安徽省滁州市六校2017-2018学年高一上学期第一次联考数学试题 Word版含答案
(最新精选)安徽省2017-2018学年高一1月联考数学试题
2017-2018 学年宣城二中、广德中学、郎溪中学三校高一年级第一学期联考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，故选项A正确。
选项B,C,D不正确。
选A。
2.下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：和均是奇函数，是偶函数，但在上是减函数；二次函数是偶函数，且在上是增函数，∴正确选项D．考点：（1）函数奇偶性的判断；（2）函数单调性判断．3.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，所以。
选C。
4.函数的零点所在区间为：（）A. （1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【答案】C【解析】根据条件得。
所以，因此函数的零点所在的区间为。
选C。
5.三个数之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,，故选B.6.已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角函数的定义得，解得。
又点在第二象限内，所以。
选D。
7.已知, 那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】上下同时除以,得到：故答案选点睛：本题可以采用上下同时除以求得关于的等式，继而求出结果，还可以直接去分母，化出关于和的等式，也可以求出结果。
8.已知向量，．若共线,则的值是（）A. -1B. -2C. 1D. 2【答案】B【解析】∵，，且共线，∴，解得。
选B。
9.函数的图象（）A. 关于原点对称B. 关于点（－，0）对称C. 关于y轴对称D. 关于直线x=对称【答案】B【解析】由于函数无奇偶性，故可排除选项A,C；选项B中，当时，，所以点是函数图象的对称中心，故B正确。
选项D中，当时，,所以直线不是函数图象的对称轴，故D不正确。
安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2017-2018学年高一上学期入学考试数学试题
安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（ ）A ．50.2110⨯B ．42.110⨯C ．32110⨯D ．52.110⨯2.下列整式计算的结果为6a 是（ ）A ．33a a +B ．122a a +C ．23()aD ．24()a 3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5是指（ ）A ．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B ．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C.抛掷2n 次硬币，恰好有n 次“正面朝上”D ．抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.55.分式11x --可变形为（ ） A ．11x -- B ．11x + C. 11x -+ D ．11x -6.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C.D ． 7.已知实数755+的小数部分为a ，575-的小数部分为b ，则57a b +的值为（ ） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．78.在抛物线223y ax ax a =--上有1(0.5,)A y -、2(2,)B y 、3(3,)C y 三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为（ ）A ．312y y y <<B ．321y y y << C. 213y y y << D ．123y y y <<9.如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，分别延长AB 至点E ，AD 至F ，使得()AF AE c b a c ==<<，连接EF ，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则AMN ∆的面积为（ ）A ．1()2c a b c +-B ．1()2c b c a +- C. 1()2c a c b +- D ．1()2a b c a +- 10.挑棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走，如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（ ）A ．②号棒B ．⑦号棒 C.⑩号棒 D ．⑧号棒二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.分解因式：224ax ay -= ．12.已知集合{||2|3}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)AB n =-，则m = ，n = ．13.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE 的长度为 ．14.如图，,AD AE 分别是ABC ∆的中线和交平分线，2AC =，5AB =，过点C 作CF AE ⊥于F ，连接DF ，有下列结论：①若将ACF ∆沿直线AE 折叠，则点C 恰好落在AB 上；②327AD <<；③若30B ∠=，15FCE ∠=，则55ACB ∠=；④若ABC ∆的面积为S ，则DFC ∆的面积为320S ． 其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题 （本大题共4小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.计算：01112cos 45(1)()42π--++. 16.已知函数2()426f x x ax a =+++.（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数()f x 的函数值均为非负数，求()2|3|g a a a =-+的值域.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转90后得到22A BC ∆，请在图中画出22A BC ∆，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.18. 如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30，已知树高6EF =米，求塔CD 的高度.（结果保留根号）四、（本大题共2小题，每题6分，满分12分）19.在反比例函数6(0)y x x =>的函数图像上有点1231,,,,,n n P P P P P +，过点1231,,,,,n n P P P P P +分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，将图形中阴影部分面积从左至右依次记为123,,,,n S S S S .（1）若点1234,,,P P P P 的横坐标依次为1,2,3,4，则1S = ，2S = ，3S = ；（2）若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为2,4,6，…，则9S = ； 若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为,2,3,a a a ，则n S = .20.如图，圆O 与直线l 相离，OA l ⊥于点A ，OA 交圆O 于点C ，过点A 作圆O 的切线AB ，切点为B ，连接BC 交直线l 于点D .（1）求证：AB AD =；（2）若tan 2OCB ∠=，圆O 的半径为3，求BD 的长.五、（本大题共1小题，每题10分，满分10分）21.已知抛物线21222y x mx m =+--与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C . （1）当1m =时，求点A 和点B 的坐标；（2）抛物线上有一点(1,)D n -，若ACD ∆的面积为5，求m 的值；（3）P 为抛物线上,A B 之间一点（不包含,A B ），PM x ⊥轴于点M ，求AM BM PM•的值. 六、（本大题共1小题，每题12分，满分12分）22.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知8AB =.问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以,AP BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE .（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是请求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接,,AD DF AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在APK ∆、ADK ∆、DFK ∆中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点,P Q 在正方形ABCD 的边上运动，且8PQ =，若点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长.（4）如图3，在“问题思考”中，若点,M N 是线段AB 上的两点，且1AM BM ==，点,G H 分别是边,CD EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM OB +的最小值.安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C二、填空题11. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 三、计算15.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 19.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 20.（1）证明：连接OB ，∵AB 是圆O 的切线，OA l ⊥，∴90OBA OAD ∠=∠=，又OB OC =，∴OBC COB ACD ∠=∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AB AD =（2）∵tan tan 2AD OCB ACD AC ∠=∠==， 圆O 的半径为3，设AC a =，则2AB AD a ==，在Rt AOB ∆中，222OA AB OB =+，∴222(3)(2)3a a +=+，∴2a =过点A 作AE BD ⊥，则5BD BE ==，∴BD = 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0， 解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12． 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12p 2＋mp －2m －2． 所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2． 六、21.（1）不是定值，最小值32（2）存在设AP a =，则8PB BF a ==-，∵//PE BF ， ∴PK AP BF AB =，即88PK a a =-， ∴(8)8a a PK -=， ∴2(8)88a a a DK PD PK a -=-=-= ∴21(8)216APK a a S PK PA ∆-=•=，21(8)216DFK a a S DK EF ∆-=•=， ∴DFK APK S S ∆∆=（3）当点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上， 若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点，若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ，此时，在Rt APQ ∆中，O 为PQ 的中点，所以142AO PQ ==， 所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上，PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示，所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为32464ππ⨯⨯=， （4）点O 所经过的路径的长为3，OM OB +113安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C三、填空题12. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 四、计算 16.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 22.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 23.（1）略 （2）5516 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12 x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；……………………………3分（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．……………………………4分 ∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12．……………………………6分 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，分（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．……………………………10分 PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12 p 2＋mp －2m －2．所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2．……………………………12分 六、24.（1）不是定值，最小值32（2）存在DFK APK DFK APK S S a a EF DK S a a PA PK S a a a a PK PD DK a a PK a a PK AB AP BF PK BFPE aBF PB a AP ∆∆∆∆=∴-=⋅=-=⋅=∴=--=-=∴-=∴=-=∴-===16)8(21,16)8(2188)8(8)8(888222，即，则设。
2017-2018学年天一大联考(安徽版)高一期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年天一大联考（安徽版）高一期末考试数学试题一、单选题1．（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．5．一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6．已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知满足(其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9．如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10．函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 14．数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.点睛：本题主要考查三角函数图象的对称性，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02.平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件.故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 19．某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20．函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
最新版安徽省滁州市高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，则A B = （ ）A ．{}3,4B ．{}1,2C ．{}2,3,4D ．{}123,4，， 2. 已知角α的始边是x 轴的正半轴，终边经过点()3,4-，且4sin 5α=，则tan α=（ ） A ．43-B ．34-C ．43D ．343. 计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ． 3B ． 2C ．2x +D ．12x +4. 已知向量()()3,2,2,a b x ==，若a b ⊥ ，则23a b -= （ ）A ．．9 C. 13 D ．5. 若幂函数()af x x =的图象过点()4,2，则满足()11f x ->的实数x 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()2,+∞ C.()1,1- D ．(),2-∞ 6.函数()()1sin cos 32f x x x ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的最大值是 （ ） A ．43 B ．23 C. 1 D ．137.下列函数是奇函数，且在()0,+∞上是增函数的是 （ ）A ．21x y x +=B ．21x y x-= C. 22x x y -=+ D ．lg 1y x =+8. 若3sin 4α=，α是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16．16- C. 16 D ．116-9.函数33xy x =+的零点为0x ，则 （ ）A ．031,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭ B ．031,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ C. 011,24x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．01,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10. 在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BE 中点，若AF mAB nAD =+，则（ ）A ．31,42m n == B ．13,44m n == C. 11,22m n == D ．13,24m n ==11.曲线1:sin C y x =，曲线2:cos2C y x =，下列说法正确的是 （ ） A ．将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2C B ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移4π个单位，得到2C C. 将1C 上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2C D ．将1C 上所有点横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移2π个单位，得到2C 12.若不等式()2log 14x a x +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．(],0-∞ B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.[)0,+∞ D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.若cos 2sin cos ααα=+，则tan 2α=．14.()()4log 1,01,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则()()11f f -+=．15.若函数()2231y x a x =+-+在[]1,3是单调函数，则实数a 的取值范围是． 16.已知函数()()2cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知向量()([]cos ,sin ,,0,a x x b x π==∈．（1）若a 与b共线，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值，及相应的x 的值．19.已知函数()31x f x x a+=+的图象过点()1,4-． （1）若()210f x =，求实数x 的值；（2）当[]5,1x ∈-时，求函数()f x 的取值范围． 20.函数()()cos 20,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （1）求,,A ωϕ的值；（2）求图中,a b 的值及函数()f x 的递增区间．21.已知,αβ都是锐角，()14sin ,sin 235ααβ=-=． （1）求cos β的值； （2）求()sin αβ-的值．22. 已知函数()3131x x f x +=-．（1）求证：()f x 是奇函数； （2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）已知关于t 的不等式()()222310f t t f t -++--<恒成立，求实数t 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: DADCB 6-10:BBCCA 11、12：BD二、填空题13. 13-14.52 15.31,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭16.1 三、解答题17.解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x =≤<=≤ ；（2）∵{}|,1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+， ∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．18.解：（1）∵a 与bsin 0x x -=，∴tan x =[]0,x π∈，∴3x π=；（2）()cos 2sin 6f x a b x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，∵[]0,x π∈，∴7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()12f x -≤≤， 当62x ππ+=即3x π=时，()f x 取得最大值2；当766x ππ+=，即x π=时，()f x 取得最小值-1．19.解：（1）()1141f a==-+，∴2a =-， ()222223110,3110202x f x x x x +==+=--，∴22721,3x x ==，∴x =（2）()()3273173222x x f x x x x -++===+---， 显然()f x 在[)2,+∞与(),2-∞上都是减函数， ∵[](]5,1,2-⊆-∞，∴()f x 在[]5,1-上是减函数， ∵()()77532,13471f f -=+==+=---，∴()[]4,2f x ∈-． 20.解：（1）由图知2452,23123A T πππω⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，∴1ω=，∴()()2cos 2f x x ϕ=+， 又52,0312f f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴5cos 1,cos 036ππϕϕ2⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴3πϕ=-；（2）由（1）知()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由512a T ππ-==， ∴()7,02cos 1123a b f ππ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭， 由()2223k x k k Z ππππ-≤-≤∈得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 21.解：因为,αβ都是锐角()14sin ,sin 235ααβ=-=，所以cos 3α==，且()30,2,cos 24225πππααβαβ<<-<-<-=，所以227sin 22sin cos 2cos sin 99αααααα===-=， （1）()()()cos cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2βααβααβααβ=--=-+-=⎡⎤⎣⎦；（2）()()()()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin 15αβαβααβααβα-=--=---=⎡⎤⎣⎦． 22．（1）证明：由310x -≠，得0x ≠，∵()()31133113x xxxf x f x --++-===---， ∴()f x 是奇函数；（2）解：()f x 的单调减区间为(),0-∞与()0,+∞没有增区间， 设120x x <<，则()()()()()()()21121221121212121212233313133313331313131313131x x x x x x x x x x x x x x x x xx f x f x --+++----++-=-==------ ．∵120x x <<，∴21331x x>>， ∴2112330,31,310x x x x->-->，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >， ∴()f x 在()0,+∞上是减函数， 同理，()f x 在(),0-∞上也是减函数；（3）()f x 是奇函数，∴()()2211f t f t --=-+，∴()()222310f t t f t -++--<化为()()22231f t t f t -+<+，又()()22223120,10,t t t t f x -+=-+>+>在()0,+∞上是减函数，∴22231t t t -+>+，∴1t <，即(),1t ∈-∞．。
2017-2018学年安徽省高三(上)第一次联考数学试卷(理科)Word版含答案
22017-2018学年安徽省高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．2．（5分）设集合A={x|2x﹣1≥5}，集合，则A∩B等于（）A．（3，7）B．[3，7] C．（3，7] D．[3，7）3．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．24．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．（5分）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣37．（5分）已知a=，则展开式中，x3项的系数为（）A．B．C．D．8．（5分）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3•a n﹣2=64，且前n项和为S n=42，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是（）A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]10．（5分）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出P的近似值为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③ C．①③ D．②③④12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，本小题5分，共20分）13．（5分）设向量，，则向量在向量上的投影为．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．15．（5分）某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间（每种房间仅能入住相应人数）各一间可用，有4个成年男性带2个小男孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同）．若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有种．16．（5分）将f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线 C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=+g（x）的最小值为m且m＞2+，则实数a 的取值范围为．三．解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值．18．（12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．19．（12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．（I）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆C：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．①求椭圆C的方程；②设A、B是椭圆C上两个动点，满足（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号．注意所做题目的题号必须和所写的题号一致．【选修4-1：几何证明选讲．】22．（10分）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年安徽省高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•青岛二模）已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（）A．3 B．2 C．5 D．【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模．【解答】解：=1﹣bi，可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数，所以，解得a=2，b=1．所以|a﹣bi|=|2﹣i|==．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•鹰潭一模）设集合A={x|2x﹣1≥5}，集合，则A∩B等于（）A．（3，7）B．[3，7] C．（3，7] D．[3，7）【分析】求出集合A，B的等价条件，利用交集定义进行求解即可．【解答】解：A={x|2x﹣1≥5}={x|x≥3}，集合={x|7﹣x＞0}={x|x＜7}，则A∩B={x|3≤x＜7}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）（2015•宜宾模拟）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）A．B．C．D．2【分析】容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．【解答】解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：．故选A．【点评】考查抛物线的焦点概念及求法，双曲线渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式．4．（5分）（2014•埇桥区校级学业考试）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．5．（5分）（2016•锦州二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．6．（5分）（2015•南昌校级模拟）在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2015•鹰潭一模）已知a=，则展开式中，x3项的系数为（）A．B．C．D．【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】解：a=dx=﹣sinx=﹣1，则二项式的展开式的通项公式为T r+1=﹣•（）r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展开式中x3项的系数为﹣•=﹣，故选：C【点评】本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）（2016•西宁校级模拟）在递增的等比数列{a n}中，已知a1+a n=34，a3•a n﹣2=64，且前n项和为S n=42，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由题意易得a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根，结合数列递增可解得a1=2，a n=32，再由S n=42的q，可得n值．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a n=a3•a n﹣2=64，又a1+a n=34，∴a1和a n是方程x2﹣34x+64=0的两根，解方程可得x=2或x=32，∵等比数列{a n}递增，∴a1=2，a n=32，∵S n=42，∴==42，解得q=4，∴32=2×4n﹣1，解得n=3故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，属基础题．9．（5分）（2015•江西校级一模）已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是（）A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]【分析】先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由题意知：y=3sin2x+acos2x=sin（2x+φ），当x=时函数y=3sin2x+acos2x取到最值±，将x=代入可得：3sin（2×）+acos（2×）==±，解得：a=，故f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+），由于[﹣π，﹣π]∈[﹣，﹣]，根据正弦函数的图象可知函数在[﹣π，﹣π]上是单调递减的，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查了三角函数的单调性，属于中档题．10．（5分）（2015•宜宾模拟）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出P的近似值为（）A．B．C．D．【分析】由题意以及框图的作用，直接计算出结果．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计几何概型概率的程序框图，如图，M是点落在六边形OCDEFG内的次数，由当i＞2015时，退出循环，∴六边形OCDEFG内的点的次数为M，总试验次数为2015，所以要求的概率满足=1﹣=1﹣=，故M=，所以空白框内应填入的表达式是P==．故选：C．【点评】本题考查程序框图的作用，考查计算、分析能力，属基础题．11．（5分）（2015•上海模拟）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③ C．①③ D．②③④【分析】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．【解答】解：①函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[﹣1，1]一个．③A=[0，1]为函数f（x）=|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数单调递增，f（0）=1﹣1=0，f（1）=2﹣1=1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2x﹣2x+2，f′（x）=2x ln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）=2x﹣2x+2=0不可能存在两个解，故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．12．（5分）（2013•泉州二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A 为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，本小题5分，共20分）13．（5分）（2015•湖北二模）设向量，，则向量在向量上的投影为．【分析】利用向量在向量上的投影公式||cosθ进行计算即可．【解答】解：∵向量，，∴||==，设、的夹角是θ，则cosθ===，∴向量在向量上的投影为：||cosθ=×=；故答案为：．【点评】本题考查了求一向量在另一向量上的投影问题，是基础题．14．（5分）（2015•怀化三模）如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= 2π．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V==πydy=，故答案为：2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．15．（5分）（2015秋•九江月考）某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间（每种房间仅能入住相应人数）各一间可用，有4个成年男性带2个小男孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同）．若三间房都住有人，则不同的安排住宿方法有36 种．【分析】由题意按2个小孩的住宿方法不同分2种情况讨论：①若2个小孩全住三人间，②若2个小孩一个住三人间，另一个住两人间；分别求出每种情况下的安排方法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，按2个小孩的住宿方法不同分2种情况讨论：①若2个小孩全住三人间，则需要选出一个大人陪同，有C41=4种情况，则另外的3个大人必须2人住双人间，一人住单间，有C32=3种情况，此时共有4×3=12种安排方法，②若2个小孩一个住三人间，另一个住两人间，2个小孩的安排方法有A22=2种4个大人必须2人住三人间，1人住双人间，1人住单间，有C42A22=12种情况，此时共有2×12=24种安排方法，则一共有12+24=36种安排方法；故答案为：36．【点评】本题考查计数原理的应用，求解本题的关键是正确分类讨论，理清符合实际情况的安排方法并选择恰当的计数方法计算所有的种数．本题易因分不清符合情况的安排方法有哪些而导致错误或解答不出．16．（5分）（2014•上海模拟）将f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线 C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=+g（x）的最小值为m且m ＞2+，则实数a的取值范围为（，2）．【分析】根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出F（x）=（）•2x++2，设t=2x，利用非单调函数取最值的性质和均值定理能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x﹣2﹣，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=﹣2x﹣2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=﹣2x﹣2+2，∴=+﹣2x﹣2+2=（）•2x++2，设t=2x，∵2x＞0，∴t＞0，∵函数定义域的端点值取不到，∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如y=ax+的函数只有当ab＞0时才是（0，+∞）上的非单调函数，∴（﹣）（4a﹣1）＞0，解得a＜0或＜a＜4，当a＜0时，变量t的两个系数都为负数，此时F（x）只有最大值，不合题意．当＜a＜4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，∴可以用基本不等式：F（x）≥2+2，∵的最小值为m且，∴m=2+2＞2+，联立＜a＜4，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．【点评】本题考查函数中参数的取值范围的求法，涉及到函数图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值定理等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．三．解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2015•河南二模）已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣，∴cos（2C+）=﹣1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12，∴c=2【点评】本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18．（12分）（2015•淮南校级三模）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a的值和50个样本中空气质量指数的平均值，从而能估计2014年这一年度空气质量指数的平均值．（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）．由此能求出ξ的分布列和一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，解得a=0.02．…（3分）50个样本中空气质量指数的平均值为：由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 …（6分）（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）．ξ的可能取值为0，1，2，…（7分），…（10分）…（11分）．（或者Eξ=2×0.3=0.6），…（12分）设一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数为η，则η～B（30，0.3）故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为Eη=30×0.3=9天．…（13分）【点评】本题考查频率分直方图的应用，考查离散型随机变量的概率分布列的求法，在历年高考中都是必考题型之一．19．（12分）（2014•上城区校级模拟）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．（I）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．【分析】（I）连接OC，由已知中O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，，根据等腰三角形“三线合一”及勾股定理，可分别证得AO⊥BD，AO⊥OC，结合线面垂直的判定定理即可得到AO ⊥平面BCD；（Ⅱ）法一：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平角，解三角形AEO即可得到二面角A﹣BC﹣D的余弦值；法二：以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）法一：设点O到平面ACD的距离为h，根据V O﹣ACD=V A﹣OCD，分别求出三棱锥的体积和底面ACD的面积，即可得到O点到平面ACD的距离；法二：求出平面ACD的法向量，代入公式，即可得到O点到平面ACD的距离．【解答】解法一：（I）证明：连接OC，△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD，∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=0，AD⊥面BCD．（Ⅱ）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE∴AE⊥BC∴∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平角．在Rt△AEO中，∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为（Ⅲ）解：设点O到平面ACD的距离为h，∵V O﹣ACD=V A﹣OCD，∴在△ACD中，，而，∴，∴点O到平面ACD的距离为．解法二：（I）同解法一．（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则∵AO⊥平面BCD，∴平面BCD的法向量设平面ABC的法向量，由设与夹角为θ，则∴二面角A﹣BC﹣D的余弦值为．（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为，又设与夹角为θ，则设O到平面ACD的距离为h，∵，∴O到平面ACD的距离为．【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中解法一（几何法）中要熟练掌握空间线线垂直，线面垂直之间的相互转化，及棱锥体积的转化；解法二（向量法）的关键是建立适当的坐标系，将二面角问题及点到平面的距离问题转化为向量问题．20．（12分）（2014•陕西一模）已知点P（﹣1，）是椭圆C：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．①求椭圆C的方程；②设A、B是椭圆C上两个动点，满足（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．【分析】①由于PF1⊥x轴，可得c=1，把点P（﹣1，）代入椭圆的方程得，又a2﹣b2=c2=1，联立解得a2，b2即可；②设直线y=kx+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用向量运算和向量相等即可得出．【解答】解：①∵PF1⊥x轴，∴c=1，把点P（﹣1，）代入椭圆的方程得，又a2﹣b2=c2=1，联立解得a2=4，b2=3．∴椭圆C的方程为；②设直线y=kx+m，联立，化为（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∵直线AB与椭圆有两个不同的交点，∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0．（*）∴．∵满足（0＜λ＜4，且λ≠2），∴+=，∴x1+x2+2=λ，，又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k（x1+x2）+2m，∴，∴+2m=0，∴，化为m（2k﹣1）=0，若m=0，则直线AB经过原点，此时，λ=2，不符合题意，因此m≠0．∴2k﹣1=0，解得．【点评】本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算与相等等基础知识与基本技能方法，属于难题．21．（12分）（2015•长沙校级一模）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x 对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．【解答】（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．（6分）令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．（9分）（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．（13分）综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（14分）【点评】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号．注意所做题目的题号必须和所写的题号一致．【选修4-1：几何证明选讲．】22．（10分）（2016•上饶校级二模）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可．【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（5分）（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …（10分）【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•绥化校级二模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016•上饶一模）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．。
2017-2018学年安徽省滁州市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|3x＞2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）复数z＝，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z|＝B．z的共轭复数为+iC．z的实数与虚部之和为1D．z在平面内的对应点位于第一象限4．（5分）若a＝log3，b＝log23，c＝（）3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．（5分）若执行如图所示的程序图，则输出S的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝3，S8＝12，则{a n}的公差为（）A．﹣1B．1C．2D．37．（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若n⊥β，α⊥β，则n∥αD．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β8．（5分）榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”．若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（）A．10B．12C．14D．169．（5分）已知实数x，y满足，若z＝x+my的最大值为10，则m＝（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的最小正周期为T，将曲线y＝f（x）向左平移个单位之后，得到曲线y＝sin（2x+），则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（，）D．（，）11．（5分）过双曲线﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+5）2+y2＝4和圆C2：（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）作切线，切点分别为M，N，若|PM|2﹣|PN|2的最小值为58，则r＝（）A．1B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝在[﹣2，2]上的最大值为5，则实数a 的取值范围是（）A．[﹣2ln2，+∞）B．[0，ln2]C．（﹣∞，0]D．[﹣ln2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（﹣k，k+2），＝（2，﹣3），若∥（+2），则实数k＝．14．（5分）（x+2y）（x﹣y）6的展开式中，x4y3的系数为（用数字作答）．15．（5分）若在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，a9＝a33，则a2018＝．16．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．（1）求角B的值；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．18．（12分）随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量．进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约．未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内．为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格（2）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101～150以及151～200的等级中抽取14天进行调研，再从这14天中任取4天进行空气颗粒物分析，记这4天中空气质量指数在101～150的天数为X，求X的分布列；（3）以频率估计概率，根据上述情况，若在一年365天中随机抽取5天，记空气质量指数在150以上（含150）的天数为Y，求Y的期望．19．（12分）已知三棱锥D﹣ABC中，BE垂直平分AD，垂足为E，△ABC是面积为的等边三角形，∠DAB＝60°，CD＝，CF⊥平面ABD，垂足为F，O为线段AB的中点．（1）证明：AB⊥平面DOC；（2）求CF与平面BCD所成的角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足|PF1|+|PF2|＝4，且椭圆C过点（﹣1，﹣），过点R（4，0）的直线l与椭圆C 交于两点E、F．（1）求椭圆C的方程；（2）过点E作x轴的垂线，交椭圆C于N，求证：N，F2，F三点共线．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）若x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）＝．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，求线段AB的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+2018．（1）解关于x的不等式f（x）＞|x|+2018；（2）若f（|a﹣4|+3）＞f（（a﹣4）2+1），求实数a的取值范围．2017-2018学年安徽省滁州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|3x＞2}＝{x|x＞log32}，∴A∩B＝{x|x＞1}．故选：C．2．【解答】解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r；∴圆的面积为πr2，正方形的面积为4r2；以面积为测度，可得点P落在⊙O外的概率为P＝1﹣＝．故选：A．3．【解答】解：复数z＝＝＝+i，∴|z|＝＝，A错误；z的共轭复数为﹣i，B错误；z的实数与虚部之和为+＝2，C错误；z在平面内的对应点是（，），位于第一象限，D正确．故选：D．4．【解答】解：∵a＝log3＜log31＝0，b＝log23＞log22＝1，0＜c＝（）3＜（）0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．5．【解答】解：模拟程序的运行，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝log32•log43•log54•log65•log76•log87的值，可得：S＝log32•log43•log54•log65•log76•log87＝＝＝＝．故选：A．6．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a6＝3，S8＝12，∴，解方程可得，a1＝﹣2，d＝1，故选：B．7．【解答】解：由m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊂α，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥β，故B正确；在C中，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故D错误．故选：B．8．【解答】解：如图所示，该几何体为一个3×2×3的长方体，去掉四个角（棱长为1的正方体）余下的几何体．∴该“榫头”体积＝3×2×3﹣4×13＝14．故选：C．9．【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，联立，解得A（2，4），化目标函数z＝x+my为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：10，即2+4m＝10．解得m＝2．故选：B．10．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的最小正周期为T＝＝π，将曲线y＝f（x）向左平移＝个单位之后，得到曲线y＝sin（2x++φ）的图象，又因为得到曲线y＝sin（2x+）的图象，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．结合所给的选项，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+5）2+y2＝4的圆心为（﹣5，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣5）2+y2＝1的圆心为（5，0），半径为r，设双曲线﹣＝1的左右焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r2）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣r2）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣4+r2＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣4+r2＝2a（|PF1|+|PF2|﹣4+r2＝6（|PF1|+|PF2|）﹣4+r2≥6•2c﹣4+r2≥60﹣4+r2＝58，当且仅当P为右顶点时，取得等号，即r2＝2，则r＝故选：B．12．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），∴f′（x）在（0，1）为负，在（1，2）为正，∴f（x）在[0，1]递减，在[1，2]递增，又f（0）＝1，f（2）＝5，故f（x）在[0，2]上最大值为5；当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝e ax+1，f′（x）＝ae ax，若a＞0，则f′（x）＞0，f（x）递增，此时，f（x）＜f（0）＝2，符合题意；若a＝0，f（x）＝2，符合题意；若a＜0，则f′（x）＜0，f（x）递减，此时，f（x）≤f（﹣2）＝e﹣2a+1，由题意，e﹣2a+1≤5，解得a≥﹣ln2．综上可知，a的取值范围为[﹣ln2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵＝（﹣k，k+2），＝（2，﹣3），∴+2＝（4﹣k，k﹣4），又∥（+2），∴﹣k（k﹣4）﹣（k+2）（4﹣k）＝0，解得：k＝4．故答案为：4．14．【解答】解：∵（x+2y）（x﹣y）6＝（x+2y）•（x6﹣6x5•y+15x4•y2﹣20x3•y3+15x2•y4﹣6x •y5+y6），∴x4y3的系数为﹣20+2×15＝10，故答案为：10．15．【解答】解：设，∵，∴，∴q6（q2﹣4）＝0，∵在各项都为正数的等比数列{a n}中q＞0，∴q＝2，∴＝22018．故答案为：22018．16．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣，抛物线C：y2＝5x，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的倾斜角为，直线AF 的斜率k AF＝﹣，准线与x轴的交点为N，则AN＝tan ＝，A（﹣，），|AF|＝＝5．故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，∴cos B＝．又B∈（0，π），∴B＝．（2）据（1）求解知B＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①又S＝ac sin B＝3，∴ac＝12，②又∵b＝，∴据①②解，得a+c＝7．18．【解答】解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，从空气质量指数在101～150以及151～200的天数分别是10，4，故X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝．故X的分布列为：（3）依题意，任取1天空气质量指数在150以上的概率为．由二项分布知识可知，Y～B（5，），故B（Y）＝5×＝．19．【解答】证明：（1）∵BE垂直平分AD，垂足为E，∴AB＝DB．∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．又△ABC是等边三角形．∴O是AB中点，DO⊥AB，CO⊥AB．∵DO∩CO＝O，DO，CO⊂平面DOC，∴AB⊥平面DOC．解：（2）由（1）知OC＝OD，平面DOC⊥平面ABD．∵平面DOC与平面ABD的交线为OD．∵CF⊥平面ABD．∴F∈CD．又等边△ABC面积为，∴OC＝，又CD＝，∴F是OD中点．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，B（1，0，0），C（0，，0），D（0，，），F（0，，），∴＝（0，﹣，），＝（﹣1，，0），＝（﹣1，，），设平面BDC的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝，则x＝3，z＝1．即平面BCD的一个法向量为＝（3，，1）．∴CF与平面BCD所成角的正弦值为＝＝．20．【解答】解：（1）依题意，|PF1|+|PF2|＝4＝2a，故a＝2．将（﹣1，﹣）代入C：+＝1中，解得b2＝3，故椭圆C：+＝1．证明（2）由题知直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝k（x﹣4）．点E（x1，y1），F（x2，y2），则N（x1，﹣y1），联立可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．可得x1+x2＝，x1x2＝由题可得直线FN方程为y﹣y2＝（x﹣x2），又∵y1＝k（x1﹣4），y2＝k（x2﹣4）代入∴直线FN方程为y+k（x1﹣4）＝（x﹣x1），令y＝0，整理得x＝＝＝＝1，即直线FN过点（1，0）．又∵椭圆C的左焦点坐标为F2（1，0），∴N，F2，F三点共线21．【解答】解：（1）依题意，f′（x）＝2x﹣1﹣＝＝．故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．故当x＝1时，函数f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值；证明：（2）∵x1，x2是方程ax+f（x）＝x2﹣x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得a＝．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜，即证：x1x2＜，即证＜＝，不妨设x1＜x2，令＞1．只需证ln2t．设，则；令h（t）＝2lnt﹣t+，则h′（t）＝＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（1）＝0，即g′（t）＜0，∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则g（t）＜g（1）＝0．即ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即lnx1+lnx2+2lna＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴平方得曲线C1的普通方程为x2+y2＝1，∵C2的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，∴ρ（cosθ+sinθ）＝1，∴x+y＝1，故曲线C2的普通方程为x﹣y﹣1＝0；（2）据，得或，所以线段AB的长度为＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＞|x|+2018可化为|x﹣1|＞|x|，∴（x﹣1）2＞x2，∴x＜，∴不等式的解集为{x|x＜}．（2）∵f（x）＝|x﹣1|+2017在[1，+∞）上单调递増，又|a﹣4|+3＞1，（a﹣4）2+1≥1，∴只需要|a﹣4|+3＞（a﹣4）2+1，化简为（|a﹣4|+1）（|a﹣4|﹣2）＜0，∴|a﹣4|＜2，解得2＜a＜6，即实数a的取值范围是（2，6）．。
2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题
2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，，且，则A. B. C. D.2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A. B.C. D.3．下列函数中，值域为的偶函数是A. B. C. D.4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是A. B. C. D.5．设，则的大小关系是A. B. C. D.6．函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.7．设函数A. B. C. D.8．函数的图象的大致形状是A B C D9．直线与圆交点的个数为A. 2个B. 1个C. 0个D. 不确定10．圆与圆的位置关系是A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切11. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则12．某几何体的三视图如图所示，它的体积为A.B.C.D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算 .14．经过，两点的直线的倾斜角是 .15．若函数在区间上的最大值比最小值大,则 . 16．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.EDBA CC1 A1第12题图求证：（1）；（2）.19. （本小题满分12分）已知函数.（1）根据定义证明：函数在上是增函数；（2）根据定义证明：函数是奇函数.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.第20题图21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆经过三点．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．22. （本小题满分12分）已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R 且，，求证：方程在区间上有实数根.2017～2018学年第一学期期末联考高一数学试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112答案 A C Ｄ B Ａ B C D A D B C二、填空题．16.；15.；14.；113.三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步聚或推理过程．）17．（本小题满分10分）已知的三个顶点⑴求边上高所在直线的方程；⑵求的面积．解(1)设边上高所在直线为，由于直线的斜率…………………….…2分所以直线的斜率.…………………….…3分又直线经过点，所以直线的方程为，…………….…4分即…………………………………………..…4分⑵边所在直线方程为：,即…………………….…5分点到直线的距离,…………………………………7分又………………………9分…………….…10分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：⑴； ⑵.证明：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，………....................……….….................…1分 为的中点，……………….….................................................…2分 又为的中点，，………………….………………3分 又平面，平面，……………..……4分平面.……………………………………………….…5分⑵在直三棱柱中，平面,平面,.………………6分又，平面，平面，，….....7分平面，………………………………………....................................…8分 平面，.…………………....…..................................…9分 矩形是正方形，，……………………...............................…10分 平面，，平面.…….............…11分又平面，.…………………….….................................…12分19.（本小题满分12分）已知函数.⑴根据定义证明：函数在上是增函数；⑵根据定义证明：函数是奇函数.EDBACC 1B 1A 1证明：⑴设任意的，且，…………1分则…………………………2分………………………3分……………………………………………4分，，即，……….…5分又，………………………………….…6分，即，………………7分在上是增函数.……………………………8分⑵，……………………9分,……………………………………………10分…………………………………………11分，即所以函数是奇函数. ……………………………………12分20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，.⑴画出二面角的平面角，并求它的度数；⑵求三棱锥的体积.解：⑴取中点，连接、，……....................................……....1分，，，…...….........2分且平面，平面，….............................................…...3分是二面角的平面角. ….....................................……....4分在直角三角形中，…...5分在直角三角形中，…...6分是等边三角形，………………….7分…...………………………...8分⑵解法1：，......................9分又平面， 平面平面，且平面平面.............10分 在平面内作于，则平面，..................11分即是三棱锥的高.在等边中，，三棱锥的体积.....................................12分解法2：平面.........9分在等边中，的面积，.......................10分三棱锥的体积...................12分21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆经过三点． ⑴求圆的方程； ⑵若圆与直线交于两点，且求的值．解：⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，所以可设圆的圆心为，………………………….….……1分则有解得…………………2分则圆C 的半径为……………………………3分ODSCBA所以圆C的方程为……………………4分⑵设，其坐标满足方程组：............5分消去，得到方程….....................................…....6分由根与系数的关系可得，…………......8分由于可得,…………………….....................................….....10分又所以………........11分由①，②得，满足故……......................................……………12分22.（本小题满分12分）已知函数.⑴若，判断函数零点个数；⑵若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；⑶已知且，，求证：方程在区间上有实数根.解:⑴……………………………………………………1分,………………………………………………2分当时，，函数有一个零点；……………………………3分当时，，函数有两个零点.………………………….…4分⑵已知，则对于恒成立,…………………….…...…6分即恒成立；…………………………………………...…6分所以,……………………………………………………7分从而解得.……………………………………………………...……8分⑶设，则……….…9分……….…10分,……………………………11分在区间上有实数根，……………………………….…12分即方程在区间上有实数根. ……..…12分。
安徽省滁州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
滁州市2017-2018学年第一学期高一期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D2. 已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知，故.3. 计算：（）A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】原式.5. 若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意有，，.6. 函数的最大值是（）A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】，故最大值为.7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项为偶函数，选项为非奇非偶函数.选项在为减函数，在为增函数.选项在上为增函数，符合题意.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，选项定义域显然不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后计算，化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.8.9. 函数的零点为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故函数的零点在区间.11. 曲线，曲线，下列说法正确的是（）A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到【答案】B【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.12. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.14. ，则__________．【答案】【解析】，，故原式.15. 若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由于函数为二次函数，对称轴为，只需对称轴不在区间上即可，即或，解得.【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说，它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数，不需要递增还是递减，故只需对称轴不在给定区间内即可.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【试题分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.【试题解析】解：，（1）；（2）∵，∴，∵，∴，∴．18.19. 已知函数的图象过点．（1）若，求实数的值；（2）当时，求函数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）将点代入函数，由此求得的值，进而得出的表达式.解方程，可求得实数的值.（2）将分离常数，得到，它在上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.【试题解析】解：（1），∴，，∴，∴；（2），显然在与上都是减函数，∵，∴在上是减函数，∵，∴．20. 函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求图中的值及函数的递增区间．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）根据图像最大值求得,根据可求得，在根据图像上一个点，可求得的值.（2）利用求出，利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间，求得的范围即函数的递增区间.【试题解析】解：（1）由图知，∴，∴，又，∴，且，∴；（2）由（1）知，由，∴，由得，∴的单调增区间为．21.22. 已知函数．（1）求证：是奇函数；（2）判断的单调性，并证明；（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判断故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法，计算，由此判断出函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系，进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性，需计算的值来判断.【试题解析】（1）证明：由，得，∵，∴是奇函数；（2）解：的单调减区间为与没有增区间，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∴在上是减函数，同理，在上也是减函数；（3）是奇函数，∴，∴化为，又在上是减函数，∴，∴，即．。
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滁州市六校联考2017-2018学年度第一学期高一数学满分：150分，时间：120分钟一．选择题（每题5分，共50分，每题只有一个符合题意的选项） 1.全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则U U C SC T 等于（ ）A.∅B.{2,4,7,8}C. {1,3,5,6}D. {2,4,6,8} 2．如果A=}1|{->x x ，那么 （ ）A ．A ⊆0B ．A ∈}0{C ．A ∈ΦD ．A ⊆}0{3．已知2,0()2,00,0x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，则)]}2([{-f f f 的值为 （ ）A. 0B. 2C. 4D. 84．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是 （ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 5.函数2()-f x （ ）A. 1[,1]3-B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-6. 若函数2(21)1=+-+y x a x 在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－23，+∞） B ．（－∞，－23] C ．[23，+∞） D ．（－∞，23]7. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ）A ．2()1,()1x f x x g x x=-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C．2(),()f x x g x ==D ．0()1,()f x g x x ==8．下列图象中表示函数图象的是 （ ）（A ） (B) (C ) (D)9.()f x 是定义在()0,+∞上的增函数,则不等式()()82f x f x >-⎡⎤⎣⎦的解集是 （ ）A. (0 ,)+∞B. 162,7⎛⎫⎪⎝⎭C. (2 ,)+∞D. ()0 , 2 10. 已知4)(3-+=bx ax x f ,若6)2(=f ,则=-)2(f （ ）)(A 14- )(B 14 )(C 6- )(D 10二． 填空题（每题5分，共25分）11．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则AB = ．12．13．函数y=6x 4x 2+- 当]4,1[x ∈时，函数的值域为__________________ 13．已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝ ． 14．已知函数()f x 满足22()3()f x f x x x +-=+，则()f x = ．15．已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，则a 的值为 ．滁州市六校联考2014-2015学年度第一学期高一数学（答题卷）二、填空题（每小题4分，共计20分）11. 12 13. ________________答 题 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※座号： 考号：14. _______________ 15． .三、解答题：解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．（合计80分） 16．(10分)设A={x ∈Z| }66≤≤-x ，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ⋃⋂； （2）()A A C B C ⋂⋃17.（10分）设}012{2=++=ax x x A ，}023{2=++=b x x x B ，}2{=B A（1）求b a ,的值及B A ,；（2）设全集B A U =，求()()U U A B 痧18. （12分）已知[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x x （1）设[]2,1,3-∈=x t x ，求t 的最大值与最小值；（4分） （2）求)(x f 的最大值与最小值；（6分）19．(12分)已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 2)(,02-=≥，（1）画出 )(x f 图象；（2）求出)(x f 的解析式.20．(12分)已知函数()[]21,3,51x f x x x -=∈+， （1）用定义法证明函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 的最小值和最大值。
21．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。
租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22．已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足()()()=+f xy f x f y ，(3)1=f 。
（1）求()9(27)，f f 的值；（2）若()3+(8)2-<f f a ，求实数a 的取值范围。
参考答案二、填空题（每小题4分，共计20分）11. {}0，3 12 2，6⎡⎤⎣⎦ 13.(){}3，-114. 21()5f x x x =- 15. 0或1三、解答题：解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．（合计80分） 16．(10分)设A={x ∈Z| }66≤≤-x ，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ⋃⋂； （2）()A A C B C ⋂⋃ 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------……………2分（1）又{}3B C ⋂=()A B C ∴⋃⋂={}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6------……6分（2）又{}1,2,3,4,5,6B C ⋃= 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C ⋃=------()A A C B C ∴⋂⋃{}6,5,4,3,2,1,0=------ ……………12分17.（10分）设}012{2=++=ax x x A ，}023{2=++=b x x x B ，}2{=B A（1）求b a ,的值及B A ,；（2）设全集B A U =，求()()U U A B 痧解（1）{}2=⋂B A 801224-=⇒=++∴a a50264-=⇒=++b b …… 4分{}{}6,201282=⇒=+-=⇒A x x x A{}{}2,501032-=⇒=-+=B x xx B …… 8分(2){}6,2,5-=⋃=B A U {}{}6,5=-=B C A C U U∴A C U ⋃B C U ={}6,5- …… 12分 18. （12分）已知[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x x （1）设[]2,1,3-∈=x t x ，求t 的最大值与最小值；（6分） （2）求)(x f 的最大值与最小值；（6分） 解：（1）xt 3= 在[]2,1-是单调增函数∴932max ==t ，3131min ==-t（2）令xt 3=，[]2,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴9,31t 原式变为：42)(2+-=t t x f ，3)1()(2+-=∴t x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈9,31t ，∴当1=t 时，此时1=x ，3)(min =x f ，当9=t 时，此时2=x ，67)(max =x f 。
19．(12分)已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 2)(,02-=≥，（1）画出 )(x f 图象；（5分）（2）求出)(x f 的解析式（7分）. 解：（1）如右图（5分）（2）（7分）设220,()()[()2()]2x f x f x x x x x <=--=----=-- 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩20．(12分)已知函数()[]21,3,51x f x x x -=∈+， （1）用定义法证明函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 的最小值和最大值。
解（1）设1235x x ≤<≤，则()()1212122121,11x x f x f x x x --==++ ()()()()()()()()()()()121212122112121221211121121111311x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=-++-+--+=++-=++12 35x x ≤<≤ ∴ 12120,10,10x x x x -<+>+>∴ ()()()()12120,f x f x f x f x -<<即 ∴ ()[]211x f x x -=+在3,5上是增函数 （2）由（1）可知()[]211x f x x -=+在3,5上是增函数， ∴ 当()3,x f x =时有最小值()534f =当()()35,52x f x f ==时有最大值21．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。
租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）租金增加了3600-3000=600元，所以未出租的车有12辆，一共出租了88辆。
……………………………2分（2）设每辆车的月租金为x 元，（x ≥3000），租赁公司的月收益为y 元。
则：22300030003000(100)50(100)150505050116221000(4050)370505050x x x y x x x x ---=--⨯--⨯=-+-=--+…………………8分max 4050,30705x y ==当时 ………………………………………11分所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为30705元22．已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （3）=1（1）求f （9），f （27）的值；（2）若f （3）+f （a-8）＜2，求实数a 的取值范围。
解：（1）由原题条件，可得到f （9）=f （3×3）=f （3）+f （3）=1+1=2， f （27）=f （3×9）=f （3）+f （9）=1+2=3； （2）f （3）+f （a-8）=f （3a-24）， 又f （9）=2∴f （3a-24）＜f （9），函数在定义域上为增函数，即有3a-24＜9，∴，解得a 的取值范围为8＜a ＜11．。