ABC .理由如下： ∵AB ，PC 是⊙O 的直径，∴∠PDC ＝∠ACB ＝90°，AB ＝PC . 又∵∠A ＝∠P ， ∴△PCD ≌△ABC .(第13题)13．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于点G ，连结FG.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)如果α＝45°，AB ＝4 2，AF ＝3，求FG 的长．【解】 (1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等． 下面证明△AMF ∽△BGM ：∵∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，∠AFM ＝∠DME ＋∠E ， 又∵∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)由α＝45°，可知AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，AB ＝4 2， ∴AM ＝BM ＝2 2，AC ＝BC ＝4. ∵△AMF ∽△BGM ，∴AF BM ＝AMBG， 即32 2＝2 2BG ，∴BG ＝83.∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝1，∴在Rt△CFG 中，FG ＝CG 2＋CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋12＝53.14．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图①)或线段AB 的延长线(如图②)于点P .(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．,(第14题))【解】 (1)∵PQ⊥AC，∠ABC ＝90°， ∴∠AQP ＝∠ABC . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.当△PQB 为等腰三角形时，分情况讨论： ①当点P 在线段AB 上时，如图①. ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ . 由(1)，得△AQP ∽△ABC ，∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53.②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图②. ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ， ∴BQ ＝AB ， ∴BP ＝AB ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。
浙教版九年级数学上册同步练习(PDF版) 4.4 两个三角形相似的判定
4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图所示，有点光源S在平面镜上方，若点P恰好在点光源S的反射光线上，并测得AB=10cm，BC=20cm，PC⊥AC，且PC=12cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长度为( )A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm2. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )A. B.C. D.3. 如图所示，D是△ABC边AB上一点，则下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是 ( )A. ∠B=∠ACDB. ∠ADC=∠ACBC. ACCD =ABBCD. AC2=AD⋅AB4. 如图，在△ABC中，点P在边AC上，连接BP．下列条件中，能说△ABC∽△APB的条件是( )A. ABAP =BCABB. ABAP=BPBCC. ABAP=ACABD. ABAP=BPAB5. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是 ( )A. B.C. D.6. 如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△DEF与△ABC的周长比为 ( )A. 4:1B. 3:1C. 2:1D. √2:17. 如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；①∠ADC=∠ACB；①ACCD =ABBC；①AC2=AD⋅AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=14CD，下列结论：① ∠BAE=30∘；② △ABE∽△AEF；③ AE⊥EF；④ △ADF∽△ECF，其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为( )A. 15B. 10C. 152D. 510. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB =ABBC二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，点D在边AB上，已知∠ACD=∠B，则△ACD∽△．12. 如图所示，在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是．13. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点分别为A，C，那么线段CE的长应等于．14. △ABC的三边长分别为2，√2，√10，△A1B1C1的两边长分别为1，√5，当△A1B1C1的第三边长为时，△ABC∽△A1B1C1．15. 如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴上的一点，且点D坐标为(4,0)，过点D的直线l⊥x轴，点A为直线l上的一动点，连接OA，OB⊥OA交直线于点B，则1OA +1OB的值为．16. 如下图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F．（1）当点P恰好为BC的中点时，折痕EF的长度为；（2）设BP=x，要使折痕始终与边AB，AD有交点，x的取值范围是．17. 已知△ABC的三边长分别为√，√6，2，△A①B①C①的两边长分别为1和√3，要判定△ABC∽△A①B①C①，那么△A①B①C①的第三边长应为．18. 在△ABC中，∠B=25∘，AD是BC边上的高，并且AD2=BD⋅DC，则∠BCA的度数为．19. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，⋯，M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，⋯，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，⋯△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P，Q分别从点B，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=秒时，点P，C，Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 如图，已知△ABC，∠BAC=90∘．请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法）22. 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A①B①C①中，∠C=∠C①=90∘，ABA①B①=ACA①C①．求证：Rt△ABC∽Rt△A①B①C①．23. 如图①，△ABC，∠ACB=90∘，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB①C①，设旋转的角度是β．Ⅰ 如图②，当β=（用含α的代数式表示）时，点B①恰好落在CA的延长线上；Ⅱ 如图③，连接BB①，CC①，CC①的延长线交斜边AB于点E，交BB①于点F．请写出图中两对相似三角形，．（不含全等三角形，用现有字母表示）．答案第一部分1. C2. B3. C4. C5. A6. D7. C8. B9. D 10. D第二部分11. ABC12. ∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或ADAC =ACAB．13. 15414. √15. 11616. （1）12524；（2）6−2√5≤x≤417. √218. 65∘19. 14(2n−1)20. 6；5√5第三部分21. 如图，直线AD即为所作．22. 设ABA①B①=ACA①C①=k，则AB=kA①B①，AC=kA①C①．∵BC=√AB2−AC2=√k2A①B①2−k2A①C①2=k√A①B①2−A①C①2=kB①C①,，∴ABA①B①=ACA①C①=BCB①C①=k．∴Rt△ABC∽Rt△A①B①C①．23. （1）∠90∘+α（2）① △ACC①∽△ABB①，② △BEF∽△CEA．。
4.4 两个三角形相似的判定 第2课三角形相似的判定定理2(练习题2022学年浙教版九年级数学上
4.4 两个三角形相似的判定第2课时 三角形相似的判定定理2(利用两边及夹角关系)【基础练习】知识点 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似1.如图,点D ,E 分别在△ABC 的边AB ,AC 上,且DE 与BC 不平行.下列条件中,能判定△ADE ∽△ACB 的是 ( )A .AD AC =AEABB .AD AE =ABACC .DE BC =AEABD .DE BC =ADAC2.对于△ABC 与△DEF ,可由∠A=∠D 和下列某一个条件推得△ABC ∽△DEF ,这个条件是 ( )A .AB DE =BCEFB .AB DE =DFACC .AB AC =DEEFD .AB AC =DEDF3.下列图形不一定相似的是( )A .有一个角是120°的两个等腰三角形B .有一个角是60°的两个等腰三角形C .两个等腰直角三角形D .有一个角是45°的两个等腰三角形4.如图,∠ACB=∠BDC=90°,要使△ABC ∽△BCD ,给出下列需要添加的条件:①AB ∥CD ;②BC 2=AC ·CD ;③AC BC =BDCD,其中正确的有 (填序号).5.如图,要测量一池塘两端A ,B 之间的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ,连结AC 并延长到点D ,使CD=12CA ,连结BC 并延长到点E ,使CE=12CB ,连结DE.如果量出DE的长为25 m,那么池塘两端A ,B 之间的距离为 m .6.根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. ∠A=100°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=100°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm .7.如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,AC 2=AB ·AD.求证:△ABC ∽△ACD.8.如图,已知∠BAD=∠CAE 且AD AB =AE AC =12,若DE=5,求BC 的长.【能力提升】9.如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,且OAOC =OBOD ,有下列结论:①△AOB ∽△COD ;②△AOD ∽△BOC.下列关于①②的判断正确的是 ( )A .①②都正确B .①正确,②错误C .①错误,②正确D .①②都错误10.已知:在△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原△ABC 不相似的是( )11.如图,点B ,D ,E 在一条直线上,BE 交AC 于点F ,AB AD =AC AE,且∠BAD=∠CAE. 求证:(1)△ABC ∽△ADE ; (2)△AEF ∽△BCF .12.如图,AC 是☉O 的直径,弦BD 交AC 于点E. (1)求证:△ADE ∽△BCE ;(2)如果AD 2=AE ·AC ,求证:CD=CB.13.如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=√5-1,在AC边上截取AD=BC,连结BD.2(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.答案1.A [解析] 在△ADE 与△ACB 中, ∵AD AC=AEAB ,且∠A=∠A ,∴△ADE ∽△ACB. 故选A .2.D3.D4.①③5.50 [解析] ∵CD=12CA ,CE=12CB ,∴CD CA =CE CB =12. 又∵∠DCE=∠ACB , ∴△ECD ∽△BCA ,∴DE AB =CD CA =12.∵DE=25 m,∴AB=2DE=50 m . 6.解:△ABC ∽△A'B'C'.理由如下: ∵AB A 'B '=73,ACA 'C '=146=73,∴ABA 'B '=ACA 'C '.又∵∠A=∠A',∴△ABC ∽△A'B'C'. 7.证明:∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC=∠CAD. ∵AC 2=AB ·AD ,∴AB AC =ACAD ,∴△ABC ∽△ACD. 8.解:∵∠BAD=∠CAE ,∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE , 即∠DAE=∠BAC. 又∵AD AB =AE AC =12,∴△ADE ∽△ABC , ∴AD AB =DEBC ,即12=5BC , ∴BC=10. 9.B 10.C11.证明:(1)∵∠BAD=∠CAE , ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,∵ABAD =ACAE,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE.(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠C=∠E.在△AEF和△BCF中,∵∠E=∠C,∠AFE=∠BFC,∴△AEF∽△BCF.12.证明:(1)∵∠A与∠B都是CD⏜所对的圆周角,∴∠A=∠B.又∵∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE.(2)∵AD2=AE·AC,∴AEAD =AD AC.又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD,∴∠AED=∠ADC.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠AED=90°,∴直径AC⊥弦BD,∴CD⏜=CB⏜,∴CD=CB.13.解:(1)∵AD=BC=√5-12,∴AD2=(√5-12)2=3-√52.∵AC=1,∴CD=1-√5-12=3-√52,∴AC·CD=3-√52,∴AD2=AC·CD. (2)∵AD2=AC·CD,∴BC2=AC·CD,∴BCCD =AC BC.又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴ABBD =AC BC.又∵AB=AC,∴BD=BC=AD,∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠ABD=36°.。
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4.4 两个三角形相似的判定(二)1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)(第1题) (第2题)2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(C)A. P1B. P2C. P3D. P4(第3题)4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，有下列条件：①∠AED ＝∠B ；②AD AC ＝AE AB ；③DE BC ＝ADAC.其中能够判断△ADE 与△ACB 相似的有(A)A.①②B.①③C.①②③D.①(第4题) (第5题)5．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是(D)A. ∠ABP ＝∠CB. ∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB ACD. AB BP ＝AC CB6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C 与点A不重合)．当点C的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．(第6题)7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.【解】△ABC∽△A′B′C′.理由如下：∵ABA′B′＝73，ACA′C′＝146＝73，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.(第8题)8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED. 【解】∵AB·AD＝AC·AE，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠BAC ＝∠EAD ， ∴△ABC ∽△AED.9．在△ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使△ADE 与△ABC 相似，则AD 的值是(C)A. 85B. 52C. 85或52D. 85或25(第9题解)【解】 如解图．①当△ADE ∽△ABC 时，有AD AE ＝AB AC.∵AE ＝2，BE ＝3，∴AB ＝5. ∴AD 2＝54，∴AD ＝52.②当△AED ∽△ABC 时，有AE AD ＝ABAC，∴2AD ＝54，∴AD ＝85. 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若DC 边上有一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则符合条件的点P 有(C)(第10题)A.1个B.2个C.3个D.4个 【解】 设PD ＝x ，则PC ＝8－x. 在△PAD 与△PBC 中，∠D ＝∠C ＝90°.①若△PAD ∽△PBC ，则AD BC ＝PD PC ，即25＝x 8－x，解得x ＝167，符合题意．②若△PAD ∽△BPC ，则AD PC ＝PD BC ，即28－x ＝x5，解得x ＝4±6，均符合题意．综上所述，符合条件的点P 有3个．(第11题)11．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14BC ，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．【解】 图中相似三角形共有3对．证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝CB.∵DE ＝EC ，FC ＝14BC ，∴EC ＝12BC ＝2CF ，∴AD DE ＝ECCF＝2，∴△ADE ∽△ECF ， ∴AE EF ＝ADEC，∠DAE ＝∠CEF ， ∴AE EF ＝AD DE ，即AD AE ＝DE EF. ∵∠DAE ＋∠AED ＝90°， ∴∠CEF ＋∠AED ＝90°， ∴∠AEF ＝90°，∴∠D ＝∠AEF ，∴△ADE∽△AEF.由相似三角形的传递性，得△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF.12．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．(第12题)【解】(1)PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS)． ∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠CBD.∵M ，N 分别是斜边AB ，DE 的中点，P 是AD 的 中点，∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得∠NPD ＝∠EAC ，∠MPA ＝∠BDC ，∠EAC ＋∠BDC ＝90°，∴∠MPA ＋∠NPD ＝90°， ∴∠MPN ＝180°－90°＝90°，即PM ⊥PN. (2)成立．证明如下：同(1)可得△ACE ≌△BCD(SAS)， ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC ＝∠BOE ， ∴∠BHO ＝∠ACO ＝90°.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得PM ∥BD ，PN ∥AE. ∴∠MGE ＋∠BHA ＝180°. ∴∠MGE ＝∠BHO ＝90°. ∴∠MPN ＝∠MGE ＝90°. ∴PM ⊥PN.(3)PM ＝kPN.证明如下： ∵△ABC 和△CDE 是直角三角形， ∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°.∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠ECD ＋∠BCE. ∴∠ACE ＝∠BCD. ∵BC ＝kAC ，CD ＝kCE ， ∴BC AC ＝CDCE＝k ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴BD ＝kAE.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE.∴PM ＝kPN.。
浙教版九年级数学上册4.4 两个三角形相似的判定
浙教版九年级数学上册4.4 两个三角形相似的判定姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 要使与相似，，，，则的度数为（）A．50°B．70°C．60°D．50°或70°2 . 如图，点 A、B 分别在第二象限和第一象限，AB 与 x 轴平行，∠AOB=90°，OA=4，OB=3，函数y=（x ＜0）和 y=（x＞0）的图象分别经过点 A、B，则=（）A．B．﹣C．D．﹣3 . 下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似；B．两个全等三角形一定相似；C．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似．4 . 正方形的一条对角线长为6，则正方形的面积是（）A．3B．9C．18D．365 . 如图，直线，P是直线AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将A．变小B．变大C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动6 . 如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A．AC=BD B．∠1=∠2C．∠ABC=90°D．∠1=90°7 . 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．8 . 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（）C．D．A．B．二、填空题9 . 如图，在中，是边上的中线，点在上，且，连接并延长交于，则__________．10 . 如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在直线BC上，点E在直线AC上，且∠BAD=∠CBE，当BD=1时，则AE的长为______．11 . 当______时，边长为3、4、6和边长为8、12、的两三角形相似.12 . 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB=1，则BM的长为__________．13 . 如图，在中，是上一点，连接．要使，则必须有________或________或________．14 . 如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．15 . 如图，DF∥AC，若∠1＝∠2，则DE与AH的位置关系是_____．16 . 已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4.D是AB的中点，P是平面上的一点，且DP＝1，连接BP、CP，将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′，连CB′，CB′的最大值是_____.三、解答题17 . 解下列方程：（1）；（2）18 . 如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F（1）求证：AD∥BC；（2）若∠1＝36°，求∠2的度数．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的与AD，AC分别交于点E，F，∠ACB="∠DCE" ．19 . 请判断直线CE与的位置关系，并证明你的结论；20 . 若 DE:EC=1：,，求⊙O的半径．21 . 如图，AA．BC相交于点E，且AE=54cm，ED=36cm，CE=30cm，BE＝45cm，∠B=78o.(1)△AEB与△DEC相似吗？(2)求∠C的度数.22 . 解方程：（1）x2+8x=9（2）（x-1）2=2x（1-x）23 . 如图和相交于点，，．（1）如果的周长是9，求的周长；（2）连结，如果的面积是16，求的面积．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、7、8、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、三、解答题1、2、3、4、5、6、。
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4.4 两个三角形相似的判定
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若
，则下列结论中一定正确的是
A. ①和②相似
B. ①和③相似
C. ①和④相似
D. ②和④相似
2. 下列判断中，不正确的是
A. 两直角边长分别是，和，的两个直角三角形相似
B. 斜边和一直角边长分别是，和，的两个直角三角形相似
C. 两条边长分别是，和，的两个直角三角形相似
D. 两个等腰直角三角形相似
3. 如图所示，有点光源在平面镜上方，若点恰好在点光源的反射光线上，并测得
，，，且，则点光源到平面镜的距离的长度为
A. B. C. D.
4. 如图，在正方形网格上有个三角形：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ．② ⑥中与①相似的是
A. ②③④
B. ③④⑤
C. ④⑤⑥
D.②③⑥
5. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相
似的三角形所在的网格图形是
A. B.
C. D.
6. 如图，小明在做选择题"如图，四边形中，，，，，
则的长为多少"时遇到了困难．小明通过测量发现，试题给出的图形中，，
，且各角度符合条件，因此小明猜想下列选项中最可能正确的是
A. B. C. D.
7. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是
A. B.
C. D.
8. 如图，是的边上一点，，，．如果的面积为，
那么的面积为
A. B. C. D.
9. 若两个扇形满足弧长的比等于它们的半径的比，则称这两个扇形相似．如图所示，如果扇形与
扇形是相似扇形，且半径（为不等于的常数），那么下面的四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④扇形与扇形的面积之比为．
成立的个数为
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
10. 如图，在中，，于点，于点，为边的中点，连
接，，则下列结论：① ；② ；③ 为等边三角形；④当
时，．其中正确的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 两边且夹角的两个三角形相似．利用这种方法判定两个
三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边与一组对应角相等”，这两个三角形就不一定相似了．
12. 如图，在中，，点在上．要使，可添加的一个条件
是．
13. 的三边长分别为，，，的两边长分别为，，当的第三
边长为时，．
14. 如图，在四边形中，，，，，，如果边上
的点，使得以，，为顶点的三角形与，，为顶点的三角形相似，这样的点
有个．
15. 在中，，是边上的高，并且，则的度数
为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，且点坐标为，过点的直线
轴，点为直线上的一动点，连接，交直线于点，则的值
为．
17. 已知的三边长分别为，，，的两边长分别为和，要判定
，那么的第三边长应为．
18. 如下图，矩形纸片中，，，点是边上的动点．现将纸片折叠，使点
与点重合，折痕与矩形边的交点分别为，．
（1）当点恰好为的中点时，折痕的长度为；
（2）设，要使折痕始终与边，有交点，的取值范围是．
19. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以
每秒个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速
度运动，连接，点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之
停止运动，设运动时间为秒（）．
（1）当秒时，点，，所构成的三角形与相
似．
（2）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别，，是的中点，过
作轴的垂线垂足为．动点从点出发，沿向匀速运动，过点做轴的垂线，
垂足为，连接，．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点的坐标
为．
三、解答题（共5小题；共65分）
21. 如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点，写出图中的两对相似三角
形．
22. 如图，在中，，，是两条高．求证；．
23. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，
则．
24. 网格图中每个方格都是边长为的正方形．若，，，，，都是格点，试说明
．
25. 阅读下面材料：
小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形面积相等的正方形．
小骏发现：延长到，使得，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半
圆于点，以为边作正方形，则正方形即为所求．
请回答：，和的数量关系为．
参考小骏思考问题的方法，解决问题：
画一个和已知平行四边形面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C
4. B
5. B
6. A
7. C
8. D
9. D 10. D
第二部分
11. 成比例；相等
12. 答案不唯一．如或等．
13.
14.
15.
16.
17.
18. （1）；（2）
19. ；
20.
第三部分
21. ，．
22. ，是两条高，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23.
24. ，，，，，
，
，
．
25. ．
解决问题：
方法一：
过点作于点，延长到，使得，以为直径作半圆，过点作
垂线，交半圆于点，以为边作正方形，正方形即为所求．
方法二：
如图，过点作于点，过点作交延长线于点，将平行四边形转化为
等面积矩形，后同小骏的画法．。