高中数学复习学(教)案(第33讲)算术平均数与几何平均数

题目第六章不等式算术平均数与几何平均数 高考要求1了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理2能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题3在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 知识点归纳1．常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+ 2最值定理:设xy y x y x 2,0.,≥+由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+= （2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+ 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 3 均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++4四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+ 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明 题型讲解例1 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（）A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C22≥a+b D b a ab +2≥ab解法一：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各选项中的不等式，易判断ba ab+2≥ab 不成立 解法二：可逐项使用均值不等式判断 A ．a+b+ab1≥2ab +ab1≥2abab 12⋅=22，不等式成立B ∵a+b ≥2ab >0,a 1+b 1≥2ab1>0,相乘得: (a+b)( a 1+b 1)≥4成立 C ∵a 2+b 2=(a+b)2－2ab ≥(a+b)2－2(2b a +)2=(2b a +)2又ab ≤2b a +⇒ab 1≥ba +2∴ab ba 22+≥a+b 成立D ∵a+b ≥2ab ⇒b a +1≤ab21,∴b a ab +2≤ab ab22=ab ,即ba ab +2≥ab 不成立 故选D例 2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 解:不对设左、右臂长分别是12,l l ,物体放在左、右托盘称得重量分别为,a b 真实重量为为G ，则由杠杆平衡原理有： 12l G l a ⋅=⋅，21l G l b ⋅=⋅ ①×②得G 2=ab , ∴G=ab由于12l l ≠，故a b ≠ ,由平均值不等式2ba + > ab 知说法不对真实重量是两次称量结果的几何平均值点评:本小题平均值不等, 杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）的创新问题例3设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,则分析: ∵x 2+22y =1是常数, ∴x 2与22y 的积可能有最大值∴可把x ,注意到x 2与1+y 2的积,应处理成2 x 2212y +解法一: ∵x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1∴≤222122y x ++=2221222y x ++=423 当且仅当x=23,y=22(即x 2= 212y +)时, 423解法二:令cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(0≤θ≤2π)则θθ2sin 21+=21)sin 21(cos 222⋅+θθ=423 当θ2cos 2=θ2sin 21+, 即θ=6π时,x=23,y=22时，例4 若a>b>0, 求216()a b a b +-的最小值分析: 216()a b a b +-的结构不对称,关键是)(16b a b -的分母(a —b)b,而(a —b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b 求最小值()f a ，然后在对a 求最小值解法一: 216()a b a b +-=[(a —b)+b]2 +)(16b a b -≥[2)(b a b -]2 +)(16b a b -=4(a —b)b+)(16b a b -≥16当且仅当b=(a —b)且(a —b)b=2,即a=2b=22时取等号,故216()a b a b +-的最小值为16 解法二: 216()a b a b +-=222216648216()2a a a a a b a b +=+≥⋅=+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦当且仅当b=(a —b)且8a a=, 即a=2b=22时取等号,故216()a b a b +-的最小值为16点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可例5 若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥9 分析: x+y 常数,xy 可有最大值 证法一: 左边＝(1+x 1)(1+y 1)=1+x 1+y 1+xy 1=1+xy y x ++xy1=1+xy2≥1+2)2(2y x +=9＝右边 (当且仅当x=y=21时取“=”号)证法二： 令x=θ2cos y=θ2sin , 0<θ<2π左边＝(1+x 1)(1+y1)=(1+θ2cos 1)(1+θ2sin 1) =1+θ2sin 1+θ2cos 1+θ2cos 1·θ2sin 1=1+θθ22cos sin 2⋅ =1+θ2sin 82≥1+8=9＝右边 0<2θ<π θ=4π时，x=y=21时取等号证法三：∵x+y=1 ∴左边＝(1+x 1)(1+y 1)=(1+x y x +)(1+y y x +)=(2+x y )(2+yx )=5+2(x y +yx )≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y=21时取“=”号)小结：1平均值定理是证明不等式的重要依据，其一般形式是：a 1a 2a 3```+a n ≥1a 2a 3```a n 均为正实数)，它的一边是“和”的形式，另一边是“积”的形式，要实现转化时，常用均值不等式用它来求函数最值时，注意：一“正”二“定”三“相等”2运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2+b 2≥2ab 逆用ab ≤222a b +; 2ba +≥ab (a,b>0)逆用为ab ≤(2b a +)2（a,b>0）等还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等3在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值 学生练习1 设a 、b ≥0,a ＋b =1, 试比较大小：12++a 2(填“≥”,“≤”或“=”) 答案：≤2 比较大小：若a >b >0, 则2222b a b a +- b a b a +-(填“>”,“<”或“=”)答案：>2 若x , y ∈R +, 且x ＋y =s , xy =p , 则下列命题中正确的是（ ）A 当且仅当x =y 时，s 有最小值2pB 当且仅当x =y 时，p 有最大值42sC 当且仅当p 为定值时，s 有最小值2pD 若s 为定值，则当且仅当x =y 时，p 有最大值42s答案：D4 若x , y ∈R +, x ＋y ≤4,则下列不等式中成立的是（ ）Ay x +1≤41B x 1＋y1≥2 D xy 1 1答案：B 提示：x 1＋y 1≥2xy 1≥22)2(1y x +≥15 下列说法中不正确的是（ ）A 由a 、b ∈R ，可得a 2＋b 2≥2ab ≥－(a 2＋b 2)B 对于命题“a 、b ∈R +⇒2ba +≥ab ”,把条件改为a 、b 均为非负数后依然成立C 若a >b >0, n ∈Z , n >1,则a >b ⇔ n n b a >D 若a 、b 、c ∈R +，则33331cb a abc ++≤ 答案：D 提示：3333c b a ++≤333333c b a ⋅=abc1 6 下列不等式中恒成立的是（ ）A ctg θ＋tg θ≥2B x ＋x2－1≥22≥2 D xyz ≤271(x ＋y ＋z =1) 答案：B7 当x ∈R +时可得到不等式x ＋x 1≥2, x ＋24x=2x ＋2x＋2)2(x ≥3, 由此可以推广为x ＋nx p≥n ＋1, 取值p 等于（ ） A n nB n 2C nD n ＋1答案：A 提示：x ＋nxp ＝n x ＋n x ＋……＋n x ＋n x n )(≥n ＋1，∴p = n n 8 x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ）/2 B 22 C 2 D答案：D 提示：y x +≤22yx +=2 9 在区间(0, +∞)上，当x =时，函数y =212x ＋3x 答案：2；9 提示：y =212x ＋3x ≥32323122x x x ⋅⋅=9, 10 函数y=m 2＋112+m 答案：[1, +∞)提示：y =m 2＋112+m = y =(m 2＋1)＋112+m －1≥211 已知x 、y 、z ≥0,且x ＋y ＋z =1, 则z y x ++的最大值为 ； 最小值为答案：3；112 已知：a ＋b ＋c =1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a >b >c ,则a ＋b的取值范围是 ；a 2＋b 2 答案：(1,34)；(98, 1) 13 若a >1, b >1, c >1, ab =10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c , 并指出什么时候等号成立答案：a =b =10时等号成立 提示：a >1, b >1, c >1, ab =10, log a c ＋logbc =lgc ·b a ba lg lg lg lg +≥lg c ·2)2lg lg (1b a +=4lgc , 当lg a =lg b 时,即a =b =10时等号成立14 若a >0, b >0，且ba 11+=1, 求证：(I ) a ＋b ≥4;(II ) 对于一切n ∈N , (a ＋b )n －a n －b n ≥22n －2n ＋1成立提示：(I )b a 11+=1, a ＋b =(ba 11+)(a ＋b )=1＋a b ＋b a＋1≥4,(II ) 当n =1时, 左式＝0，右式＝0，∴n =1时成立，假设n =k 时成立，即(a ＋b )k －a k －b k ≥22k －2k ＋1, 则当n =k ＋1时，(a ＋b )k ＋1－a k ＋1－b k ＋1=(a ＋b ) (a ＋b )k －a k ＋1－b k ＋1≥(a ＋b )(a k ＋b k ＋22k －2k ＋1) －a k ＋1－b k ＋1=ab k ＋ba k ＋(a ＋b )(22k －2k ＋1)≥2·2k ＋1＋4·22k －4·2k ＋1=22k ＋2－2k ＋2, ∴n =k ＋1时命题成立课前后备注。