“实数”新题型

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专题3.1 实数重难点题型分类(八大题型)(解析版)

专题3.1 实数重难点题型分类（八大题型）【题型1 无理数的概念】【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】【题型3 实数大小比较、无理数的估算】【题型4 最简二次根式及同类二次根式】【题型5 无理数在数轴上的表示】【题型6 绝对值的非负性】【题型7 算术平方根的非负性】【题型8 算术平方根钰绝对值的非负性综合】类型一：绝对值的非负性任何一个实数的绝对值是非负数类型二：算术平方根的非负性a≥a（≥1.二次根式具有双重非负性，即）2.几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.【题型1 无理数的概念】1．（2023春•中山市期末）下列四个数中，属于无理数的是（）A．0B．C．πD．﹣1.5【答案】C【解答】解：0是整数，它是有理数，则A不符合题意；，﹣1.5是分数，它们均为有理数，则B，D均不符合题意；π是无限不循环小数，它是无理数，则C符合题意；故选：C．2．（2023春•黄山期末）在实数，，π，，3.1212212221…，中，无理数的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解答】解：，3.是分数，它们是有理数；，π，3.1212212221...，2+均为无限不循环小数，它们是无理数；综上，无理数共4个，故选：B．3．（2023春•鹤峰县期末）有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；（4）正确；故选：B．【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】4．（2023春•西岗区期末）下列说法正确的是（）A．正数的平方根是它本身B．100的平方根是10C．﹣10是100的一个平方根D．﹣1的平方根是﹣1【答案】C【解答】解：A、正数的平方根是它本身，错误；B、100的平方根是10，错误，应为±10；C、﹣10是100的一个平方根，正确；D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C．5．（2023•灞桥区校级三模）64的平方根是（）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵±8的平方都等于64；∴64的平方根是±8．故选：C．6．（2023春•绥棱县期末）下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：＝．故选：A．7．（2022秋•新邵县期末）若x是的算术平方根，则x＝（）A．3B．±3C．9D．±9【答案】A【解答】解：∵x是的算术平方根，∴x＝3，故选：A．8．（2023春•邕宁区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：，∵＜＜，∴4＜＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．9．（2023•路北区二模）设a＝，则（）A．1.5＜a＜2B．2＜a＜2.5C．2.5＜a＜3D．a＝3【答案】B【解答】解：∵23＝8，2.53＝15.625，且8＜9＜15.625，∴，∴2＜＜2.5，∴，∵a＝．∴2＜a＜2.5．故选：B．10．（2023春•平泉市期末）表示的意义是（）A．3的立方根B．3的平方根C．3的算术平方根D．3的平方【答案】C【解答】解：表示3的算术平方根．故选：C．11．（2023春•南沙区期末）立方根等于2的数是（）A．8B．4C．±4D．±8【答案】A【解答】解：∵23＝8，∴立方根等于2的数是8，故选：A．12．（2023春•青海月考）下列说法中正确的是（）A．﹣9的平方根是±3B．﹣a2一定没有平方根C．16的平方根是±4D．﹣2是8的一个立方根【答案】C【解答】解：∵负数没有平方根，∴A选项的说法不正确，不符合题意；∵当a＝0时，﹣a2有平方根0，∴B选项的说法不正确，不符合题意；∵16的平方根是±4，∴C选项的说法正确，符合题意；∵﹣2是﹣8的立方根，∴D选项的说法不正确，不符合题意．故选：C．13．（2023•灞桥区校级模拟）计算的结果是（）A．﹣8B．﹣4C．±8D．±4【答案】B【解答】解：＝﹣4．故选：B．14．（2023•大连模拟）下列计算正确的是（）A．＝2B．C．D．【答案】C【解答】解：A．根据立方根的定义，，那么A错误，故A不符合题意．B．根据算术平方根的定义，，那么B错误，故B不符合题意．C．根据二次根式的减法法则，，那么C正确，故C符合题意．D．根据完全平方公式，，那么D错误，故D不符合题意．故选：C．15．（2023春•梁山县期中）立方根和算术平方根都等于它本身的数是（）A．0B．1，0C．0，1，﹣1D．0，﹣1【答案】B【解答】解：设这个数为x，根据题意可知，，解得x＝1或0，故选：B．16．（2023春•晋安区期末）﹣64的立方根与3之和是（）A．﹣5B．11C．1D．﹣1【答案】D【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴﹣64的立方根为﹣4，则﹣4+3＝﹣1，故选：D．17．（2023春•惠城区校级期中）若a2＝4，b3＝27，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．5C．﹣1或﹣5D．﹣1或5【答案】C【解答】解：∵a2＝4，b3＝27，∴a＝±2，b＝3，当a＝2时，a﹣b＝2﹣3＝﹣1，当a＝﹣2时，a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5，故选：C．18．（2023春•无棣县期中）下列说法；（1）4的算术平方根是2；（2）±5是125的立方根；（3）立方根等于它本身的数是0和1；（4）（﹣1）2的平方根是1．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：4的算术平方根是2，故（1）正确；5是125的立方根，故（2）错误；立方根等于它本身的数是0和±1，故（3）错误；（﹣1）2的平方根是±1，故（4）错误，∴正确的是1个，故选：A．19．（2023春•鄂城区期中）的平方根是（）A．±2B．﹣2C．2D．±8【答案】A【解答】解：∵＝4，4的平方根为±2，∴±2．故选：A．【题型3 实数大小比较、无理数的估算】20．（2023春•滨海新区期末）估计的值在（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间【答案】B【解答】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴4＜+1＜5，即+1在4与5之间，故选：B．21．（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣πB．﹣3.14C．D．0【答案】A【解答】解：∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14，∴﹣π＜﹣3.14，∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜．故选：A．22．（2023春•巴南区期末）估计的值在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】B【解答】解：由于3＝，而6＜＜7，∴4＜﹣2＜5，即4＜3﹣2＜5，故选：B．23．（2023春•丰都县期末）比较大小：　＞　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝48，＝45，∵48＞45，∴4＞3，故答案为：＞．24．（2022秋•慈溪市期末）比较大小：　＞　1．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2＜＜3，∴+1＞3，∴＞1．故答案为：＞．25．（2023•鄞州区校级一模）比较大小：﹣　＜　﹣2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【答案】＜．【解答】解：∵2＝，∴﹣＜﹣2，故答案为：＜．【题型4 最简二次根式及同类二次根式】26．（2023春•巴南区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．＝3，的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝，的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝＝，的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．27．（2023春•花都区期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．28．（2023春•武昌区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．＝3，即与是同类二次根式，故本选项符合题意；B．＝2，即与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C．＝，即与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D．＝2，即与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．29．（2023春•大观区校级期末）下列根式中，与为同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵＝2，∴与为同类二次根式的是，故选：A．30．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】A【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴﹣2a+1＝7+4a，∴a＝﹣1，故选：A．31．（2023春•凤台县期末）如果最简二次根式与是同类根式，那么a 的值是（）A．a＝5B．a＝3C．a＝﹣5D．a＝﹣3【答案】B【解答】解：由题意可知：＝2，3a﹣7＝2a＝3故选：B．32．（2023春•大连期末）若最简二次根式与可以合并，则a＝　﹣1　．【答案】﹣1．【解答】解：由题意可知：1﹣a＝2．a＝﹣1．故答案为：﹣1．【题型5 无理数在数轴上的表示】33．（2023春•嵩明县期末）数轴上点A所表示的实数可能是（）A．B．C．﹣1.5D．π【答案】B【解答】解：∵1＜2＜4，4＜5＜9，∴1＜＜2，2＜＜3，则A不符合题意，B符合题意；∵﹣2＜﹣1.5＜﹣1，∴C不符合题意；∵3＜π＜4，∴D不符合题意；故选：B．34．（2023春•海淀区期末）如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（）A．﹣πB．C．D．【答案】C【解答】解：根据图示，可得：被覆盖的数比3大且比4小，∵﹣π＜0，2＜＜3，3＜＜4，4＜＜5，∴被覆盖的数可能为．故选：C．35．（2023春•路北区期中）如图，两个边长为1的正方形并排放在数轴上，且OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（）A．B．C．﹣2.5D．﹣2【答案】A【解答】解：由勾股定理可得：，∴，∴数轴上点A所表示的数是，故选：A．36．（2023春•历城区期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（）A．B．2.2C．2.3D．【答案】D【解答】解：如图，根据勾股定理得：，∴，∴点A表示的实数是，故选：D．37．（2023春•西吉县期中）如图，OA＝OB，BD＝1，则数轴上点A所表示的数为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵，∴点A所表示的数为．故选：B．38．（2023•浠水县二模）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1B．C．+1D．﹣1【答案】A【解答】解：∵＝，所以点A表示的数为：﹣1+，故选：A．【题型6 绝对值的非负性】39．（2023•都昌县校级模拟）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果是　1　．【答案】1．【解答】解：由题图可得﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴a﹣b＜0，1﹣a＞0，b﹣2＜0，∴|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|＝﹣（a﹣b）﹣（1﹣a）﹣（b﹣2）＝﹣a+b﹣1+a﹣b+2＝1．故答案为：1．40．（2023春•防城区期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|b﹣a|﹣|a+b|＝　2b　．【答案】2b．【解答】解：根据实数a、b在数轴上的位置可以确定a＜0＜b，|a|＞|b|∴b﹣a＞0，a+b＜0．∴|b﹣a|﹣|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b，故答案为：2b．41．（2022秋•高新区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+3b|+|a﹣b|的结果为　4b　．【答案】4b．【解答】解：由题意得，a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴a﹣b＜0，|a|＜|3b|，∴a+3b＞0，∴|a+3b|+|a﹣b|＝a+3b+b﹣a＝4b，故答案为：4b．42．（2022秋•成县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式|b﹣a|﹣|a﹣2|+|b+1|的结果是　2a﹣1　．【答案】2a﹣1．【解答】解：由数轴知，﹣1＜b＜0＜1＜a＜2，故a﹣b＞0，a﹣2＜0，b+1＞0，|b﹣a|﹣|a﹣2|+|b+1|＝a﹣b+（a﹣2）+b+1＝a﹣b+a﹣2+b+1＝2a﹣1故答案为：2a﹣1．【题型7 算术平方根的非负性】43．（2022秋•青神县期末）若，则x的取值范围是（）A．x＝2B．x≤﹣2C．x≤2D．x≥2【答案】C【解答】解：∵，∴2﹣x≥0，∴x≤2，故选：C．44．（2023春•上城区校级期中）若，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3【答案】B【解答】解：∵，即x﹣3≥0，解得x≥3，故选：B．45．（2022秋•广饶县校级期末）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（）A．4B．2C．±2D．3【答案】B【解答】解：∵，∴a＝9，∵|b|＝5，∴b＝±5，∵ab＜0，∴a＝9，b＝﹣5，∴a+b＝9﹣5＝4，∴a+b的算术平方根为，故选：B．【题型8 算术平方根和绝对值的非负性综合】46．（2023春•无棣县期中）已知实数x、y满足，则的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵，，|3x+y﹣1|≥0，∴，|3x+y﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，3x+y﹣1＝0，∴x＝1，3+y﹣1＝0，∴y＝﹣2，∴，故选：C．47．（2023春•繁峙县期中）若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝（）A．1B．﹣1C．﹣2023D．2023【答案】B【解答】解：∵，且，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故选：B．48．（2023春•八步区期中）已知，则a+b＝（）A．8B．﹣8C．6D．﹣6【答案】D【解答】解：∵，∴a﹣1＝0，7+b＝0，∴a＝1，b＝﹣7，∴a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．故选：D．49．（2023春•江城区期中）若，则5x+y2的平方根是（）A．3B．2C．±2D．±3【答案】D【解答】解：∵，，∴＝0，（y﹣2）2＝0，∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴x＝1，y＝2，∴5x+y2＝5+22＝9，∵9的平方根是±3，∴5x+y2的平方根是±3，故选：D．50．（2023•巧家县校级三模）若，则a b的值为　﹣8　．【答案】﹣8．【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3，所以，a b＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．。

专题2.3 实数【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题2.3 实数【十大题型】【北师大版】【题型1 实数与数轴的综合应用】 (1)【题型2 比较实数的大小】 (4)【题型3 实数的有关运算】 (6)【题型4 估算无理数】 (8)【题型5 无理数整数部分或小数部分的有关计算】 (10)【题型6 程序设计与实数的运算】 (12)【题型7 新定义下的实数运算】 (14)【题型8 实数中的实际应用题】 (18)【题型9 实数中的规律探究题】 (20)【题型10 实数性质的综合应用】 (23)【知识点1 实数】0ììüìïïïïíïïïïïïïíýîïïïïìíïïíïïïîþîïïüìïïíýïïîþî正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．【题型1 实数与数轴的综合应用】【例1】（2023春·七年级单元测试）如图，数轴上表示1A ，B ，点A 是BC 的中点，则点C 所表示的数是（）AB ．C ．D【答案】C【分析】根据中点得AC=BC，然后从A点向左平移即可；【详解】解：∵点A是BC的中点，∴AC=BC=，∴点C所表示的数为：1−)=故选：C【点睛】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键．【变式1-1】（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置+化简结果为．【答案】−3b【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，b−a，a+b的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a>0，b<0，且|a|>|b|，因此，a+b＞0，b−a＜0，+=|b−a|−(a+b)+b=a−b−a−b−b=−3b．，故答案为：−3b【点睛】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提．【变式1-2】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）如图，正方形ABCD的面积为7.顶点A在数轴上表示的数为1，点E在数轴上，且AD=AE，则点E表示的数是（）A B C．1+D．【答案】C【分析】因为面积为7的正方形ABCD AB=AB=AE，得AE=A点的坐标为1，故E．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为7，即AB2=7，∴AB∵AB=AE，∴AE=∵A点表示的数为1，∴E，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴有关的问题，算术平方根，关键是结合题意求出AB=AE【变式1-3】（2023春·河北沧州·七年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B A所表示的数为m．(1)实数m的值是______．(2)求(m+2)2−|m−1|的值；(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|2c+3d的立方根．【答案】(3)2【分析】（1）根据数轴上右加左减的规律求解即可；（2）把m的值代入(m+2)2−|m−1|化简即可；（3）根据非负数的性质求出c和d的值，再求求2c+3d的立方根．【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B∴实数m．．（2）解：当m=时，(m+2)2−|m−1|=+2)2−|=3−(（3）解：∵|2c+4|∴|2c+4|+=0，≥0，|2c+4|≥0，∴|2c+4|=00，即2c+4=0，d−4=0，∴c=−2，d=4，===2即2c+3d的立方根是2．【点睛】本题考查了非负数的性质，实数与数轴的关系，相反数的定义，以及立方根的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．【题型2比较实数的大小】【例2】（2023春·江苏南京·【答案】<【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．=2=3，−2==5<32=9，<3，−2=0，<2，又00，故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·全国·和<【分析】利用作差法及无理数的估算，即可比较出大小．(=+−3+∵∴3，∴−3+<0，(<0，<【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法-作差法，无理数的估算，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．【变式2-2】（2023春·江苏·七年级专题练习）若0<x <1，则下列关系式成立的是（）A ．x <1x <<x 2B ．x 2＜x ＜1xC ．1x <x <x 2<D 1x <x <x 2【答案】B【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行比较即可．【详解】解：∵0<x <1∴令x =14∴1x =412，x 2=116∵116<14<12<4∴x 2<x <<1x ．故选B ．【点睛】本题主要考查了实数的大小比较、负整数指数幂、整数指数幂等知识点，灵活利用相关运算法则以及掌握特殊值法是解答本题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级单元测试）若a =b =c =2，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c 【答案】C【分析】根据无理数的估算判断出2<<2.2，2.2<【详解】解：∵8<9<10.648，∴2<<2.2，∵4.84<5，∴2.2<∴2<<c <a <b ，故选：C ．【点睛】此题考查了实数的大小比较，无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．【题型3 实数的有关运算】【例3】（2023·全国· 1.71，计算的结果是（）A ．71B ．171C ．1.71D ．17.1【答案】A【详解】解：=(4−8+=1.71时，=100×1.71−100=71，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是合并同类立方根式，然后将数据代入进行运算．【变式3-1】（2023·江苏·七年级假期作业）若a 、b 、c 是有理数，且满足等式a ＋2a ﹣c ）2013＋b 2014的值．【答案】0【分析】根据题意得出a ＝2，b ＝﹣1，c ＝3，再代入即可求值．【详解】解：∵a 、b 、c 是有理数，且满足等式a ＋2∴a ＝2，b ＝﹣1，c ＝3，则（a ﹣c ）2013+b 2014＝﹣12013+（﹣1）2014＝0．【点评】本题考查了实数的运算，理解实数的意义，求出a 、b 、c 的值是解题关键．【变式3-2】（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）计算下列各题：(1)−35÷(−7)×(−17)−(23−112−415)×(−60)(2)−14−(1−0.5)(−2)2【答案】(1)1827；(2)13．【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可；（2）先算括号里面的，再算乘方，乘法，最后算加减即可．【详解】（1）解：原式＝5×（﹣17）﹣23×（﹣60）+112×（﹣60）+415×（﹣60）＝﹣57+40﹣5﹣16＝1827；（2）原式＝﹣1﹣0.5×43×[2﹣4]＝﹣1﹣23×（﹣2）＝﹣1+43＝13．【点睛】本题考查的是实数的运算，在解答此类问题时要注意各种运算律的灵活应用．【变式3-3】（2023·全国·七年级专题练习）计算下列各题：（1++（2）|−|（3+|+−．【答案】（1）118；（2）−π；（3）8+【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．【详解】解：（1）原式=4+(−3)−12+=4−3−12+12+18，=118；（2）原式=(=，=−π；（3）原式=)−2+5，=6++3，=8+【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．【知识点2 估算法】（1）若120a a a £<<；（2）若12a a a <<a小．例如：916a <<4<827a <<3<<．1.414 1.7322.236．【题型4 估算无理数】【例4】（2023春·四川成都·七年级成都七中校考期中）在数轴上表示有（）个A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【分析】首先对【详解】解：∵4<5<9，∴2<3，∴−3<<−2，∵27<30<64，∴3<4，把∴表示−2、−1、0、1、2、3，共有6个．故选：A【点睛】本题考查了无理数的估算、数轴，解本题的关键在正确估算出【变式4-1】（2023春·之值介于下列哪两个整数之间？（）A ．3，4B ．4，5C ．5，6D ．6，7【答案】B【分析】根据9<11<16【详解】解：∵9<11<16，∴3<<4，∴3+1<4+1，∴4<+1<5．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．【变式4-2】（2023春·河北石家庄·七年级校考期末）如图，在数轴上标有O ，A ，B ，C ，D 五个点，根据）A ．OA 上B ．AB 上C ．BC 上D ．CD 上【答案】B【分析】计算已知点的平方，再进行判断即可．【详解】解：∵2.52=6.25，3.62=12.96，∴2.5<<3.6，∴ AB 上，故选：B ．【点睛】本题考查无理数的估算，数轴表示数的意义和方法，正确的估算无理数的大小是正确判断的前提．【变式4-3】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）规定(a )表示小于a 的最大整数，如(3)=2，=3．现将37进行如下操作：37 第一次→ =6 第二次→ =2 第三次→ =1．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为．【答案】677【分析】根据可用(a)表示小于a的最大整数，反推回去每次求最小整数可得答案．【详解】解：∵第四次=1，最小整数为2，==2，最小整数为5，==5，最小整数为26，==26，最小整数为677，故答案为：677【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，用(a)表示小于a的最大整数，反推是解题的关键．【题型5无理数整数部分或小数部分的有关计算】【例5】（2023春·湖北宜昌·七年级校联考期中）若n<n+1，m<<m+1，其中m、n为整数，则m+n=．【答案】0【分析】根据平方根的定义估算出n n＋1和m＜m＋1在各自范围内的数，求出m、n的值，即可解出本题答案.∵32＜10＜42，∴34，即n＝3，∵22＜8＜32，∴－32，即m＝－3，∴m＋n＝0，故答案为0.【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该方法是本题解题的关键.=．【变式5-1】（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）已知k的小数部分，则1k1【分析】先估算出k的值，再代入化简即可．【详解】解：∵2<3∴k==∴1k1【点睛】本题考查无理数的估算、二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是得出正确答案的前提．【变式5-2】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）已知6+a，b，则(a+b)2023的值是（）A．1B．−1C．10D．36【答案】A【分析】根据题意得出a=【详解】解：∵34，∴9<610，2<<3∴6+6+，()=∴a==∴(a+b)2023=+2023=1，故选：A．【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出a=【变式5-3】（2023春·四川眉山·七年级校考期中）已知6+a，b，(1)求a+b的值；(2)求a−b的值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）先估算出34，进而得到9<6+10，2<<3由此求出a、b的值即可得到答案；（2）根据（1）所求进行求解即可．【详解】（1）解：∵9<11<16，∴3<<4，∴9<610，−4<−3，∴2<3，∴a=9，b==∴a+b=9+（2）解：由（1）得a−b=9−(=5+【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．【题型6程序设计与实数的运算】【例6】（2023·七年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为164，2，y②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式6-1】（2023春·贵州六盘水·七年级统考期中）根据以下程序，当输入2时，输出结果为（）A B C．2D．3【答案】A【分析】把x=2，直到结果小于3输出，故可求解．2【详解】解：把x=2=3，2，把x=32故选A．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，实数大小的比较，解题关键是根据程序进行计算求解．【变式6-2】（2023春·七年级单元测试）根据如图所示的计算程序，若输入的x y的值为．【答案】1x中，计算即可．【分析】先把＜4，代入12×2=1，【详解】当时，y=12故答案为1．【点睛】本题考查了代数式求值和算术平方根，解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计算程序．【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是．【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．82，2【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．【题型7新定义下的实数运算】【例7】（2023春·四川达州·七年级校考期末）对于实数a、b，定义min a，b的含义为∶当a<b时，min{a，b}=a；当a>b时，min{a，b}=b，例如∶min{1，−2}=−2．已知a}=a，，b}=a和b为两个连续正整数，则2a−b的值为．【答案】4【分析】根据a和b的范围，求出a和b的值，然后代入2a−b即可求解．【详解】解：∵a=a，b=b，∴a b，∵a和b为两个连续正整数，56，∴a=5，b=6，∴2a−b=2×5−6=4．故答案为：4【点睛】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．n=【变式7-1】（2023春·江苏·七年级期末）我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m=（其中a>0，b>0），将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“和谐数对”．例如：(4,1)的一对“和谐数对”,1和1,(1)数对(16,5)的一对“和谐数对”是________；(2)若数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，则b的值为________；(3)若数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，直接写出ab的值________．【答案】(2)19(3)1或44【分析】（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b 的等式解答即可；（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a 、b 的等式解答即可．【详解】（1）解：∵m=14，n∴数对(16,5)的一对“和谐数对”（2）解：∵数对(9,b)的一对“和谐数对”相同，∴b =19，故答案为：19；（3）解：∵数对(a,b)的一个“和谐数对”是(2,1)，∴m2，n ==1，或m 1，n ==2，∴a =14，b =1，或a =1，b =4，∴ab =14或ab =4故答案为：14或4．【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．【变式7-2】（2023春·全国·七年级专题练习）对于实数a ，我们规定，用符号数，称为a 的根整数，例如：=3，=3，(1)仿照以上方法计算：=_____；=_____；(2)计算：+++⋯+；(3)如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即=]=1，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．【答案】(1)2；6(2)131【分析】（1）根据题目所给的定义进行求解即可；（2）通过计算发现，所求的和中共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5和1个6，将这些数字相加即可得到答案；（3）根据题目所给定义可知，经过4次操作后结果为1的最小正整数为256，则可得经过3次操作后结果为1的最大正整数为255．【详解】（1）解：=2，∴=2；∵36<37<49，∴6<<7，∴=6，故答案为：2；6；（2）解：=1=23=4=5=6，∴+++⋯+=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6=131；（3）解：∵256=162，=16，=4，=2，=1，4次操作后的结果为1，=15=3，=1，3次操作后的结果为1，∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，算术平方根，正确理解题意是解题的关键．【变式7-3】（2023春·福建福州·七年级校考期末）如果有一个三位数p，百位数为9，十位数和个位数之和也是9，我们把这个三位数称为“九伴数”，把p的百位数和个位数互换位置得到数p′．并规定F（p）=∵1+8=9且百位是9∴918是“九伴数”，F（918）=9188199=193．(1)若a=946，b=936，直接判断a，b是否是“九伴数”，如果是请求出F（a）或F（b）的值．(2)若s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n．①分别用含m，n的式子表示F（s）和F（t）．②若2F（s）+F（t）=570．比较nF(s)与mF(t)的大小并求此时m值．【答案】(1)a不是“九伴数”，b是“九伴数”，175(2)①F（s）=121+9m，F（t）=121+9n；②见解析【分析】（1）按照“九伴数”定义验证即可；（2）①根据s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n，用m，n表示出s和t，表示出F（s）、F （t）；②根据2F（s）+F（t）=570，整理可得n+2m=23，写出m，n所有取值并写出对应的s和t的值，分别比教对应的mF(t)和nF(s)的大小即可．【详解】（1）∵4+6=10，∴a不是“九伴数”，∵3+6=9，∴b是“九伴数”，∴F（936）=9366399=175；（2）①∵s和t都是“九伴数”，且s和t的个位数分别为m，n，∴s=900+10（9−m）+m=990−9m，t=900+10（9−n）+n=990−9n，∴F（s）=990−9m90m999=121+9m，F（t）=121+9n；②∵2F（s）+F（t）=570，∴2（121+9m）+（121+9n）=363+18m+9n=570，∴n+2m=23，∴m =7，n =9；m =8，n =7；m =9，n =5；∴s =927，t =909；s =918，t =927；s =909，t =945；∴当s =927，t =909时，n F(s)＝9927＝1103，m F(t)＝7909，此时m F(t)＞n F(s)，m =7；当s =918，t =927时，n F(s)＝7918，m F(t)＝8917，此时m F(t)＞n F(s)，m =8；当s =909，t =945时，n F(s)＝5909，m F(t)＝9945，此时m F(t)＞n F(s)，m =9．【点睛】此题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是读懂题意并根据新定义做题．【题型8 实数中的实际应用题】【例8】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD 的木料中，挖去以边BC 为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1 ）【答案】1.2平方米【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。

专题03 新定义下的实数运算(中档题、压轴题50题)(解析版)

专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星1．规定一种新运算ab ad bc cd =-．（1）2345=；（2）若22233235x x x x M -++-+-=--，则M 的化简结果为．【答案】2-2221x x --【分析】本题考查了新定义的计算，解题关键是能熟练运用新定义中的计算规律结合实数的运算法则求解．（1）根据新定义运算法则即可求解；（2）根据新定义运算法则化简即可求解．【详解】解：（1）原式254310122=⨯-⨯=-=-．（2）由题意得：22523332M x x x x =--++-+-（+）（）2210515936x x x x =---+-2221x x =--．2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M 满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A ，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B ，令()33A B F M +=，若四位数M 的千位数为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则()1573F =，如果()F M 为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，242=，所以4是完全平方数），那么M 的最小值为．【答案】83；1122．【分析】根据题意得出A 、B 的值，代入()33A B F M +=计算即可解答；由题意可知10A a b =+，10B c d =+，a c b d +=+，代入()33A B F M +=计算得到()3a c F M +=，根据()F M 为完全平方数且取M 的最小值，可得()1F M =，进而求出abcd ,,,的值，即可解答．本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据间位等和数的定义正确表示出A 、B ，再结合完全平方③[)1x x -≤，即最大值为1，该选项错误；④[)0.2x x -=不一成立，该选项错误；故答案为：①．4．定义：对于一个两位数x ，如果x 满足个位数字与十位数字互不相同．．．．，且都不为零．．．．，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为()S x ．例如，13a =，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为133144+=，和44除以11的商为44114÷=，所以(13)4S =．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：(65)S 的值；(3)若一个“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =，求相异数y ．【答案】(1)51(2)11(3)相异数y 是35【分析】本题考查了新定义整数的整除问题，根据定义计算是解题的关键．（1）先确定各数位上的数字，不同的才是“相异数”．（2）根据()S x 的定义计算即可．（3）用幂乘的方式表示相异数，再根据()S x 的定义计算即可．【详解】（1）∵40中有数字0，不符合定义，不是“相异数”，51中十位数字是5，个位数字是1，不同，是“相异数”，77中，十位数字和个位数字都是7，相同，不符合题意，故不是“相异数”．故答案为：51．（2）根据题意，得655621+=1，1211111÷=，故(65)11S =．（3）由“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =得，()10211021811k k k k +-+-+=⨯，解得3k =，∴212315k -=⨯-=，∴相异数y 是35．5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算：A．1B．4C．6D【分析】（1）根据题目中所给的定义求解即可；（2）紧扣题目给出的定义，逐一判断即可;（3）根据[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，即[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，则有[]{}{}112x x x x =-=-，根据{}01x ≤<，可得[]11x 9<≤，即有[]10x =，或者[]11x =，问题随之得解．【详解】（1）根据题意：[]3.63=，即：{}[]3.6 3.6 3.60.6=-=，故答案为：3，0.6；（2）∵{}m 表示[]m m -的值，称为m 的小数部分，∴{}01x ≤<，即①正确；根据定义可得：[][]11x x +=+，即②正确；∵{}[]111x x x +=+-+，∴{}[][][]{}11111x x x x x x x x +=+-+=+--=-=，∴即③错误，∵[]x a =，[]{}x x x =-，∴{}a x x =-，∴{}x a x =+，∵{}01x ≤<，∴{}1a a x a ≤+<+，∴即④正确；故正确的有：①②④；（3）∵[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，∴[]{}11x x x +=-+，∴[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，即：[]{}{}112x x x x =-=-，。

2023-2024学年七年级数学下册实数压轴题(十大题型)(原卷版)

(1)如图1，当2n =时，拼成的大正方形ABCD 的边长为
如图2，当5n =时，拼成的大正方形1111D C B A 的边长为
如图3，当10n =时，拼成的大正方形2222A B C D 的边长为
(2)小李想沿着正方形纸片1111D C B A 边的方向能否裁出一块面积为()22.42dm
的长方形纸片，使它的长宽之比
为21：？他能裁出吗？请说明理由．
(1)仿照康康上述的方法，探究7
(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的
确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
(3)综合上述具体探究，已知非负整数
的估算值．
(1)有44⨯的网格，每个方格的边长为1，把正方形ABCD画在网格中，要求顶点在格点上．
(2)如图，把正方形ABCD放到数轴上，使得点A与数1-重合，边
为________．
任务：
(1)在图3中画图确定表示10的点M．
(2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图中画出所拼得的大正方形的示意图．
(3)小丽想用一块面积为36cm
它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．
(4)在图6中的数轴上分别标出表示数。

专题02 实数的运算(三大题型,50题)(解析版)

专题02实数的运算（三大题型，50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、用数轴上的点表示实数，中档题20题，难度三星1．如图，若5x =，则表示2211(1)x x x x -+÷-的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【答案】C 【分析】首先对原式进行化简，然后代入x 的值，最后根据5 2.236≈即可判断．【详解】原式=2211()x x x x x-+-÷=()211x xx x -- =1x -当5x =时，原式=51-∵5 2.236≈∴51 1.236-≈故选C ．【点睛】本题考查了分式的乘除法化简，无理数的估算，无理数的估算是难点，关键是要熟记一些常用的完全平方数，和一些常用无理数的近似值．2．若实数p ，q ，m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足0p q m n +++=，则绝对值最小的数是（）A ．pB ．qC ．mD ．n【答案】C 【分析】根据0p q m n +++=，并结合数轴可知原点在q 和m 之间，且离m 点最近，即可求解．A．a b>B．π+A．πB．1【答案】B【分析】根据数轴与实数的一一对应关系解答即可．A ．a b-+B ．a b +C ．a 【答案】21π--【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【答案】32-或32+【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵点A 表示的数为3，点B 表示的数为4，∴1AB =，此时C '表示的数为：32-；当正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使得点C 落在数轴上的点C '处时，如图：此时C '表示的数为：32+；【答案】2π2+【分析】先求出圆的周长为2π，再利用数轴的性质求解即可得．【详解】解：由题意可知，将圆沿数轴向右转动一周，转动的距离为∴点A 向右移动了2π个单位长度，【答案】280905--+/809052【分析】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律：第移动25个单位，从第2次落在数轴上开始，比上一次又向右多移动了(1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________；(2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示10的点；并简洁地说明理由．(3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示理由．【答案】(1)10（3）解：如图，阴影部分为正方形，面积为所以，其边长为5，在数轴上截取5==，CDOC OK则点K表示的数为5，点D表示的数【点睛】本题主要考查正方形的性质以及网格，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．20．阅读下面的文字，解答问题．大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此【点睛】此题考查的是估算无理数及求代数式的值，能够得到一个无理数的整数部分与小数部分是解决此题的关键．二、实数的大小比较，中档题15题，难度三星π-<-<根据数轴上点的特点可得： 1.5333．在数轴上表示数0，π-303π-<-<<．2【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，能利用数轴比较实数的大小是解此题的关键，注意：。

新初中数学实数技巧及练习题附答案解析(1)

新初中数学实数技巧及练习题附答案解析(1)一、选择题1．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．2）A．±2 B．±4 C．4 D．2【答案】D【解析】【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．根据算术平方根的定义可知64的算术平方根是8，而8的立方根是2，由此就求出了这个数的立方根．【详解】∵64的算术平方根是8，8的立方根是2，∴这个数的立方根是2.故选D.【点睛】本题考查了立方根与算术平方根的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握立方根与算术平方根的定义.3．规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3.按此规定[10＋1]的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】【分析】【详解】解：根据91016<<，则3104<<，即41015<+<，根据题意可得：1014⎡⎤+=⎣⎦. 考点：无理数的估算4．在3.14，237，2-，327，π这几个数中，无理数有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】 3.14，237，2-，327，π中无理数有: 2-, π,共计2个. 故选：B.【点睛】考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．5．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得44【详解】原式=4由于23，∴1＜42．故选：A ．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．6．+1的值应在（）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间【答案】B【解析】解：∵34<<，∴415<<．故选B ．的取值范围是解题关键．7．16的算术平方根是（）A ．±4B ．－4C ．4D ．±8【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案.【详解】 24=16Q ,16∴的算术平方根是4.所以C 选项是正确的.【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义,解决本题的关键是明确一个正数的算术平方根就是其正的平方根.8．25的平方根是（）A ．±5B ．5C ．﹣5D ．±25【答案】A【解析】【分析】如果一个数 x 的平方是a ，则x 是a 的平方根，根据此定义求解即可．∵（±5）2=25，∴25的立方根是±5，故选A ．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．9．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为（） A ． B ．13 C ．5或13 D ．，5或13【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵|x 2-4|≥0，2(2)1y --≥0，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：222222+=；②当2，3均为直角边时，斜边为222313+=；③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是22325-=．故选D ．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．10．如图，已知x 2＝3，那么在数轴上与实数x 对应的点可能是（）A ．P 1B ．P 4C ．P 2或P 3D ．P 1或P 4【答案】D【解析】试题解析：∴根据实数在数轴上表示的方法可得对应的点为P 1或P 4．故选D ．11．25的算数平方根是A B ．±5 C ．D ．5【答案】D【解析】【分析】一个正数的平方根有2个，且这两个互为相反数，而算数平方根只有一个且必须是正数，特别地，我们规定0的算术平方根是0 负数没有算术平方根，但i 的平方是－1，i 是一个虚数，是复数的基本单位.【详解】5=，∴25的算术平方根是：5.故答案为：5.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确；当k=3时，414(31)11044f+⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f=，错误；当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，正确；正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．13．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a﹣c|+7b-=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c的值为（）A．12 B．15 C．17 D．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．【详解】∵且|a-c|++7b-=0，∴a=c，b=7，∴P（a，7），PQ∥y轴，∴PQ=7-3=4，∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，∴4a=20，∴a=5，∴c=5，∴a+b+c=5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．14．下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是3；164±；④ 0.01是0.1的平方根；⑤24的平方根是4；⑥ 81的算术平方根是±9.其中正确的说法是（）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】A【解析】【分析】依据平方根、算术平方根的定义解答即可．【详解】①36的平方根是±6；故此说法错误；②-9没有平方根，故此说法错误； ③16=4，故16=4±说法错误；④ 0. 1是0. 01的平方根，故原说法错误；⑤24的平方根是±4，故原说法错误；⑥ 81的算术平方根是9，故原说法错误.故选A.15．下列整数中，与10最接近的整数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】由于91016<<，于是91016<<，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【详解】由于91016<<，于是91016<<，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．解：∵2239,416==，∴3104<<，10与9的距离小于16与10的距离，∴与10最接近的是3．故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．16．实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a b <B ．a b <C ．0a b +>D ．0a b ->【答案】A【解析】【分析】>，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.根据数轴得a<0<b，且a b【详解】>，由数轴得a<0<b，且a b∴a+b<0，a-b<0，故A正确，B、C、D错误，故选：A.【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.17．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解析】试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．∵ 7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．88＜2．9，8③段上．故选C考点：实数与数轴的关系18．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（）A．2或12B．1或﹣1 C．12或1 D．2或﹣1【答案】D【解析】【分析】根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．【详解】解：①当x≥﹣x，即x≥0时，∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，∴x＝x2﹣x﹣1，解得：x＝2（12<0，不符合舍去）；②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为2或﹣1，故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．19．估计2262⨯值应在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】解：226122⨯=∵91216<<∴91216<<∴3124<<∴估计2262⨯值应在3到4之间．故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．20．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（）A2－1 B2＋1 C2D2【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．【详解】=-1和A．∴点A．故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．。

实数测试题及答案

实数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是实数？A. √2B. -√2C. √(-1)D. √(-2)答案：A2. 实数a和b满足a+b=0，那么a和b的关系是？A. a=bB. a=-bC. a>bD. a<b答案：B3. 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是？A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数答案：C4. 下列哪个数是无理数？A. 3.14C. 22/7D. √2答案：D5. 两个实数相除，结果为0的条件是？A. 被除数为0B. 除数为0C. 被除数不为0D. 除数不为0答案：A6. 如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是？A. 正数B. 负数C. 0D. 无理数答案：C7. 实数x满足|x|=-x，那么x是？A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数答案：B8. 下列哪个数是实数？B. eC. √(-1)D. √(-2)答案：A9. 如果一个数的平方是它本身，那么这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 1或-1答案：D10. 实数x满足x^2=1，那么x的值是？A. 1B. -1C. 1或-1D. 0答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的倒数是它本身，这个数是______。

答案：1或-12. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。

答案：±53. 如果一个数的平方根是3，那么这个数是______。

4. 两个数的和是10，其中一个数是3，那么另一个数是______。

答案：75. 一个数的立方是-8，这个数是______。

答案：-2三、解答题（每题10分，共50分）1. 计算下列表达式的值：(√3 + 1)^2答案：(√3 + 1)^2 = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√32. 证明：对于任意实数x，x^2 ≥ 0。

答案：对于任意实数x，x^2 ≥ 0。

证明如下：如果x=0，则x^2=0；如果x≠0，那么x^2是x的正数倍，因此x^2>0。

实数【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题过关】

专题02 实数【9个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：算术平方根算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a ，即()02＞x a x =，则x 是a 的算术平方根。

表示为a 。

算术平方根的性质：①算术平方根的双重非负性：算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0。

即a ≥0，a ≥0。

非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。

即若0...=+++m b a ，则====m b a ...0。

②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。

即()=2a a 。

③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

再根据这个数的正负去绝对值符号。

即=2a a 。

④规定0的算术平方根是0。

⑤算术平方根等于它本身的数有0和1。

算术平方根的估算：利用夹逼法对算术平方根进行估算。

【考试题型1】求一个数的算术平方根【解题方法】根据定义以及表示方法求一个数的算术平方根。

注意这个数本身是算术平方根时要先计算出它的值在求它的算术平方根。

例题讲解：1．（2022春•汶上县期中）9的算术平方根是（）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．81【分析】首先根据算术平方根的定义求出，然后再求出它的算术平方根即可解决问题．【解答】解：∵＝3，∴9的算术平方根是3．故选：B ．（2022春•哈巴河县期中）16的算术平方根是（）A ．4B ．2C ．±4D ．±2【分析】利用算术平方根的意义解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B ．【考试题型2】算术平方根的非负性【解题方法】根据几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0进行求解。

注意非负数还有绝对值，偶次方。

例题讲解：2．（2022春•镜湖区校级期中）若01=++-y x x ，则x +y 的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，由此得到x ﹣1＝0，x +y ＝0，然后即可求解．【解答】解：∵，∴x ﹣1＝0，x +y ＝0，所以x +y ＝0．故选：B ．【考试题型3】算术平方根的性质【解题方法】根据一个算的算术平方根的平方等于这个本事，一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，在根据绝对值求解。

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数
盔囫
此题答案开放，给考生留有充分的尽考余地．可以从以下几个
，等；
方面来考虑：（）方根如、，／等；２立方根如１平／、丁（）
习
（）殊意义的数如＂，３特Ｉｅ等；４）定结构的数，２１１００ … ；５）Ｔ（固如．０ｌ０１００（组
是点．
ＢＣＤ
１０ｌ２３一
图１
（任编辑责
尹娜）
。
６Ｏ八年级数学
．
配合华师大教材
匮圜把每个数据“ 还原” 成算术平方根的形式，不难发现后一个数
据的被开方数比前一个数据的被开方数大３．ｎ个数据的被开方数可第
写成３ｎ１的形式．第１（一）故０个数据应是、／
七、数形结合型
口湖北
沈占立
近年来全国各地中考试题中．绕 “ 数 ” 现了一些既考查知识．围实出
叉考查能力的新题型．分类举例如下．现
一
、
结论开放型
例１若无理数。满足不等式１４．请写出两个符合条件的无理＜
暖圈
新课标倡导学生用计算器完成较为复杂的计算，倡导学生在
学习以及考试中使用计算器，鼓励学生利用计算器探索规律．本例中．
≈ ２５，／ ≈２４９，然２５１２４９，填 “ ．．７１、．４显．７＞．４故＞”
．
（・” “ ” 为实数运算中的乘号和减号） “ 和一仍．
盔囫
一
本题定义的新运算是分两种情况的．当 ≥６时，＠ｂａ等于后
个数的平方：口６时．０ｂ等于前一个数本身．解答前要对参与新当＜ｎ故
运算的两个数进行大小比较，出所对应的新运算后．与原有运算进找再
五、设计程序型
例５
＝：
有一个数值转换器．原理如下．么，输入＝４时．其那当６输
）．
出的ｙ是（
习题解
读Ａ．８
ｃ．２
若无数匝是理
Ｂ．／２２、
Ｄ．３
圈
选Ｂ．
题
解
读
合型的数，３Ｖ，／＋／等．如一、、丁
二、定义新运算型
例２
在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算 “ ” 当。６０： ≥
时，口０ｂ６；ａｂ时，Ｏｂ Ⅱ 则当ｘ＝。当＜ａ：．＝２时，１（０）一（）值为・３０的
Ａ．１与２之间Ｃ．３与４之间Ｂ．２与３间之Ｄ．４与５间之
）．
９八年级数学・合华师大教材ｓ配
盔强
对无理数进行估算是新课标所要求的．同学们要掌握“ 估算 ”
这种解题方法．便对于具体的实际问题．作出快速的处理．以能
因为、＜／＜、，２／＜所以１／一＜．应选Ａ．／、／即＜、３，＜、ｌ２故四、用计算器型使例４用计算器比较大小：一／、０（ “ 、＝” “ ）．填＞” “ 或＜”
而
＝／＝３Ｔ．、Ｖ＇
例７如图１数轴上表示，
的点会是
．
— —
盔囫
“ 形能启迪数的计算，数能澄清形的
Ａ
．
模糊 ”正是源于此理念．本题命题形式独特．．使本题中，为１３４，以１因＜＜所＜Ｖ丁＜２，故应当
行混合运算．
当ｘ２时．＝１０＝２１３ｘ３２２＝．１０＝：０＝０＝２４
故（１０）一（・３０）ｘ２＝－２＝１－４．
三、估算型
例３大家都知道Ｖ是一个无理数．Ｆ／Ｖ一１在（￣／Ｊ＿，
本题的转换流程是＝４６一
＝一＼＝８／２
一ｙ故应．
六、规律探索型
例６
观察下列数据．寻找规律：并
０，／，／，２／３，／１，ｘ２，、３、６３，ｘ、５３／ …
那么．１第０个数据应是．