二次函数的图像和性质同步练习
人教版九年级数学上册二次函数的图象和性质复习同步练习题
22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ．2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x mm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）错误!未找到引用源。
11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2 C ．21D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．13已知错误!未找到引用源。
是二次函数，且当错误!未找到引用源。
苏科版九年级下册：5.2《二次函数的图像和性质》同步练习 含答案
5.2《二次函数的图像和性质》同步练习一．选择题1．二次函数y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5B．最小值﹣5C．最大值﹣6D．最小值﹣62．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞24．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+35．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点8．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y39．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．410．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣）2﹣B．y＝﹣（x+）2﹣C．y＝﹣（x﹣）2﹣D．y＝﹣（x+）2+11．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣5B．y＝（x+2）2+5C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2+5 13．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．414．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．15．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或317．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3二．填空题18．抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a＝．19．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．20．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．21．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．22．矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．23．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．24．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc ＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三．解答题26．画出函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象．27．如图，抛物线y＝﹣x2+x+c经过点（﹣2，2），求c的值及函数的最大值．28．已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．29．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．（1）求a，b的值．（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．31．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？32．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．参考答案一．选择题1．解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．2．解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选：D．3．解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．4．解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．5．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选：D．6．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．7．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a＝﹣＜0∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+2x+c，∴对称轴为x＝1，开口向下，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1＝y2＞y3，故选：D．9．解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．10．解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0﹣）2+﹣3＝﹣（x0﹣）2﹣．故选：A．11．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x ﹣1）2+1的图象．故选：C．12．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故选：A．13．解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．14．解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．解法二：①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；故选：B．15．解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y＝x上，∴x＝ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c＝0；由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个正实数根．∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣＝﹣+＞0∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x＝﹣＞0，∴A符合条件，故选：A．16．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，∴b＝a﹣3，∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，∵顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．故选：B．二．填空题18．解：把点（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+2得：4a﹣2b+2＝3，2b﹣4a＝﹣1，3b﹣6a＝﹣，故答案为：﹣．19．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．20．解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，∵5﹣4＜3＜15，所以y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．21．解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故答案是：y＝（x﹣4）2．22．解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．23．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．24．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为；a1＞a2＞a3＞a425．解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x＝﹣时，y＝0，即，整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；∵b＝2a，a+b+c＜0，∴，即3b+2c＜0，故④错误；假设结论正确可得：a﹣b+c≥m2a﹣mb+c∴am2﹣mb+b﹣a≤0，∵△＝（b）2﹣4ab；b＝2a∴△＝4a2﹣4a（b﹣a）＝0，∴关于y＝am2﹣mb+b的图象与x轴有一个交点，又∵a＜0，∴y＝am2﹣mb+b﹣a有最大值ymax＝0，所以⑤正确；故答案为：①③⑤．三．解答题26．解：列表得：x…01234…y…30﹣103…如图：27．解：把点（﹣2，2）代入y＝﹣x2+x+c中得：﹣﹣+c＝2解得c＝，所以这个二次函数的关系式为y＝﹣x2+x+．（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，当x＝1时，函数有最大值5．28．解：（1）y＝﹣2x2﹣4x+1，＝﹣2（x2+2x+1）+2+1，＝﹣2（x+1）2+3，所以，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）；（2）∵新顶点P（2，0），∴y＝﹣2（x﹣2）2，∵2﹣（﹣1）＝2+1＝3，0﹣3＝﹣3，∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．29．解（1）由题意可知：，解得．（2）将（12，m），（n，17）代入y＝x2+4，得：m＝144+4，17＝n2+4，解得m＝148，n＝±．30．解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，∴函数与PQ无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；31．解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．32．解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2＝（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m＝﹣1，∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣1；（2）当x＝﹣2时，y p＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y p取得最小值，最小值是﹣2，此时抛物线F的表达式是：y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．。
人教版九年级数学上册二次函数图象和性质 同步练习(含答案)
人教版九年级数学上册22.1.3二次函数y=a(x-h)² +k 的图象和性质基础闯关全练1．（2019安徽合肥包河月考）在同一坐标系中，作y= 3x ²+2,y= -3x ²-1,y=的图象，则它们( )A ．都是关于y 轴对称B ．顶点都在原点C ．都是开口向上D ．以上都不对2．（2018河南许昌长葛月考）抛物线y=-2x ²-5的开口方向_______．对称轴是______，顶点坐标是_______．3．二次函数y= -2（x-1）²的图象大致是( )A.B.C.D.4．（2018广东汕尾陆丰期中）将抛物线y=-x ²向右平移一个单位，所得抛物线相应的函数解析式为_____．5．（2018江苏盐城阜宁期中）对于二次函数y=（x-1）²+2的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下2x31B．对称轴是x= -1C．顶点坐标是（-1，2）D．与x轴没有交点6．（2018贵州毕节中考）将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( )A.y=(x+2)²-5B.y=(x+2)²+5C.y=(x-2)²-5D.y=(x-2)²+57．设二次函数y=（x-3）²-4图象的对称轴为直线I，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A.(1,0)B.(3,0)C.(-3,0)D.(0,-4)8．（2019湖北黄石期中）函数y=2（x+1）²+1，当x_________时，y随x的增大而减小．能力提升全练1．若抛物线y=（x-m）²+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A.m>1B.m>0C.m>-1D.-1<m<02．如图22 -1-3 -1，点A是抛物线y=a（x-3）²+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线于另一点B，点C为该抛物线的顶点，若△ABC为等边三角形，则a值为( )图22 -1-3 -1A ．B ．C ．D ．13．（2018贵州贵阳模拟）如图22-1-3-2，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达式中的h ，k ，m ，n 都是常数，则下列关系不正确的是( )图22-1-3-2A. h<0，k>0B ．m<0，n>0B. h =mD ．k=n4．二次函数y=m （x-2m ）²+m ²，当x>m+1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_________.三年模拟全练212333一、选择题1．（2019湖北武汉江汉期中，3．★☆☆）关于函数y=-（x+2）²-1的图象叙述正确的是( ) A．开口向上B．顶点坐标为（2，-1）C．与y轴交点为（0，-1）D．图象都在x轴下方2．（2018甘肃平凉庄浪期中，3，★☆☆）将抛物线y=x²平移得到抛物线y=x²+5，下列叙述正确的是( )A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位3．若二次函数y=a(x+h)²+惫的图象的对称轴是x= -2，那么h=____；若顶点坐标是（-2，-4），则k=____．五年中考全练一、选择题1．（2018四川广安中考，7，★☆☆）抛物线y=（x-2）²-1可以由抛物线y=x²平移而得到，下列平移正确的是( )A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度2．对于二次函数y=-(x-1) ²+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x=1．最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x= -1．最小值是2D．对称轴是直线x=-1，最大值是2二、填空题3．（2018黑龙江哈尔滨中考．16．★女女）抛物线y=2（x+2）²+4的顶点坐标为_______．4．已知函数y=-（x-1）²图象上两点A(2．y₁)，B(a，y₂)，其中a>2，则y₁与y₂的大小关系是y₁____y₂（填“<”“>”或“=”）.核心素养全练1．两条抛物线与分别经过点（-2，0），(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的部分的面积为8，则b等于( )A．1B.-3C.4D.-1或32．如图22-1-3 -3，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=（x-1）²+2上运动，过点A作AB⊥x轴于点B．以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为_________．图22-1-3-3答案基础闯关全练1．A解析：观察三个二次函数解析式可知，对称轴都是y轴，故A正确：三个函数图象的顶点坐标分别为(0，2)，（0，-1），(0，0)，它们开口方向分别为向上，向下，向上，故B，C，D都错误．故选A．2．答案向下；y轴；（0，-5）解析∵y= -2x²-5，∴a=-2<0，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-5）．3.B解析：二次函数y= -2（x-1）²的图象开口向下，对称轴是x=1，顶点坐标为(1，0)，故选B．4．答案y=-（x-1）²解析抛物线y=-x²的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向右平移一个单位得到对应点的坐标为(1，0)，所以平移后，所得抛物线相应的函数解析式为y=-(x-1)²．5. D解析：∵y=（x-1）²+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1，2)，故A、B、C均不正确．∵抛物线开口向上，顶点(1，2)在第一象限，∴抛物线与x轴没有交点，故D 正确．6. A解析：抛物线y=x²的顶点坐标为(0，0)，先向左平移2个单位，再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（-2，-5），所以平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)²-5.故选A．7. B解析：因为二次函数y=（x-3）²-4图象的对称轴是直线x=3，所以点M的横坐标是3．故选B．8．答案≤-1解析∵函数图象的对称轴为x=-1，且开口向上．∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即x≤-1时．y随x的增大而减小．能力推升全练1. B解析：由题意，得顶点坐标为(m，m+1)，由顶点在第一象限得解得m>0，故选B．2. C解析：过C作CD⊥AB于D，∵抛物线y=a（x-3）²+k的对称轴为x=3，△ABC为等边三角形，A 为抛物线与y 轴的交点，且AB ∥x 轴，∴AD =3，CD=，C(3，k)，∵当x=0时，y=9a+k ，∴A(0，9a+k)，∴9a+k-k=，∴．故选C ．3. D解析：根据二次函数解析式确定两抛物线的顶点坐标分别为(h ，k)，(m ，n)，对称轴都是直线x=m 或x=h ，即m=h ，由题图知h<0．k>0，m<0，n>0，因为点(h ，k)在点(m ，n)的下方，所以k=n 不正确，故选D ．4．答案0<m ≤1解析抛物线的对称轴为直线x=2m ，①m>0时,∵当x>m+1时，y 随x 的增大而增大，∴2m ≤m+1，解得m ≤1，即0<m ≤1；②m<0时，不合题意，故填0<m ≤1．三年模拟全练一、选择题1.D解析：由二次函数y=-(x+2)²-1可知a=-1<0，所以其图象开口向下，顶点坐标为（-2，-1），所以二次函数图象都在x 轴下方，令x=0，则y= -5，所以函数图象与y 轴的交点为（0，-5）． 故选D ．2．A解析：将抛物线y=x ²向上平移5个单位得到抛物线y=x ²+5，故选A ．二、填空题3．答案2：-4解析 ∵二次函数y=a(x+h)²+k 的图象的对称轴是x= -2，∴h=2．∵顶点坐标是（-2，-4），∴k= -4．五年中考全练333333a一、选择题1.D解析：抛物线y=x ²的顶点坐标为(0，0)，抛物线y=（x-2）²-1的顶点坐标为（2，-1），则抛物线y =x ²向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度即可得到抛物线y=(x-2)² -1.故选D ．2. B解析：抛物线y=-（x-1）²+2的开口向下，顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x=1．∴当x=1时，y 有最大值2，故选B ．二、填空题3．答案（-2，4）解析 ∵y=2(x+2)²+4，∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4）．4．答案>解析 因为二次项系数为-1，小于0．所以在对称轴x=1的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴x=1的右侧，y 随x 的增大而减小，因为a>2>1，所以y ₁>y ₂．故填“>”．核心素养全练1. A解析： ∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同．∴∴2bxl2-(-2)l=86=8．∴b=1．故选A ．2．答案 1解析 ∵CD 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，∴CD= AB ．∵y=(x-1)²+2的顶点坐标为(1，2)，∴点A 到x 轴的最小距离为2，即垂线段AB 的最小值为2，∴中线CD 的最小值为1． 21。
华东师大版九年级下册数学 26.2二次函数的图像与性质 同步练习(含解析)
26.2二次函数的图像与性质同步练习一．选择题1．抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）、（1，0）2．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣3B．x＝﹣1C．x＝﹣2D．x＝43．A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，则y1，y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y2＞y1D．无法判断4．下列对二次函数y＝2（x﹣1）2的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．在对称轴左侧y随x的增大而增大D．顶点（1，0）5．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，且此图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，则结论正确的是（）A．y的最大值小于0B．当x＝3时，y的值小于0C．当x＝1时，y的值大于1D．当x＝0时，y的值大于16．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）B．图象的对称轴在y轴的左侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．函数的最小值为﹣37．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下：x…﹣2﹣1012…y…﹣2.5﹣5﹣2.5517.5…则代数式16a﹣4b+c的值为（）A．17.5B．5C．﹣5D．﹣17.58．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac﹣b2的化简结果是（）A．a B．﹣a C．0D．19．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0，④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤二．填空题11．二次函数y＝﹣x2+20x图象的对称轴是．12．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x交于O，A两点，将抛物线沿射线OA方向平移个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线x＝3交于点D，则点D经过的路程为．13．已知关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x＜时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为．14．当1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣h）2+3有最小值4，则h的取值为．15．如图，点A1、A2、A3、…、A n在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、B n在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n﹣1B n都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝．三．解答题16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点．（1）求抛物线解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）根据以上信息，可知抛物线开口向；对称轴为；（2）直接写出抛物线的表达式．（3）请在图中画出所求的抛物线．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．（1）求抛物线的对称轴；（2）①过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．求点M，N的坐标；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，求m的取值范围．参考答案一．选择题1．解：令x＝0，则y＝﹣2，∴抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．故选：B．2．解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y＝2（x ﹣1+3）2﹣3，即y＝2（x+2）2﹣3，其对称轴是直线x＝﹣2．故选：C．3．解：∵A（﹣2，y1）B（1，y2）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的两点，∴y1＝﹣4+4+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，∴y1＞y2，故选：A．4．解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2，∴该函数图象开口向上，故选项A错误；对称轴是直线x＝1，故选项B错误；在对称轴左侧y随x的增大而减小，故选项C错误；顶点坐标为（1，0），故选项D正确；故选：D．5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（﹣1，1）、B（2，﹣1）两点，∴y的最大值大于1，故选项A错误；当x＝3时，y的值小于0，故选项B正确；当x＝1时，y的值小于1，故选项C错误；当x＝0时，y的值小于1，故选项D错误；故选：B．6．解：∵二次函数y＝2x2+4x﹣1，∴当x＝0时，y＝﹣1，即图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1），故选项A正确；该函数的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即图象的对称轴在y轴的左侧，故选项B正确；当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故选项C不正确；该函数的最小值为＝﹣3，故选项D正确；故选：C．7．解：∵x＝0和x＝﹣2时y的值相同都是﹣2.5，∴点（﹣2，﹣2.5）和点（0，﹣2.5）关于二次函数的对称轴对称，∴对称轴为：x＝＝﹣1∴点（﹣4，17.5）和点（2，17.5）关于二次函数的对称轴对称，∴x＝﹣4时对应的函数值y＝17.5，∴16a﹣4b+c＝17.5故选：A．8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向向下，即a＜0；又∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，∴＝0，∴4ac﹣b2＝0，∴|a|+4ac﹣b2＝﹣a+0＝﹣a．故选：B．9．解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n）两点，∴抛物线的对称轴为x＝＝1，若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故选项B错误，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．故选：D．10．解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故②正确；③∵抛物线经过点（2，0），∴当x＝2时，y＝0，即4a+2b+c＝0．故③错误；④∵（﹣，y1）关于对称轴x＝的对称点的坐标是（，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜，∴y1＜y2．故④正确；⑤∵抛物线的对称轴x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．∵a＝﹣b，∴b＞m（am+b）（其中m≠），故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②④⑤．故选：A．二．填空题11．解：∵y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝10．故答案为直线x＝10．12．解：由题意，抛物线沿着射线AB平移个单位时，向右平移4个单位，向上平移4个单位，设平移后的顶点为（a，a），则平移后的解析式为y＝（x﹣a）2+a，当x＝3时，y＝a2﹣5a+a2，∴a＝时，y有最小值，最小值＝，∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），此时D的坐标为（3，9），∴平移后抛物线的顶点坐标为（4，4），平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2+4，此时D′（3，5），∵点D经过的路径为D→M→D′，M（3，），∴路径长为：（9﹣）+（5﹣）＝，故答案为．13．解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，且对称轴≥，解得m≤5，故答案为：0＜m≤5．14．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤2，x＝1时，y取得最小值4，可得：（1﹣h）2+3＝4，解得：h＝0或h＝2（舍）；②若1≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值4，可得：（2﹣h）2+3＝4，解得：h＝3或h＝1（舍）；③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为3，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为0或3，故答案为：0或3．15．解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得：∴a＝a2，解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，由勾股定理得：A1B0＝，∴B1B0＝2，过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，（x2+2）＝x22，解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），∴A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，…∴A2020B2019＝2020，∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020．故答案为2020．三．解答题16．解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵当x＝0时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝x2﹣2x﹣3＝9﹣6﹣3＝0，∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤x＜0．17．解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；故答案为：上，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故答案为y＝x2﹣2x﹣3；（3）描点、连线画出抛物线图象如图：．18．解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx﹣3m+2．∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）①把y＝2代入y＝mx2+2mx﹣3m+2得mx2+2mx﹣3m+2＝2，解得x＝1或﹣3，∴M（﹣3，2）；N（1，2）；②当抛物线开口向上时，如图1，抛物线和线段MN围成的封闭区域内（不包括边界）恰有3个整点，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，1），（﹣1，1），（0，1），将（﹣2，1）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，将（﹣1，0）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝，结合图象可得＜m≤．当抛物线开口向下时，如图2，则封闭区域内（不包括边界）的3个点为（﹣2，3），（﹣1，3），（0，3），将（0，3）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，将（﹣1，4）代入y＝mx2+2mx﹣3m+2，得到m＝﹣，结合图象可得﹣≤m＜﹣．综上，m的取值范围为．。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
人教版九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习 含答案
2020年人教版九年级上册同步练习22.1 二次函数的图象和性质一．选择题（共10小题）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y＝x﹣B．y＝（x﹣3）2﹣x2C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣12．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠13．下列抛物线的图象，开口最大的是（）A．y＝x2B．y＝4x2C．y＝﹣2x2D．无法确定4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）5．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（）A．直线x＝4B．直线x＝﹣4C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 6．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣17．下列对二次函数y＝x2﹣2x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．对称轴右侧部分下降8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 10．二次函数y＝﹣x2+ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当x＞2.5时，y随x的增大而减小C．当x＝﹣1时，b＞5D．当b＝8时，函数最大值为10二．填空题（共8小题）11．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝．12．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．13．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．14．当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝．15．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为．16．将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为．17．已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x 值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）三．解答题（共6小题）19．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx+m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A 向左平移b个单位，再向上平移3﹣b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点（0，2），且b＞0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b的取值范围．21．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于x轴上的点A，y轴上的点B．顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向左平移m个单位，当抛物线与△PBA有且只有一个公共点时，求m 的值．24．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；B．y＝（x﹣3）2﹣x2整理后得到y＝﹣6x+9，是一次函数，故B错误C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；D．y＝2（x+1）2﹣1是二次函数的顶点式解析式，故D正确．故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，又∵||＜|﹣2|＜|4|，∴抛物线y＝x2的图象开口最大，故选：A．4．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），故选：C．5．解：因为a＝1，b＝4，c＝7，所以对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故选：D．6．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．故选：C．7．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，A．由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项错误；B．此抛物线的对称轴为直线x＝1，此选项错误；C．当x＝0时，y＝0，此抛物线经过原点，此选项正确；D．由a＞0且对称轴为直线x＝1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故选项A正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故选项C错误；该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误；故选：A．10．解：∵二次函数y＝﹣x2+ax+b∴对称轴为直线x＝﹣＝2∴a＝4，故结论A正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向下，∴当x＞2.5时，y随x的增大而减小，故结论B正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＞0即﹣1﹣4+b＞0∴b＞5，故结论C正确；当b＝8时，y＝﹣x2+4x+8＝﹣（x﹣2）2+12∴函数有最大值12，故结论D不正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．13．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．14．解：∵y＝﹣x2+4x﹣6，＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣6，＝﹣（x﹣2）2﹣2，∴当x＝2时，二次函数取得最大值．故答案为：2．15．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），∴5﹣m2＝4，解得m＝±1．故答案为±1．16．解：将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y＝2（x+3﹣1）2+4﹣5，即y＝2（x+2）2﹣1，故答案为y＝2（x+2）2﹣1．17．解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b ＝0，因此①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③⑤，故答案为：①③⑤．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵抛物线经过原点，∴m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2；（2）∵y═x2﹣mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴该抛物线的顶点坐标为（m，m），∴抛物线的顶点直线直线y＝x上；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2，令x+2＝x2﹣mx+m2+m，整理得x2﹣（m+）x+m2+m﹣2＝0，△＝（m+）2﹣4×（m2+m﹣2）＝0，解得m＝，∵此时对称轴为x＝﹣＝＞0，故舍去；把A（﹣4，0）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+5m+8＝0，解得m＝﹣2或﹣8；把B（0，2）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+m+﹣2＝0，解得m＝﹣1，由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，﹣8≤m≤﹣1﹣或﹣2≤m≤﹣1+．20．解：（1）由题意得抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴为，∴点A坐标为（b，0），∴点B坐标为（0，3﹣b2）（2）把（0，2）代入y＝﹣x2+2bx+b2+1中，解得b＝±1．∵b＞0，∴b＝1．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+2；（3）当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∴b2+1＝3﹣b2∴b＝±1，如图：当b＞1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当﹣1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝﹣1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜﹣1时，抛物线与线段AB无交点．∴若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则﹣1≤b≤1．21．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，22．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a＝或a＝﹣1，∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．23．解：（1）∵直线y＝﹣x+3交于x轴上的点A，y轴上的点B，∴A（3，0），B（0，3），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴P（1，4），将抛物线向左平移m个单位，P对应点为（1﹣m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+4，把B（0，3）代入得，3═﹣（﹣1+m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），故m的值为2．24．解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；（2）设直线OA解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝﹣＝时，PC取得最大值，最大值为＝．。
九年级数学二次函数的图象和性质同步练习
6.2二次函数的图象和性质根底训练一1．在下表空格内填入相关的内容2．写出以下函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标： 〔1〕抛物线223y x =-的对称轴是;开口方向是;顶点坐标是. 〔2〕抛物线26y x =的对称轴是;开口方向是;顶点坐标是； 3．假设抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，那么______=m4．抛物线24x y =，当0x < 时，y 随x 的增大而；当0x >时，y 随x 的增大而。
5． 关于23x y =和23x y -=的图象的说法：①它们都是抛物线；②它们都是轴对称图形；③它们的顶点相同，对称轴也相同；④两个函数的图象关于x 轴对称；这些说法中，正确的有〔 〕 Ａ．４种 Ｂ．３种 Ｃ．２种 Ｄ．１种〔２〕二次函数2ax y =的开口的大小与a 有怎样的关系请写出你的结论． 拓广探索如图1是某段河床横断面的示意图.查阅该x /m 5 10 20 30 40 50y /m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5（1） 请你以上表中的各对数据〔x ，y 〕作为点的坐标，二次函数2ax y =〔a 是常数且0≠a 〕图象 对称轴 开口方向 开口大小顶点坐标 y 随x 的变化情况 抛 物 线0>a 0<a0>a0<axxy图1在图2所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象；②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的 二次函数的表达式：.〔3〕当水面宽度为36米时，一艘吃水深度 〔船底部到水面的距离〕为1.8米的货船能否在 这个河段平安通过为什么 根底训练二1．在下表空格内填入相关的内容 2.完成以下填空：〔1〕抛物线532+-=x y 的对称轴是;开口方向是;顶点坐标是.这条抛物线可以看作是由抛物线23x y -=向平移个单位长度得到的。
〔2〕抛物线42-=x y 的对称轴是;开口方向是;顶点坐标是； 这条抛物线可以看作是由抛物线2x y =向平移个单位长度得到的。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=1x2B．y=2x+1C．y=12x2+2x3D．y=−4x2+52．二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．-2 D．33．在同一平面直角坐标系中作出y=2x2，y=−2x2，y=12x2的图象，它们的共同点是（）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．当x>0时，y随x的增大而减小4．抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（）A．（－2，0）B．（0，1）C．（0，－1）D．（－2，0）5．已知A(0，y1)，B(3，y2)为抛物线y=(x−2)2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1=y2C．y1<y2D．无法确定6．已知抛物线y=−(x−b)2+2b+c（b，c为常数）经过不同的两点(−2−b，m)，(−1+c，m)那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的（）A．(−2，−7)B．(−1，−3)C．(1，8)D．(2，13)7．关于x的二次函数y=ax2+bx+c图象经过点(1，0)和(0，−2)，且对称轴在y轴的左侧，若t= a−b，则t的取值范围是（）A．−2<t<2B．−2<t<0C．−4<t<0D．−4<t<2 8．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过(0，0)，(4，0)两点．则下列四个结论正确的有（）①4a+b=0；②5a+3b+2c>0；③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3有交点，则a的取值范围是a≥34；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c−t=0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．当函数y=(a−1)x a2+1+2x+3是二次函数时，a的值为．10．抛物线y=−12x2+1在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．11．将二次函数y=2x2−8x+13化成y=a(x+ℎ)2+k的形式为. 12．对于二次函数y=−2(x+3)2−1，当x的取值范围是时，y随x的增大而减小．13．点P(m，n)在抛物线y=x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是.三、解答题14．已知抛物线的顶点是(−3，2)，且经过点(1，−14)，求该抛物线的函数表达式．15．指出函数y=−12(x+1)2−1的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−116．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC 的面积．17．如图，已知抛物线y=ax2＋bx−3过点A(−1，0)，B(3，0)点M、N为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E.过点N作NF⊥x轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx−3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；18．在直角坐标系中，设函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）（1）求函数图象的对称轴.（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.（3）已知当x=0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q<p+r，求证：m<0.参考答案1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．A8．C9．-110．下降11．y=2(x−2)2+512．x＞-313．74≤n<414．解：∵抛物线的顶点是(−3，2)∴可设抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+2∵抛物线经过点(1，−14)∴−14=a(1+3)2+2，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−(x+3)2+2．15．解：由y=−12(x+1)2−1得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；∵抛物线y=−12x2的顶点坐标是（0，0）∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1）∴抛物线y=−12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−1．16．解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2 解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x 1=−√2，x 2=√2∴BC =2√2∴S △ABC =12×2√2×2=2√2．17．（1）解：把A(−1，0)，B(3，0)代入y =ax 2+bx −3得：{a −b −3=09a +3b −3=0解得{a =1b =2故该抛物线解析式为：y =x 2−2x −3（2）解：由(1)知，抛物线解析式为：y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∴该抛物线的对称轴是x =1，顶点坐标为(1，−4).如图，设点M 坐标为(m ，m 2−2m −3)∴ME =|−m 2+2m +3|∵M 、N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧∴点N 的横坐标为2−m∴MN =2m −2∵四边形MNFE 为正方形∴ME =MN∴|−m 2+2m +3|=2m −2分两种情况：①当−m 2+2m +3=2m −2时，解得：m 1=√5，m 2=−√5（不符合题意，舍去） 当m =√5时，正方形的面积为(2√5−2)2=24−8√5；②当−m2+2m+3=2−2m时，解得：m3=2+√5，m4=2−√5(不符合题意，舍去) 当m=2+√5时，正方形的面积为(2+2√5)2=24+8√5；综上所述，正方形的面积为24−8√5或24+8√5.18．（1）解：∵函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）∴函数图象的对称轴为x=−1（2）证明：令y=0，则0=m(x+1)2+4n即(x+1)2=−4nm∵ m，n异号>0∴−4nm∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；（3）证明：由题可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，∵2q−(p+r)=2(16m+4n)−(m+4n+25m+4n)=6m<0∴m<0.。
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二次函数的图像和性质 习题精选
1．二次函数2y ax =的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．关于213
y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不准确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同
3．两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不准确的是（ ）
4．在抛物线2y x =-上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ）
A ．x ＞0
B ．x ＜0
C ．x ≠0
D ．x ≥0
5．对于抛物线2y x =与2y x =-下列命题中错误的是（ ）
A ．两条抛物线关于x 轴对称
B ．两条抛物线关于原点对称
C ．两条抛物线各自关于y 轴对称
D ．两条抛物线没有公共点
6．抛物线y=－b 2x ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－21(2)2
x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线2
2(1)3y x =+-的顶点坐标是（ ）
A ．（1，3）
B ．（-1，3）
C ．（1，-3）
D ．（-1，-3）
9．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）
A ．y=32(1)x -－2
B ．y=32(1)x +＋2
C ．y=32(1)x +－2
D ．y=－32(1)x +－2
10．二次函数2y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A ．y=a 2(2)x -＋3
B ．y=a 2(2)x -－3
C ．y=a 2(2)x +＋3
D ．y=a 2(2)x +－3
11．抛物线2
44y x x =--的顶点坐标是（ ）
A ．（2，0）
B ．（2，-2）
C ．（2，-8）
D ．（-2，-8）
12．对抛物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的说法不准确的是（ ）
A ．抛物线的形状相同
B ．抛物线的顶点相同
C ．抛物线对称轴相同
D ．抛物线的开口方向相反
13．函数y=a 2x ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）
14．化2
43y x x =++为y=243x x ++为y =a 2()x h -k +的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
15．抛物线y=24x x +－1的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
16．函数y=12
-2x ＋2x －5的图像的对称轴是（ ） A ．直线x=2 B ．直线a=－2 C ．直线y=2 D ．直线x=4
17．二次函数y=221x x --+图像的顶点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
18．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）
A ．0
B ．6
C ．3
D ．9
19．抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜－1或m ＞2
B ．m ＜0或m ＞－1
C ．－1＜m ＜0
D ．m ＜－1。