第五章 坐标系统转换和高程系统转换程序设计

a 2 b2 t tan B； e cos B，其中e为地球第二偏心率 e2 ; b2
N a 1 e sin
2 2
a 2 b2 ，e a2 B
206265
编程实现流程描述：
数据的组织、 界面 设计 定义各变量存 储常数和中间 计算结果
结果输出
高斯坐标投影坐标反算[由平面坐标(x,y)求大 地坐标(B,L)]的公式为：
( x1 , y1 ) ( B1 , L1 ) ( X 1 , Y1 , Z1 ) ( X 2 , Y2 , Z 2 ) ( B2 , L2 ) ( x2 , y2 )
式中，下标1和2分别代表两种坐标系统。
当然,也可以不借助空间直角坐标系,而直接通 过大地坐标系进行换算,其过程为：
根据上述条件导出的高斯坐标正算[大地坐标(B， L)求平面坐标(x,y)]
N N 2 xX sin B cos Bl sin B cos3 B 2 2 24 4 N (5 t 9 4 )l sin B cos5 B(61 58t 2 t 4 )l 6 6 720
式中,x,y的下标1和2表示相邻的两个分带.
(2)在相同的基准下,不同的投影方式下也可以产生不同的坐标 系.
例如，高斯投影平面坐标与墨卡托这类投影之间的坐标换算
(3) 不同基准下,平面与平面之间的转换除了按上 面讲的式子进行外,还可以按如下过程来实现
( X1 , Y1 , Z1 ) ( B1 , L1 ) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
二、高斯投影
高斯投影又称为横轴等角切椭圆柱投影。高 斯投影是正形投影的一种，它除了满足正形投影 的一般条件（长度比和方向无关）外，还应该满 足高斯投影本身的特殊条件。即必须满足以下3 个条件： （1）中央子午线和地球赤道投影后成为相互垂 直的直线，且为投影的对称轴； （2）中央子午线投影后长度不变； （3）投影具有正形条件，即等角投影。
式中，f(x,y)为趋势值；εi为误差。
可选用以下空间曲面表达式：
…… (4)
对于每一个已知点，都可列出以上方程，在 Σε2=min条件下，解出bi，再按式(4) 求出待求点
的高程异常ξ值。
2）高程拟合程序实现及技巧
上机内容（四） 水准网平差程序设计
1）输出高程平差值和高程中误差； 2）输出观测值及其改正数与平差值； 3）提交成果。
某点在空间直角坐标系中的坐标，可用 该点在此坐标系的各个坐标经纬度和大地高 来描述空间位置的。我国目前广泛采用的1954 北京坐标系以及1980年西安坐标系都属于空间 大地坐标系一类，但采用的椭球参数不同。
（3）平面直角坐标系
平面直角坐标系是利用投影变换，将空间 坐标通过某种数学变换映射到平面上。投影变 换的方法有很多，在我国采用的是高斯-克吕格 投影（高斯投影）。
第五章 坐标系统转换和高程系 统转换程序设计
本章重点：
一.测量中常用坐标系及这些坐标系的特 点；测量中高程系统及其关系、GPS高程 二.程序实现时的技巧
一、地理空间坐标系
为了确定物体在空间的位置，常用坐标系来 描述空间位置。测量中常用的坐标系有以下几 种： （1）空间直角坐标系
空间直角坐标系原点位于参考椭球的中心o 点，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子 午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上、且按右 手系与X 轴正交于o点处。目前，GPS测量中采 用的WGS-84坐标就属于空间直角坐标系。
5
(5 28t f 24t f 6 f 8 2 f t f ) y 5
2 4 2 2
式中, B f 为横坐标值等于零时对应的纬度，也就是将x 看做X时由子午线弧长公式反求出的纬度；Mf为横轴坐标值
等于零时所对应的子午圈曲率半径 ；其余下标f 的 各量也都是类似上述的各自的相应的意义。计算出 经差后，即可根据中央线的经度，计算出经度Ｌ。
图2
高程系统之间的关系
高程系统的转换关系
大地水准面与参考椭球面之间的距离，称为 大地水准面差异，记为hg。
大地高和正高之间的关系： H=Hg+ hg ………（1） 似大地水准面与参考椭球面之间的距离，称 为高程异常，记为ξ 。 大地高系统和正常高系统之间的关系：
H=Hr+ξ ………（2）
（二）GPS高程
2 椭球面与平面之间的坐标转换
(1)在相同的基准下进行的，如在前面所讲的高 斯投影坐标正反算
(2)在不同的基准下的平面坐标有时也可借助空 间直角坐标系作为过渡坐标系完成不同系统间 的转换。例如，1954年北京坐标系和1980年国 家大地坐标系内坐标间的转换。 同一点在不同坐标系中的高斯平面坐标可通 过以下过程来实现：
试想在一局部GPS网中，由若干个点的ξ 作为已知值，用数值拟合方法内插出其他 GPS测点的高程异常，按式(2)可求得各点 的正常高。
1）高程拟合算法 高程拟合常有六种模型：多项式曲线拟合、 三次样多条曲线拟合、Akima曲线拟合、多项式 曲面拟合、多面函数法曲面拟合和移动法曲面拟 合。前三种属曲线拟合，仅当GPS点布设成测线 时采用；后三种属于曲面拟合，当GPS测点分布 设成网状时采用。 多项式曲面拟合 当GPS测点布成网状时，应用曲面拟合。设 测点的ξi和xi、yi存在如下函数关系： ξi=f(xi，yi)+εi (3)
2 2 4 4
N N y cos Bl cos3 B(1 t 2 2 )l 3 6 3 N cos5 B(5 18t 2 t 4 14 2 58 2t 2 )l 5 120 5
式中，(x，y)为投影后的高斯平面纵、横坐标；X为经 度为零时对应的纵坐标值，也就是赤道至纬度B处中央 子午线弧长（一般采用积分的方法）；B为纬度；l’’为 以秒为单位的经差；N为卯酉圈曲率半径；
此外，常有这种情况,在一个测区内虽然是在 相同的基准下，但各单位所做的控制要求不 同，有时也需将地方独立控制网转换到国家 网或其他别的新的控制网中，做到成果的相 互利用和统一测区的坐标系统。
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
四、高程系统转换
（一）测量中的高程系统及关系 测量中常用的高程系统有大地高系统、正 高系统以及正常高系统。 1）大地高系统 大地高系统：是以参考椭球为基准面的高 程系统 大地高：某点的大地高是该点到通过该点 的参考椭球的法线与椭球面交点的距离；可用 H来表示。 2）正高系统 正高系统 ：是以大地水准面为基准面的高 程系统。
2
a2 b2 a e ,N a2 1 e 2 sin 2 B
由空间直角坐标转换成大地坐标的公式为:
Y L arct an X B arct an Z (N H ) ( X 2 Y 2 )[N (1 e 2 ) H ]
Z H N (1 e 2 ) sin B 在采用上式进行转换时 ，须用迭代的方法， 可用下式求出B的初值 E Z X 2 Y 2
三、空间坐标转换
1 椭球面之间坐标转换
（1） 在相同的基准下,不同坐标系之间的转换， 其中由大地坐标转换成空间直角坐标的公式为
X ( N H ) cos B cos L Y ( N H ) cos B cos L a2 Z [ N (1 e ) H ] sin B [ N 2 H ] sin B b 其中，a, b为地球椭球长、短半轴 ；第一偏心率和卯酉圈 曲率半径分别为
在一段时间内利用GPS来建立各类控制网时， 绝大多数仅仅局限于解决平面坐标，高程仍沿 用常规水准测量方法来测定 ，如何利用GPS观 测中所提供的高程信息来直接为测绘服务就变 成了一项很有意义的工作。
所谓高程拟合法就是利用范围不大的区域中， 高程异常具有一定的几何相关性的原理，利用 数学的方法，求解正高、正常高和高程异常。
(x 0，y0，z0 )， 3个旋转参数( x， y， z ),1个尺度参数m. 令( x A , y A , z A )T 为某点在空间直角坐标 A中的坐标， B , y B , z B )T 系 (x
xB x0 xA y y (1 m) R( ) y B 0 A z B z0 zA
求得某点的大地坐标
B B ( x1 , y1 ) L L ( x1 , y1 )
然后,按高斯投影正算公式求得该点在新的中央 子午线为投影轴的邻带内的高斯平面坐标
x2 F1[ B( x1 , y1 ), L( x1 , y1 )] y2 F2 [ B( x1 , y1 ), L( x1 , y1 )]
B Bf tf 720M f N f tf 2M f N f y
2
tf 24M f N f
2 4
(5 3t f f 9 f t f ) y 4 3
3 3 2 2
(61 90t f 45t f ) y 6 5
1 1 2 l y (1 2t f 2 f ) y 3 3 N f cos B f 6 N f cos B f 1 120N f cos B f
( x1 , y1 ) ( B1 , L1 ) ( B2 , L2 ) ( x2 , y2 )
上述两过程，无论采用哪一种，除知道连个参 心坐标系所属的地球椭球外，还必须知道(或 求得)每一步转换的转换参数。 3 平面与平面之间的坐标转换 (1) 在相同的基准，相同的投影方式下进行的 平面坐标间的转换发生在邻带之间的坐标换算。 例如，高斯投影是按一定的经差宽度分带的，由 于各个子午线不同而形成的坐标系也不同，常常 需要6度间转换，6度到3度以及3度之间进行邻带 坐标换算。其过程是按高斯投影反算
正高：某点的正高是该点到通过该点的铅垂 线与大地水准面的交点之间的距离；可用Hg表示。
3）正常高系统
正常高系统：是以似大地水准面为基准面的高 程系统