二次函数课堂同步练习题

1、二次函数

1． 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t

时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米）

2

8

18

32

…

写出用t 表示s 的函数关系式。

2． 若()

m

m

x m m y -+=2

2是二次函数，求m 的值。

3． 用100cm 长的铁丝围成一个扇形，试写出扇形面积S （cm 2）与半径R （cm ）的函数关系式。

4． 已知二次函数),0(2

≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式。

5． 等边三角形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式。

6． 富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的

平面图是一排大小相等的长方形。

（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？

（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB

的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？

2、函数2ax y =的图象与性质

1． 在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221x y =

；（2）2

2

1x y -=。

根据图象填空：（1）抛物线2

2

1x y =

的对称轴是 （或 ）

，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线2

2

1x y -

=的对称轴是 （或 ）

，顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2． 已知函数()4

2

2-++=m m

x m y 是关于x 的二次函数，求：

（1） 满足条件的m 的值；

（2） m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？

3． 对于函数2

2x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增

大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。 4． 二次函数1

2

-=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。

5． 二次函数2

2

3x y -

=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。 6． 函数2

ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3、函数c ax y +=2的图象与性质

1．抛物线322

--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2．将抛物线2

3

1x y =

向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。 3．二次函数c ax y +=2

()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 。

4．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2

，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点。其中判断正确的是 。 5．将抛物线122

-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 。 6．已知函数：221x y -

=， 3212+-=x y 和12

1

2--=x y 。 （1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（3）说出函数6212

+-=x y 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （4）试说明函数3212+-=x y 、1212--=x y 、6212+-=x y 的图象分别有抛物线2

2

1x y -=作

怎样的平移才能得到

（2）（3）解答： 抛物线

开口方向 对称轴 顶点坐标 22

1x y -

=

32

12

+-

=x y 12

12

--

=x y

62

12

+-

=x y

（4）答：

4、函数()2

h x a y -=的图象与性质

1．填表：

抛物线 开口方向 对称轴

顶点坐标 ()2

23--=x y

()232

1

+=

x y

2．已知函数2

2x y =，2

)4(2-=x y 和2

)1(2+=x y 。 （1）在同一坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（3）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线22x y =得到抛物线2)4(2-=x y 和2

)1(2+=x y ？

答:

3．试写出抛物线2

3x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 （1）右移2个单位；（2）左移3

2

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数()232

1

-=x y 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

5．二次函数()2

h x a y -=的图象如图：已知2

1

=

a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。

5、()k h x a y +-=2

的图象与性质

1． 分别在同一坐标系内画出函数()122

1

2-+=

x y 和()212

1

2+-=

x y 的图象，

并根据图象写出对称轴、顶点坐标、最值和增减性。 答：

2． 已知函数()9232

+--=x y 。

（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 。

（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。 （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；

（6） 该函数图象可由2

3x y -=的图象经过怎样的平移得到的？

3． 已知函数()412

-+=x y 。

（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；

（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。

（6）

画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。

6、c bx ax y ++=2的图象和性质

1．抛物线942

++=x x y 的对称轴是 。

2．抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）44

1

2-+-=x x y

5．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是

532+-=x x y ，试求b 、c 的值。

6．把抛物线1422

++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

7、c bx ax y ++=2的性质

1．已知a ＜0，b ＞0，那么抛物线22

++=bx ax y 的顶点在第 象限？理由是： 答:

2．请你写出函数()2

1+=x y 和12

+=x y 具有的共同性质（至少2个）

答：

3．已知二次函数772

--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 。 解：

4．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限。 理由：

5． 二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，试判断a 、b 、c 和?的符号。 解：

6． 二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，下列结论（1）c ＜0；（2）b ＞0；（3）4a+2b+c ＞0；（4）（a+c ）2

＜0，其中正确的是：（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 理由：

7． 二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c

这四个代数式中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 理由：

8． 已知直线b ax y +=的图象经过第一、二、三象限，那么12

++=bx ax y 的图象为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8、c bx ax y ++=2的最值

1． 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 和提出概念所用的时间x （单位：分）之间大体满足函

数关系式：436.21.02

++-=x x y （0≤x ≤30）。y 的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：

（1） 若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少？ （2） 概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？

2． 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安

置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）

与水平距离x （米）之间的关系是4

5

22

+

+-=x x y 。请回答下列问题：

（1） 柱子OA 的高度是多少米？

（2） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3） 若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

3． 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线212

12

++-=x x y 的一部分，根据关系式回答：

（1） 该同学的出手最大高度是多少？

（2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （3） 该同学的成绩是多少？

4． 如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正

方形EFGH 的面积为y 。

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。

9、函数解析式的求法（1）

1．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：

（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；

（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范

围有几米？（精确到0.01米）

2．根据下列条件求抛物线的解析式：

（1）图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；

（2）图象的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3；

（3）图象过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且图象与x轴的两个交点之间的距离为4。

3．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？

4．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。

（1）求二次函数的图象的解析式；

（2）设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。

5．如图：

（1）求该抛物线的解析式；

（2）根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。

6．已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2） 如果点D （1，m ）在这条抛物线上，求m 值和点D 关于这条抛物线对称轴的对称点E 的坐标，

并求出tan ∠ADE 的值。

10、函数解析式的求法（2）

1． 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发

价y （元）是上市时间

x （天） 5 15 25 y （元）

15

10

15

（1） 求y 与x 的函数关系式；

（2） 大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？

2． 如图，某建筑物从10m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点

M 离墙1m ，离地面3

40

m ，求水流落点B 离墙的距离OB 的长。

3． 一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为

3

5

米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。

4． 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一个

壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，试求厂门的高度。

5． 抛物线经过A 、B 、C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1） 求该抛物线的解析式； （2） 求四边形ABDE 的面积； （3） 求证：△AOB ∽△BDE 。

6． 在平面直角坐标系中，O 为原点，A 点坐标为（-8，0），B 点坐标为（2，

0），以AB 为直径的⊙P 与y 轴的负半轴交于点C 。

（1）求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）设M点为（1）中抛物线的顶点，求直线MC的解析式；（3）判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由。