一次函数图象的平移变换问题探究

一次函数图象的平移变换问题的探究
所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：
（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ）
（2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ）
（3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）
（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.
下面我们来探索直线的平移问题.
【引例1】探究一次函数l ：y=32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=3
2x －2的关系. 【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐
标系中画出3个函数的图象（如图1），观察这3个函数的图象：
从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；
从数量上看，对于同一自变量的取值（不妨取x=0即直线与y 轴
的交点），可以看出直线1l 在直线l 的上方2个单位处，直线2l 在
直线l 的下方2个单位处，因此，一次函数1l ：y=
32x+2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=3
2x 的图象沿y 轴向上平移2个单位得到的；一次函数2l ：y=32x －2的图象可以看作是由正比例函数l ：y=3
2x 的图象沿y 轴向下平移2个单位得到的.
【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.
【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．
2l
分析：观察图像发现直线OA 是正比例函数的图象，可设
直线OA 的解析式为y=kx ，又点A （2，4）在函数图像上，所以
4=2 k 即 k=2，又一次函数的图像是由直线OA 向上平移1个单位
得到，故这个一次函数的解析式为y=2x+1.
【引例2】探究一次函数l ：y=
32x 与1l ：y=32（x+3），2l ：y=32（x －3）的关系. 【探究】观察引例1与引例2中的3个函数的解析式，经过变形我们可以发现他们是完全相同的，因而，画出3个函数的图象仍然是图1的情况.从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一因变量的取值（不妨取y=0，即直线与x 轴的交点），可以看出直线1l 在直线l 的左方3个单位处，直线2l 在直线l 的
右方3个单位处，因此，一次函数1l ：y=
3
2（x+3）的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿x 轴向左平移3个单位得到的；一次函数2l ：y=3
2（x －3）的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32x 的图象沿x 轴向右平移3个单位得到的. 【拓广】：一般地由正比例函数y=kx 的图象沿x 轴向左平移m （m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k （x+m ）=kx+km ；沿x 轴向右平移m （m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k （x －m ）=kx －km ；
综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y 值的变化，直线左右平移时影响x 值的变化.
【应用】：（08年武汉市）⑴点（0，1）向下平移2
个单位后的坐标是 ，直线21y x =+向下平移
2个单位后的解析式是 ；
⑵直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式
是 ；
x
⑶如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，
交x 轴于B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移
分析：⑴点（0，1）向下平移2个单位，横坐标不变，纵坐标减去2，故为（0，－1）. 根据上面拓广的规律直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式应为21y x =+－2，即21y x =-；
⑵直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式应为y=2(x-2)+1即23y x =-；
⑶解法1：点C 为直线y x =上在第一象限内一点，OC=C （3，3），将
直线AB 沿射线OC 方向平移3个单位，再向上平移3个单位，根据拓广规律，解析式变为y=2(x-3)+1+3即22y x =-；
解法2：点C 为直线y x =上在第一象限内一点，OC=C （3，3），将直
线AB 沿射线OC 方向平移相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，从而点A （0，1）平移到（3，4），设平移后的直线的解析式为y=2x+b ，则有4=6+b 所以b=-2，所以所求直线的解析式为y=2x-2.
赏析一道函数图象探究题
函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的丰富的有价值的信息.为考查同学们获取和应用图象信息的能力,函数图象探究题便成了近年来各地中考的新亮点,解答这类题的关键是从图象中获取信息,,正确地进行“形”和“数”的转换.现就08年中考有关一次函数图象探究题精选一例,浅析如下,供同学们鉴赏：
例(2008江苏南京)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．
为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；
（2）请解释图中点B 的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
分析 (1)图中折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系,从折线中可以看出,当x =0,即两车即将出发时,y =900(km ),这说明甲、乙两地之间的距离为900km ；
(2)当x =4,即慢车行驶4小时, y =0(km ),这说明两车之间的距离为0,即两车相遇;
(3)两车相遇后继续行驶,快车至乙地停止行驶(折线上为点C),慢车继续向甲地行驶,直
至x =12,即慢车行驶了12小时到达甲地(折线上为点D).点D 的纵坐标为900(km ),这说明慢车12小时行驶的路程为900km ,从而可求得慢车的速度,再由两车4小时相遇,即4小时共走了900km ,则快车速度可求.
(4) 求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，关键是要确定B 、C 两点的坐标,由图象可知,点B 的坐标为(4,0),点C 的横坐标为快车到达乙地的时间,由快车行驶路程÷快车行驶速度可得,而纵坐标则为此时两车之间的距离,可由慢车行驶时间×慢车行驶速度求得,再用待定系数法可求得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式.
(5) 慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇,此时,慢车行驶的时间是
4.5h ．代入线段BC 所表示函数关系式,可以求得此时慢车与第一列快车之间的距离, 而这也正是两列快车之间的距离,再由快车行驶速度,则可求得两列快车发车的间隔时间,从而问题可解.
解：（1）900；
（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90075(km /h)12
=； 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4
=，所以快车的速度为150km/h ． （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150
=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．
设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入
得
044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得225900.k b =⎧⎨=-⎩
，
所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．
自变量x 的取值范围是46x ≤≤．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是
4.5h ．把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．
点评 本例确实是一道难得的函数图象探究题,从列意布局,信息读取,图象理解,问题解决,环环相扣,步步紧逼,既给了同学们解决问题的方法,又给了同学们广阔的思维空间和探索空间,既考查了同学们获取图象信息的能力,又考查了同学们探究学习的过程,还充分渗透了运动变化的观点.可以看得出命题者的构思巧妙,匠心独运.不得不令人耳目一新,拍案叫绝.。