高考数学一轮复习 专项检测试题19 推理与证明

推理与证明
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a ，b ，c 都是正数，则三数111,,a b c b c a +
++( ) A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
【答案】D 2．用反证法证明“方程)0(02≠=++a c bx ax 至多有两个解”的假设中，正确的是( )
A ． 至多有一个解
B ． 有且只有两个解
C ． 至少有三个解
D ． 至少有两个解
【答案】C 3．用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0”其反设正确的是( )
A ．b a ,至少有一个不为0
B ． b a ,至少有一个为0
C ． b a ,全不为0
D ． b a ,中只有一个为0
【答案】A
4．已知b a ，为不相等的正数，a b b a B b b a a A +=+=,，则A 、B 的大小关系( )
A ．
B A >
B ．B A ≥
C ．B A <
D ．B A ≤
【答案】A 5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
【答案】C
6．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”,正确的假设为
( )
A ．a b c ，，都是奇数
B ．a b c ，，都是偶数
C ．a b c ，，中至少有两个偶数
D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
7．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ． 8
【答案】C
8．若)0(,3,47≥-+=+-+=a a a Q a a P ，则,P Q 的大小关系是( )
A ．P Q >
B ．P Q =
C ．P Q <
D ．由a 的取值确定 【答案】C
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度
【答案】B
10．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )
A ． 1+n
B ． n 2
C ．222++n n
D ． 12++n n
【答案】C 11．用反证法证明：“方程,02=++c bx ax 且c b a ,,都是奇数,则方程没有整数根” 正确的假设是方程存在实数根0x 为( )
A ．整数
B ．奇数或偶数
C ．自然数或负整数
D ．正整数或负整数
【答案】C
12．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P 的轨迹为椭圆
B ．由a 1=a,a n =3n-1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2
,猜想出椭圆22
221x y a b +=的面积S=πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【答案】B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．研究问题：“已知关于x 的不等式02
>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：
解：由02>+-c bx ax ⇒0)1()1
(2>+-x c x b a ，令x y 1=，则)1,2
1(∈y ，
所以不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,2
1
(． 参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++c
x b x a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则关于x 的不等式01
11<--+-cx bx ax kx 的解集为 【答案】1
11,,12
32⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2
S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是
1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．
【答案】12341()3
R S S S S +++ 15．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是
【答案】三角形的内角中至少有两个钝角
16．若正数c b ，，a 满足14=++c b a ,则c b a 2++的最大值为 ．
【答案】210
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．求证：222
2,2,2y ax bx c y bx cx a y cx ax b =++=++=++（,,a b c 是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．
【答案】假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-=≤-=0
44044044232221bc a Δab c Δac b Δ 三式相加，得a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc ≤0⇒
(a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0．
∴a=b=c 与已知a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．
18．已知函数)1(,1
2)(>+-+=a x x a x f x ,用反证法证明:方程0)(=x f 没有负实数根. 【答案】假设存在x 0<0(x 0≠-1),满足f(x 0)=0,
则0x a =-0021
x x -+,且0<0x a <1, 所以0<-
0021x x -+<1,即12<x 0<2.
与假设x 0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.
19．已知a ，b ，c 均为实数，且2πa =x 2y +2-，2πb =y 2z +3-，2πc =z 2x +6-，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.
【答案】假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，得a+b+c ≤0，
而a+b+c=(x －1)2+(y －1)2+(z －1)2+π－3>0，
即a+b+c>0，与a+b+c ≤0矛盾，故假设a ，b ，c 都不大于0是错误的，
所以a ，b ，c 中至少有一个大于0.
20．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格
:
给出如下变换公式:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132
)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X 将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ；如5→5+12
=3，即e 变成c. ①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？
②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？
【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12
=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho
②逆变换公式为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)
2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ； h →8→2×8-1=15→o ；
x →24→2×24-26=22→v ； c →3→2×3-1=5→e
故密文shxc 的明文为love
21．已知,,a b c R +
∈
3a b c ++。

【答案】要证，只需证：, 只需证：
只需证：
只需证：，而这是显然成立的， 所以成立。

22．用分析法证明：若a ＞0，则2121a 22-+≥-+a
a a 【答案】要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2． ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（
a 2＋1a 2＋2）2≥（a ＋1a ＋2）2， 只需证a 2＋1a
2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22（a ＋1a ）， 只需证a 2＋1a 2≥22（a ＋1a ），只需证a 2＋1a 2≥12（a 2＋1a
2＋2）， 即证a 2＋1a 2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.。