课时18 二次函数的应用
高中数学教案：二次函数的应用
高中数学教案：二次函数的应用二次函数是高中数学中重要的内容之一，它的应用广泛且实用。
在日常生活和各个领域，我们都可以找到二次函数的应用。
本文将以实际例子为基础，分析二次函数在日常生活、物理学和经济学中的应用。
一、二次函数在日常生活中的应用1. 车辆行驶在日常生活中，我们常常需要计算车辆的加速度和速度，这就涉及到二次函数的应用。
例如，假设一辆汽车做匀加速运动，我们可以使用二次函数来描述它的加速度和速度之间的关系。
2. 抛物线的运动轨迹抛物线是二次函数的一种特殊形式，它在日常生活中的应用非常广泛。
例如，当我们玩投篮游戏时，篮球的运动轨迹就可以用抛物线来描述。
同样地，当我们踢足球或者击打网球时，球的运动轨迹也可以用二次函数来表示。
3. 建筑设计在建筑设计中，二次函数被广泛用于描述建筑物的形状和结构。
比如，拱形桥、拱顶建筑和溜冰场的设计中，都需要利用二次函数来确定形状和结构的稳定性。
二、二次函数在物理学中的应用1. 自由落体运动在物理学中，自由落体运动是一个常见的研究对象。
通过研究自由落体物体的运动规律，我们可以用二次函数来描述物体下落的高度和时间之间的关系。
2. 弹性碰撞在物理学中，弹性碰撞是一个重要的概念。
当两个物体发生碰撞时，它们的运动轨迹可以使用二次函数来描述。
通过分析二次函数的性质，我们可以计算碰撞前后物体的速度和能量转化等相关参数。
3. 摆钟的摆动物理学中的摆钟也可以用二次函数来描述其摆动的规律。
通过分析摆钟的角度和时间之间的关系，我们可以得到摆钟的周期、频率和振幅等重要参数。
三、二次函数在经济学中的应用1. 成本与收入分析在经济学中，企业的成本和收入是决定其经营状况的重要因素。
二次函数可以用于描述企业的成本与收入之间的关系。
通过分析二次函数的图像，我们可以确定企业的最低成本和最大收入点，从而实现最优经营策略。
2. 等量曲线分析在经济学中，等量曲线是描述消费者喜好和需求关系的重要工具。
二次函数可以用于描述等量曲线的形状和特征。
二次函数的应用课件
02
二次函数在实际生活中的应用
最大利润问题
总结词
通过求解二次函数的最大值，可以解决实际生活中的最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要通过合理安排生产数量或优化资源配置等方式来获得最大利润。这可以通过建立 二次函数模型，求解最大值来实现，从而为决策者提供最优方案。
抛物线型拱桥的跨度问题
通过对历史股票数据进行分析和处理，可以建立二次函数模型来描述股票价格的走势。通过求解这个 二次函数，可以预测未来一段时间内的股票价格，为投资者提供决策依据。
03
二次函数与其他数学知识的结合
二次函数与一次函数的交点问题
01
02
03
交点坐标
通过解二次函数与一次函 数的联立方程，可以找到 它们的交点坐标。
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。对于任意一个二次 函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果有一个点$(x_1, y_1)$满足该函数，那么对 称轴上的对称点$(x_2, y_2)$也满足该函数。
绘制对称轴
绘制与坐标轴的交点
二次函数的对称轴为$x = -frac{b}{2a}$。
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点为$(0, c)$ ；令$y = 0$，解得与$x$轴的交点为$(frac{b}{a}, 0)$和$(+frac{b}{a}, 0)$。
二次函数的单调性
单调增区间
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a}]$上单调递增 ；当$a < 0$时，函数在区间$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 。
二次函数实际应用
二次函数实际应用二次函数是数学中的一种基本函数形式，具有形如y=ax^2+bx+c的表达式。
在实际应用中，二次函数可以描述许多现象和问题，并被广泛应用于物理、经济、工程等领域。
首先，二次函数在物理学中有着广泛的应用。
例如，自由落体运动可以通过秒关系y=1/2gt^2的二次函数形式进行描述，其中y表示物体的下落距离、g表示重力加速度、t表示时间。
此外，抛体运动、弹道轨迹、摆动等运动现象也可以用二次函数进行建模和分析。
其次，经济学中的成本、收益等问题也可以通过二次函数进行描述。
例如，一个企业的总成本可以表示为二次函数的形式，其中在一些产量水平下，固定成本和变动成本构成了二次函数中的常数项和一次项，而对应产量的平方构成了二次项。
通过分析这个二次函数，可以找到企业产量的最优值，从而使得总成本达到最小。
此外，工程学中的一些场景也可以通过二次函数进行建模。
例如，在桥梁设计中，桥的弯曲形状可以通过二次函数进行描述，从而确定合适的材料和结构；在天线设计中，信号的收发效果也可以通过二次函数进行分析，从而优化天线的设计参数。
除了以上几个领域，二次函数还可以用于图形的绘制和文化艺术中的创作。
二次函数具有形状优美的拱形，因此可以用于音乐中的节奏变化、舞蹈中的身体动作设计等方面。
此外，在美术作品中，二次函数的图像也经常被用来表现风景、人物或者抽象的意境。
除了上述应用领域，二次函数在数学领域本身也有着重要的地位。
二次函数是一种基本的函数形式，可以通过平方完成全域的建模，而一般的函数形式可以通过一次函数和二次函数的组合得到。
此外，二次函数的图像特点例如顶点、对称轴、开口方向等，以及与其他函数形式的关系，也是数学教育中的重要内容。
总之，二次函数在实际应用中有着广泛的用途。
无论是物理、经济、工程等领域，还是数学本身，都需要用到二次函数进行建模、分析和解决问题。
同时，二次函数也在文化艺术中发挥了重要的作用。
因此，了解和掌握二次函数的性质和应用，对于数学教育和实际应用都具有重要意义。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是一种常见的数学函数类型，它在许多实际问题的建模与解决中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，以及其在现实生活中的几个具体应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是指一个变量的平方项与该变量的一次项的和再加上一个常数项所构成的函数。
一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数还具有一个特殊的点，称为顶点，它是抛物线的最高点或最低点。
二、1. 几何应用二次函数在几何中广泛应用，如平面几何中的抛物线问题、曲线的拐点问题等。
例如，在研究体育运动的抛体运动过程中，可以通过二次函数来描述运动物体的轨迹，进而计算出最高点、最远距离等重要参数。
2. 物理应用二次函数在物理学中具有重要的应用。
例如，在自由落体运动中，物体的下落距离与时间的关系可用二次函数来表示。
这种关系可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等重要物理参数。
3. 经济应用经济学中也广泛使用二次函数进行经济模型的建立与分析。
例如，在市场供求关系的研究中，需求函数和供给函数通常采用二次函数形式，通过求解二次函数的交点可以确定市场均衡价格和数量。
4. 工程应用二次函数在工程中有着广泛的应用。
例如，在桥梁设计中，通过研究桥梁的受力情况，可以建立相应的二次函数模型，以确定桥梁的最佳设计参数，确保桥梁的结构安全可靠。
5. 金融应用金融领域中也经常使用二次函数进行金融模型的建立与分析。
例如，在股票市场中，通过研究股票价格的变化规律，可以建立相应的二次函数模型，以预测未来价格的走势，为投资者提供参考。
综上所述，二次函数在几何、物理、经济、工程和金融等领域中都有着广泛的应用。
通过建立并分析二次函数模型，我们可以更好地理解和解决实际问题，为实际应用提供科学的依据和方法。
二次函数应用的研究还有很大的发展空间，可以进一步拓展其在不同领域中的应用范围，为社会进步与发展做出更大的贡献。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考 B
图18－1
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖
课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖
课堂回顾 · 巩固提升
浙派名师中考
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
专题18 二次函数的应用题型(学生版)
专题18二次函数的应用题型知识归纳二次函数的应用题型主要包含求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。
解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。
本专题主要对二次函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.常考题型专练一、填空题1．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A 距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B 处，则小丁此次投掷的成绩是米．2．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为y ＝﹣x 2+bx +c ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为米．3.某商店销售一种销售成本为40元/50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式为.4．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定，那么y 与x 之间的关系式应表示为________．5.如图，以地面为x 轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是米．二、解答题1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？2.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝()()821202030mx m xn x⎧-≤<⎪⎨≤≤⎪⎩，x为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W．（1）m＝，n＝；（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．4．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2=-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．y a x h k(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．7．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）（1）试求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？。
二次函数的应用经济问题
第六章 二次函数第18课时 二次函数的应用(1)——经济问题班级 姓名 学号学习目标：1、经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识．2、能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值和最小值． 问题探索：问题一：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x (100≤x ≤150)亩．预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为(440－2x )元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？问题二： 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话.小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克. 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系. (1)求y (千克)与x (元)(x ＞0)的函数关系式；(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】练习：某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t (件)与每件的销售价x (元/件)之间的函数关系为3204t x =-+．(1)写出商场每天销售这种服装的毛利润y (元)与每件的销售价x (元)之间的函数关系(每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)；(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少？问题三：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档次)的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元． (1)当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件．若生产第x 档的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？练习：某商店经营T 恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件．当销售单价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？问题四：我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x (元)，年销售量为y (万件)，年获利为w (万元).(年获利＝年销售额—生产成本—投资成本)(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求第一年的年获利w 与x 间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？(3)若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？课后作业：1、已知某人卖盒饭的盒数x (个)与所获利润y (元)满足关系式21200357600y x x =-+-，则当卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润___________元．2、科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润y (元)与销售台数x (台)满足24015600y x x =-++，则当卖_________台时，所获利润最大．3、某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额y (元)与旅行团的人员x (人)满足关系式28028400y x x =-++，要使所获营业额最大，则此时旅行团有( )A ．30人B ．40人C ．50人D ．55人4、书店销售儿童书刊，一天可销售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施，若每套书降价2元，则平均每天多销售4套． (1)降价多少元时，书店可获最大利润？ (2)若每天盈利1200元，则降价多少元？(3)要使利润多于1200元，降价应在什么范围？(利用图象直接回答)5、某商场购进一批单价为16元的日用品.若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖出210件.假定每月销售件数y (件)是价格x (元/件)的一次函数.(1)试求y 与x 之间的函数关系式；(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w 最大？每月的最大毛利润是多少？6、某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个但不超过1000个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，(1)设销售商一次订购量为x 个，旅行包的实际出厂单价为y 元，写出当一次订购量超过100个但不超过1000个时y 与x 之间的函数关系式 ；(2)销售商一次订购多少个旅行包时，该厂可获得最大利润?最大利润是多少?7、心理学研究发现，某年龄段的学生，30min 内对概念的接受能力y 与提出概念所用时间x 之间满足函数关系：20.1 2.643y x x =-++(0≤x ≤30)．试判断何时学生接受概念的能力最强？什么时段学生接受概念的能力逐步降低？8、某旅社有客房120间，每间客户的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经过市场调查得知，若每间客房的日租金每增加5元，则客房每天的出租量会减少6间．若不考虑其他因素，旅社把每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？9、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计．．为y (万元)，且2y ax bx =+；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g (万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？。
二次函数的应用(经典)
零点问题
求解零点
二次函数的零点是函数与x轴相交的点，可以通过 因式分解、配方法或求根公式来求解。
实根和虚根
二次函数的零点可以是实数或虚数，取决于判别式 的正负性。
二次函数与几何问题
1
抛物线的几何意义
抛物线在几何中有很多重要的应用，如拱桥的设计、物体的抛射运动等。
2
最短路径问题
二次函数可以帮助我们解决最短路径问题，比如寻找一个连接两点的抛物线路径。
3
面积问题
通过二次函数的面积计算公式，我们可以计算抛物线下某一区间的面积。
二次函数的其他应用
金融领域
分析二次函数在金融领域中的应用，如利率计 算、风险管理等。
物理领域
了解二次函数在物理学中的应用，如自由落体 运动、弹性力学等。
工程领域
研究二次函数在工程中的应用，如建筑物设计、 弯曲杆件的分析等。Fra bibliotek计算机科学
探索二次函数在计算机科学中的应用，如图像 处理、模拟仿真等。
总结与展望
二次函数的应用非常广泛，它在数学和其他学科中扮演着重要的角色。希望您通过本次演讲对二次函数的应用 有更深入的了解。
顶点
抛物线的顶点是二次函数的最值 点，它在图像上的位置和函数的 系数有密切的关系。
对称轴
抛物线的对称轴是垂直于x轴并 通过顶点的直线，它在图像上分 割了抛物线成对称的两部分。
最值问题
1 最大值问题
二次函数的最大值是定义域内的最大值，可以通过顶点的y坐标得到。
2 最小值问题
二次函数的最小值是定义域内的最小值，也可以通过顶点的y坐标得到。
二次函数的应用(经典)
欢迎来到本次介绍二次函数的应用的专题演讲。我们将探讨二次函数的不同 应用领域，带您领略二次函数的魅力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时19 二次函数的应用
【课前热身】
1. 二次函数y＝2x2－4x＋5的对称轴方程是x＝___；当x＝时，y有最小值是 .
2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，
现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此
抛物线的解析式为．
3. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到
了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）
A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2
4. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是（）
A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【考点链接】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式：；（2）顶点式：；
（3）交点式： .
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴，⑵，⑶，（4） .
3．二次函数c
bx
ax
y+
+
=2通过配方可得
2
2
4
()
24
b a
c b
y a x
a a
-
=++，其抛物线关于直线x=对称，顶点坐标
为（，）.
⑴当0
a>时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当
x=时，y有最（“大”或“小”）值是；
⑵ 当0
a<时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点, 当
x=时，y有最（“大”或“小”）值是．
【典例精析】
例1 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图2所示.
⑴观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
⑵当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
【中考演练】
1.（06浙江）二次函数y ＝x 2＋10x －5的最小值为 ．
2.飞机着陆生滑行的路程s 米与时间t 秒的关系式为：25.160t t s -=，试问飞机着陆后滑行 米才能停止.
3. 矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间函数关系为 ．
4. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满足2
21gt s =
（g 是不为0的常数）则s 与t 的函数图象大致是( )
5.（08恩施）将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长
方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
6. 下列函数关系中，是二次函数的是( )
A.在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系
B.当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系
C.等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系
D.圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系
7. 根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20
ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（
Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x <<
8．如图，用长为18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴ 设矩形的一边为()m x 面积为y (m 2)，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
⑵ 当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
9. 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线
2121
2++-=x x y 的一部分，根据关系式回答： ⑴ 该同学的出手最大高度是多少？
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
⑶ 该同学的成绩是多少？。