误差理论
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第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。
尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。
所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。
测量值与真值之差称为误差。
在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。
当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。
但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。
这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。
实际上，误差仍然是存在的。
由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。
测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。
二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。
1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。
由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。
在正确的测量结果中不应包含系统误差。
2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。
这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。
随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。
第5章 误差理论
49 8
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
误差理论
• C．引用误差：测量仪器的误差除以仪 器的特定值。实际上一种相对误差。 • ra= △/A×100%=示值误差/测量仪 器的量程
三、准确度和误差
• 1.准确度: 系指测得结果与真实值接近 的程度。 • 2.误差: 系指测得结果与真实值之差。 • 误差愈小，则准确度愈高，所以准确度 高低用误差大小来衡量。准确度除用绝 对误差表示外，更常用相对误差表示。
偏差的分类及公式
绝对偏差
d xi x
相对偏差
平均偏差
d % 100% x
d d1 d 2 d n n
d % 100% x
2 1 2 2 2 n
相对平均偏差 标准偏差
d d d S n 1
标准偏差
• 是反映一组供试品测定值离散的统计指 标。
• 8、在滴定分析法测定中出现的下列情况，哪 种属于系统误差（ D ）。 A、试样未经充分混匀 B、滴定管的读数读错 C、滴定时有液滴溅出 D、砝码未经校正 • 9、滴定分析中，若试剂含少量待测组分，可 用于消除误差的方法是（B ）。A、仪器校 正 B、空白试验 C、对照分析 D、多测几 组 10、一个样品分析结果的准确度不好，但精密 度好，可能存在（ C ）。 A、操作失误 B、记录有差错 C、使用试剂不纯 D、随 机误差大
• 例：用两种方法来测量L1=100mm的尺寸， 其测量误差分别为δ1=±10μm，δ2=±8μm， 根据绝对误差大小，可知后者精度高。但若用 第三种方法测量L2=80mm的尺寸，其测量误 差分别为δ3=±7μm，此时用绝对误差就难以 评定它与前两种方法精度的高低，必须用相对 误差来评定。 • ⑴δ1/L1=±10μm/100mm=±0.01% • ⑵δ2/L2=±8μm/100mm=±0.008% • ⑶δ3/L3=±7μm/80mm=±0.009% • 由此可知，第一种方法精度最低，第二种方法 精度最高
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
理论误差新版
，
x
n1
那么算术平均值 x 旳误差 x
x
n
n
i
2
i 1
。由此可得
n( n1)
启示：对测量对象进行屡次反复观察，所得成果旳平均值（子样平均值） 比单次测量成果要精确旳多。
f (x) 占68.2 %
o
-
-
x
x
x
x
图2—2’
三、不等精度测量中旳最可信赖值
1、加权平均值
试验中经常对同一物理量 a 作诸多组旳平行测量，以提升精确度。 而每一组都有足够旳测量次数，
x1 M1 X x2 M2 X
xn Mn X
误差x1在区间dx1内旳概率为p1＝f(x1)dx1，误差x2在区间dx2内旳概率为p2＝
f(x2)dx2，误差xn在区间dxn内旳概率为pn＝f(xn)dxn。
它旳几何图形为：图2—1
到§2.4、方差分析法
f (x)
dx
dx
-xi o
x1dx1
x2dx2
xndxn
对误差x，则有： d ln f ( x) k(常数) xdx
d ln f ( x) kxdx
积分后得：
或
ln f (x) 1 kx2 ln c 2
1 kx 2
f (x) ce2
根据随机误差旳对称性可知，误差x增大，概率分布密度f（x）应减小，
这么上式中旳指数应为负数。令：1 k h2 2
n
i
2
n
( xi
x)2
i 1
i 1
由
d
d
n
i
2
i 1
n
d (xi i 1
x)2
0
误差理论第一章绪论
9
§1-3 精度
精度：反映测量结果与真值接近程度的量， 精度 反映测量结果与真值接近程度的量，与误差的大小相 反映测量结果与真值接近程度的量 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 分为： 分为： 反映测量结果中系统误差的影响程度。 ①准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 准确度 反映测量结果中系统误差的影响程度 ②精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 ③精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 精确度： 程度。 程度。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。对具体的 测量，精密度高的而准确度不一定高， 测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
第一种方法的相对误差为： v1 50.004 − L1 0.004 = = = 0.008% L1 L1 50
v2 80.006 − L2 0.006 第二种方法的相对误差为： = = = 0.0075% L2 L2 80
可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 故第二种方法的精度较高。 故第二种方法的精度较高。 引用误差 误差： ③ 引用误差：是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子， 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 5 值或全量程为分母，比值即为引用误差。 值或全量程为分母，比值即为引用误差。
测量结果应保留的位数原则是 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠 保留的位数原则 的，而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取1~2 而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取 位有效数字。 位有效数字。 在比较重要的测量中， 在比较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考，如结果 再多取一位数字作为参考，如结果15.214±0.042，倒 ± ， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字，而倒 数第三位是可靠数字。 数第三位是可靠数字。 二、数据舍入规则 ①若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 则末位加1； 则末位加 ； ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 则末位不变； 则末位不变；
§1-3 精度
精度：反映测量结果与真值接近程度的量， 精度 反映测量结果与真值接近程度的量，与误差的大小相 反映测量结果与真值接近程度的量 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 分为： 分为： 反映测量结果中系统误差的影响程度。 ①准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 准确度 反映测量结果中系统误差的影响程度 ②精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 ③精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 精确度： 程度。 程度。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。对具体的 测量，精密度高的而准确度不一定高， 测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
第一种方法的相对误差为： v1 50.004 − L1 0.004 = = = 0.008% L1 L1 50
v2 80.006 − L2 0.006 第二种方法的相对误差为： = = = 0.0075% L2 L2 80
可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 故第二种方法的精度较高。 故第二种方法的精度较高。 引用误差 误差： ③ 引用误差：是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子， 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 5 值或全量程为分母，比值即为引用误差。 值或全量程为分母，比值即为引用误差。
测量结果应保留的位数原则是 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠 保留的位数原则 的，而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取1~2 而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取 位有效数字。 位有效数字。 在比较重要的测量中， 在比较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考，如结果 再多取一位数字作为参考，如结果15.214±0.042，倒 ± ， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字，而倒 数第三位是可靠数字。 数第三位是可靠数字。 二、数据舍入规则 ①若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 则末位加1； 则末位加 ； ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 则末位不变； 则末位不变；
误差理论的基本知识
负
正
个数 k
46 41 33 21 16 13 5 2 0
误
差 相对个数 k/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000
0″.0 ~ 0″.2 0″.2 ~ 0″.4 0″.4 ~ 0″.6 0″.6 ~ 0″.8 0″.8 ~ 1″.0 1″.0 ~ 1″.2 1″.2 ~ 1″.4 1″.4 ~ 1″.6 1″.6 ~以上
1
二.评定精度的指标
• 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 2 差或标准差 2 D ( ) E[ E( )]
2 E( 2 )[ E( )] E( 2 )
测量上习惯用中误差表示
2 2 2 2 n M 2 D() 2 lim 1 lim n n n n
y
y=f(△)
－△
+△
1. σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系
D() f ()d
2 2 1 2 2 e d 2 2 2
§6-3
评定真误差精度的指标
• 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 2 0 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高----质量好---精度高，反之，则相反 •精度的含义：误 右图为不同的两组观测对应着的两条 差分布的密集与 离散程度。即离 不同的误差分布曲线。 散度 若1<2，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 凡能反映误差分布 第二组观测，误差分布离散，图形平 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 缓，精度较低。 的指标。
误差理论
(6)用两种方法判定系统误差 方法一：参与误差观察法根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表进行观察，如图：根据图中数据可以看出，残余误差大体上正负相同，且无显著变化规律，故无端认为存在系统误差。
方法二：残余误差校核法192n K +==917i=110vi-101020j vj =∆==--=-∑∑因为∆显著不为零，所以有理由认为测量列存在线性系统误差。
（7）用两种方法判断存在粗大误差 方法一：3σ准则（一般在n>50时使用）20x -= 21=3.8651311.595nii vn σσ==-=∑因为-42 1 03 1 -1 -5 -7 3 -3 0 9 -2 2 -4 5311.595v σ>=所以测量列不存在粗大误差。
方法二：罗曼诺夫斯基准则(测量次数较少时使用) 第十三组数据残差较大，故剔除。
重新计算：1=i -1nii XX n =≠∑（j ）=19.43821v =() 3.396n 2ni i i j σ=≠=-∑根据测量次数（n=17），选取显著度0.05α=，即可查表2-12查得t 分布的检验系数k(n ，α）：k=2.20 j-=29-19.4389.5627.471X X k α=>=所以认为其为粗大误差，故剔除。
怀疑第九组：=19.87X =2.97σj -=19.8713 6.87 2.20 2.97 6.53X X K σ-=>=⨯=故认为9号测量值含有粗大误差，应予以剔除。
（8）最后结果重新计算剔除第九和第十三组测量值后1=i -2nii XX n =≠∑（j ）=19.87,,V=14,取α=0.05，查表可得：t =2.14α2.97===0.767n 15X σσl i m=t =2.140.767=1.64X X αδσ±±⨯± l i m+=(19.871.64)m g /100g X X δ±二、1、若某一量值Q 用乘积ab 表示，而a 与b 是各自具有相对误差a f 和b f 的被测量，试求量值Q 的相对误差 设'a 和'b 是a 和b 的真值''(1),(1)a b a a f b b f =+=+''''=ab=a (1)(1)(1)a b a b a b Q f b f a b f f f f ++=+++''(1)a b a b f f ≈++故相对误差为a b f f +。
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随机变量X服从参数 当X ~ N ( , )时 为 , 2的正态分布
2
f ( x) 1
f ( x) P( X ) 0.6826
2
2
f ( x) P ( 2 X 2 ) 0.9545 f ( x) P ( 3 X 3 ) 0.9973
第五章 测量误差基础知识
§5-1 测量误差的概念
测量误差的发现
测回数 1 2 3 4 5 6
例1
角度值 51 41 25 51 41 05 51 41 31 51 41 20 51 41 13 51 41 44
2
测量误差的发现
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
例2
闭合差(mm) +12 -8 -11 +7 +4 -6 +9 -2
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 l1 , l2 , , ln，则产生了n个真误 差 1 , 2 ,, n：
i X li
真 真
误 差
值
观 测 值
例如： 对358个三角形在相同的 观测条件下观测了全部内 角，三角形内角和的误差
i为 i= 180 –(i +i+ I)
将上列等式相加，并除以n,得到
[] X [l ] n n 根据偶然误差第（4）特性 [] 0 [l ] lim n n
lim
n
[l ] X n
n
x
38
二、观测值的改正值
若被观测对象的真值不知，则取平均数l 为最优解x 似真差 定义改正值 v l l x l
i
n
2
中误差
一、中误差
[] m n
平均误差
n
二、相对中误差
相对误差
例、假设现在丈量了两段距离： 甲：100±0.01米；乙： 200±0.01米 到底那组的精度高些呢？ 如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显 D往 D返 D 1 然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相 关，距离越大，误差的累积就越大,这就需要引 D平均 D平均 D平均 入相对误差： K= ｜m｜/D （注意化为分子为1的形式） D K甲＝1/10000,K乙＝1/20000, 甲组精度高。 例、β1＝28°35′18″±3.8″ ； β2＝ 308°15′12″±3.2″，那组的精度高？ 25
切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。
算术平均数：
l
l
i 1
n
i
n
x
满足最小二乘原则的最优解
一、算术平均值：
l
l
i 1
n
i
n
[l ] x n
满足最小二乘原则的最优解
证明（x是最或然值）
1 X l1 2 X l2 n X ln
正态分布的特征
正态分布密度以 x 为对称轴,并在 x 处 达到最大。 当 x 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近 线。 用求导方法可知，在 x 处f(x)有两个拐 点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率
Δ 0 1 49 4 1 1
2
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
64 0 9 1 130
中误差
m1
2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
概率
如果函数 f (x)是连续型 随机变量X的分布密度函数
3
3
区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x1x2） 之 间的概率为
P ( x1 X x2 ) x1 , x2 ( ,)
x2
x1
f ( x) dx
f ( x) dx 1
则函数 f (x)是连续型随 机变量X的分布密度函数
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
dΔ
1 f ( x) e 2
( x )2 2
观测精度的衡量
两组距离观测的结果
3.867 3.860 3.866 3.862 3.868 3.870 3.865 3.877
x 3.867
x 3.867
问题
哪个结果正确?
哪组结果好? 结果的“好”与“坏”如 何衡量?
3.860
i i i
改正值的特性
满足最小二乘原则的最优解
v v
v v
i i
i
0
最小二乘
min
d [vv] 2[v] 2[ x - l] 0 dx
( x li ) 0
[l ] x n
§5 -4观测值的精度评定
标准差可按下式计算
2
v
i 1
n
2
i
n 1
1
√2π m 1
1
y = f (Δ )
√2π m 2
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
0 若 0, 1
1 则f ( x) e 2
( x)2 2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测 中，偶然误差应小于限 值。 渐降性：误差小的出现 的概率大 对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等 抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。
k y /dΔ = n
f (Δ )
x =Δ
-24″ -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24″
P ( x1 X x2 ) x1 , x2 ( ,)
x2
x1
f ( x) dx
k y /dΔ = n
f (Δ )
f ( x) dx 1
x =Δ
-24″ -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24″
dΔ
正态分布
1 f ( x) e 2 x ( x )2 2 2
按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ || 第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
12
问题 判断下列误差各属于哪些误差：
数据记错、尺子颠倒、温度改正、尺长 改正、大气折光误差、 视准误差、度盘 偏心误差、竖轴误差、尺子零点误差、 对中误差、照准误差、估读误差
13
（二）处理原则
系统误差——找出规律，加以改正
偶然误差——多余观测，制定限差 粗差——细心，多余观测
系统、偶然误差的比较
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 系统误差——在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律 变化。
误差 钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C „„
例：
处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均) „„
179°59ˊ58" 180°00ˊ03"
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01"
179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01"
3
一、测量误差的来源
光学经纬仪的读数装置
分微尺测微读数装置
0
1
2
3
4
5
6
4
测量误差产生的原因
三丝读数： 1591
1592
1593
5
测量误差产生的原因
6
测量误差产生的原因
水准测量
视准轴
水准管
i角
A
B
7
测量误差产生的原因
实际值
观测值
8
综上所述
（1）观测者
（2）测量仪器
（3）外界条件
上述观测者、仪器、外界条件三个方面是引起误差的主要原因，因 此我们把这三个方面的因素综合起来称为观测条件。 等精度观测： 观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。 非等精度观测：观测条件不相同的各次观测，其结果具有不同精度。
其结果如表6-1，图6-1, 分析三角形内角和的误 差I的规律。
表6-1 误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12 12~15 15~18 18~21 21~24 24以上
偶然误差的统计 负误差 K K/n 45 0.126 40 0.112 33 0.092 23 0.064 17 0.047 13 0.036 6 0.017 4 0.011 0 0 正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0