选修4-1-2直线与圆的位置关系(人教A版·数学理)

【备选习题】 1.如图，从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB，PCD，AB 是圆 O 的直径，若 PA=4，PC=5，CD=3，则∠ CBD= .
2.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=72°，⊙O 过 A，B 两点且与 BC 相切于点 B，与 AC 交于点 D，连接 BD， 若 BC= 5 1， 则 AC= .
19.如图所示，已知⊙O 的直径 AB＝5，C 为圆周上一点，BC＝4，过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作 l 的垂线 AD，垂足为 D，则 CD＝ .
20.如图所示， 割线 PBC 经过圆心 O， OB＝PB＝1， OB 绕点 O 逆时针旋转 120°到 OD， 连接 PD 交圆 O 于点 E， 则 PE＝______.
∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝
1 ∠BOC＝50°. 2
答案：50° 2 2.【解析】由题意 PA =PB·PC， ∴PC=
4 =4. 1
2 2
又∵AC⊥AP，∴AC= 4 2 2 3， ∴R= 3. 答案： 3
3． 【解析】由题意知 OP⊥AB，且 AP=BP＝
3 a， 2
OD AO ＝ ， BC AB
∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，
5 R， 3 5 15 ∴R＋ R＝10，∴R＝ ， 3 4 5 AD AC 4 ＝ ， AE＝AB－2R＝ ， ＝ ∴AD＝5. 2 OD BC 3 5 答案： 5 2
设 OD＝R，则 AO＝ 4.【解析】∵AC＝2，∠CAB＝30°， ∴AB＝2ACcos 30°＝2×2×
3 7 7
【备选习题】 1.【解析】连接 OC，OD，AD. 由割线定理，可得 PC·PD=PA·PB， 得 PB=
5 5 3 10. 4 1 ∠COD, 2
AB=10-4=6，∴OC=OD=CD=3， ∴∠COD=60°，又∵∠CBD= ∴∠CBD=30°.
答案：30° 2.【解析】由已知得∠C=∠ABC=72°，则∠A=∠ABD=∠DBC=36°，所以 BD=AD=BC， 2 BC =CD·AC=(AC-AD)·AC=(AC-BC)·AC，解得 AC=2. 答案：2 3． 【解析】∵OD⊥AC，BC⊥AC， ∴△ADO∽△ACB，∴
答案：③④ 13.【解析】由题意知∠ABP=∠ACB=∠ABD，又∠A=∠A，所以△ABD∽△ACB, 所以
AD AB ， 所以 AB= ADAC mn. AB AC
答案： mn 14． 【解析】连接 BD，
由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝ 125°. 答案：125° 15． 【解析】连接 OB，OC，AC，
5.如图所示，已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A，B 两点，过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2 于点 D，E.过 E 作 CE∥AD 交⊙O2 于 C，连 AC 交 DE 于点 P.若 AD 是⊙O2 的切线，且 PA＝6，PC＝2，BD＝9，则 AD 的长 为 ．
答案解析 1． 【解析】连接 OB，OC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，
1 PD·PD， 3
∴PB ＝
2
1 2 6 PD ，∴PB＝ PD. 6 6 BC PB 6 ＝ ＝ . AD PD 6
又∵△PBC∽△PDA，∴
答案：
6 6 AB AE ＝ ， 即 AE·AD＝AB·AC，故③正确；由相交弦定理知④正确． AD AC
12． 【解析】①中仅当∠BAC 为直角时才成立；在②中仅当 BG⊥AE 时才成立；因为∠AEB=∠ACD,所以△AEB ∽△ACD，故
要求 CD 的最大值， 4 OE 2 OD 2，
在 Rt△BPC 中， cos∠ACB=
PC 2 5 . BC 2 5 5
答案：
5 5
6． 【解析】设 PM＝x，则 QN＝x，由相交弦定理可得 PM·MQ＝BM·MA, 即 x·(x＋1)＝1，解得 PM=x＝
5－ 1 . 2
答案：
2
BC AB ＝ ， CD AC 12 . 5
∵AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴CD＝ 答案：
12 5
2 2
20.【解析】依题意得， PD＝ PO ＋OD －2POODcos 120＝ 7. 又 PE·PD＝PB·PC， 因此 PE＝
PBPC 1 3 3 7 ＝ ＝ . PD 7 7
答案：
7. 如图所示，BD 为⊙O 的直径，AB＝AC，AD 交 BC 于 E，AE＝2，ED＝4.则 AB 的长为
．
8.如图所示，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF⊥DB，垂足为 F ，若 AB=6，AE=1，则 DF·DB= .
9.在△ABC 中，∠B=30°，CD⊥AB 于 D，设圆 O 是以 CD 为直径的圆，且此圆交 AC，BC 分别于 E，F 两点， 则∠CEF= .
.
17．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点 B，CD 切⊙O 于点 D，直线 CD 交 AB 于点 E.若 AB＝3，ED ＝2，则 CB 的长为 ．
18.如图所示，⊙O 的直径 AB=6 cm,P 是 AB 的延长线上的一点，过 P 点作⊙O 的切线，切点为 C，连接 AC， 若∠CPA=30°，则 PC= cm.
2a ， 3
4.如图，点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动，AB=4，连接 OD，过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C，则 CD 的最大值 为 .
5.如图所示，AC 为⊙O 的直径，弦 BD⊥AC 于点 P，PC=2，PA=8，则 cos∠ACB 的值为
.
6.如图所示，正△ABC 的边长为 2，点 M，N 分别是边 AB，AC 的中点，直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P，Q，则线段 PM＝ .
14．如图所示，四边形 ABCD 内接于⊙O，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为 A，∠MAB＝35°，则∠ADC ＝ .
15．EB，EC 是⊙O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是⊙O 上的两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么 ∠BAD＝ .
16.AB 是圆 O 的直径，EF 切圆 O 于点 C，AD⊥EF 于点 D，AD=2，AB=6，则 AC 的长为
2
＝BD ， 10.【解析】因为 AC 所以∠ABC＝∠BCD.
又因为 EC 与圆相切于点 C， 故∠ACE＝∠ABC.所以∠ACE＝∠BCD. 又∠ACE＝35°，因此∠BCD＝35°. 答案：35° 11.【解析】由割线定理知：PB·PA＝PC·PD， 又∵PA＝2PB，PD＝3PC，∴PB·2PB＝
5－ 1 2
7.【解析】∵AB=AC, ∴∠ABC＝∠C， 又∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D，又∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB， ∴AB ＝AE·AD，∴AB＝ 2 3.
2
答案： 2 3 8.【解析】连接 AD,因为 AB=6，AE=1,所以 BE=5, 在 Rt△ABD 中，DE =AE·BE= 2 1×5=5,在 Rt△BDE 中,由射影定理得 DF·DB=DE =5. 答案：5 9.【解析】如图所示，连接 DE，DF， ∵CD⊥AB，∠B=30°， ∴∠BCD=60°,∴∠FED=60°. 又∵DC 是圆 O 的直径， ∴∠CED=90°，∴∠CEF=30°. 答案：30°
根据相交弦定理得 AP ＝CP·PD，∴CP＝ 答案：
2
9 a. 8
9 a 8
2 2
4.【解析】取 AB 的中点为 E，连接 OC，OE，则 CD= OC OD 则点 D 与 E 重合.可知结果为 2. 答案：2 5.【解析】∵AC 是直径, ∴∠ABC=90° ， 2 又 BD⊥AC,BC =PC·AC=2×10， ∴BC= 2 5.
2
答案： 2 3
17． 【解析】由切割线定理得，ED ＝EA·EB，∴4＝EA(EA＋3)， ∴EA＝1.∵CB 是⊙O 的切线，∴EB⊥CB， 2 2 2 ∴EB ＋CB ＝CE ， 又∵CD 是⊙O 的切线，∴CD＝CB， 2 2 2 ∴4 ＋CB ＝(CB＋2) ，∴CB＝3. 答案：3 18.【解析】连结 OC，BC， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC⊥PC. 又∵OB=OC=3 cm， 2 ∴OP=6 cm，PC =PB·PA=3×9=27. ∴PC= 3 3 cm. 答案： 3 3 19.【解析】∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠B=∠ACD， 又 AB 为直径，∴∠ACB＝∠ADC=90°， ∴△ABC∽△ACD，∴
＝BD ， 10.如图所示，已知圆上的 AC 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，若∠ACE＝35°，
则∠BCD＝ .
11.如图所示，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P，若 的值为______．
PB 1 PC 1 BC ＝ ， ＝ ， 则 PA 2 PD 3 AD
DP PA 9＋x 6 ＝ ，∴ ＝ PE PC y 2
②，
由①②可得，
12， x＝3 x＝－ 或 (舍去) 1， y＝4， y＝－
∴DE＝9＋x＋y＝16. ∵AD 是⊙O2 的切线，DE 是⊙O2 的割线， 2 ∴AD ＝BD·DE＝9×16，∴AD＝12. 答案：12
3．已知 EB 是半圆 O 的直径，A 是 BE 延长线上一点，AC 切半圆 O 于点 D，BC⊥AC 于点 C，若 BC＝6，AC＝ 8，则 AE＝ ，AD＝ .
4.如图所示，过圆 C 外一点 P 作一条直线与圆 C 交于 A，B 两点，AB＝2AP，PT 与圆 C 相切于 T 点．已知圆 C 的半径为 2，∠CAB＝30°，则 PT＝ .
根据弦切角定理，可得∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝
1 (180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°. 2