八年级下学期 分式方程的解法及应用

分式方程的解法及应用目标认识学习目标：1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系.5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程.重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．知识要点梳理知识点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

知识点二：分式方程的解法1. 解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

2．解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

知识点三：分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：1．审清题意；2．设未知数；3．根据题意找等量关系，列出分式方程；4．解分式方程，并验根；5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．知识点四：常见的实际问题中等量关系1．工程问题1．工作量＝工作效率×工作时间，，；2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．2．行程问题1．路程＝速度×时间，，；2．在航行问题中，其中数量关系是：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；3．航空问题类似于航行问题．3．营销问题1．商品利润＝商品售价一商品成本价；2．；3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量；4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量．规律方法指导1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．2．列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．经典例题透析类型一：分式方程的定义1、下列各式中，是分式方程的是（）A．B．C．D．思路点拨：要逐个检查是否符合分式方程的三个特征：A。

因为方程里没有分母，所以不是分式方程；B。

虽然有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；C。

没有等号，所以不是方程，它只是一个代数式；D。

具备分式方程的三个特征，是分式方程。

【答案】：D总结升华：判断一个方程是不是分式方程的依据就是分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

举一反三：【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程【答案】：B类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.思路点拨：分式方程是分母中含有未知数的方程，能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的解.解析：x＝0是方程的解，将x＝0代入得，，，所以只要取一对a,b的值符合，例如取a＝1，，得方程总结升华：此题是关于分式方程的开放题，答案并不唯一，只要符合题意就可以。

举一反三：【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？【答案】：（1）当时，左边=，右边=0，是方程的解；（2）当时，左边无意义，所以不是方程的解；（3）当时，可得左边=右边，所以是方程的解。

类型三：分式方程的解法3、(2011北京房山一模)解方程：思路点拨：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。

原方程的两边都要乘最简公分母，方程等号右边的常数1也必须乘最简公分母。

在找最简公分母的时候有时需要先把分式方程变形。

解析：方程两边同乘x-3，得2-x=x-3+1整理得2x=4, 解得x=2．经检验，x=2是原方程的解，所以原方程的解是x=2．总结升华：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,这一基本思想体现了数学思想中的转化思想；但有时在转化过程中会产生增根，所以分式方程必须验根。

4、已知分式方程的解为非负数，求的取值范围?思路点拨：解这个分式方程即可，注意去分母后所得整式方程的解是非负数，且不等于1.解析：方程两边同时乘以得由题意得，，且，且．总结升华：解分式方程随时都要注意分母不为0的隐含条件。

举一反三：【变式1】解方程：(1)＝; (2)＋＝2.【答案】：(1)＝去分母，方程两边同乘以x(x－1)，得3x＝4(x－1)解这个方程，得x＝4检验：把x＝4代入x(x－1)＝4×3＝12≠0，所以原方程的根为x＝4.(2)＋＝2去分母，方程两边同乘以(2x－1)，得10－5＝2(2x－1)解这个方程，得x＝检验：把x＝代入原方程分母2x－1＝2×－1＝≠0.所以原方程的根为x＝。

【变式2】当为何值时，关于的方程的解是0？【答案】：由题意得，，∴．类型四：增根的应用5、当m为何值时，关于x的方程会产生增根？会无解?思路点拨：增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最简公分母得0，且只适合整式方程，所以只需把可能出现的增根代入该整式方程中，就可以求得对应的m的值．而分式方程无解有两种情况，一是去分母后的整式方程的根都是增根，二是此整式方程无解．解析：，方程两边都乘以，得：①若，则此方程无解；②若，且方程产生增根，则增根只能是2或-2.当时，当时，∴当m=-4或m=6时，原方程会产生增根；当m=1，m=-4或m=6时，原方程会无解．总结升华：解分式方程的关键是去分母，因为在转化过程中同乘了一个含未知数的整式，可能出现使该整式值为0的解，因此，要验根，即把求得的根代入最简公分母，看结果是否为零，若为零，必须舍去。

举一反三：【变式1】当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D．－3分析：分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3。

所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根。

【答案】：选C。

【变式2】若方程＝无解，则m＝。

【答案】：原方程可化为＝－．方程两边都乘以x－2，得x－3＝－m．解这个方程，得x＝3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x＝2，所以2＝3－m，解得m＝1．故当m＝1时，原方程无解．类型五：分式方程的应用1、工程类应用性问题6、某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？思路点拨：若设工期为x天，将总工程量设为“1”，则甲效为1/x；乙单独做需(x+3)天，乙效为1/(x+3).(法1)甲共做2天，乙共做x天，可将工作完成；(法2)乙独做多用的3天完成的工作量，相当于甲2天做的。

解析：设工期为x天，(方法1)两边同乘x(x+3)得：检验：当x=6时，原方程的解为x=6答：该工程的工期为6天.(方法2)以下略总结升华：也可以列出方程，实际和方法1是一样的。

举一反三：【变式1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？分析：甲1个月完成1/3，即甲效率为1/3，或理解为甲单独做3个月完成，所以甲实际做1.5个月完成了1/2的工程，另外的1/2的工程由乙半个月完成，可见乙的效率为甲的3倍，显见乙的工效快。

上述是计算的方法，以下为方程方法。

【答案】设乙单独完成需要x个月，两边同乘x得：x=1检验：当x=1时，，所以原方程的解为x=1即乙单独做1个月完成，而甲单独做3个月完成，所以乙的施工速度快。

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？【答案】设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，依题意，得：，解得x＝11经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．2、行程中的应用性问题7、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．解析：设普通快车的平均速度为km／h，则直达快车的平均速度为1.5km／h，依题意，得：＝，解得经检验，是方程的根，且符合题意．∴当时，即普通快车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．举一反三：【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？【答案】设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x，去分母，得30-15＝x，所以，x＝15．检验：当x＝15时，2x＝2×15≠0，所以x＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．【变式2】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度．【答案】设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为千米／时，逆水航行速度为千米／时，依题意，得：＝，解得．经检验，是原方程的根．即船在静水中的速度是10千米／时．3、营销类应用性问题8、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？思路点拨：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．解析：设混合后的单价为每0.5kg x元，则甲种原料的单价为每0.5kg(x＋3)元，乙种原料的单价为每0.5kg(x－1)元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为斤，乙种原料的重量为斤，依题意，得＋＝，解得x＝17经检验，x＝17是原方程的根，所以x＝17．即混合后的单价为每0.5kg 17元．总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．举一反三：【变式】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？【答案】设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，依题意，得：采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．而＞0．也就是说，采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算．学习成果测评基础达标选择题（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）．A．B．C．D．2．要把分式方程化成整式方程，方程两边需要同时乘以（）．A．2x-4 B．x C．2(x-2) D．2x(x-2)3．方程的解是（）．A．1 B．-1C．±1 D．04．把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（）．A．1-（1-x）=1 B．1+(1-x)=1C．1-（1-x）=x-2 D．1+(1-x)=x-25．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（）．A．B．C．D．填空题6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：（1）李明原计划读完这本书需用______________天；（2）改变计划时，已读了______________页，还剩______________页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需______________天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程______________．7．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：．若f=6厘米v=8厘米，则物距u=______________厘米．8．（2011 宁夏）若分式与1互为相反数，则x的值是___________．9．已知，则______________．10．已知，则分式的值为______________．11．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设管道，那么根据题意，可得方程___________．解答题12．解方程（1）(2011北京昌平一模) 解分式方程；（2）．13．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示．（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．14．阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻2.5千克．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．答案与解析：基础达标选择题1.C （提示：设甲乙二人之间的距离是S，甲乙二人的速度分别为V1，V2，依题意可以列两个方程：V1×a+V2×a=S①，V1×b-V2×b=S②,用方程①-②即可消去S，然后化简整理，求V1÷V2即可求出结果．）2.D （提示：关键是要将分式方程化成整式方程，所以选项A、B、C均不能达到目的．）3.D （提示：本题不用考虑选项A、B、C，因为x=1或者-1时，原方程没有意义．只需要将x=0带入原方程检验即可．）4.D （提示：本题有两个地方需要注意：（1）去分母时第二个分式的分子要带括号，这样可以避免符号出错；（2）方程的右边也要乘以（x-2）.）5.B （提示：注意根据题意找到等量关系，在造林天数上的等量关系是：计划天数-5=实际天数．)填空题6.(1)；(2)5x ,200-5x；(3)；(4)．（提示：本题是将问题分解为4步，每一步都认真完成，即可解决这个比较复杂的问题．）7.24 （提示：将v、f的值带入关系式即可求出u的值．）8.-1 （提示：列出方程解方程即可）9.（提示：先将两边平方，可得x2+=14,然后将所求代数式取倒数，求得=15，最后再取倒数即可．）10.（提示：由得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可．）11.（提示：也可列方程）解答题12.(1)3（提示：按解方程的步骤，注意不要跳步．）(2)无解（提示：本题要注意解方程后一定要检验．）13.(1)；图示略．(2)（提示：找到通项是本题关键，建议大家先关注第（2）问．）14.梨的单价为4元/千克,苹果的单价为6元/千克.（提示：设梨的价格是x元/千克，则苹果的价格是 1.5x元/千克，依题意得，，解得x=4．）能力提升解答题15．甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个,现在要求甲生产出168个这种零件,要求乙生产出144个这种零件,他们两人谁能先完成任务呢?16．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，•那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．17．怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修．若甲、•乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？请你说明理由．答案与解析：能力提升解答题15．当乙每小时生产的零件多余48个,则乙先完成任务,如果乙每小时恰好生产48个零件,则两人同时完成任务;如果乙每小时生产的零件少于48个,则甲先完成任务.(提示：设乙每小时生产x个零件，则甲每小时生产（x+8）个，若两人同时完成，依题意，得．) 16．（1）解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，依题意，得×20=1解得x=60，经检验：x=60是原方程的解．即乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．（2）解：设两队合做完成这项工程需的天数为y天，依题意，得（）y=1，解得：y=24．即两队合做完成这项工程所需的天数为24天．17．解：设甲公司独做x天完成，•乙公司独做y天完成，依题意，得设甲公司每天工资a元，乙公司每天工资b元，依题意，得•∴甲公司独做12•×750=9000，乙公司独做24×250=6000，∴节约开支应选乙公司．综合探究解答题18．先阅读下列一段文字，然后解答问题．已知：方程x-=1的解是x1=2，x2=-；方程x-=2的解是x1=3，x2=-；方程x-=3的解是x1=4，x2=-；方程x-=4的解是x1=5，x2=-．问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x-=10的解，并写出检验．19．阅读理解题：阅读下列材料，关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x-=c-的解是x1=c，x2=-；x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=；……．（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+（m≠0）与它们的关系，•猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：•如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+．20．一根蜡烛在凸透镜下成像（如图1）的实验，已知物距＝24，像距，焦距，要想在屏上成清楚的像，、、必须满足关系式：．请问：（1）此时屏上的像是否清楚？（2）若凸透镜不动，应怎样调整物距或像距才能使所成的像变得清楚？图 1答案与解析：综合探究解答题18．x1=11，x2=-；代入检验即可．19．（1）x1=c，；代入检验．（2）．20．解：（1）当时，．所以屏上的像不清楚．（2）方法1：应将屏向左移动厘米．由，得．方法2：应将蜡烛向右移动厘米．由，得．。