(05)第5章 概率论
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
《概率论》第5章§1大数定律
第五章 大数定律与中心极限定理
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的 概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的 次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量 怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率 概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章 大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试 发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律 如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定 机变量列 且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发 伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第 次试验 A发生 该定理通常称为 表的著作《猜测术》 提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替 同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有 存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或 人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的 概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的 次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量 怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率 概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章 大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试 发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律 如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定 机变量列 且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发 伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第 次试验 A发生 该定理通常称为 表的著作《猜测术》 提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替 同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有 存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或 人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =
概率论习题解答（第5章）
概率论习题解答（第5章）第5章习题答案三、解答题1. 设随机变量X 1，X 2，…，X n 独⽴同分布，且X ～P (λ)，∑==ni i X n X 11，试利⽤契⽐谢夫不等式估计}2|{|λλ<-X P 的下界。
解：因为X ～P (λ)，∑∑===?===n i i n i i n nX E n X n E X E 111)(1)1()(λλλλn n nX D n X n D X D n i i n i i 11)(1)1()(2121====∑∑==由契⽐谢夫不等式可得nn X P 4114/1}2|{|-=-≥<-λλλλ 2. 设E (X ) = – 1，E (Y ) = 1，D (X ) = 1，D (Y ) = 9，ρ XY = – 0.5，试根据契⽐谢夫不等式估计P {|X + Y | ≥ 3}的上界。
解：由题知()()()Y X Y X E E E +=+=()11+-=0Cov ()Y X ,=()()Y D X D xy ??ρ=()915.0??-= -1.5()()()()()75.1291,2=-?++=++=+Y X Cov Y D X D Y X D所以{}{}97303≤≥-+P =≥+)(Y X Y X P 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100⼩时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独⽴的．求这16只元件的寿命的总和⼤于1920⼩时的概率．解：设i 个元件寿命为X i ⼩时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，则X 1 ，X 2 ，... ，X 16独⽴同分布，且 E (X i ) =100，D (X i ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，4161161106.1)(,1600)(?==∑∑==i i i i D E X X ，由独⽴同分布的中⼼极限定理可知：∑=16i iX近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以>∑=1920161i i X P =≤-∑=19201161i i X P ???-≤?--=∑=16000016001920100006.116001161i i X P()8.01Φ-==1- 0.7881= 0.21194. 某商店负责供应某地区1000⼈商品，某种商品在⼀段时间内每⼈需要⽤⼀件的概率为0.6，假定在这⼀时间段各⼈购买与否彼此⽆关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某⼀时间段内每⼈最多可以买⼀件）．解：设商店应预备n 件这种商品，这⼀时间段内同时间购买此商品的⼈数为X ，则X ~ B （1000，0.6），则E (X ) = 600，D (X ) = 240，根据题意应确定最⼩的n ，使P {X ≤n }= 99.7%成⽴. 则P {X ≤n })75.2(997.0)240600(240600240600ΦΦP ==-≈-≤-=n n X 所以6.64260024075.2=+?=n ，取n =643。
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
概率论5
n
lim P Yn Y 0,
特别地，当Y c为一常数时，称{Yn , n 1} 依概率收敛于常数c.
c c c
P P 性质： X n a, Yn b,当n 时. 若
函数（x,y）在点(a,b)连续，则 g g ( X n , Yn） g (a, b)，当n 时.
例4 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布， X 1 ~ U (1, 1). 则 1 n 1 n 1 n 2 （） X k，（2） X k ，（3） X k 1 n k 1 n k 1 n k 1 分别依概率收敛吗？ 如果依概率收敛，分别收敛于什么？
1 n P 因为，E( X1 ) 0, 故， X k 0， n k 1 1 1 1 1 n P 1 同理，E ( X 1 ) x dx , X k ， 1 2 2 n k 1 2 1 1 1 n 2 P 1 2 2 1 E ( X 1 ) x dx , X k . 1 2 3 n k 1 3
1 100 5 /100 P{| X i | 0.5} 1 0.52 0.8; 100 i 1
(2)同样利用切比雪夫不等式，要使得
1 n 5/ n P{| X i | 0.5} 1 2 0.95， n需满足n 400. n i 1 0.5
例2 在n重贝努里试验中，若已知每次试验 事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不 等式, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大； （2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之 间的概率不小于0.90。
n
n
即，条件(5.1.8)满足,由定理5.1.3知结论成立.
lim P Yn Y 0,
特别地，当Y c为一常数时，称{Yn , n 1} 依概率收敛于常数c.
c c c
P P 性质： X n a, Yn b,当n 时. 若
函数（x,y）在点(a,b)连续，则 g g ( X n , Yn） g (a, b)，当n 时.
例4 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布， X 1 ~ U (1, 1). 则 1 n 1 n 1 n 2 （） X k，（2） X k ，（3） X k 1 n k 1 n k 1 n k 1 分别依概率收敛吗？ 如果依概率收敛，分别收敛于什么？
1 n P 因为，E( X1 ) 0, 故， X k 0， n k 1 1 1 1 1 n P 1 同理，E ( X 1 ) x dx , X k ， 1 2 2 n k 1 2 1 1 1 n 2 P 1 2 2 1 E ( X 1 ) x dx , X k . 1 2 3 n k 1 3
1 100 5 /100 P{| X i | 0.5} 1 0.52 0.8; 100 i 1
(2)同样利用切比雪夫不等式，要使得
1 n 5/ n P{| X i | 0.5} 1 2 0.95， n需满足n 400. n i 1 0.5
例2 在n重贝努里试验中，若已知每次试验 事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不 等式, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大； （2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之 间的概率不小于0.90。
n
n
即，条件(5.1.8)满足,由定理5.1.3知结论成立.
概率论与数理统计第5章-大数定律和中心极限定理
DX } 1
(2
DX DX
)2
3 4
．
例 1.2 设随机变量 X ~ P(9) ，试根据切比雪夫不等式 估计概率 P{X 19}． 解 由于 X ~ P(9) ，所以 EX DX 9 ，且
P{X 9 10} P{X 1} 0 ， 故有 P{X 19} P{X 9 10}
P{ X 9 10} 9 0.09 ． 102
例 1.3 设随机变量 X ,Y 独立同分布，且 D(X ) 2 ，
试根据切比雪夫不等式估计概率 P{ X Y 2} ．
解 由于 X ,Y 独立同分布，所以 E( X Y ) 0 ，且
D(X Y ) DX DY 4
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
e
t2 2
dt
，
x
(,
)
．
【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理，也 称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
近似
n
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有 Xi ~ N (n, n 2 ) ．
P{ X Y 2} 1 D(X Y ) 1 ，
22
2
二、大数定律（了解） 1.相关概念
定义 1.1 设有随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L ，如果
存在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim P{
n
Xn
a
}1，
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5 - 21
统计学
STATISTICS
概率密度函数
5 - 22
统计学
STATISTICS
连续型随机变量的概率分布
1. 连续型随机变量可以取某一区间或整个 实数轴上的任意一个值 2. 它取任何一个特定的值的概率都等于0 3. 不能列出每一个值及其相应的概率 4. 通常研究它取某一区间值的概率 5. 用概率密度函数的形式和分布函数的形 式来描述
在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结 果
5-4
统计学
STATISTICS
事件
(event)
1. 事件：试验的每一个可能结果(任何样本 点集合)
掷一颗骰子出现的点数为3
用大写字母A，B，C，…表示
2. 随机事件(random event)：每次试验可能 出现也可能不出现的事件
掷一颗骰子可能出现的点数
1. 2. 3. 4.
一次试验的结果的数值性描述 一般用 X，Y，Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变 量和连续型随机变量
5 - 14
统计学
STATISTICS
离散型随机变量
(discrete random variables)
1. 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以 逐个列举出来 x1 , x2，…
统计学
STATISTICS
概率的性质
(小结)
对任意事件A，有 P 0
一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于 任意事件 A，有0 P 1
1. 2. 3. 4.
非负性
规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即 P ( )=1； P( )=0 可加性
若A与B互斥，则P(A∪B) =P(A)+P(B) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P( A1∪A2 ∪… ∪An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)
5 - 23
统计学
STATISTICS
概率密度函数
(probability density function)
1. 设X为一连续型随机变量，x 为任意实数， X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件
(1) f ( x) 0 (2)
f ( x)dx 1
2. f(x)不是概率
5 - 24
统计学
STATISTICS
第 5 章 概率与概率分布
5.1 事件及其概率
5.2 离散型概率分布 5.3 连续型概率分布
5-1
统计学
STATISTICS
5.1 事件及其概率
5.1.1 试验、事件和样本空间
5.1.2 事件的概率 5.1.3 概率的性质和运算法则
5-2
统计学
STATISTICS
试验、事件和样本空间
P(5 X 6.2)
X 6.2 5 Z 0.12 10
一般正态分布
1
标准正态分布
1
.0478
5 6.2
5 - 38
X
0.12
Z
统计学
STATISTICS
标准化的例子
P(2.9 X 7.1)
X 2.9 5 Z 0.21 10 X 7.1 5 Z 0 .21 10
统计学
STATISTICS
概率密度函数
密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)
频数 (值, 频数)
f(x)
a
值
5 - 25
b
x
统计学
STATISTICS
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实 数 x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积
5-3
统计学
STATISTICS
试 验
(experiment)
掷一颗骰子，观察其出现的点数 从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果 (纸牌的数字或花色) 可以在相同的条件下重复进行
1. 对试验对象进行一次观察或测量的过程
2. 试验的特点
每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的 所有可能结果在试验之前是确切知道的
掷一颗骰子出现的点数大于6
5-6
统计学
STATISTICS
样本空间与样本点
1. 样本空间(sample Space)
一个试验中所有结果的集合，用表示 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空 间表示为：{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
2. 样本点( sample point)
5 - 31
统计学
STATISTICS
正态分布函数的性质
1.
图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x= 处
2.
均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确 定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族 ” 均值 可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具 体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度 。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 当 X 的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的 两个尾端也无限渐近横轴，但理论上永远不会与之相 交
2
2π
5 - 35
统计学
STATISTICS
标准正态分布
Z X
标准正态分布
一般正态分布
1
Z
X
5 - 36
统计学
STATISTICS
标准正态分布表的使用
1. 对于标准正态分布，即Z~N(0,1)，有
P (a Zb) b a P (|Z| a) 2 a 1
i 1 n
x1 ，x2 ，… ，xn p1 ，p2 ，… ，pn
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数
5 - 18
统计学
STATISTICS
离散型随机变量的概率分布
(例题分析)
【例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散 型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率 分布
概率分布
X = xi P(X=xi)pi
5 - 11
统计学
STATISTICS
5.2 离散型概率分布
5.2.1 随机变量
5.2.2 离散型随机变量的概率分布 5.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差 5.2.4 几种常用的离散型概率分布
5 - 12
统计学
STATISTICS
随机变量
5 - 13
统计学
STATISTICS
随机变量
(random variables)
3.
4.
32 5. 5 -正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下
统计学
STATISTICS
和 对正态曲线的影响
f(x)
=1/2
=1
B
A
C
5 - 33
1
x
统计学
STATISTICS
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
f(x)
P(a x b) f ( x)dx ?
5 - 30
x
统计学
STATISTICS
概率密度函数
1 2π
2 1 2 x 2 2
f ( x)
e
, x
f(x) = 随机变量 X 的频数 = 正态随机变量X的均值 = 正态随机变量X的方差 = 3.1415926; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- < x < )
样本空间中每一个特定的试验结果
用符号表示
5-7
统计学
STATISTICS
事件的概率
5-8
统计学
STATISTICS
事件的概率
(probability)
1. 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值， 用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为P(A) 2. 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察 到的事件A发生次数(频数)的比重来逼近 在相同条件下，重复进行n次试验，事件A 发生了m次，则事件A发生的概率可以写为
5 - 19
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
统计学
STATISTICS
5.3 连续型概率分布
5.3.1 概率密度函数
5.3.2 正态分布 5.3.3 其他连续型概率分布
5 - 20
统计学
STATISTICS
常用连续型概率分布
连续型概率分布
正态分布 均匀分布 指数分布 其他分布
2. 对于负的 z ，可由 (-z)1 z得到 3. 对于一般正态分布，即X~N( , )，有 b a P ( a X b)
P( X x) (
5 - 37
x
)
统计学
STATISTICS
标准化的例子
5-5
统计学
STATISTICS
事件
(event)
1. 简单事件(simple event) ：不能被分解成其他 事件组合的基本事件
抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面”
2. 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的 事件，用表示
掷一颗骰子出现的点数小于7
3. 不可能事件(impossible event)：每次试验一定 不出现的事件，用表示
统计学
STATISTICS
概率密度函数
5 - 22
统计学
STATISTICS
连续型随机变量的概率分布
1. 连续型随机变量可以取某一区间或整个 实数轴上的任意一个值 2. 它取任何一个特定的值的概率都等于0 3. 不能列出每一个值及其相应的概率 4. 通常研究它取某一区间值的概率 5. 用概率密度函数的形式和分布函数的形 式来描述
在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结 果
5-4
统计学
STATISTICS
事件
(event)
1. 事件：试验的每一个可能结果(任何样本 点集合)
掷一颗骰子出现的点数为3
用大写字母A，B，C，…表示
2. 随机事件(random event)：每次试验可能 出现也可能不出现的事件
掷一颗骰子可能出现的点数
1. 2. 3. 4.
一次试验的结果的数值性描述 一般用 X，Y，Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变 量和连续型随机变量
5 - 14
统计学
STATISTICS
离散型随机变量
(discrete random variables)
1. 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以 逐个列举出来 x1 , x2，…
统计学
STATISTICS
概率的性质
(小结)
对任意事件A，有 P 0
一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于 任意事件 A，有0 P 1
1. 2. 3. 4.
非负性
规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即 P ( )=1； P( )=0 可加性
若A与B互斥，则P(A∪B) =P(A)+P(B) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P( A1∪A2 ∪… ∪An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)
5 - 23
统计学
STATISTICS
概率密度函数
(probability density function)
1. 设X为一连续型随机变量，x 为任意实数， X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件
(1) f ( x) 0 (2)
f ( x)dx 1
2. f(x)不是概率
5 - 24
统计学
STATISTICS
第 5 章 概率与概率分布
5.1 事件及其概率
5.2 离散型概率分布 5.3 连续型概率分布
5-1
统计学
STATISTICS
5.1 事件及其概率
5.1.1 试验、事件和样本空间
5.1.2 事件的概率 5.1.3 概率的性质和运算法则
5-2
统计学
STATISTICS
试验、事件和样本空间
P(5 X 6.2)
X 6.2 5 Z 0.12 10
一般正态分布
1
标准正态分布
1
.0478
5 6.2
5 - 38
X
0.12
Z
统计学
STATISTICS
标准化的例子
P(2.9 X 7.1)
X 2.9 5 Z 0.21 10 X 7.1 5 Z 0 .21 10
统计学
STATISTICS
概率密度函数
密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)
频数 (值, 频数)
f(x)
a
值
5 - 25
b
x
统计学
STATISTICS
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实 数 x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积
5-3
统计学
STATISTICS
试 验
(experiment)
掷一颗骰子，观察其出现的点数 从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果 (纸牌的数字或花色) 可以在相同的条件下重复进行
1. 对试验对象进行一次观察或测量的过程
2. 试验的特点
每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的 所有可能结果在试验之前是确切知道的
掷一颗骰子出现的点数大于6
5-6
统计学
STATISTICS
样本空间与样本点
1. 样本空间(sample Space)
一个试验中所有结果的集合，用表示 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空 间表示为：{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
2. 样本点( sample point)
5 - 31
统计学
STATISTICS
正态分布函数的性质
1.
图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x= 处
2.
均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确 定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族 ” 均值 可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具 体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度 。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭 当 X 的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的 两个尾端也无限渐近横轴，但理论上永远不会与之相 交
2
2π
5 - 35
统计学
STATISTICS
标准正态分布
Z X
标准正态分布
一般正态分布
1
Z
X
5 - 36
统计学
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标准正态分布表的使用
1. 对于标准正态分布，即Z~N(0,1)，有
P (a Zb) b a P (|Z| a) 2 a 1
i 1 n
x1 ，x2 ，… ，xn p1 ，p2 ，… ，pn
4. P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数
5 - 18
统计学
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离散型随机变量的概率分布
(例题分析)
【例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散 型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率 分布
概率分布
X = xi P(X=xi)pi
5 - 11
统计学
STATISTICS
5.2 离散型概率分布
5.2.1 随机变量
5.2.2 离散型随机变量的概率分布 5.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差 5.2.4 几种常用的离散型概率分布
5 - 12
统计学
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随机变量
5 - 13
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随机变量
(random variables)
3.
4.
32 5. 5 -正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下
统计学
STATISTICS
和 对正态曲线的影响
f(x)
=1/2
=1
B
A
C
5 - 33
1
x
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正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
f(x)
P(a x b) f ( x)dx ?
5 - 30
x
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STATISTICS
概率密度函数
1 2π
2 1 2 x 2 2
f ( x)
e
, x
f(x) = 随机变量 X 的频数 = 正态随机变量X的均值 = 正态随机变量X的方差 = 3.1415926; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- < x < )
样本空间中每一个特定的试验结果
用符号表示
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事件的概率
5-8
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事件的概率
(probability)
1. 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值， 用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为P(A) 2. 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察 到的事件A发生次数(频数)的比重来逼近 在相同条件下，重复进行n次试验，事件A 发生了m次，则事件A发生的概率可以写为
5 - 19
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
统计学
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5.3 连续型概率分布
5.3.1 概率密度函数
5.3.2 正态分布 5.3.3 其他连续型概率分布
5 - 20
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STATISTICS
常用连续型概率分布
连续型概率分布
正态分布 均匀分布 指数分布 其他分布
2. 对于负的 z ，可由 (-z)1 z得到 3. 对于一般正态分布，即X~N( , )，有 b a P ( a X b)
P( X x) (
5 - 37
x
)
统计学
STATISTICS
标准化的例子
5-5
统计学
STATISTICS
事件
(event)
1. 简单事件(simple event) ：不能被分解成其他 事件组合的基本事件
抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面”
2. 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的 事件，用表示
掷一颗骰子出现的点数小于7
3. 不可能事件(impossible event)：每次试验一定 不出现的事件，用表示