§1.3 条件概率及事件的独立性

2 P ( A1 ) 5
例4 盒中有n个球，其中n－1个白球， 1个黑球，n个 依次从袋中各取1球，每人取后不放回，求第i人取到 黑球的概率。
例 5 为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统 A, B,
每种系统单独使用时，其有效的概率系统 A 为 0.92，系
统 B 为 0.93，在 A 失灵的条件下， B 有效的概率为 0.85，
C1 4
1 C13
P AB P A P B A, B是相互独立的.
加上大小王 如何？
2、多个事件的独立
定义2、若三个事件 A, B, C 满足： P( AC ) P( A) P(C ) P( AB) P( A) P( B)
P( BC ) P( B) P(C ) 则称事件 A, B, C 两两相互独立。 若在此基础上还满足： P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) 则称事件 A, B, C 相互独立。 一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 如果对任意 k (1 1 n), 任意的1 i1 i2 ik n, 具有等式 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
P( A ) P( B | A )
i 1 i i
n
,( j 1,..., n )
贝叶斯公式
例6 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2， 且三家 工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌 产品的次品率。
解：设 B :买到一件次品； Ai i 1, 2,3 分别表示买到甲、乙、丙三厂的产品。
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) P ( A4 | A1 A2 A3 )
其中
3 3 P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 6 7 4 故 P ( A1 A2 A3 A4 ) 3 P ( A4 | A1 A2 A3 ) 70 8
L R
2 4
R
2 1 L 2
5 4 R 5
由全概率公式
2p p P( A | A3 ) P{( A1 A2 )( A4 A5 )} P( A | A3 ) P( A1 A2 ) P( A4 A5 ) (2 p p 2 ) 2
P ( A) P ( A | A3 ) P ( A3 ) P ( A | A3 ) P ( A3 )
P B1 P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 0.47
P B0 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 0.8 0.7 0.5 0.28
P B3 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 0.03 P B2 1 P B0 P B1 P B3 0.22
现从袋中任意抽取 2个红球， 例1.3.1 设袋中有3个白球， 两次， 取后不放回。 每次取一个，
（1）求第一次取到红球的概率;
（2）已知第一次取到红球， 求第二次也取到红球的概率; （3）求第二次取到红球的概率； （4）求两次均取到红球的概率；
解、设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球 (1) P( A) 2 (2) P( B | A) 1 5 4 2 1 3 2 2 2 1 1 (3) P( B) (4) P( AB) 2 2 P5 5 P5 10
P( B) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 )
1 2 3 1 7 2 3 4 3 12
例8 商店论箱出售玻璃杯， 每箱20只， 其中每箱含0，1， 某顾客选中一箱， 2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1， 从中任 选4只检查， 结果都是好的， 便买下了这一箱. 问这一箱含有 一个次品的概率是多少？ 解: 设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0 , B1 , B2 分别表示事件每箱含0，1，2只次品 已知: P ( B0 ) 0.8, P( B1 ) 0.1, P ( B2 ) 0.1, P( A | B0 ) 1
C 4 P( A | B1 ) C 5 由Bayes公式: P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 | A) 2 0.0848 P( Bi ) P( A | Bi )
i 0
4 19 4 20
4 C18 12 P( A | B2 ) 4 C20 19
§1.3.3 事件的相互独立性
P ( A1 A2 A n ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( An A1 An 1 ).
每次从袋中任取一只， 例3 盒中有3个红球，2个白球， 观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同
的球， 若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、 4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
试判断下列哪些结论成立： (1) 事件A与事件B互不相容； (2) 事件A与事件B相互对立； (3) 事件A与事件B不相互独立； (4) 事件A与事件B相互独立；
例11. 从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令 A={抽出一张K}, B={抽出一张黑桃},问A与B是否独立?
1 解: P A , P B 1 , P AB , 1 1 C52 C52 C52
第三节
第一章
条件概率及事件 的相互独立性
一、条件概率和乘法公式 二、全概率公式和Bayes公式 三 、事件的相互独立性
§1.3.1 条件概率和乘法公式
在实际问题中，除了要知道事件 A 发生的概率 P(A) 外，有时还要考虑“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发 生的概率”，这个概率记作 P(A|B)。 由于增加了条件“事 件B 已经发生”，所以一般说来，P(A|B) 和 P(A) 不同。 称P(A|B) 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的 条件概率。
求：
（1） 发生意外时， 这两个报警系统至少有一个有效的概率；
=0.9795
（2） B 失灵的条件下， A 有效的概率。
≈0.8286
二、全概率公式和贝叶斯公式 定义 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间Ω的一个划分，若满足：
(i ) Ai ;
i 1
n
(ii ) Ai Aj , (i j ), i, j 1, 2,..., n.
10
nA 60
nAB 40
nAB 2 P( B | A) nA 3
2、乘法公式 设A, B , P( A) 0, 则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 就称为 事件A, B 的概率乘法公式。
以上公式还可推广到三个事件的情形：
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB ). 一般地，有下列公式：
P{ A1 A2 ... An ) 1 P ( A1 )....P ( An )
2)、在可靠性理论上的应用
例11． 如图，1、2、3、4、5表示继电器 1 4 3 触点, 假设每个触点闭合的概率为p, 且各 L 2 5 继电器接点闭合与否相互独立， 求L至R 是通路的概率。 解: 设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…,5 1 4 P ( A | A3 ) P ( A1 A4 A2 A5 )
定义1.3且 P( B) 0,
P( AB) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 性质
0 P( A B) 1
P( A B) P( A B) 1
各有红、白两色， 例2 一盒中混有100只新 、旧乒乓球， 分类如下表。 从盒中随机取出一球， 若取得的是一只红球， 试求该红球是新球的概率。 红 白 30 解： 设A--从盒中随机取到一只红球. 新 40 B--从盒中随机取到一只新球. 旧 20
例9
某车间中，一位工人操作甲、乙两台没有联系的
自动车床，由积累的数据知，这两台车床在某段时间内停 车的概率分别为 0.15 和 0.20 ，求这段时间内至少有一台
不停车的概率。 (0.97) 例10
P 设 0<P(A)<1， 0<P(B)<1 ， A | B P A | B 1
2 p 2 2 p3 5 p 4 2 p5
例12 设有三门火炮同时对某目标进行射击，命中率分 别为0.2，0.3，0.5；命中1发目标被毁的概率为0.2，命 中2发目标被毁的概率为0.6， 命中3发目标被毁的概率 为0.9， 求该目标经3门火炮一次射击后被毁的概率。 解 设 Ai ={第 i 门火炮击中目标}，i =1,2,3; Bk ={恰有 k 发炮弹命中目标}，k =0,1,2,3; C={目标被击毁}
对于随机试验的两个随机事件 A 和 B ，一般有
P A | B P( A)
这表明事件 B 的发生与否对事件 A 的发生是有影响的。
当 P(A|B)=P(A) 时，这种影响就不存在。此时，称事件
A 与事件 B 是独立的。
P( AB ) 由条件概率公式 P A | B P( B ) 可知： P( AB ) 或 P B | A P( A)
例7 有甲乙两个袋子， 甲袋中有两个白球， 乙袋中 1个红球， 今从甲袋 一个白球． 这六个球手感上不可区别． 有两个红球，
中任取一球放入乙袋， 搅匀后再从乙袋中任取一球， 问此球是 红球的概率？ 解： 1——从甲袋放入乙袋的是白球； 设A