三角函数平移变换方法(重要)张

三角函数平移变换问题的简易判定三角函数中的正弦、余弦在水平方向上的平移变换、涉及伸缩的平移变换问题是高考命题的热点之一，它主要以选择题的形式出现，为此本文将价绍能迅速、准确做出断定的简易方法.先来看问题：sin()y A x ωϕ=+的图象可由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）的图象作怎样的变换得到？易知sin()y A x ωθ=+的图象上所有的点都向左（0ϕθω->）或向右（0ϕθω-<）平移θϕωω-个长度单位得到sin(())y A x ϕθωθω-=++，即sin()y A x ωϕ=+的图象.而()ϕθωω---中的θω-、ϕω-可分别看作令sin()y A x ωθ=+和sin()y A x ωϕ=+中“角”的位置的代数式值为0所求得的x 的值.显然点(,0)ϕω-是所得图象上与原来图象上的点(,0)θω-对应，(,0)θω-是被移动的点（本文约定被告移动的点为“起”），而(,0)ϕω-是所得的点（本文约定移动得到的点为“终”），要从点(,0)θω-到点(,0)ϕω-，得沿x 轴平移()ϕθωω---个长度单位，其余各对对应点也如此.由此，我们得到三角函数平移变换问题的第一种类型及其简易判定方法：类型一、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的同名函数间的平移变换问题.简易判定方法：在判断sin()y A x ωϕ=+是由sin()y A x ωθ=+（0,0A ω>>）经过怎样的变换得到时（余弦的亦然），令0x x θωθω+=⇒=-（起），且令0x x ϕωϕω+=⇒=-（终）.为直观起见，可在x 轴上标出这两个点（注：要明确“起”和“终”），平移方向是由“起”指向“终”，平移的长度单位个数是()ϕθωω---. 例1.函数sin(2)6y x π=-的图象可由函数sin(2)3y x π=+的图象作怎样的变换得到？解：令203x π+=得6x π=-（起），令206x π-=，得12x π=-（终）显然sin(2)6y x π=-的图象可由sin(2)3y x π=+的图象向右平移()1264πππ---=个单位得到.我们再来看可转化为类型一的以下两种类型：类型二、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数相同的异名函数间的平移变换问题.（此时只要用公式sin cos()2παα=-化为同名的，即转化为类型一的问题.）例2.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象做怎样的变换？ 解：sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=-，令202x π-=，得4x π=（起），令203x π+=，得6x π=-（终），显然向左平移5()4612πππ--=个长度单位即可. 类型三、两个都是“弦”，且振幅相同、变量系数不相同的异名函数间的平移变换问题.（此时先用公式sin cos()2παα=-将函数化为同名函数，再通过伸缩变换，转化为类型一的问题.）例3.要得到函数2y x =的图象，只需将函数2)4y x π=+的图象作怎样的变换“解：2)2sin(2)2)4244y x x x ππππ=+=--=-，将这函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得2)4y x π=-，令04x π-=，得4x π=（起），令2y x =中的“角”为零得0x =（终），显然向左平移044ππ-=个长度单位即可.注：在将异名（都是“弦”）函数转化为同名函数时，可将被变换的函数名转化，也可将得到的函数名转化；当周期不同时，必化为相同后（转化被变换的）才能找“起”和“终”练习：1 ．定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 3x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 （ ）A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=2 ．关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:最大值为2;P 2:把函数()221f x x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为(128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有 （ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 ．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A >0,ϕ<π2的图象如图所示,为了得到()sin 3g x x =的图象,只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4．当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π6．函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位7．将函数 ()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后,所得的图象对应的解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-8．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 9．已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则（ ）A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增10．函数f (x )A sin(x )ωϕ=+(其中A>0,2||πϕ<)的部分图象如图所示,为了得到2g(x )cos x =的图象,则只要将f (x )的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度11．若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于（ ）A ．32 B ．23 C ．2D ．312．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,2πϕ＜)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x 的图象,则只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位13．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变14．要得到函数)23sin(-=x y 的图象,只要将函数x y 3sin =的图象 （ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位 15．函数()sin(2),(||)2f x x πϕϕ=+<向左平移6π个单位后是奇函数,则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．3B ．12-C ．12D 3。