三角函数图像的平移、变换练习题
解三角函数的平移与伸缩的练习题
解三角函数的平移与伸缩的练习题三角函数是数学中重要的概念，它们在物理、工程、计算机图形等领域起着重要的作用。
本文将提供一些练习题，帮助读者巩固和理解三角函数的平移与伸缩。
一、平移平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向上移动一定距离。
对于一般的三角函数，可通过函数表达式中的参数来实现平移。
下面是一道练习题：练习题1：已知函数y = sin(x)的图像，将其向左平移π/2个单位，并画出平移后的图像。
解答：将函数向左平移π/2个单位，意味着函数图像中的所有点的横坐标都减去π/2。
因此，平移后的函数可以表示为y = sin(x - π/2)。
接下来我们画出平移后的图像。
（插入图像，图像为sin(x)的图像向左平移π/2个单位）从绘制的图像我们可以看出，平移后的图像与原图像相比，整体向左平移了π/2个单位。
这是因为我们将函数中的每个x都减去了π/2。
二、伸缩伸缩是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩。
对于一般的三角函数，可以通过参数来实现伸缩。
下面是一道练习题：练习题2：已知函数y = cos(x)的图像，将其在纵轴方向上进行伸缩，并画出伸缩后的图像。
解答：将函数在纵轴方向上进行伸缩，可以通过在函数表达式中引入一个参数来实现。
我们可以将函数表示为y = a*cos(x)，其中a表示伸缩的比例因子。
如果a>1，代表向上拉伸；如果0<a<1，代表向下压缩。
接下来我们画出伸缩后的图像。
（插入图像，图像为cos(x)的图像在纵轴方向上拉伸/压缩后的图像）从绘制的图像可以观察到，伸缩后的图像相对于原图像在纵轴方向上进行了拉伸或压缩。
伸缩因子a的大小决定了图像的变化程度。
三、综合练习题练习题3：已知函数y = 2sin(3x - π/4)，请画出该函数的图像，并描述它的平移和伸缩特点。
解答：函数y = 2sin(3x - π/4)可以看做是函数y = sin(x)的平移和伸缩的组合。
根据函数的形式，可以得到以下推断：- 函数图像在横轴方向上向右平移π/12个单位（3x中的系数3意味着横坐标放大了3倍，因此平移距离也放大3倍）；- 函数图像在纵轴方向上进行了拉伸，拉伸因子为2（系数2的作用）。
三角函数的图象和性质练习题及答案
1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题 〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔 〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔 〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔 〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中， 最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 〔 〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔 〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔 〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值 只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而 〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-； 当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1） 因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故∈+==k k 6,31ππθω Z（2） 因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔 〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔 〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。
关于三角函数图像的平移变换
三角函数图像的平移、变换一、 引入以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。
讲清横移的实质是把全部x 替代为 x+a ；二、三角函数图像的平移之历年高考真题1、为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数 y sin(2 x) 的图像（ A ）向左平移个长度单364位（ B ）向右平移 个长度单位4（ C ）向左平移个长度单位（ D ）向右平移个长度单位22【答案】 B2、将函数 ysin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的102 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是（ A ） ysin(2 x ) （B ） ysin(2 x)sin( 1x10sin( 1x 5 （ C ） y) （ D ） y )2102 20分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y ＝ sin( x10－)再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是10y sin( 1x) . 【答案】 C 210以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。
可发问：上述步骤反演，结果怎样？3、（ 2010 天津文）（ 8）右图是函数 y Asin （ x+ ）（ xR ）在区间 - 5上的图象，为了获得这个函数的图象，只，6 6要将 y sin x （ x R ）的图象上全部的点(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3来的 1倍，纵坐标不变2(B) 向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原3来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变621【答案】 A【分析】本题主要考察三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为，振幅为1，因此函数的表达式能够是y=sin(2x+ ).代入（ - ， 0）可得的6一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )，因此只需将 y=sinx （ x∈ R）3 3 6 1倍，纵坐标不变。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
三角函数的图像的变换
三角函数的图像的变换1．已知函数f（x）=sin（2x﹣），则要得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．3．将函数y=2cos2x的图象向左平移个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方程为（）A．x=﹣+（k∈Z）B．x=﹣+（k∈Z）C．x=+（k∈Z）D．x=+（k∈Z）4．将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）5．函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=6．将函数f（x）=sin（πx+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[4k+1，4k+3]（k∈Z）D．[4k+2，4k+4]（k∈Z）7．已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A．B．C．D．9．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为．10．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=．11．把函数的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为．13．已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．14．设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．15．已知函数f （x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数f （x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数y=f （x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求y=g （x）在[，2π]上的值域．16．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若把f（x）向右平移个单位得到函数g（x），求g（x）在区间[﹣，0]上的最小值和最大值．三角函数的图像的变换参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）=sin（2x﹣），则要得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：g（x）=sin2x=sin[2（x+）﹣]，要得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数f（x）的图象向左平移个单位即可，故选：C．2．将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A． B． C．D．【解答】解：函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选：C．3．将函数y=2cos2x的图象向左平移个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方程为（）A．x=﹣+（k∈Z）B．x=﹣+（k∈Z）C．x=+（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：函数y=2cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y=2cos2（x+）=2cos（2x+），由余弦函数的性质：可得2x+=kπ，∴x=，k∈Z．故选：A．4．将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．5．函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，故选：C．6．将函数f（x）=sin（πx+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[2k﹣1，2k+2]（k∈Z）B．[2k+1，2k+3]（k∈Z）C．[4k+1，4k+3]（k∈Z）D．[4k+2，4k+4]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（+πx）=cosπx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（πx）图象；再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g（x）=cos[π（x﹣1）]═cos（πx﹣）=sin（πx）的图象．令2kπ+≤x≤2kπ+，求得4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间是[4k+1，4k+3]（k∈Z，故选：C．7．已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），则g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可．故选：B．8．将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=2sin（4x+），再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，得到g（x）=2sin[4（x+）+]=2sin（4x+），由4x+=+kπ，k∈Z，得x=kπ﹣，k∈Z，当k=0时，离原点最近的对称轴方程为x=﹣，故选：A．二．填空题（共4小题）9．把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为y=cosx．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x的图象，把y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；故答案为：y=cosx．10．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T=2×（﹣）=2π．所以ω=1，所以f（x）=sin（x+φ），故+φ=+kπ，k∈Z，所以φ=+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以φ=，故答案为：11．把函数的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为．【解答】解：把函数的图象向右平移φ个单位可得函数y==的图象，若所得的图象正好关于y轴对称，则=+kπ，k∈Z，解得：φ=+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为；故答案为：．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为4．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．三．解答题（共4小题）13．已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x﹣）=sin2x•cos+cos2xsin+cos2xcos+sin2xsin=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为=π．（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）=2sin（2x++）=2cos（2x+）的图象，令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．14．设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．15．已知函数f （x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sin x cos x．（Ⅰ）求函数f （x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数y=f （x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求y=g （x）在[，2π]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx=sin2x+cos2x+cos2x﹣sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，解得函数f （x）图象的对称轴方程：x=+，k∈Z，（Ⅱ）将函数y=f （x）的图象向右平移个单位，可得函数解析式为：y=2sin[2（x﹣）+]=2sin （2x+），再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数解析式为：y=g （x）=2sin （+），∵x∈[，2π]，∴+∈[，]，可得：sin（+）∈[﹣，1]，∴g （x）=2sin（+）∈[﹣1，2]．16．已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若把f（x）向右平移个单位得到函数g（x），求g（x）在区间[﹣，0]上的最小值和最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若把函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）的图象，∵x∈[﹣，0]，∴2x﹣∈[﹣，﹣]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴g（x）=2sin（2x﹣）∈[﹣2，1]．故g（x）在区间上的最小值为﹣2，最大值为1．。
三角函数图象的平移伸缩变换问题
【典例】(2015·青岛模拟)把函数y=sin(3x- )的图象向左平移 4 3
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标
不变),则所得函数的解析式为(
A.y=sin(6x+ )
12 C.y=sin( 3 x+ ) 12 2
)
4
B.y=sin(6x+ 3 )
D.y=sin( 3 x 3 )
2 4
【解题过程】
【错解分析】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：解题过程中没能正确理解左右平移的实质，平移后误得函数解 析式为y=sin(3x+ )；另外对横向的伸缩变换理解不到位，误得函
12
数解析式为y=sin(6x+
). 12
【规避策略】正确理解函数图象的平移变换和伸缩变换 (1)图象的左右平移是针对单个x而言的. (2)图象的伸缩变换，在变换中纵坐标不变，横坐标伸长，周期变大， x的系数缩小，反之，横坐标缩短，周期变小，x的系数扩大，即横坐 标变为原来的ω 倍，则x的系数相应变为原来的
1 .
【自我矫正】选D.把函数y=sin(3x- )的图象向左平移 个单位长
度，可得y=sin[3(x+ )- ]的图象， 4 即函数解析式为y=sin(3x+ 3 )， 4 3 4 3
再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可得y=sin( 3 x 3 )的图象.
即所得函数的解析式为y=sin( 3 x 3 ).
2 4 2 4
高二数学三角函数图象变换试题答案及解析
高二数学三角函数图象变换试题答案及解析1.函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位, 得到再向上平移1个单位,得到，所得图象的函数解析式是，故选D.【考点】三角恒等变换.2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数y=sin2x的图象向左平移个单位得y=sin（2x+），再向上平移1个单位得y=sin（2x+）+1=1+cos2x=2cos2x，故答案为：y=2cos2x.【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】，所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选B．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．4.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】D【解析】三角函数的左右平移就是x的值的变化，相应y值的变化.所以要将函数中的x变为，就可得函数，所以图像是向右平移了个单位.即选D.【考点】三角函数图像的平移.5.已知为锐角，且，则=_________.【答案】【解析】因为，为锐角，且，所以，。
=。
【考点】三角函数诱导公式，两角和的三角函数，特殊角的三角函数值。
点评：简单题，利用三角函数公式，转化成特殊角的三角函数值。
关键是注意变角。
6.如图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】观察函数的图象可知，A=1，T=π，即，将（，0）代入得，，取，，故只要将的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。
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三角函数图像的平移、变换练习题
1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4
π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5
y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220
y x π=- 5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（ ）
(A)向左平移
3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3
π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移
6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6
π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12
5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）
A 向左平移8π个单位长度
B 向右平移8
π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度6、为了得到函数y=x x x cos sin 3sin 2+的图象,可以将函数y=sin2x 的图象( ) A.向左平移6π
个单位长度,再向下平移21
个单位长度
B.向右平移6π
个单位长度,再向上平移21
个单位长度
C.向左平移12π
个单位长度,再向下平移21
个单位长度
D.向右平移12π个单位长度,再向上平移21
个单位长度
7、为得到函数cos(2)3y x π
=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（
） A ．向左平移512π
个长度单位 B ．向右平移512π
个长度单位 C ．向左平移56π
个长度单位 D ．向右平移56π
个长度单位
8、)33sin(32)(π
ω+=x x f （ω＞0）
（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值
（2）f (x )在（0，3π
）上是增函数，求ω最大值。