2020届福建省厦门市上学期高三期末质量检测数学理科试题(原卷版)
福建省2020年高三上学期期末数学试卷(理科)D卷
福建省2020年高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·浙江模拟) 设U为全集，对于集合M，N，下列集合之间关系不正确的是（）A . M∩N MUNB . (CUM)U(CUN)=CU(M∩N)C . (CUM) ∩(CUN)=CU(MUN)D . (CUM) ∩(CUN)=CU(M∩N)【考点】2. （2分） (2017高三上·烟台期中) 已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y 的最小值为（）A . 1B .C .D .【考点】3. （2分）(2017·河南模拟) 数学名著《算学启蒙》中有如下问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．”如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b的值分别为16，4，则输出的n 的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 7【考点】4. （2分）“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】5. （2分）(2012·北京) 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）A . CE•CB=AD•DBB . CE•CB=AD•ABC . AD•AB=CD2D . CE•EB=CD2【考点】6. （2分） (2015高二下·乐安期中) 已知抛物线y2=﹣4 x的焦点到双曲线 =l（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .【考点】7. （2分） (2020高二上·宜秀开学考) 已知，则的最小值为（）A . 20B . 16C .D . 10【考点】8. （2分） (2019高三上·禅城月考) 若函数满足，且时，，函数，则函数在内的零点个数为（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共6题；共7分)9. （1分）(2020·扬州模拟) 已知，其中i是虚数单位，则复数z的模为________.【考点】10. （1分）(2020·江西模拟) 在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是________．【考点】11. （1分） (2019高二下·大庆期末) 已知直线的参数方程为： ( 为参数)，椭圆的参数方程为： ( 为参数)，若它们总有公共点，则取值范围是________．【考点】12. （2分） (2019高三上·嘉兴期末) 已知的展开式的所有项系数之和为27，则实数________，展开式中含的项的系数是________.【考点】13. （1分） (2019高一下·上海月考) 甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在中，已知，试判断此三角形解的个数."查看标准答案发现该三角形有一解.若条件中缺失边，那么根据答案可得所有可能的的取值范围是________.【考点】14. （1分）(2019·龙岩模拟) 已知向量，，若，则 ________．【考点】三、解答题 (共6题；共65分)15. （15分） (2018高一上·北京期末) 已知函数f（x）=4sinxcos（x+ ）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．【考点】16. （10分） (2020高二下·秦皇岛开学考) 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）被调查的人数101520255赞成的人数61220122（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；（2）若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人【考点】17. （10分） (2019高二上·濠江月考) 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E为侧棱PA上一点.（1）若，求证：平面EBD；（2）在侧棱PD上是否存在点F，使得平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.【考点】18. （10分）(2019·石家庄模拟) 已知是首项为的等比数列，各项均为正数，且 .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .【考点】19. （10分） (2018高二上·浙江月考) 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.【考点】20. （10分）(2013·广东理) 设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．【考点】参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：15-1、答案：15-2、答案：15-3、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：略答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：第21 页共21 页。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届高三上学期期末理科数学质量检测卷(全解全析)
2020届高三上学期期末教学质量检测卷理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设z=i（2+i），则z=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i2．已知集合M={x|x2+x–2<0}，N={x|log2x<1}，则M∩N=A．（–2，1）B．（–1，2）C．（0，1）D．（1，2）3．二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是A．5 B．–20 C．20 D．–54．已知变量x，y满足240260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，，则k13yx+=-的取值范围是A．k12>或k≤–5 B．–5≤k12<C．–5≤k12≤D．k12≥或k≤–55．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师．若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师6．若ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin 5α=，()sin 10αβ-=-，则sin β=A ．10 B ．2C ．12D ．1107．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的其中，“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科．某考生已经确定选一科物理，现在他还要从剩余的5科中再选2科，则在历史与地理两科中至少选一科的概率为A ．310B ．35 C ．710D ．458．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A ．BC ．2D ．49．函数()sin 2f x x x =在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和是A ．π3- B ．π6- C ．π6 D ．π310．已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1，则异面直线A 1D 与B 1D 1所成角为A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π211．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 1与C 交于M ，N 两点，则M ，N 两点到直线l 2：x –y +1=0的距离之和的最小值为A B ．2C ．34D ．12．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 1为球心的球面上，且AB =AC =AD BC =BD CD =8．若球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切，则球O 2直径的最大值为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知|a |=1，|b |=2，向量a 与b 的夹角为2π3，=c 2+a b ，|c |等于__________． 14．已知O 是椭圆E 的对称中心，F 1，F 2是E 的焦点．以O 为圆心，OF 1为半径的圆与E 的一个交点为A ．若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，则E 的离心率等于__________．15．设函数f （x ）=ln x +ax 232x -，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则函数f （x ）的极小值为__________．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B +b cos A =2，sin sin A B C ⋅=，则△ABC周长的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列{a n }中，a 1=1，a n +a n +1=λn +1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求λ的值；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =1，AD =2，CD = （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若M 是棱PC 上的一点，且满足3PM MC =，求二面角M –BQ –C 的大小．19．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 20．（本小题满分12分）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，，点G 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =-分别交于P 、Q 两点，当1|2k >时，求△OPQ （O 为坐标原点）面积的取值范围． 21．（本小题满分12分）设函数23()ln(1)f x x x a x =-++，其中0a ≠．（1）若4a =-，求曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（2）若函数23()()2g x f x x =+在定义域内有3个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当n N ≥时，不等式311ln n n n n+->恒成立？若存在，求出N ，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l及曲线C1的直角坐标方程，并判断曲线C1的形状；（2）已知点P（1，1），直线l交曲线C1于A，B两点，求11PA PB的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f（x）=|x–1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）>4的解集；（2）若关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2020届高三上学期期末教学质量检测卷03理科数学·全解全析1．【答案】D【解析】∵z=i（2+i）=–1+2i，∴z=-1–2i，故选D．2．【答案】C【解析】集合M={x|x2+x–2<0}=（–2，1），N={x|log2x<1}=（0，2），则M∩N=（0，1），故选C．3．【答案】A【解析】二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2是从5个式子中取3个12x和2个–2y相乘，∴二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是：332252110C()C(2)428-=⨯=5．故选A．4．【答案】A【解析】由变量x，y满足240 260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，作出可行域如图，由260xx y=⎧⎨+-=⎩解得A（2，4），k13yx+=-的几何意义为可行域内动点与定点D（3，–1）连线的斜率．∵k DA4123+==--5，x–2y+4=0的斜率为12，∴k13yx+=-的取值范围是k12>或k≤–5．故选A．5．【答案】C【解析】“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”可以推得丙是英语老师，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比语文老师大”，可知甲是语文老师，故乙是数学老师．故选C．【解析】ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin α=可得cos α==()sin αβ-=，可得sin αcos β–cos αsin β10=-5cos β5+sin β10=-，即2cos β+sin β=sin 2β+cos 2β=1，解得sin β=B ． 7．【答案】C【解析】5选2共有n 25C ==10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的，共有1123C C =6种结果，第二种情况为两科都选的，结果有22C =1种结果，∴在历史与地理两科中至少选一科的概率为：P 6171010+==．故选C ． 8．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD =DC =BD =2，∠ADC =120°，BD ⊥平面ADC ，其直观图如图所示：AB =BC ，AC底面△BCD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ABD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ADC 的面积为：12⨯2×22=ACB 是腰长为，底长=12⨯=B ．【解析】令函数()sin 2f x x x ==2sin （2x π3-）=0，可得2x π3-=k π，求得x ππ26k =+，k ∈Z ．根据x ∈区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得x π3=-，π6， 故函数在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和为πππ366-+=-，故选B ．10．【答案】C【解析】连接BD ，BA 1，因为B 1D 1∥DB ，所以∠A 1DB （或其补角）为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角， 在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =DB =A 1B =A 1DB π3=，故选C ．11．【答案】A【解析】由于抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），直线l 1的斜率不为0，所以可设直线l 1的方程为ty =x –1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，y 2–4ty –4=0，∴y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=2+4t 2， ∴线段MN 的中点Q 的坐标为（2t 2+1，2t ）．设点M 到直线l 的距离为d M ，点N 到直线l 的距离为d N ，点Q 到直线l 的距离为d ， 则d M +d N =2d，∴当t 12=时，可使M 、N 两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为2．故选A ．12．【答案】D【解析】如图三棱锥A –BCD ，底面为等腰直角三角形，斜边为CD ，底面圆心为CD 中点F ，由AB =AC =AD ，可得AF ⊥平面BCD ，球心O 1在直线AF 上，AF ==2，设球O 1的半径为r 1，可得r 12=（r 1–2）2+16，解得r 1=5，由球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切， 则球心O 2在直线AE 上，球O 2直径的最大值为10–2=8．故选D ．13．【答案】2【解析】由题意可得 a •=b 1×2×cos 2π3=-1，2=c 42+a 4a •2+=b b 4×1+4×（–1）+4=4，∴|c |=2．故答案为：2．14 1【解析】设椭圆方程为2222x y a b+=1（a >b >0），圆的圆心为原点，半径为c ，若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，可得∠AOF 1=120°，∠AOF 2=60°，即有|AF 2|=c ，|AF 1|=，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=+c =2a ，则ec a ===11．15．【答案】ln2–2【解析】函数f （x ）=ln x +ax 232x -，函数定义域为：（0，+∞），f ′（x ）1x =+2ax 32-，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则f ′（1）=0，解得a 14=，所以f （x ）=ln x 14+x 232x -，f ′（x ）112x =+x ()()2312332222x x x x x x ---+-==，当f ′（x ）>0时，0<x <1或x >2，函数在（0，1）和（2，+∞）上单调递增， 当f ′（x ）<0时，1<x <2，函数在（1，2）上单调递减，所以函数在x =1时有极大值；函数在x =2时有极小值为：f （2）=ln2–2，故答案为：ln2–2． 16．【答案】6【解析】由a cos B +b cos A =2得，c =2，设△ABC 的外接圆的直径为2R ，AB 边上的高为h ，∵12ab sin C 12=ch ，即12⨯2R sin A ×2R sin B sin C 12=⨯2h ，即12（2R ）22⨯（sin C ）2=h ，2=h ，∴h =4=C 作AB 的平行线l ，设A 关于l 的对称点为A 1，则AC =A 1C ，∴AC +BC =A 1C +BC ≥A 1B ==4，（当且仅当A 1，C ，B 三点共线时取等号．） 故三角形周长的最小值为2+4=6．故答案为：6．17．【解析】（1）易得a 2=λ，a 3=λ+1，a 4=2λ，（2分）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴2214a a a =⋅，∴λ2=1•2λ，∴λ=2或λ=0，（舍去） ∴λ=2．（4分）（2）方法一：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1，（5分）n 为偶数时，S n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a n –1+a n ）=3+7+11+…+（2n –1）()2321222nn n n+-+==，（8分） n 为奇数时，S n =a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a n –1+a n ）=1+5+9+13+…+（2n –1）()21121222n n n n++-+==，（11分） 综上，{a n }的前n 项和22n n nS +=．（12分）方法二：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， 由1122123n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，得a n +2–a n =2，（6分）n 为奇数时，11122n n a a n +⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭，（8分） n 为偶数时，2122n n a a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，（10分） ∴a n =n ，（11分）∴22n n nS +=．（12分）方法三：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， ∴a n +1–（n +1）+a n –n =0，（7分） 设b n =a n –n ，∴b n +1+b n =0，∴b n +1=–b n ， ∵b 1=a 1–1=0，∴b n =0，∴a n =n ，（10分）∴22n n nS +=．（12分）18．【解析】（1）∵AD ∥BC ，BC 12AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC =90°，∴∠AQB =90°，∴QB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分） （2）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，如图，以Q 为原点，分别以QA ，QC ，QP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 平面BQC 的法向量为=n （0，0，1），Q （0，0，0），P （0，0B （00），C （–1，0），设M （x ，y ，z ）， 则PM =（x ，y ，z ），MC =（–1–xy ，–z ），（9分）∵PM =3MC ，∴())()3133x x y y z z ⎧=--⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得34x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴M （34-，4，4），设平面MBQ 的法向量=m （x ，y ，z），则30304QB y QM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ， 取x =1，得=m （1，0M –BQ –C 的大小为θ，则cos θ=|cos ，m n |⋅===⋅m n m nθπ6=， ∴二面角M –BQ –C 的大小为π6．（12分）19．【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100–5–30–25=40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率P40100==0.4．（4分）（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X=0）18101806 302575025 =⨯==，P（X=1）1815121039013 3025302575025 =⨯+⨯==，P（X=2）12151806 302575025 =⨯==，∴X的分布列为：数学期望E（X）012252525=⨯+⨯+⨯=1．（8分）（3）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p 33330C 1C 4060==，虽然概率较小，但发生的可能性为14060． 故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．（12分） 20．【解析】（1）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，， B 为AN 的中点，且GB ⊥AN ，得GB 是线段AN 的中垂线， ∴|AG |=|GN |，又|GM |+|GN |=|GM |+|GA |=|AM=|MN |， ∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圓方程为2222x y a b +=1（a >b >0），则a =4，cb ==2∴曲线C 的方程为：22164x y +=1．（4分） （2）直线1：y =kx +m （k ≠12±），则由题意y =kx +m ， 与22164x y +=1联立方程组，消去y ， 可得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2–16=0； 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以∆=64k 2m 2–4（1+4k 2）（4m 2–16）=0，即m 2=16k 2+4．① 又由y =kx +m 与x –2y =0，可得P （212m k -，12mk-）， 同理可得Q （–212m k +，12mk+），（8分） 由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|PQ|=x P –x Q |，S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|，②将①代入②可得：S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|=8|224141k k +-|， 当k 214>时，S △OPQ =8|224141k k +-|=8（224141k k +-）=8（12241k +-）>8， 综上，△OPQ 面积的取值范围是（8，+∞）．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，知()f x 的定义域为． 当4a =-时，23()4ln(1)f x x x x =--+，（1分） 则(0)0f =，即切点为(0,0)A ． 又因为24()231f x x x x '=--+，所以切线的斜率(0)4k f '==-，（3分） 故曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程为4y x =-．（4分） （2）22335()()ln(1)22g x f x x x x a x =+=-++，定义域为，所以2()53g x x x '=-2325311a x x x ax x +-++=++． 所以由题意知方程()0g x '=在上有3个不同实数根， 即方程32325a x x x =--在上有3个不同实数根．令32()325(1)h x x x x x =-->-，则y a =与()y h x =的图象有3个不同交点． 而2()945(95)(1)h x x x x x '=--=+-，（7分）易证()h x 在5(1,)9--和(1,)+∞上单调递增，在5(,1)9-上单调递减，且5400(1)0,()9243h h -=-=，(1)4h =-．结合y a =与()y h x =的图象，两者有3个不同交点时，需满足4000243a <<． 故符合题意的实数a 的取值范围为400(0,)243． （3）当1a =-时，函数23()ln(1)(1)f x x x x x =--+>-，21()231f x x x x '=--=+323(1)1x x x ---+，（9分） 则当[0,)x ∈+∞时，()0f x '<恒成立，故函数()f x 在上单调递减；),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),0[+∞又(0)0,f =则当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0f x f <=， 即23ln(1)x x x -<+对(0,)x ∈+∞恒成立． 只需取，则有恒成立． 故存在最小正整数1N =，使得n N ≥时，不等式311lnn n n n+->恒成立．（12分） 22．【解析】（1）∵直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．∴直线l的直角坐标方程为)11y x -=-，1y =+-∵曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为（x –2）2+（y –2）2=8，是以（2，2）为圆心，5分） （2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程得)2160t t --=．记该方程的两根为t 1，t 2，由直线参数方程的几何意义可得|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，121t t +=，t 1t 2=–6，故1212121211t t t t PA PB t t t t +-+===．（10分） 23．【解析】（1）由题意可得|x –1|+|2x +3|>4，当x ≥1时，x –1+2x +3>4，解得x ≥1；当32-<x <1时，1–x +2x +3>4，解得0<x <1； 当x 32≤-时，1–x –2x –3>4，解得x <–2．可得原不等式的解集为（–∞，–2）∪（0，+∞）．（5分）（2）由（1）可得|t –1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ⎧⎪+≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，，，， ),0(1+∞∈=n x 3211)11ln(nn n ->+可得t32=-时，|t–1|+|2t+3|取得最小值52，关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为52≤|x+1|–|x–m|的最大值，由|x+1|–|x–m|≤|m+1|，可得|m+1|52≥，解得m32≥或m72≤-．（12分）。
2020届高三上学期期末教学质量检测(Ⅰ)数学(理)试题+参考答案+评分标准
2020年高三教学质量检测(Ⅰ) 数学试题(理科) 2020-01-07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R, 集合A ={x |0<x <2}, B={－3,－1,1,3}, 则集合(C U A )∩B = A. {－3, －1} B. {－3,－1,3} C. {1,3} D. {－1,1}2.已知i 为虚数单位,若11a bi i=+-(a ,b ∈R),则22a b += A. 2 B. 4 C.14 D. 123.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,1]上单调递增的是 A. 1y x =B. |sin |y x =C. tan y x =D. ||1()2x y = 4.设数列{n a }是正项等比数列, n S 为其前n 项和,已知241a a =,37S =,则公比q = A.13 B. 3 C. 12D. 2 5.函数3()1x x f x e =+的图像大致是6.已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥α B.若m ⊥α, n ∥β,且α∥β,则m ⊥n .C. 若m ⇐α, n ⇐α,且m ∥β,n ∥β,则α∥βD. 若直线m ,n 与平面α所成角相等,则m ∥n 7. 执行下图所示的程序框图,输出S 的值为A. 5B. 6C. 8D. 138. 2010~2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动车及物联网等新机遇,连接器行业增长呈现加速状态,根据该折线图有如下结论: ①每年市场规模量逐年增加; ②增长最快的一年为2013~2014; ③这8年的增长率约为40%, ④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模,数据方差更小,变化比较平稳,其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 49.已知F 1,F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点,过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P , 若点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1,2) 3 C. (1,2) D. (2,+∞)10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说:”白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个数学问题”将军饮马”, 即将军在观望烽为之后从脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为22x y +≤1,若将军从点A (2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x +y =4,假定将军只要达军营的在区域即回到军营,即”将军饮马”的最短总路程为 5 1 B.10 1 5 D. 1011.设函数()2sin(2)3f x x π=-的图像为C , 下面结论正确的是A. 函数f (x )的最小正周期是2π.B.函数f (x )在区间(12π,2π)上是递增的;C.图像C 关于点(76π,0)对称; D.图像C 由函数()sin 2g x x =的图像向左平移23π个单位得到 12.已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()[()1]F x f f x m =++ (m 为常数)有两个零点x 1,x 2,则x 1·x 2的取值范围是 A. (－∞,e ) B. (e ,+∞) C. (－∞,4－2ln2] D. [4－2ln2,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{a n }的前n 项和(1)2n S n n =++,其中n ∈N*, 则a n =14.设D 为△ABC 所在平面内的一点, 若3AD BD =u u u r u u u r ,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则μλ=15. 从83()x x-的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为 16.在三棱锥P -ABC 中,平面P AB ⊥平面ABC , △ABC 是边长为6的等边三角形,△P AB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的体积为三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(一)必考题: 共60分 17. (本题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,∠BCD =135°, P A ⊥平面ABCD ,AB =AC =P A =2,E ,F ,M 分别为线段BC ,AD ,PD 的中点. (1)求证: 直线EF ⊥平面P AC ;(2)求平面MEF 与平面PBC 所成二面角的正弦值.18. (本题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且B 是A ,C 的等差中项.(1)若b a =3, 求边c 的值; (2)设t =sinAsinC, 求t 的取值范围.19. (本题满分12分)2019年某地区数学竞赛试行改革: 在高二年级一学年中举行5次全区竞赛,学生有2次成绩达全区前20名即可进入省队培训,不用参加剩余的竞赛,而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定: 若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名,则第5次不能参加竞赛,假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是13,每次竞赛成绩达全区前 20名与否互相独立. (1)求该学生进入省队的概率.(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为X ,求X 的分布列及X 的数学期望.20. (本题满分12分) 已知函数()ln f x x =,21()2g x x bx =- (b 为常数) (1)若b =1, 求函数H (x )=f (x )－g (x)图像在x =1处的切线方程;(2)若b ≥2, 对任意x 1,x 2∈[1,2], 且x 1≠x 2, 都有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立,求实数b 的值.21. (本题满分12分)已知椭圆C : 22221x y a b+=(a >b >0)的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同,F 1,F 2为C 的左、右焦点,M 为C 上任意一点, 12MF F S V 最大值为1. (1) 求椭圆C 的方程;(2)不过点F 2的直线l : y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点.①若212k =,且AOB S ∆=求m 的值.②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等,求证: 直线l 过定点,并求出该定点的坐标.(二)选考题: 共10分.考生在第22,23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑. 22. (本题满分10分)在直角坐标系中xoy 中, 直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθθ=-.(1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)设直线l 交曲线C 1于O ,A 两点,交曲线C 2于O ,B 两点,求|AB |的长.23. (本题满分10分)已知a >0,b >0,c >0, 函数f (x )=|a －x |+|x +b |+c . (1)当a =b =c =2时, 求不等式f (x )<10的解集; (2)若函数f (x )的最小值为1, 证明: a 2+b 2+c 2≥13.。
福建省厦门市高三上学期期末质检检测数学理试题 Word版含解析
福建省厦门市高三上学期质检检测数学理【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】一、选择题【题文】1、{}=⋂⎭⎬⎫⎩⎨⎧==>+==B A B A ，则，设集合x -31y x 02x x （ ） .{}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：∵A={x|x>-2},B={x|x<3},∴A ∩B={x|-2<x<3},故选D. 【思路点拨】化简两已知集合，再求它们的交集. 【题文】2、是，则，：已知命题p 21sinx x p 00⌝≥∈∃R （ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案】【解析】D 解析：根据特称命题的否定方法得选项D 正确，故选 D. 【思路点拨】根据特称命题的否定方法确定结论.【题文】3、()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==已知向量（，），，若存在使得，则（ ） .A.0B.2C.0或2D.0或-2 【知识点】向量的坐标运算. F2【答案】【解析】C 解析：根据题意得：()()()()22,1,2,120,0m m m m l l l+=++=即20120m m l l ìï+=ïíï+=ïïî解得m=0或2，故选C. 【思路点拨】利用向量的坐标运算得，关于,m l 的方程组求解.【题文】4、面积等于轴所围成的封闭图形的及，与直线曲线x 2x 1x x 3y 2===（ ） .A.1B.3C.7D.8【知识点】定积分的应用. B13 【答案】【解析】C 解析：所求=2232113|7x dx x ==ò，故选C.【思路点拨】根据定积分的几何意义求解. 【题文】5、()过点的图像的一条对称轴经函数R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x 1-32x cos 2y 2π（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD【知识点】二倍角公式；函数()cos y A x w j =+的性质. C4 C6【答案】【解析】D 解析：已知函数为2cos 3y x p 骣÷ç÷=+ç÷÷ç桫，经检验在A 、B 、C 、D 四个选项中，只有选项D 中横坐标使已知函数取得最值，故选D. 【思路点拨】弦函数的对称轴是使函数取得最值的x 值. 【题文】6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） ..,m ,A l l m a a ^^P 若则 .,,B l m m la a ^蘜若则ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A 解析：对于选项A ：设过直线m 的平面交平面a 于n ，因为m a P , 所以m ∥n, 又l a ^，所以l n ^，所以l m ^，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确.【题文】7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） .A.58B.88C.143D.176【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】B 解析：因为3a +9a =16，所以()39111116118822aa S +?´===， 故选B.【思路点拨】利用等差数列的性质求解.【题文】 8. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .【知识点】函数的图像与性质. B8【答案】【解析】A 解析：因为f(x)是奇函数，所以排除选项C 、D.又21()cos f x x x ¢=+在x ∈0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫大于零恒成立，所以f(x)在 0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫上是增函数，故选A. 【思路点拨】利用函数的奇偶性、单调性确定结论.【题文】9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。
福建省2020版高三上学期期末数学试卷(理科)A卷
福建省2020版高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2020·重庆模拟) 已知集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）设命题p：，则为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·厦门月考) 已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像.若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（）A .B .C .D .4. （2分）已知P是平面区域内的动点，向量 =（1，3），则• 的最小值为（）A . ﹣1B . ﹣12C . ﹣6D . ﹣185. （2分）已知为上奇函数，当时,，则当时，（）.A .B .C .D .6. （2分）(2020·吉林模拟) 已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高三上·房山期末) 将编号为1至12的12本书分给甲、乙、丙三人，每人4本．甲说：我拥有编号为1和3的书；乙说：我拥有编号为8和9的书；丙说：我们三人各自拥有的书的编号之和相等．据此可判断丙必定拥有的书的编号是（）A . 2和5B . 5和6C . 2和11D . 6和118. （2分） (2018高一上·吉林期末) 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”（注：1丈等于10尺）（）A . 29尺B . 24尺C . 26尺D . 30尺二、填空题 (共7题；共9分)9. （1分）(2020·盐城模拟) 已知函数，若集合，则实数m的取值范围为________.10. （1分）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为________11. （2分） (2016高一上·金华期中) 函数y= 的定义域为________，值域为________．12. （1分）(2020·扬州模拟) 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为2，则 ________.13. （1分）(2016·深圳模拟) 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于________．14. （2分） (2019高二下·绍兴期中) 函数的单调递增区间为________，值域为________ ．15. （1分） (2015高三上·驻马店期末) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ，• =2，则的值是________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分）(2017·兰州模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．17. （5分） (2016高二上·秀山期中) 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P ﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．18. （10分） (2016高一上·双鸭山期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+3．（1）若f（x）在（﹣∞， ]是减函数，在[ ，+∞）是增函数，求函数f（x）在区间[﹣1，5]的最大值和最小值．（2）求实数a的取值范围，使f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，并指出相应的单调性．19. （10分） (2016高二上·河北期中) 解答题。
高三上学期期末考试数学(理科)试题及答案【2020年最新】
16. （本小题 13 分） 在 ABC 中， 3a sin C c cos A ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 S ABC 3 ， b c 2 2 3 ，求 a 的值．
1
因为 f '(x) a
，a = 2，
x1
所以
f
'
(0)
2 1 1 ， f (0)
0.
…………… 1 分
所以 函数 f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 y x .
一 、选择题 ( 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 )
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
C
B
C
A
B
二、填空题 ( 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 )
9. 21
10. x2 ( y 1)2 1
11. 2
12. 1 ; 2
13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分
14. [ 1,1) ； (1, 3]
（ I）当 M 是线段 PD 的中点时， 求证： PB // 平面 ACM；
（ II ）求证： PE AC ；
P M
（ III ）是否存在点 M ，使二面角 M EC D 的
A E
D 大小为 60°，若存在，
求出 PM 的值；若不存在，请说明理由．
B
C
2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)_1
2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；详解】解：所以或，即或故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及交集的运算，属于基础题.3.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A. 甲景区月客流量的中位数为12950人B. 乙景区月客流量的中位数为12450人C. 甲景区月客流量的极差为3200人D. 乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.4.若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可对两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【详解】解：∵；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选B．【点睛】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．5.设是椭圆上一点，分别是的左、右焦点.若，则（）A. 4B.C. 5D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得椭圆的焦点在轴，且，，即可计算出、，再由椭圆的定义计算可得；【详解】解：依题意可得椭圆焦点在轴，且，，由，可得，即，又，所以故选：【点睛】本题考查椭圆的定义及简单几何性质，属于基础题.6.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用切化弦后通分得，利用辅助角公式化简即可得结果.【详解】，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，利用切化弦思想和辅助角公式是解题的关键，属于中档题.7.若函数在上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得出在区间上恒成立，分析函数的单调性，得出该函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】，.由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.8.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.【详解】解：，，又因为的图象关于对称，所以，即，因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.9.如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【解析】【分析】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，根据线面平行的判定，得出平面，再由线面平行的性质得出，继而有，根据线段的比例关系可确定，取的中点，连接，再由面面垂直和线面角的定义找出为与底面所成角，解三角形，可得选项.【详解】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，又∵平面，平面，∴平面，又平面平面，∴，所以，.因为，所以.取的中点，连接，则.因为，所以，又侧面底面，所以底面，所以为与底面所成的角.因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查线面角的计算，关键在于根据线面的关系，找出线面角的平面角，属于中档题.10.的展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对多项式进行变行转化成，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出项，第2个括号出项.【详解】∵，∴的展开式中的常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（）（参考数据：取）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设：，：，联立方程得到，再计算，，利用余弦定理得到，计算得到答案.【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：则直线：.联立，解得则故，.因为，所以所以，，则.因为，所以，所以，整理得，则解得.故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设分别为内角的对边.已知，，，则_____.【答案】（或150°）【解析】【分析】利用已知条件通过余弦定理直接求解即可.【详解】因为，，所以，故答案为：（或）.【点睛】本题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，属于基础题.14.现有下列三个结论，其中所有正确结论的编号是________.①若，则的最大值为；②“”的一个必要不充分条件是“”；③若且，则.【答案】①③【解析】【分析】利用基本不等式判断①；根据充要条件判断②；由简单的线性规划判断③；即可推出结果．【详解】解：若，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以①正确；因为，所以②不正确；作出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最小值6，故．所以③也正确．故所有正确结论的编号是①③．故答案为：①③．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．15.已知正四棱柱每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得，设正四棱柱的底面边长，高为，，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，则，解得，设正四棱柱的底面边长，高为，则正四棱柱的体对角线为球的直径，则有，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故该正四棱柱的侧面积为，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算,同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考查计算能力，属于中等题16.函数在上单调递增，且为奇函数.当时，，且，则满足的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由特殊值法分析可得和，进而分析可得在上单调递增，据此可得原不等式等价于，解可得的范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，因为当时，，且，所以．又，所以，．因为在，上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增．所以，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在等比数列中，，且.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由数列是等比数列，及，且，两式相除得到公比，再代入可求，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列的前n项和.【详解】解：（1）因为等比数列中，，且.所以公比，所以，即，故.（2）因为所以，所以.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.18.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.0720.150【答案】(1)见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】【分析】（1）完善列联表，计算得到答案.（2）先计算，分别计算，，，，得到分布列，计算得到答案.【详解】（1）列联表如下：，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）可能取值为65，70，75，80，且.，，，，所以的分布列为65.【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.19.如图，在正四棱锥中，二面角为，为的中点.（1）证明：；（2）已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为，求【答案】（1）详见解析；（2）11.【解析】【分析】（1）设V在底面的射影为O，连接OE，找出二面角的平面角，再证明，从而得到；（2）取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，，根据异面直线与所成角为，求出的值，从而得到的值.【详解】（1）设V在底面的射影为O.则O为正方形ABCD 的中心如图，连接OE，因为E为BC的中点，所以.在正四棱锥中，，则，所以为二面角的平面角，则.在中，，又，所以.（2）取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，.设，则，从而，整理得，解得（舍去），故.【点睛】本题考查空间中的线线垂直、线面角、面面角定义，考查空间想象能力和运算求解能力，在第（2）问求解时，根据共线向量基本定理确定，引入一个变量确定点的位置，是求解问题的关键.20.在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点符合题意.【解析】【分析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.【详解】（1）设，，则，，.又，则即因为点N为曲线上的任意一点，所以，所以，整理得，故点C的轨迹方程为.（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，将代入，得.设，，则，.因，所以，即，所以.故存在点，使得.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.21.已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值和的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.【解析】【分析】（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.（2）讨论，两种情况，变换得到，设，求函数的最小值得到答案.【详解】（1），由切线方程，知，，解得，.故，，由，得；由，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）①当时，恒成立，则.②当时，恒成立等价于对恒成立.令，，.令，，则对恒成立，所以在上单调递增.又，，所以，.当时，；当时，.所以，又，则，故，整数的最大值为3.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.（1）求，，的值；（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.【详解】（1）由，得，则，即.因为，，所以.（2）将代入，得.设，两点对应的参数分别为，，则，.所以.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，得出关于的不等式，求出解集即可．【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得，则；当时，，解得，则.综上，不等式的解集为；（2），若对任意，不等式恒成立，则，解得或.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；详解】解：所以或，即或故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及交集的运算，属于基础题.3.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A. 甲景区月客流量的中位数为12950人B. 乙景区月客流量的中位数为12450人C. 甲景区月客流量的极差为3200人D. 乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.4.若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可对两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【详解】解：∵；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．故选B．【点睛】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．5.设是椭圆上一点，分别是的左、右焦点.若，则（）A. 4B.C. 5D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得椭圆的焦点在轴，且，，即可计算出、，再由椭圆的定义计算可得；【详解】解：依题意可得椭圆焦点在轴，且，，由，可得，即，又，所以故选：【点睛】本题考查椭圆的定义及简单几何性质，属于基础题.6.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用切化弦后通分得，利用辅助角公式化简即可得结果.【详解】，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简，利用切化弦思想和辅助角公式是解题的关键，属于中档题.7.若函数在上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得出在区间上恒成立，分析函数的单调性，得出该函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解出即可.【详解】，.由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.8.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.【详解】解：，，又因为的图象关于对称，所以，即，因为，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.9.如图，在四棱锥中，侧面是边长为6的正三角形，侧面与矩形所在平面垂直，分别为侧棱的中点，为棱上一点，且，.若平面与交于点，则与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，根据线面平行的判定，得出平面，再由线面平行的性质得出，继而有，根据线段的比例关系可确定，取的中点，连接，再由面面垂直和线面角的定义找出为与底面所成角，解三角形，可得选项.【详解】连接，因为分别为侧棱的中点，所以，又∵平面，平面，∴平面，又平面平面，∴，所以，.因为，所以.取的中点，连接，则.因为，所以，又侧面底面，所以底面，所以为与底面所成的角.因为，所以.故选：C.【点睛】本题考查线面角的计算，关键在于根据线面的关系，找出线面角的平面角，属于中档题.10.的展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对多项式进行变行转化成，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出项，第2个括号出项.【详解】∵，∴的展开式中的常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（）（参考数据：取）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设：，：，联立方程得到，再计算，，利用余弦定理得到，计算得到答案.【详解】记为坐标原点.由题意可得，不妨设：，：则直线：.联立，解得则故，.因为，所以所以，，则.因为，所以，所以，整理得，则解得.故选：【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设分别为内角的对边.已知，，，则_____.【答案】（或150°）【解析】【分析】利用已知条件通过余弦定理直接求解即可.【详解】因为，，所以，故答案为：（或）.【点睛】本题主要考查三角形的解法，余弦定理的应用，属于基础题.14.现有下列三个结论，其中所有正确结论的编号是________.①若，则的最大值为；②“”的一个必要不充分条件是“”；③若且，则.【答案】①③【解析】【分析】利用基本不等式判断①；根据充要条件判断②；由简单的线性规划判断③；即可推出结果．【详解】解：若，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以①正确；因为，所以②不正确；作出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线经过点时，取得最小值6，故．所以③也正确．故所有正确结论的编号是①③．故答案为：①③．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．15.已知正四棱柱每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】设球的半径为，可得，设正四棱柱的底面边长，高为，，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值.【详解】设球的半径为，则，解得，设正四棱柱的底面边长，高为，则正四棱柱的体对角线为球的直径，则有，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故该正四棱柱的侧面积为，其最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积的计算,同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考查计算能力，属于中等题16.函数在上单调递增，且为奇函数.当时，，且，则满足的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由特殊值法分析可得和，进而分析可得在上单调递增，据此可得原不等式等价于，解可得的范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，因为当时，，且，所以．又，所以，．因为在，上单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增．所以，，，即，故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在等比数列中，，且.（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由数列是等比数列，及，且，两式相除得到公比，再代入可求，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列的前n项和.【详解】解：（1）因为等比数列中，，且.所以公比，所以，即，故.（2）因为所以，所以.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前项和公式的应用，属于基础题.18.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.。
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厦门市2019-2020学年度第一学期高三年级质量检测
数学(理科)试题
(满分：150分 考试时间：120分钟)
注意事项：
1
．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2
．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3
．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项符合
题目要求的．
1.设集合2160AxxBxxx，，则ABI(
)
A. 3， B. 2， C. 12， D. 13，
2.已知0abcd，，则下列不等式成立的是(
)
A. 22ab B. adbc C. abcd D. acbd
3.已知50cos5a，，，则tan的值为(
)
A. -2 B. 12 C. 12 D. 2
4.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”
算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的
乘积．据此得某椭圆面积为62，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )
A. 221362xy B. 2211816xy C. 221126xy D.
22
1
98
xy
+=
5.在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是(
)
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
6.甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”
游戏(石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头)，需要淘汰两人，一人胜出．现
三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是( )
A. 127 B. 19 C. 13 D. 23
7.在边长为2的菱形ABCD中，3DABBMMCuuuuruuuur，，则ACDMuuuruuuur(
)
A. 1 B. 3 C. 3 D. 33
8.已知直线l与平面所成角为45°，l在内的射影为m，直线n，且n与m所成角为45°
，则l与
n
所成角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
9.
已知函数sincos06fxxx在0，上的值域为332，，则实数的取值范围是
( )
A. 1163， B. 1162， C. 3211， D. 112，
10.
地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，
利用地震波传播速度小于电波传播速度的特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过
地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁
县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警
报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，
则成都预警时间(电波与横波到达的时间差)可能为( )
A. 51秒 B. 56秒 C. 61秒 D. 80
秒
11.
已知函数esin'xfxxfx，是fx的导函数，有下述四个结论
①fx是奇函数 ②fx在1010，内有21个极值点
③'fx在区间04，上为增函数 ④fxax在区间04，上恒成立的充要条件是1a
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
12.
已知双曲线2222:100xyabab，右焦点为F，过原点的直线l与双曲线的左、右两支分
别交于AB，两点，延长BF交右支于C点，若AFFB，3CFFB，则双曲线的离心率是( )
A. 173 B. 32 C. 53 D.
10
2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知zC，i是虚数单位，121zii，则z__________________
．
14.
某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百
万元)之间有如下对应数据：
x
0 1 2 3 4
y
15 30 35 40 50
由表中的数据得线性回归方程为$$8yxa．投入的广告费6x时，销售额的预报值为_______百万元．
15.一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1
的球，则该直三棱柱的体积最小
值为___________．
16.
ABCV的内角ABC，，的对边分别为abc，，，角A的平分线AD交BC
于D点．23ADa，，
sincos2cossincACbcAC
，则A___________，ABCV的面积为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17.等比数列na中，12a且2
，231aa，，成等差数列．
(1)求na的通项公式；
(2)数列nb满足1232bnaaaa…，求数列1nb的前n项和．
18.
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，2BCABPBCV，是等边三角形，PAD△是直
角三角形，O为AD中点．
(1)求证：BCOP；
(2)求二面角APBC的余弦值．
19.
已知抛物线220ypxp，过点10，的直线l与抛物线交于AB，两点，3OAOBuuuruuur．
(1)求抛物线的方程；
(2)以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点C在y轴上时，求ABCV的面积．
20.习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”
的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄
为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有
波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X(单位：吨)的分布
列如下：
X 10 12
P 0.5 0.5
紫长茄今年的平均统一收购价格Y(单位：万元／吨)的分布列如下：
Y 0.5 0.6
P 0.8 0.2
(1)某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于
34
吨的概率；
(2)紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z表示该村紫长茄今年平均每亩的利润(单位：万元)，求Z的
分布列和数学期望．
21.
函数log01afxxxaa，且．
(1)当3a时，求方程1fx的根的个数；
(2)若efxa恒成立，求a的取值范围．
注：e2.71828… 为自然对数的底数
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分．
［选修4-4：坐标系与参数方程］
22.
在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1121mxmmym(m为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin．
(1)求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程；
(2)过点10P，作倾斜角为的直线1l交2C于AB，两点，过O作与1l平行的直线2l交1C于Q点，若
4PAPBOQ
，求．
［选修4-5：不等式选讲］
23.
已知函数2fxxaxa．
(1)当1a时，求不等式5fx的解集；
(2)若013xfxxa，，恒成立，求实数a的取值范围．