数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法
第一类：公式法求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的.
1、等差数列前n 和公式：()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+ 2、等比数列前n 和公式：1
11(1)(1)(1)
11n n n na q S a a q
a q q q q =⎧⎪
=--⎨=≠⎪--⎩
自然数方幂和公式：
3、11(1)2n
n k S k n n ===+∑ 4、211
(1)(21)
6n
n k S k n n n ===++∑
5、32
1
1[(1)]2
n
n k S k n n ===+∑
【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和
n S .
【练习】已知321
log log 3
x -=
，求23n x x x x +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅的前n 项和.
第二类：分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。

【例】数列111111,2,3,4
,,,24816
2n
n
求数列的前n 项和.
【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+-
第三类：裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
常用的通项分解（裂项）如：
（1）()()1n a f n f n =+-
（2）()11111
n a n n n n =
=-++ （()1111n a n n k k n n k ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭）
（3）()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫
=
=⋅- ⎪+--+⎝⎭
（4
）n a =
=（5）()1log 1log 1log n a a a a n n n ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭
【例1】数列11
11,
,,,
,
12123
123n
++++++
+，求该数列的前n 项和.
【例2】已知等差数列{}n a 满足3575,22a a a =+=.
（1）求n a ； （2）令1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【例3】数列
()
1111
,,,,
,
132435
2n n ⨯⨯⨯+，求该数列的前n 项和.
小结：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意究竟是像例1一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项.
【例4】数列{}
n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为10，则
项数为（ ）
A. 11
B. 99
C. 120
D. 121
【例5】数列{}n a 的通项公式是21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，求该数列的前127项
和.
第三类：错位相减法求和
这种方法主要用于求数列{}n n a b ⋅的前n 项和（112233n n n S a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅），其中{}n a ，{}n b 分别是等差数列
和等比数列.
【例1】求数列{}n a 的前n 项和n S .
（1）2
3
4
12,22,32,42,
,2n
n ⨯⨯⨯⨯⨯
（2）2
341234
,
,,,,
2222
2n
n
【练习】求数列{}n a 的前n 项和n S . （1）()23412,32,52,72,,212n
n ⨯⨯⨯⨯-⨯
（2）234
2468
2,
,,,,
22222n
n
【例2】已知数列的等比数列公比是首项为4
1,41}{1==q a a n ，设
*)(log 324
1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.求数列}{n c 的前n 项
和S n ；
第四类：合并求和法
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，
可将这些项放在一起求和，然后再求n S .
【例】求2222222212345699100-+-+-+--+的值.
第五类：倒序相加法
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它与原数列相加，就可以得到n 个()1n a a +。

【例】若函数()f x 对任意x R ∈，都有()()12f x f x +-=.
（1）()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，数列{}n a 是等差数列吗是证明你的结论；
（2）数列11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【例习】求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89+++⋅⋅⋅++的值.
第六类：利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
【例】求1
1111111111n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个的和
数列通项与求和的综合题
1．已知各项均为正数的数列{}n a 中，11=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*∈N n ，有p pa pa S n n n -+=222，()R p ∈．
（1）求常数p 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）记n n
n n S b 23
4⋅+=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
2．设数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,{}n b 为等比数列,且()1112121,a b b a a b +=-=,
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)设n
n n
a c
b =
,求数列{}n c 的前n 项和n T . 3．（2013
广东文科）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满
足
21441,,n n S a n n N *
+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．
(1)
证明：2a = (2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有
1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<．
4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且
2a ，7a ，22a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：13
68n
T <≤．
5.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ；（2）令n b = 211
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．。