2014届高考数学一轮复习 第5章《正弦定理和余弦定理应用举例》名师首选学案 新人教A版

学案23 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α(i 为坡比，α为坡角)． 6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的大小关系是________．2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的________方向．3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是________(填序号)．①α，a ，b ；②α，β，a ；③a ，b ，γ；④α，β，b . 4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos∠ADC ＝35，求AD .探究点一 与距离有关的问题例1 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？变式迁移1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？探究点二与高度有关的问题例2 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中的最值问题例3 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3 如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．一、解三角形的一般步骤1．分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．2．根据题意画出示意图．3．将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．4．检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 二、应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为________m.3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．4．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为________．5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B 行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．二、解答题(共42分)9．(14分)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(14分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？答案 自我检测1．α＝β 2.北偏西10° 3.① 4.40035．解 由cos∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin∠ADC ＝45，从而sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC cos B －cos∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得，ADsin B ＝BDsin∠BAD，所以AD ＝BD ·sin Bsin∠BAD ＝33×5133365＝25.课堂活动区例1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin∠DAB ＝ABsin∠ADB，∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin∠ADB ＝53＋3·sin 45°sin 105°＝53＋3·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时． 变式迁移1 解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin Bsin A＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)， 所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD ，所以BC ＝CD ·sin∠BDC sin∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β，在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝s ·tan θsin βsin α＋β.变式迁移2 解 由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°， 由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时， 测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°. 在Rt△BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解 (1)由AB ＝Htan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得Htan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd. 由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －hd.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H H －h d≤h2H H －h ，当且仅当d ＝H H －h d，即d ＝H H －h ＝125×125－4＝555时， 上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ， 则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ.∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区 1.78 2.50 2 3.928 4.3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3， ∠ABC ＝30°， 由正弦定理BC sin∠CAB ＝ACsin 30°，得∠CAB ＝60°或120°，当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝90°，AB ＝23； 当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，AB ＝ 3. 5．10解析 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt△ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时)． 6．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60(km)， ∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝302(km)． 7．0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°， CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD ·sin 45°sin 30°＝203(米)；在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin 60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．8.7043解 如图所示：设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t . 因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理得，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60°＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t＝12900t 2－42000t ＋40000.∴当t ＝7043时，DE 最小．9．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ABC ≌△CBD ，所以BA ＝BD .……………………………………………………………………………(6分) 在△ABC 中，AB sin∠BCA ＝ACsin∠ABC ，即AB ＝AC ·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(14分)10．解 如图，连结A 1B 2，由题意知， A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝10 2.…………………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，………………………………………………………………(6分) ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. ……………………………………………………………(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(12分)因此乙船的速度大小为10220×60＝302(海里/小时)．………………………………(14分)11 11．解 方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3， 又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .………………………………………………………(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)． 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连结MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ，∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，……………………………………………(8分)∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ ＝1033sin(θ＋60°)．……………………………………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分) 方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos∠MNP ＝MP 2.…………………………………………………(8分)即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22，…………………………………………(10分) 从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033. 当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。