惠州市2014-2015学年第一学期高二期末考试_数学_试题(理科)

惠州市2014-2015学年第一学期期末模拟考试高二数学（理科）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．双曲线22-13664y x =的焦距等于（ ）．A ．20B ．16C ．12D ．82．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔30分钟抽取2个产品作为样本进行检测，这种抽样方法是（ ）．A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3．空间中，与向量(3,0,4)a =共线的单位向量e 为（ ） A ．(1,0,1)e = B ．34(,0,)55e =或34(,0,)55e =-- C ．34(,0,)55e = D ．(1,0,1)e = 或(1,0,1)e =--4.已知点F 是抛物线28y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2， 则||PF =（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：①若A 为不可能事件，则()0P A =． ②若A 与B 对立，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+． 其中真命题有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．36．“0a ≠”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要A 1C 7．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n ( )．A ．2B ．3C ．4D ．58．已知椭圆222116x y b +=(04)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为10，则b 的值是（） A ．BC D 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答卷相应位置上．)9．双曲线2213664x y -= 的渐近线方程为 ．10. 样本2-，1-，0，1，2的标准差为 ．11.已知(1,5,2)a =-，(,2,3)b m m =+，若a b ⊥，则m 的值为 ． 12.命题“2,210x R x ∀∈+<”的否定是 ．13.某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合0.80.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 14.如图，在棱长为3的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅的概率=p ．三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄不超过18岁的共青团员有12人，年龄大于18岁的党员有8人．（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于18岁的党员应该抽取几名? （2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人为共青团员的概率．16．（本小题满分12分）已知11x -≤≤，11y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(1)(1)1x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(1)(1)1x y -+-≤的概率．17．（本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足2560x x -+≤； （1）若32a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为3，直线:y x 2l =-+ 与圆222x y b +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．ABC D1A 1B 1C 1D EFG19．（本小题满分14分）如图，已知正方体1AC 棱长为1，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点． （1）证明：1AG ⊥面EFD ； （2）求二面角E DF C --的余弦值．20．（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C ：22123x y += 交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆O 为坐标原点． （1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCDCDA1．【解析】由10c ==，所以焦距为20.∴选A ． 2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C ． 3．【解析】2||305a =+=，∴134(3,0,4)(,0,)555||a e a ==⋅=，∴选B ．4．【解析】抛物线28y x =知22p =，||2242P pPF x =+=+=，∴选C 5．【解析】由概率的性质知①②③为真命题，∴选D ．6．【解析】当且仅当0a ≠时，方程2y ax =表示的曲线为抛物线，∴选C ．7．【解析】5a =，进入循环后各参数对应值变化如下表：p15 20 结束 q5 25 n35∴选D ．8．【解析】∵|AF 1|+|AF 2|=8，|BF 1|+|BF 2|=8，∴△AF 2B 的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16；若|AB|最小时，|BF 2|+|AF 2|的最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB|最小，此时|AB|=22224b b a =，故2216104b b -=⇒=A ． 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．)10. 11. 4 12. 200,210.x R x ∃∈+≥ 13. 16.2 14.899．【解析】2213664x y -=的渐近线方程为224036643x y y x -=⇒=±．10．【解析】222222(20)(10)(00)(10)(20)25s --+--+-+-+-==．s ==11．【解析】a b ⊥(1,5,2)⇒-⋅(,2,3)0m m +=102604m m m ⇒+--=⇒=． 12．【解析】全称命题的否定为特称命题． 13．【解析】0.8200.216.2y =⋅+=．14．【解析】以A 为原点AB 为x 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,3AA =,设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =,则111313AA AM z z ⋅≥⇒⋅≥⇒≥， 从而13-3383==3339M V p V ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅正．三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为51204=………………………2分 ∴年龄大于18岁的党员应该抽取1824⨯=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄不超过18岁的共青团员有3人，记为1,2,3年龄大于18岁的党员有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分其中恰有1人为共青团员的事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分∴恰有恰有1人为共青团员的概率63105P ==.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）满足22(1)(2)1x y -+-≤的点的区域为以(1,1)为圆心，1为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）∴所求的概率211142216P ππ⨯==⨯． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且11x -≤≤，11y -≤≤的整点有9个 …………（8分）满足,x y ∈Z ，且22(1)(1)1x y -+-≤的整点有3个，……………（11分）∴所求的概率213P =． ………………………………（12分）17．（本小题满分14分）解 (1)由22320x ax a -+<得(2)()0x a x a -⋅-<.……………………………1分 又0a >，所以2a x a <<，………2分 当32a =时，332x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是332x <<……4分 由2560x x -+≤得23x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分 若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分 (2) 设{}|2A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤…………………………………10分p 是q 的必要不充分条件，则A B ×…………………………………………12分所以0232232a a a <≤⎧⇒≤≤⎨≥⎩，所以实数a 的取值范围是3[,2]2．………14分18．（本小题满分12分）解：（1）又由直线:y x 2l =-+与圆222x y b +=相切得b ==，…2分由3e =3a == 4分 ∴椭圆方程为22132x y +=…………………………………………………6分 （2）2222123(2)60322x y x x y x ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-+⎩251260x x ⇒-+=…………8分2-1245624∆=-⋅⋅=（），设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x yx y ………9分则1212126,,55x x x x +=⋅=…………………………………………………11分从而||AB =所以弦长||AB =14分 19．（本小题满分14分）解：以D 为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为1， 则D (0，0，0)、E (0，1，12 )、F (12，1，0) 、 G (0，12，0) 、A 1 (1，0，1) 、C (0，1，0)，…… 2分 (1)则11(1,,1)2A G =--，1(0,1,)2DE =，1(,1,0)2DF =………………………… 3分∵11(1,,1)2AG DE ⋅=--1(0,1,)02⋅=， ∴1AG DE ⊥ ………………………… 4分 ∵11(1,,1)2AG DF ⋅=--1(,1,0)02⋅=， ∴1AG DF ⊥ ………………………… 5分 又DE DF D ⋂=，DE DEF ⊂面，DF DEF ⊂面……………… 6分 ∴1AG ⊥面EFD …………………………………………………………7分 (2)由(1)知11(1,,1)2A G =--为面EFD 的法向量，………………………… 8分 ∵CE ⊥面CFD ，1(0,0,)2CE =为面CFD 的法向量，……………… 9分设1AG 与CE 夹角为θ，则11cos AG CE AG CE θ⋅==⋅123122-⋅23=-……… 12分 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-， ∴二面角E DF C --的余弦值为23．…………………………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211123x y += ①又因为2OPQ S ∆=所以11||||2x y ⋅= ②由①、②得11||1,||x y ==此时222212122,3,x x y y +=+=…………… 2分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知0m ≠，将其代入22123x y +=，得222(32)42(3)0k x kmx m +++-=， 其中2222168(32)(3)0,k m k m ∆=-+->即2223k m +>…（*）又212122242(3),,3232km m x x x x kk -+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQS PQ d ∆=⋅=232m k =+又2OPQ S ∆=整理得22232,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122242(3)()2()22,3232km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222121212333(2)(2)6()3222y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。