2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2、降次——解一元二次方程课件22
人教版九年级数学上册21.2.1解一元二次方程(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
21.2.1解一元二次方程（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本节为一元二次方程解法的起始课。
一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。
首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，求解二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比”等重要的数学思想方法。
因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
2、教学目标：①了解形如x2=a (a≥0)和（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法；
②会用直接开平方法解一元二次方程；
③了解转化、降次思想在解方程中的运用。
3、教学重、难点
教学重点：①解形如x2=a和（mx+n）2=p(p≥0)的方程；
②通过本节课的学习体会换元和转化思想。
教学难点：①解形如（mx+n）2=p(p≥0)的方程。
突破重难点的方法：直接开平方法适用一元二次方程类型的探究，通过根据平方根的意义解形如x2=a (a≥0)，知识迁移到根据平方根的意义解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，做好合适的铺垫，引导学生发现运用直接开平方法解一元二次方程的求解途径，引导学生运用换元、转化思想探求一元二次方程如何用直接开平方法来解，提高探究能力。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、
三、教学过程。
数学：人教版九年级上-.-降次解一元二次方程(疑难解析)
(1) (2)
解:(1) ,
( 2)因式分解,得
于是得 或
评注：掌握好一元二 次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键.因式分解法求根,解答过程较简单,但并 不具有普遍意义 .解一元二次方 程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
例题选讲
例1． 用配 方法解下列方程 ：
（1） （2）
解:(1 )移项，得
配方
由此可得
.
(2)移项，得
二次项系数化为1,得
配方 即
∴ ∴
评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上 一次项系数一半的平方,把方程化为 的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一ห้องสมุดไป่ตู้项系数一半的平方.
22.2降次——解一元二次方程
疑难分析
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方 程 的方法,叫做配 方法.可以看出,配方是为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 .
2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 ,将a,b,c代入式子 就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程 的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实 现降次,这种解法叫做因式分解 法.
4. 配方法要先 配方,再降次;通过配方 法可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等 于0.配方法、公式法适用于所有一元 二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方 程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
人教版九年级数学上册课件：21.2.1降次解一元二次方程
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0 吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
2
移项得： x2 1 x 3
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
x 5，
这种解法叫做什么?
直接开平方法
即 x1 5，x2 5
可以验证，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2x1)2 5及 方程 x2 6x 9 2?
方程 x2 6x 9 2的左边是完全平方形式，
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
• 难点： 从实际问题中抽象出一元二次方程，
把一元二次方程化为一般形式并能正确识 别一般式中的项和系数。
完全平方公式：
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2 (3) y2 5y （__52_）_2 _ ( y __52 _)2
人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(4)》
【应用】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
过程
方法
从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
情感
态度
价值观
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
教学重点
理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
教学难点
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
学校教学设计九年级数学
章课题
一元二次方程
主备教师
参备教师
授课教师
课题
21.2降次——解一元二次方程（4）
教
学
目
标
知识
技能
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
二、探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1直接开平方法教案 新人教版
21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ BCAQ P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22可以验证，22和-22都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以22秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22即2t+1=22，2t+1=-22方程的两根为t1=2-12，t2=-2-12例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p，达到降次转化之目的．六、布置作业1．教材复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±22B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+53，x2=253-D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b34a+2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B 2．D 3．B二、1．±2 2．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=n x1n，x2n．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x110x210同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
九年级数学上册 21.2 降次—解一元二次方程 你能避开求根公式解“年份”类型的一元二次方程吗素材
九年级数学上册２1.2 降次—解一元二次方程你能避开求根公式解“年份”类型的一元二次方程吗素材（新版)新人教版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册2１．2 降次—解一元二次方程你能避开求根公式解“年份”类型的一元二次方程吗素材(新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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你能避开求根公式解“年份”类型的一元二次方程吗?众所周知,解一元二次方程的基本方法是通过求根公式来求得它的两个根,但是不少一元二次方程由于系数的绝对值较大,因此如用求根公式来解,则将不胜其烦.例如，有这样两道题:(1)解方程：（19９7x)２—1996×19９8x-１=0．（2）解方程：(x-1994）·(x—199５）=1996×199７.你准备用什么方法来解?其实,第1题可通过十字相乘法来解.事实上，原方程即为199７2·x2—（19９7—1)·（1９9７+1)x-1=0．因此由１99７2-1=(1９97—１)·（１9９7+1)易知可把原方程改写为（19972x+1)·(x-１）=0.至于第２题，如能注意到：1９94+1997＝１９9５+１9９6，19９4－１９96＝1９9５—19９7,并且一元二次方程最多只有两个实根，则可有一个特殊的简捷解法:∴由①式可得ｘ=１9９4+1997=39９１．∴由②式可得x=-19９6+１9９4=-２.由于一元二次方程最多只有两个实根，∴原方程的解为x１＝3９９1,x2=-2.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
21.2 降次——解一元二次方程(3)
21.2 降次——解一元二次方程（3）
学习目标
1．知道一元二次方程根的判别式的概念．
2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况
及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取
值范围．（重点）
3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解
简单的一元二次方程．（难点）
情景引入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断
为一般形式
Δ = b2 − 4ac = 0
有两个相等的实数根
ax2+bx+c=0
Δ = b2 − 4ac < 0
没有实数根
例2 若关于 x 的一元二次方程 ( − 1)x2 − 2x +3 = 0 有
两个不等的实数根，则 的取值范围是 ( B )
A. m
C. m
4
>
3
4
<
3
B. m <
4
3
D. m>
典例分析
例3 用公式法解下列方程：
x2 − 4x − 7 = 0.
解：∵ = 1, = −4, = −7.
则 ∆= 2 − 4 = (−4)2 −4 × 1 × (−7) = 44 > 0
∴原方程有两个不相等的实数根.
∴ =
−± ∆
2
=
−(−4)± 44
2
= 2 ± 11
两个不等
方程有________的实数根；
当 b2－4ac = 0 时，
方程有________的实数根；
两个相等
当 b2－4ac < 0 时，
无实数根
方程_________.
布置作业
见精准作业单！
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
-将现实问题抽象为一元二次方程，并运用所学知识解决。
举例解释：
-配方法中的移项和加、减同一个数以形成完全平方的过程，如将x²-6x+9转化为(x-3)²；
-在公式法中，对于方程2x²-5x+2=0，学生需要计算判别式Δ=(-5)²-4*2*2=25-16=9，并理解Δ>0时方程有两个不同实数根；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的四种解法：直接开平、配方法、公式法和因式分解法。对于难点部分，如配方法和公式法，我会通过具体方程的求解过程来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过图形的折叠和剪裁，学生可以直观地理解配方法中的完全平方概念。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案：
1.掌握一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.了解求解一元二次方程的四种方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法；
我也观察到，在总结回顾环节，有些学生对所学知识的掌握并不牢固，可能需要更多的复习和练习。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些巩固性的练习，特别是针对那些难度较大的解法，以确保学生能够扎实掌握。
最后，我认识到，教学过程中要不断关注学生的反馈，根据他们的学习情况调整教学策略。在今后的教学中，我会更加注重因材施教，针对不同学生的学习能力和兴趣，设计更加个性化的教学活动。同时，我也会鼓励学生提出自己的疑问，并及时给予解答，帮助他们克服学习中的困难。
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教学过程 • 问题1：
利用配方法解方程：x 2 x 3 0
2
x 2x 3
2
x 2x 1 3 1
2
两边加上一次项系数一半的平方
( x 1) 4 x 1 2
2
x1 3，x2 1
教学过程
利用配方法解方程： 2 x 7 x - 4 0 7 • 问题 2 ： 2 先将二次项系数化为1 x x20 2 7 2 x x2 2 7 49 49 2 x x 2 2 16 16
一元二次方程求根公 式推导
题目分析
• 求根公式是解一元二次方程的通法，其本质是就 是代数式求值，只要知道a，b，c的值，代入求根 公式即可求出方程的解.用公式法解一元二次方程 的过程就是一个程序，是算法思想在初中数学中 的体现.本节利用直接开平方法和配方法深入研究 一二次方程一般式 ，进而推导出求根公式，培养 学生类比、由特殊到一般、由一般到特殊的数学 思想.
2
7 81 x 4 16
2
7 9 x 4 4
1 x1 ，x2 4 2
教学过程 • 问题3：
解方程： ax2 bx c 0(a 0)
2
b b 4ac 一元二次方程求根公式：x 2a
教学反思
• 1.从运算的角度看，公式包容了初中阶段 所学过的全部种代数运算：加、减、乘、 除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一. 通过运算可以完美地解决根的存在性、根 的个数、根的求法三个问题，可以说是 “万能”求根公式. 它向我们展示了抽象 性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.
以上过程逆推便可以得到求根 公式的第二种配方方法，此方 法虽不用给学生上课推导，但 可以作为部分学生的课后思考， 也可以作为老师对配方推导求 根公式的深层次认识。一元二Biblioteka 方程求根公 式推导教学反思
• 2.从方程的观点来看，当公式中的三个量 为常数时 ，则它是关于第四个量的方程. 比如 a，b，c 为确定的数值时，它便是关 于 x 的方程. 当 a，b，c，x 中不只有一个 变量时，若视其中一个字母为变量，其余 的为常数，则它是关于这个变量的一元方 程；若视其中两个字母为变量，其余的为 常数，则它是关于这两个变量的二元方程.
题目分析
重点：一元二次方程求根公式的推导.
• 难点：理解求根公式的推导过程和判 别式的意义.
学情分析
• 初三学生已经有等式性质、平方根、 直接开平方法、配方法等知识储备， 有了一定的逻辑推理能力.直接开平方 法具有局限性，配方法虽然通用，但 稍显麻烦，因此需要一个简便易用的 通法来求解一元二次方程.
教学反思
• 3.求根公式的推导不限于本节所讲，将求根公 式逆推可得到： b b 4ac
x
2
2a
2ax b b2 4ac 2ax b b2 4ac
2ax b
2
b 2 4ac
4a 2 x 2 4abx b2 b2 4ac 4a 2 x 2 4abx 4ac 0 ax 2 bx c 0