伯努力方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
化工原理伯努利方程
化工原理伯努利方程伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，描述了流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系。
它是根据能量守恒定律得到的，并且适用于连续、稳定、摩擦小的流体流动。
伯努利方程的表达式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的速度，g代表重力加速度，h代表流体在其中一点的高度。
在伯努利方程中，P + 1/2ρv^2项代表了流体的动能或者压力能，ρgh项代表了流体的势能。
考虑一个水流通过管道的情况。
假设水流在管道的其中一点1的速度为v1，压力为P1，高度为h1；在另一点2的速度为v2，压力为P2，高度为h2、根据伯努利方程，我们可以得到以下等式：P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2可以看出，这个方程说明了当流体流动时，速度越大，压力越小；而当速度较小时，压力较大。
这是因为伯努利方程通过流体的动能和流体的势能之间的转换关系，描述了流体在流动过程中的能量变化。
伯努利方程在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在气象学中，它用于解释风的形成和气候变化等现象。
在流体力学中，它用于计算液体的流速和压力分布等问题，如管道流动、喷嘴流动等。
伯努利方程也有一些限制和假设。
首先，它假设流体是理想流体，即没有黏性和湍流的影响。
其次，它假设流体是连续、稳定的，没有明显的扰动和压力波动。
此外，在应用伯努利方程时，需要注意选择起始点和终止点，并确保考虑到所有影响因素，如摩擦损失、管道的形状等。
总之，伯努利方程是流体力学中的一条重要定律，描述了流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系。
它在实际应用中具有广泛的用途和重要性，但也需要考虑到一些假设和限制。
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
伯努利方程计算
伯努利方程计算
伯努利方程是应用于流体力学和气体流动的基本方程之一，用于描述沿流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。
伯努利方程可以用以下的数学形式表示：
P + 1/2 ρv² + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
流速，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
伯努利方程适用于理想流体在稳定流动时，沿着流动方向，流速变化不大，流线不弯曲，且没有其他外力作用的情况下。
利用伯努利方程可以计算流体在不同位置处的压力和流速。
通过等式中的常数项，可以比较不同位置处的流体状态。
需要注意的是，伯努利方程忽略了一些现实流动的因素，如黏性、湍流和摩擦等，因此只适用于某些特定情况。
在实际应用中，伯努利方程常用于气候学、飞行器设计、水力学、管道流动等领域的计算和分析。
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
伯努利方程
伯努利方程伯努利流体方程：稳定流动中的静压强和动压强之和为常数。
p + 0.5ρv^2 + ρgh=常量公式的意义：p为静压强；0.5ρv^2为动压强；ρgh为重力引起的压强p+ρgh+(1/2)*ρv^2=C式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度。
上式各项分别表示单位体积流体的压力能p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。
但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。
对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各项分别称为静压、动压和总压。
显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。
飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。
据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。
在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。
在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。
图为验证伯努利方程的空气动力实验。
补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）均为伯努利方程其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。
伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
PE管道流量、流速、水压计算。
物理-伯努利方程
根据连续性方程可得到ΔV1＝ΔV2＝ΔV
伯努利方程的推导
左端的力对流体做的功为
Ｗ1＝F1Δl1 F1＝p1·S1 W1=p1S1Δl1=p1ΔV 同理可证：作用于右端的力F2
＝ p2S ， 它 对 流 体 做 负 功 ( 因 为
自来水管中的水流，石油管道中石油 的流动，都可以看作定常流动
我们在管的a１处和a2处用横截面截出 一段流体，即a1处和a2处之间的流体， 作为研究对象．
设a1处的横截面积为S1，流速为V1，高度 为h1； 设a2处的横截面积为S２，流速为v２，高 度为h２；
伯努利方程的推导
如图所示，经过很短的时间Δｔ，这段 流体的左端S１由a1移到b1，右端Ｓ2由a2 移到b2，两端移动的距离为Δｌ1和Δl2
水枪中的压强
A
流速快，压强小
B
流速慢，压强大
演示实验现象的解释
向两纸中间吹气 时，两纸中间空 气的流速大，压 强小，外边空气 的压强大，所以 两张纸会贴近．
演示实验现象的解释
通过漏斗吹乒乓球时， 乒乓球右边空气的流速大， 压强小，左边方空气流速小， 压强大，乒乓球受到向右的 力，所以会贴在漏斗上不掉 下来。
∴
(P2－P1
)V＝
1 2
ρ(V22
-
V12
) V＋ρg(h
2－h1
)V
整理后得：
p1
1 2
V12
gh1
p2
1 2
V22v2 gh =常量
2
流体水平流动时，或者高度差的影响不显 著时,伯努利方程可表达为：
第4章 伯努利方程
dK dt
d dt
V
v dV
F
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d
dt
v dV
V
fdV
V
S
p n dS
得控制体的动量积分方程
v
V t
dV
S v vndS
fdV
V
S p n dS
3. 水流对喷嘴的作用力
喷嘴
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1)
F ( p1 pa ) A1 q(v2 v1)
由连续方程得
q(v2 v1) v22 A2 (1 A2 / A1)
由伯努利方程
p1
g
v12 2g
p2
g
v
2 2
2g
,
p2
pa
得
p1
pa
1 2
v22
1
A2 A1
v2
单位重量流体的动能 流速水头
2g
z v2 p 总机械能 2g g
总水头
（速度水头） （压强水头） （位置水头）
平面流场（忽略重力作用）
v2 ＋ p C
2
方程表明：沿流线速度和压强的变化是相互制约的，流速高的点上压强低，流 速低的点上压强高。
思考
1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？
4.1.2 理想流体总流的伯努利方程
)
2gh
原理：测量时将静压孔和总压孔感受到 的压强分别和差压计的两个入口相连， 在差压计上可以读出总压和静压之差， 从而求得被测点的流速。
4.4 文丘里流量计 —— 测量管道中的流量
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4、边壁反力R方向可任意设定，计算结果为正值，方向一致，若为负值。方向相反
5、边壁作用力R与水流对边壁的作用力R‘大小相等，方向相反，且位于同一作用线（互为反作用力）
6、动量方程对理想液体与实际液体均适用
例3-6 3-7《向》例3-4
——恒定流不可压缩实际液体元流能量方程，又称实际液体元流伯努力方程。
§4
4.3.2总流的伯努力方程
一、实际液体元流能量方程
由实际液体元流能量方程，有
设总流沿程流量为 ，前后两过水断面为渐变流，其过水断面处的总机械能为 ，两断面间能量损失为 ，按元流与总流的关系，有
各元流能量损失 不会相同，取加权平均值计算
连续性方程、能量方程、及动量方程，通常合称为水力学三大定律。
理论力学中质点系动量定理
总流中取一流段作隔离体，
1-1，2-2过水断面——控制断面
有 ——元流动量方程
对于总流有
由公式 得
恒定流总流动量方程的标量式
二、动量方程应用要点
1、必须先汇出计算流段的隔离体，并标明外力方向及所取坐标系
2、液流动量变化，只能是隔离体的流出动量之差
6）除水头损失，两计算断面间没有机械能的输入与输出
2、能量方程应用的补充说明
1）基准面可任取，单必须是水平面，两过水断面的计算点必须取同一个基准面。
2）通常把过水断面取在已知量较多的断面上，使能量方程含未知量减少。
3）过水断面上的计算点：通常明渠取在自由液面上，管流取在断面形心。
4）两断面的压强可用相对压强或绝对压强。但必须取同一种压强，一般多取相对压强
5） 确定后，相应流速 关系由连续性方程确定，
4.3.4水头线
水力坡度与测管坡度
1、元流各过水断面的测压管水头连线称测压管水头线。
2、总水头的连线称总水头线。
3、水力坡度：单位长度上的水头损失，以 表示
4、测管坡度：单位长度上的测管水头变化，以 表示
理想液体元流的总水头 线必为水平线。
测管水头 线沿程可升可降，由于
——测管水头，表征单位重量液体的总势能，简称单位总势能。
——流速水头，表征单位重量液体的动能，简称单位动能。
令
——计算点处液体的总水头，又称单位总能。
**毕托管——元流能量方程的应用
毕托管是一种点流速的测量仪器。
4.2.3粘性流体元流的伯努力方程
实际液体元流能量方程
实际液体：粘滞性、内摩阻力，部分机械能转化为热能散失，能量沿程消耗，总水头沿程下降。
输出能量：利用了水流本身的机械能对其它水利机械作功的能量， 取“-”。
水泵：
：吸水高度，水泵的安装高度
：水泵的压水高度
——所做的功为
水轮机：
三、两断面间有分岔水流的能量方程
1）有流量分出时，有
2）有流量汇入时，有
《叶》例3-3
《向》
P43例3-2
§
一、液流动量方程
——理想液体元流能量方程，或伯努力方程
**理想流体元流伯努力方程的应用条件：理想流体；恒定流动；
质量力只有重力；沿元流（流线）；不可压缩流体。
4.2.2伯努力方程的物理意义和几何意义
理想流体元流能量方程各项意义
——位置水头，表征单位重量液体的位置势能，简称单位位能。
——压强水头，表征单位重量液体的压力势能，简称单位压能。
故断面减小，流速增大段的 线向下倾斜；断面增大，流速减小段的 线向上倾斜；等流速段的 线和 线相平行。
4.3.5总流伯努力方程应用的补充论述
一、气流的伯努力方程
二、两断面间有能量加入或输出的能量方程
1、有能量加入或输出的能量方程
——外加或输出的能量
外加能量：利用了其它动力和机械提供的作功能量， 取“+”。
式中： ——分别为两断面处计算点的位置水头
——分别为两断面处计算点的相对压强或绝对压强
——分别为两断面的动能修正系数
——两断面间的水头损失
二、总流能量方程的应用
1、能量方程的适用条件
1）恒定流
2）不可压缩液体
3）质量力只有重力
4）两计算断面必须为渐变流或均匀流，但两断面间可以有急变流存在
5）沿程流量不变，即
§4.2元流的伯努力方程
1、伯努力方程是能量守衡定律在流体力学中的具体应用。
2、流体动力学的基本任务：研究流体在流场中压强和流速的分布规律。
4.2.1理想流体元流的伯努力（能量）方程
理想液体恒定流
水压力
重力
沿 轴方向隔离体所受的外合力
则
各项均除以 并整理得
——恒定流理想液体元流欧拉运动微分方程
对上式积分并除以 ，得