2017年中考数学试题分类汇编-16压轴题(第1部分)(word原题及解析版)
2017年河北省中考数学压轴试卷及解析答案word版(一)
2017年河北省中考数学压轴试卷（一）一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡上.1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．（3分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．（a2）3=a6C．（﹣ab2）6=a6b6D．（a+b）2=a2+b24．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．（3分）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±6．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣27．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．方差C．平均数D．中位数8．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．9．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．10．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）11．（2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．1212．（2分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）13．（2分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个14．（2分）如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣315．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形16．（2分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中的横线上）17．（3分）若|a|=20160，则a=．18．（3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．19．（3分）在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，则A3表示的数是按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．三、解答题（本大题6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）计算：（﹣2015）0+|1﹣|﹣2cos45°++（﹣）﹣2．21．（9分）先化简，再求值：，其中x=+1．22．（10分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．23．（9分）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？24．（10分）已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE 平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB 的面积．25．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．26．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．2017年河北省中考数学压轴试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡上.1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．2．（3分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵≈1.732，∴﹣≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数﹣表示的点最接近的是点B．故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．（a2）3=a6C．（﹣ab2）6=a6b6D．（a+b）2=a2+b2【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变值数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：B．4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．5．（3分）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±【解答】解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选：C．6．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2【解答】解：∵分式有意义，∴x+2≠0，∴x≠﹣2，即x的取值应满足：x≠﹣2．故选：D．7．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．方差C．平均数D．中位数【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：D．8．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论．故选A．9．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体的俯视图为，故选D10．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确；故选：D．11．（2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．12．（2分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）【解答】解：方程变形得：﹣=3，去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），故选D13．（2分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C．14．（2分）如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S=S矩形ADOE，平行四边形ABCD=|﹣k|，而S矩形ADOE∴|﹣k|=6，而k＜0，即k＜0，∴k=﹣6．故选B．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【解答】解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，根据已知不能推出OE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选：B．16．（2分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．答：山高CD为（600﹣250）米．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中的横线上）17．（3分）若|a|=20160，则a=±1．【解答】∵|a|=20160，∴|a|=1，∴a=±1．故答案为：±1．18．（3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．则扇形FDE的面积是：=．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S=S四边形DMCN=．四边形DGCH则阴影部分的面积是：﹣．故答案为﹣．19．（3分）在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，则A3表示的数是﹣5按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13，故答案为：﹣5，13．三、解答题（本大题6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）计算：（﹣2015）0+|1﹣|﹣2cos45°++（﹣）﹣2．【解答】解：原式=1+﹣1﹣2×+2+9=2+9．21．（9分）先化简，再求值：，其中x=+1．【解答】解：∵x=+1，∴x=3+1=4，原式=×=，当x=4时，原式==2．22．（10分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．23．（9分）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？【解答】解：（1）把B（12，20）代入y=中得：k=12×20=240（2）设AD的解析式为：y=mx+n把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：解得∴AD的解析式为：y=5x+10当y=15时，15=5x+10，x=115=，x==16∴16﹣1=15答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．24．（10分）已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE 平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB 的面积．【解答】解：（1）当y=﹣x+6=0时，x=8，∴点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x+6=6，∴点A的坐标为（0，6），∴OA=6，OB=8，∴AB==10．∵AE平分∠BAO，交x轴于点E，∴=，∴OE=BE．∵OE+BE=OB=8，∴OE=3，BE=5，∴点E的坐标为（3，0）．设直线AE的表达式为y=kx+b，将A（0，6）、E（3，0）代入y=kx+b，，解得：，∴直线AE的表达式为y=﹣2x+6．（3）过点F作FG⊥x轴于点G，如图所示．∵BF⊥AE，∴∠BFE=90°=∠AOE．∵∠AEO=∠BEF，∴△AOE∽△BFE，∴==．∵OA=6，OE=3，∴AE=3．∵BE=5，∴BF=2，EF=．同理可得：△BEF∽△BFG，∴BG=4，FG=2．∵OB=8，∴OG=4=BG，∴△OFB为等腰三角形，∴S=OB•FG=8．△OFB25．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．【解答】解：（1）AB=AC，理由如下：连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点，∴OE=≤r，≤2r，25﹣r2≤4r2，r2≥5，∴r≥，又∵圆O与直线相离，∴r＜5，即≤r＜5．26．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【解答】（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S=AB×OC=×4×3=6，△ABC∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，=PM•OH+PM•HB=PM（OH+HB）=PM•OB=PM，∴S△PBC∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣）（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中，∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：FAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-a aBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.。
2017年中考数学填空压轴题
2017年中考数学填空压轴题填空题1（2017浙江衢州第15题)如图,在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(-1，0）,半径为1,点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线,切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________【答案】22． 【解析】试题解析：连接AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y=﹣34x+3时,PQ 最小, ∵A 的坐标为（﹣1，0），y=﹣34x+3可化为3x+4y ﹣12=0， ∴22|3(1)4012|34+=3， ∴223-1=22．考点：1.切线的性质;2.一次函数的性质.2.（2017重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G,将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM,交EF于点N,若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．学科网【答案】【解析】试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P,交AB于Q,连接BE，∵DC∥AB，∴PQ⊥AB,∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE=PC，设PC=x,则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x,∴PD=EQ，∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，∴DE=EF,易证明△DEC≌△BEC,∴DE=BE，∴EF=BE，∵EQ ⊥FB ，∴FQ=BQ=12BF, ∵AB=4，F 是AB 的中点,∴BF=2，∴FQ=BQ=PE=1，∴CE=2，Rt △DAF 中，DF=2242=25+，∵DE=EF,DE ⊥EF, ∴△DEF 是等腰直角三角形,∴DE=EF=25=102，∴PD=22DE PE -=3，如图2，∵DC ∥AB ，∴△DGC ∽△FGA ，∴422CG DC DG AG AF FG ====, ∴CG=2AG ，DG=2FG,∴FG=1252533⨯=， ∵22442+=∴CG=233⨯=，∴-=，连接GM、GN,交EF于H，∵∠GFE=45°，∴△GHF是等腰直角三角形,∴3 =，∴EH=EF﹣-=∴∠NDE=∠AEF,∴tan∠NDE=tan∠AEF=EN GH DE EH=,123EN==，∴EN=2，∴NH=EH﹣EN=326-=,Rt△GNH中，6==,由折叠得：MN=GN，EM=EG，∴△EMN的周长=EN+MN+EM=2632+++=考点：1。
2017年中考数学试题分类汇编专题16：压轴题(内蒙古含解析)
2017年中考数学试题分类汇编专题16：压轴题(内蒙古含解析) 1．（201 5年，内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟，3分）如图：把△ABC沿 AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB= ，则此三角形移动的距离AA′是（） A． B． C．1 D．【答案】A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平移的性质． 2. （2015年，内蒙古呼和浩特市，3分）函数的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】D 考点：函数的图象. 3．（2015年，内蒙古巴彦淖尔，3分）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE�ED�DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若 P 、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（） A．AE=12cm B．sin∠EBC= C．当0＜t≤8时， D．当t=9s时，△PBQ是等腰三角形【答案】D．【解析】1．（2014年，内蒙古包头市，3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②AF+BC＞CF；③S△CEF=S△EAF+S△CBE；④若 = ，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④ 则AE=DH， 2．（2015年，内蒙古包头市、乌兰察布市，3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BE=CD；②∠ DGF=135°；③∠ABG+∠ADG=180°；④若，则．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号） 3．（2016年，内蒙古包头市，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E 分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③④. 【解析】考点：三角形综合题.1．（2014年，内蒙古包头市，12分）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（�1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC 的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．（4）对称；理由见解析∴AB=3，BC=2 ，OB=2，BN= ，（4）如图2，延长EF交y轴于Q，∵m=1，∴直线EF为y=x+1， 2. （2014年，内蒙古赤峰市，14分）如图，抛物线与x轴交于点两点，与y 轴交于点 . （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求△BCM 面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）1：2；（3）或或 . 【解析】∴可设抛物线解析式为. ∴ . （3）存在.分两种情况：考点：1.二次函数综合题；2.单动点和平行四边形存在性问题；3. 待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.三角形的面积；7.全等三角形的总协定和性质；8.转换思想、分类思想和方程思想的应用. 4．（2014年，内蒙古呼和浩特市，12分）如图，已知直线l的解析式为，抛物线y = ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P 与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．【答案】（1），（�C4，0），作图见解析；（2），其中�C4 < x < 0，12，（�C2，2）；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由y = ax2＋bx＋2经过B（2，0），D ，将两点坐标分别代入得关于a，b的二元一次方程组，解之即可得抛物线的解析式为；将A（m，0）代入所∴抛物线的解析式为. ∵A（m，0）在抛物线上，∴ ，解得. ∴A （�C4，0）. 作抛物线的大致图象如下：（2）∵由题设知直线l 的解析式为，∴ . 又∵AB=6，∴ . ∴将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数为，其中�C4 < x < 0. ∵ ，∴S最大= 12，此时点P的坐标为（�C2，2）. 5．（2015年，内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟，13分）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线 EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B 对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．（1）画出当t=2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF的面积为；（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．【答案】（1）作图见试题解析；（2）；（3），当S=4时，S最大值为6．考点：1．一次函数综合题；2．分段函数；3．分类讨论；4．二次函数的最值；5．最值问题；6．综合题；7．压轴题． 6. （2015年，内蒙古呼和浩特市，12分）已知：抛物线y= +(2m－1)x+ －1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小. (1)求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围; (2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C. ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长; ②设动点A的坐标为 (a，b)，将矩形ABCD 的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由. 【答案】y= －3x，0＜x＜3；6；，( ，－ )或( ，－ ) 考点：二次函数的综合应用. 6．（2015年，内蒙古巴彦淖尔，12分）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（�2，0）、B（4，0），其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上． 7．（2015年，内蒙古包头市、乌兰察布市，10分）如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径． 8．（2015年，内蒙古包头市、乌兰察布市，12分）已知抛物线经过A（�1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为，和，用等式表示，、之间的数量关系，并说明理由；（3）点M 是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由． 9. （2015年，内蒙古赤峰市）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA 的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：考点：几何变换综合题． 10. （2015年，内蒙古赤峰市）已知二次函数y= ax2+bx�3a经过点A（�1 ，0）、C（0，3），与x 轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△P DC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11. （2015年，内蒙古通辽市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x 轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE=EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2= ]． 12．（2016年，内蒙古古巴淖尔）如图所示，抛物线经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x�2于点C，且直线y=2x�2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y=2x�2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．【答案】（1），C（6，10），D（1，0）；（2）A′（�2，4），A′在抛物线上；（3）l= ，（�2＜x≤6），l的最大值为．【解析】试题解析：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为．当x=6时，y=2×6�2=10，当y=0时，2x�2=0，解得x=1，∴点C坐标（6， 10），点D的坐标（1，0）；（2）过点A′作AF⊥x 轴于点F，∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在Rt△ACD中，CD= = ，∵点A与点A′关于直线y=2x�2对称，∴∠AED=90°，∴S△ADC= × •AE=×5×10，解得AE= ，∴AA′=2AE= ，DE= = ，∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，∴ ，解得AF=4，A′F=8，∴OF=8�6=2，∴点A′坐标为（�2，4），当x=�2时，y= ，∴A′在抛物线上．考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；压轴题． 13．（2016年，内蒙古包头市，12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx�2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，�1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x�h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t ＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=�（x�2）2+ ；（2）．（3）�；（4）在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx�2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴ ∴ ，∴抛物线解析式为y=� x2+ x�2=�（x�2）2+ ；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，�2），∵B （0，3），∴直线BC解析式为y= x�2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=�，∴H（1，�），∵B（3，0），E（0，�1），∴直线BE 解析式为y=�x�1，∴G（1，�），∴GH= ，（3）如图2，由（1）有y=� x2+ x�2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m= 或m=�（舍），∴M（0，），∴MD= �，学科网∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t= �；联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．考点：二次函数综合题. 14. （2016年，内蒙古赤峰市）在平面直角坐标系中，已知点A （�2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．【答案】(1)、y=x+2；y= -4；(2)、P(0， - )；(3)、( ， ) 【解析】试题分析：(1) 、利用抛物线和x轴的两个交点坐标，设出抛物线的解析式y=a（x�x1）（x�x2），代入即可得出抛物线的解析式，再设出直线AC的解析式，利用待定系数法即可得出答案；(2)、先求得抛物线的顶点D的坐标，再设点P坐标（0，Py），根据A，B，D三点在⊙P上，得PB=PD，列出关于Py的方程，求解即可得出P点的坐标；(3)、假设抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切，设 Q点的坐标为（m，m2�4），根据平面内两点间的距离公式，即可得出关于m的方程，求出m的值，即可得出点Q的坐标．学科&网 (2)、设P点的坐标为（ 0，Py），由（1）知D点的坐标为（0，�4）；∵A，B，D三点在⊙P上；∴PB=PD；∴22+Py2=（�4�Py）2，解得：Py=�；∴P点的坐标为（0，�）；(3)、在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切．理由如下：设Q点的坐标为（m，m2�4）；根据平面内两点间的距离公式得：AQ2=（m+2）2+（m2�4）2，PQ2=m2+（m2�4+ ）2；∵AP= ，∴AP2= ；∵直线AQ是⊙P的切线，∴AP⊥AQ；∴PQ2=AP2+AQ2，即：m2+（m2�4+ ）2= +[（m+2）2+（m2�4）2] 解得：m1= ，m2=�2（与A 点重合，舍去）∴Q点的坐标为（，）．考点：二次函数综合题15．（2016年，呼伦贝尔市、兴安盟，10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y= （4≤x≤10）；（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．【解析】（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4= ，解得：x=8，∵8�2=6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．学科网考点：反比例函数的应用；一次函数的应用． 16．（2016年，呼伦贝尔市、兴安盟，13分）如图，抛物线y=�x2+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（ 1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．【答案】（1）A（�1，0），B （3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）①PF=�m2+3m，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；②S=� m2+ m（0＜m＜3），当m= 时，S取得最大值．【解析】试题解析：（1）对于抛物线y=�x2+2x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到�x2+2x+3=0，即（x�3）（x+1）=0，解得：x=�1或x=3，则A（�1，0），B（3， 0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，把B（ 3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k=�1，b=3，∴直线BC的解析式为y=�x+3，②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，∵S=S△BPF+S△CPF= PF•BM+ PF•OM= PF（BM+OM）= PF•OB，∴S= ×3（�m2+3m）=�m2+ m（0＜m＜3），则当m= 时，S取得最大值．学科@网考点：二次函数综合题． 17．（2016年，内蒙古通辽市）已知抛物线经过A（�1，0），B（4，0），C（0，�2）三点．（1）请直接写出抛物线的解析式．（2）连接BC，将直线 BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标．（3）在（2）中的线段AD上有一动点E（不与点A、点D重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△AFD的面积最大？求出此时点E的坐标和△AFD的最大面积．【答案】（1）；（2）D （5，2）；（3）EF=3，E（1，1），△AFD的最大面积为9．【解析】试题解析：（1）∵抛物线经过A（�1，0），B（4，0），∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x�4），∵C（0，�2）在抛物线上，∴�2=a ×1×（�4），∴a= ，∴抛物线的解析式为y= （x+1）（x�4），即；（2）设直线BC解析式为y=kx�2，∵B（4，0），∴4k�2=0，∴k= ，∴直线BC解析式为，∵直线BC平移，使其经过点A（�1，0），且与抛物线交于点D，∴直线AD解析式为，联立，解得：（舍）或，∴D（5，2）；考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题． 18．（2016年，内蒙古呼和浩特市）已知二次函数y=ax2�2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，�），点P（t，0）是x 轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；（2）求|PC�PD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2�2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．【答案】（1）y=�x2+2x+3，（1，4）；（2）（�3，0）；；（3）≤t＜3或t= 或t≤�3 【解析】试题分析：（1 ）先利用对称轴公式x=�计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC�PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2�2a|x |+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（�3，0），即点P与点（�3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2�2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤�3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知： |PC�PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC�PD|取得最大值，此时最大值为 |CD|= ，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=�3，∴此时对应的点P为（�3，0）；（3）y=a|x|2�2a|x|+c的解析式可化为：设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=�2x+2t，∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数有一个公共点，此时t= ，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与有两个公共点，所以当≤t＜3时，线段PQ与有一个公共点，③当线段PQ过点（�3，0），即点P与点（�3，0）重合时，线段PQ只与 y=�x2�2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=�3，所以当t≤�3时，线段PQ与也有一个公共点，综上所述，t的取值是≤t＜3或t= 或t≤�3．考点：二次函数综合题 19. （2017年内蒙古通辽市第26题）在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点 . （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=� x2+ x+2（2）△ACD的周长的最小值是2 +2 （3）存在，点P的坐标为（1，1）或（1，�3）试题解析：（1）把点A（�2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线函数表达式为：y=�x2+ x+2；答：△ACD的周长的最小值是2 +2 ，（3）存在，分两种情况：① 当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，② 当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，设P（1，y），则△PEA∽△AOC，∴ ，∴ ，∴PE=3，∴P（1，�3）；综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，�3）．考点：二次函数综合题 20．（2017年内蒙古包头市第25题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．【答案】（1）DD′=3，A′F= 4�；（2）；（3）．试题解析：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=3．②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，在Rt△CD′F 中，∵tan∠D′CF= ，∴D′F= ，∴A′F=A′D′�D′F=4�．考点：相似形综合题；旋转的性质；压轴题． 21．（2017年内蒙古包头市第26题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（�1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=�x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值．【答案】（1）；（2）①n=�2；②△AGF与△CGD全等；（3）．（3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积，求得OP的长，再根据点M的坐标得到PM'的长，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'的值，最后根据OM'×d= ，即可得到d的值．试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于A（�1，0），B（2，0）两点，∴ ，解得：，∴该抛物线的解析式；（2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，∴ ，∵BE=4EC，∴BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，∵B（2，0），∴OB=2，即x+4x=2，∴x= ，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，�3），设直线BC的解析式为y=kx+b'，∵B（2，0），C（0，�3），∴ ，解得：，∴直线BC的解析式为，当x= 时，y=�，∴E（，�），把E的坐标代入直线y=�x+n，可得� +n=�，解得n=�2；②△AGF与△CGD全等．理由如下：∵直线EF的解析式为y=�x�2，∴当y=0时，x=�2，∴F（�2，0），OF=2，∵A（�1，0），∴OA=1，∴AF=2�1=1，由，解得：或，∵点D在第四象限，∴点D的坐标为（1，�3），∵点C的坐标为（0，�3），∴CD∥x轴，CD=1，∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，∴△AGF≌△CGD；考点：二次函数综合题；探究型；压轴题． 22. （2017年内蒙古呼和浩特市第25题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上．（1）求该抛物线的解析式；（2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围；（3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值．【答案】（1）抛物线的解析式为y=4x2�16x+8；（2）当x= 时，∠PCO=∠ACO，当2+ ＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；（3）祥见解析. （3）解方程组得到D（�1，28得到Q（t，�12t+16）（�1≤t ＜2），①当�1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．（2）由题意得：C（0，8），M（2，�8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，∴OD=OA= ，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2�16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴ ，∴x= ，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+ ，0），∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，∴当x= 时，∠PCO=∠ACO，当2+ ＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；（3）解方程组，解得：，∴D（�1，28），∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），∴Q（t，�12t+16）（�1≤t＜2），①当�1≤t＜0时，S= （�t）（�12t+16�8）+8（�t）=6t2�12t=6（t�1）2�6，∵�1≤t＜0，∴当t=-1时，S最大=18；②当0＜t＜时，S= t•8+ t（�12t+16）=�6t2+12t=�6（t�1）2+6，∵0＜t＜，∴当t=1时，S最大=6；③当＜t＜2时，S= t•8+ （12t�16）=6t2�4t=6（t�）2�，∵ ＜t＜2，∴此时S=16为最大值．考点：二次函数综合题．。
2017年中考数学真题试题及答案(word版)
保密 ★ 启用前2017年中考题数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上） 1、计算2(1)⨯-的结果是（ ） A 、12-B 、2-C 、1D 、22、若∠α的余角是30°，则cos α的值是（ ）A 、12B 、 32C 、22D 、33 3、下列运算正确的是（ ） A 、21a a -= B 、22a a a +=C 、2a a a ⋅=D 、22()a a -=-4、下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个5、如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=80°，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF ∥AE 交AE 于点F ，则∠1=（ ） A 、40° B 、50° C 、60° D 、80°6、已知二次函数2y ax =的图象开口向上，则直线1y ax =-经过的象限是（ ）A 、第一、二、三象限B 、第二、三、四象限C 、第一、二、四象限D 、第一、三、四象限 7、如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（ ）8、如图，是我市5月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ） A 、28℃，29℃ B 、28℃，29.5℃ C 、28℃，30℃ D 、29℃，29℃A B C D9、已知拋物线2123y x =-+，当15x ≤≤时，y 的最大值是（ ） A 、2B 、23C 、 53D 、 7310、小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ） A 、2 B 、5C 、22D 、3 11、如图，是反比例函数1k y x=和2ky x =（12k k <）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则21k k -的值是（ ） A 、1B 、2C 、4D 、812、一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出的水量是12升的13，第3次倒出的水量是13升的14，第4次倒出的水量是14升的15，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（ ） A 、1011升 B 、19升C 、110升 D 、111升 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上） 13、2011-的相反数是__________14、近似数0.618有__________个有效数字． 15、分解因式：39a a -= __________16、如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为__________17、如图，等边△ABC 绕点B 逆时针旋转30°时，点C 转到C ′的位置，且BC ′与AC 交于点D ，则'C DCD的值为__________18、如图，AB 是半圆O 的直径，以0A 为直径的半圆O ′与弦AC 交于点D ，O ′E ∥AC ，并交OC 于点E ．则下列四个结论：16题图 17题图 18题图①点D 为AC 的中点；②'12O OE AOC S S ∆∆=；③2AC AD = ；④四边形O'DEO 是菱形．其中正确的结论是 __________．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.19、计算：101()(5)342π-----+20、假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC 的长为10米，小强的身高AB 为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据2≈1.413 1.73 ）21、如图，△OAB 的底边经过⊙O 上的点C ，且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 与OA 、OB 分别交于D 、E 两点． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若D 为OA 33π，求⊙O 的半径r ．22、一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A 、白B 、白C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为34． （1）求纸盒中黑色棋子的个数；（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．23、上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？ （利润率=100%⨯利润进价）24、如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ． （1）求证：EB=GD ；（2）判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，2，求EB 的长．25、已知抛物线223 (0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求A 、B 的坐标；（2）过点D 作DH 丄y 轴于点H ，若DH=HC ，求a 的值和直线CD 的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD 与x 轴交于点E ，过线段OB 的中点N 作NF 丄x 轴，并交直线CD 于点F ，则直线NF 上是否存在点M ，使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．中考数学试题答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A CCBDBACBCD二、填空题 13. 201114. 315. (3)(3)a a a +- 16. 144°17. 23- 18. ①③④三、解答题19. 解：原式=2-1-3+2， =0．故答案为：0．20. 解：∵一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=1， ∴（x 1+x 2）2÷（ ）=42÷=42÷4 =4．21. 解：在Rt △CEB 中， sin60°=，∴CE=BC•sin60°=10×≈8.65m ，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m ， 答：风筝离地面的高度为10m ．22. （1）证明：连OC ，如图， ∵OA=OB ，CA=CB ， ∴OC ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵D 为OA 的中点，OD=OC=r ， ∴OA=2OC=2r ， ∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC= r ， ∴∠AOB=120°，AB=2 r ， ∴S 阴影部分=S △OAB -S 扇形ODE = •OC•AB - =- ，∴ •r•2r- r 2=- ，∴r=1，即⊙O 的半径r 为1． 23. 解：（1）3÷ -3=1．答：黑色棋子有1个；（2）共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．24. 解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意得：，解得x=200，经检验x=200是原方程的解，∴x+2.5x=700，答：这两批水果功够进700千克；（2）设售价为每千克a元，则：，630a≥7500×1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克15元．25. （1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，∴∠GAD=∠EAB，又∵AG=AE，AB=AD，∴△GAD≌△EAB，∴EB=GD；（2）EB⊥GD，理由如下：连接BD，由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH中，∠DHB=180°-（∠HDB+∠HBD）=180°-90°=90°，∴EB⊥GD；（3）设BD与AC交于点O，∵AB=AD=2在Rt△ABD中，DB= ，∴EB=GD= ．26. 解：（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0，∵a≠0，∴x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，∴C（0，-3a），又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a），∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，∴-a=1，∴a=-1，∴C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y=x+3；（3）存在．由（2）得，E（-3，0），N（- ，0）∴F（，），EN= ，作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件的点M（，m），则FM= -m，EF= = ，MQ=OM=由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，∴= ，整理得4m2+36m-63=0，∴m2+9m= ，m2+9m+ = +（m+ ）2=m+ =±∴m1= ，m2=- ，∴点M的坐标为M1（，），M2（，- ）．。
2017中考数学压轴题和解析分类汇编
中考数学压轴题及解析分类汇编中考数学压轴：相似三角形问题中考数学压轴：等腰三角形问题中考数学压轴：直角三角形问题中考数学压轴：平行四边形问题中考数学压轴：梯形问题中考数学压轴：面积问题2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1、直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ ==． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3BQ BA =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ =．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=，cos 1∠=． ①当3BQ BA=时，BQ = 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 例2、 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP=时，2FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF ==．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x =-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3、如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4例4、如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n=++上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1思路点拨1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A=，即28=．解得'B C =AC =ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D ==，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B D AC B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 、 如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6 、 如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226M r BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展:第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况． 满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3ta n 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1、如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C PP O R C O R A S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1思路点拨1．第（1）题求证MN ∶NP 的值要根据点N 的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒．在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF=，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长．3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
2017年中考数学试题分项版解析汇编：专题16压轴题(原卷版)
kb 图像上的一个动点，O 为坐标原点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 C，则△PCO 的面积为 x
8. (2017 四川泸州第 12 题)已知抛物线 y =
1 2 x +1 具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点 F (0, 2) 的距 4 1 2 离与到 x 轴的距离相等，如图，点 M 的坐标为 ( 3,3) ， P 是抛物线 y = x + 1 上一动点，则 ∆PMF 周 4
A．
2π 3
B． 2 3 −
π
3
C. 2 3 −
2π 3
D． 4 3 −
2π 3
4.（2017 湖南长沙第 12 题）如图，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合（ H 不与端 点 C , D 重合），折痕交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ，边 AB 折叠后与边 BC 交于点 G ，设正方形 ABCD 的 周长为 m ， ∆CHG 的周长为 n ，则
长的最小值是（ ）
- 2 -
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
9. (2017 山东滨州第 12 题)在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧），并分 别与直线 y＝x 和双曲线 y＝
A．2 3 ＋3 或 2 3 －3
C ．2 3 － 3
1 相交于点 A、B，且 AC＋BC＝4，则△OAB 的面积为（ x
c 在同一个平面直角坐标系中的图象如图 x
A．
B．
C.
D．
14. （2017 浙江台州第 10 题） 如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在菱形 ABCD 的四条边上， BE = BF ， 将 ∆AEH , ∆CFG 分别沿 EH , FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 ABCD 面积的
2017年中考数学试题分项版解析汇编(第05期)专题16压轴题(含解析)
专题16 压轴题一、选择题1．（2017年湖北省十堰市第10题）如图，直线﹣6分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数y=k x（x ＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC ∥x 轴交AB 于C ，MD ⊥MC 交AB 于D ，k 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣5D ．﹣6【答案】A.【解析】∴xy=﹣3，∵M 在反比例函数的图象上，∴k=xy=﹣3，故选（A ）考点：反比例函数与一次函数的综合.2．（2017年贵州省黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】考点：二次函数图象与系数的关系3. （2017年湖北省荆州市第10题）规定：如果关于的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：①方程2280x x +-=是倍根方程； ②若关于的方程220x ax ++=是倍根方程，则a=±3；③若关于x 的方程260(0)ax ax c a -+=≠是倍根方程，则抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的公共点的坐标是(2,0)和（4,0）；④若点（m ，n ）在反比例函数4y x=的图象上，则关于x 的方程250mx x n ++=是倍根方程 上述结论中正确的有（ ）A.①②B.③④C.②③D.②④【答案】C【解析】③关于x 的方程ax 2﹣6ax+c=0（a ≠0）是倍根方程，∴x 2=2x 1，∵抛物线y=ax 2﹣6ax+c 的对称轴是直线x=3，∴抛物线y=ax 2﹣6ax+c 与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m ，n ）在反比例函数4y x =的图象上， ∴mn=4，解mx 2+5x+n=0得x 1=﹣2m ，x 2=﹣8m， ∴x 2=4x 1，∴关于x 的方程mx 2+5x+n=0不是倍根方程；故选：C ．考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、根的判别式；3、根与系数的关系；4、抛物线与x 轴的交点4. （2017年山东省泰安市第20题）如图，在ABC ∆中， 90C ∠= ， 10AB cm =，8BC cm =，点P 从点A 沿AC 向点C 以1/cm s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2/cm s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．219cmB ．216m C. 215m D ．212m【答案】C考点：二次函数的最值5. （2017年山东省威海市第11题）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则正比例函6570x c b y )(+=与反比例函数xc b a y +-=在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C考点：1、二次函数图象的性质，2、一次函数的图象的性质，3、反比例函数图象的性质6. （2017年山东省威海市第12题）如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为)0,4(-，点B 在y 轴上，若反比例函数xk y =（0≠k ）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为（ ）A ．x y 3=B ．x y 4= C. x y 5= D ．xy 6= 【答案】A【解析】试题分析：过点C 作CE ⊥y 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=BC ，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CB E ，然后利用“角角边”证明△ABO ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE=1，然后写出点C 的坐标（3，1），再把点C 的坐标代入反比例函数解析式k y x =计算即可求出k =xy=3×1=3，得到反比例函数的表达式为3y x=． 故选：A ．考点：1、反比例函数图象上点的坐标特点，2、正方形的性质，3、全等三角形的判定与性质二、填空题1．（2017年湖北省十堰市第16题）如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC ，CG=2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN=43NF ；③38MN MG =；④S 四边形CGNF =12S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是 ．【答案】①③.①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF=∠CBG ，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， ∴△BNF ∽△BC G ，∴32BN BC NF CG ==,∴BN=23NF ；②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，=，④连接AG ，FG ，根据③中结论，则N G=BG ﹣，∵S 四边形CGNF =S △CFG +S △GNF =12CGCF+12NFNG=1+14271313=，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=12ANGN+12ADDG=2739313226+=,∴S四边形CGNF≠12S四边形ANGD，④错误；故答案为①③．考点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.三、解答题1．（2017年贵州省毕节地区第24题）如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；【解析】考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．2．（2017年贵州省毕节地区第27题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）存在满足条件的P点，其坐标为（32+，﹣2）（3）P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．【解析】试题解析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得16=4b+c=0c=-4a b ca-+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得134abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得0，舍去）或，∴存在满足条件的P，﹣2）；考点：二次函数综合题3．（2017年湖北省十堰市第25题）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使S △ACE =103S △ACD ，求点E 的坐标；（3）如图2，设F （﹣1，﹣4），FG ⊥y 于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使∠OBP=∠FPG ？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E 的坐标为E （﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG 上存在点P ，使∠OBP=∠FPG.【解析】试题解析：（1）当m=﹣3时，B （﹣3，0），把A （1，0），B （﹣3，0）代入到抛物线y=x 2+bx+c 中得：10930b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）如图1，设E （m ，m 2+2m ﹣3），由题意得：AD=1+1=2，OC=3，S △ACE =103S △ACD =103×12ADOC=53×2×3=10， 设直线AE 的解析式为：y=kx+b ，把A （1，0）和E （m ，m 2+2m ﹣3）代入得， 2023k b mk b m m +=⎧⎨+=+-⎩ ，解得：33k m b m =+⎧⎨=--⎩， ∴直线AE 的解析式为：y=（m+3）x ﹣m ﹣3，∴F （0，﹣m ﹣3），∵C （0，﹣3），∴FC=﹣m ﹣3+3=﹣m ，∴S △ACE =12FC （1﹣m ）=10， ﹣m （1﹣m ）=20，m 2﹣m ﹣20=0，（m+4）（m﹣5）=0，m1=﹣4，m2=5（舍），∴E（﹣4，5）；考点：二次函数的综合题.4．（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣29x2﹣49x+169（2）证明见解析（3）50415120【解析】试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴A（0，4）．x+4，解得x=8，将y=0代入得：0=﹣12∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan∠MAG=tan∠ABO=1．2∴∠MAG=∠ABO．∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．∴l是⊙M的切线．考点：二次函数综合题5.（2017年湖北省荆州市第25题）（本题满分12分）如图在平面直角坐标系中，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为秒.其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q. （1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0）,作直线AB的垂线CM，垂足为M，若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切，若存在，请直接写出．．．．此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）m=4﹣354t 或m=4﹣54t（3）存在，（﹣38，0）或（278，0）或（﹣272，0）或（32，0）【解析】试题分析：（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（2）①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．易知PQ=DQ=3t，CQ=54•3t=154t，∵OC+CQ+AQ=4，∴m+154t+5t=4，∴m=4﹣354t．（3）存在．理由如下：如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=12，由（2）可知，m=﹣38或278．如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，由（2）可知，m=﹣272或32．综上所述，满足条件的点C 的坐标为（﹣38，0）或（278，0）或（﹣272，0）或（32，0）． 考点：一次函数综合题 6. （2017年湖北省宜昌市第23题） 正方形ABCD 的边长为1，点O 是BC 边上的一个动点（与,B C 不重合)，以O 为顶点在BC 所在直线的上方作90MON ∠=︒.(1)当OM 经过点A 时，①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点；（图1仅供分析）②如图2,在ON 上截取OE OA =，过E 点作EF 垂直于直线BC ,垂足为点F ，册EH CD ⊥于H ，求证：四边形EFCH 为正方形.（2）当OM 不过点A 时，设OM 交边AB 于G ,且1OG =.在ON 上存在点P ,过P 点作PK 垂直于直线BC ,垂足为点K ，使得4PKO OBG S S ∆∆=，连接GP ，求四边形PKBG 的最大面积.【答案】（1）①不可能②证明见解析（2）94【解析】试题分析：（1）①若ON 过点D 时，则在△OAD 中不满足勾股定理，可知不可能过D 点； ②由条件可先判业四边形EFCH 为矩形，再证明△OFE ≌△ABO ，可证得结论；②∵EH ⊥CD ，EF ⊥BC ，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°， ∴四边形EFCH 为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°﹣∠AOB ，在正方形ABCD 中，∠BAO=90°﹣∠AOB ， ∴∠EOF=∠BAO ，在△OFE 和△ABO 中EOF BAO EFO BOE AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OFE ≌△ABO （AAS ），∴EF=OB ，OF=AB ，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC ， ∴CF=EF ，∴四边形EFCH 为正方形；（2）∵∠POK=∠OGB ，∠PK O=∠OBG ， ∴△PKO ∽△OBG ，∵S △PKO =4S △OBG ，∴PKO OBGS S =（OP OG ）2=4， ∴OP=2，∴S △POG =12OG•OP=12×1×2=1，考点：1、矩形的判定和性质，2、全等三角形的判定和性质，3、相似三角形的判定和性质，4、三角形的面积，5、二次函数的性质，6、方程思想7. （2017年湖北省宜昌市第24题）已知抛物线2y ax bx c =++，其中20a b c =>>，且0a b c ++=.（1）直接写出关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根；（2）证明：抛物线2y ax bx c =++的顶点A 在第三象限；（3）直线y x m =+与,x y 轴分别相交于,B C 两点，与抛物线2y ax bx c =++相交于,A D 两点.设抛物线2y ax bx c =++的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得ADF ∆与BOC ∆相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.【答案】（1）x=1（2）证明见解析（3）y=x 2+2x ﹣3【解析】（2）证明：∵2a=b ，∴对称轴x=﹣2b a=﹣1， 把b=2a 代入a+b+c=0中得：c=﹣3a ，∵a ＞0，c ＜0，∴△=b 2﹣4ac ＞0， ∴244ac b a-＜0， 则顶点A （﹣1，244ac b a-）在第三象限；（3）由b=2a ，c=﹣3a ，得到x=2b a-±242a a a -±， 解得：x 1=﹣3，x 2=1，联立得：21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩， 解得：14x y a =-⎧⎨=-⎩或1114x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这里（﹣1，﹣4a ）为顶点A ，（1a ﹣1，1a﹣4a ）为点D 坐标， 点D 到对称轴x=﹣1的距离为1a ﹣1﹣（﹣1）=1a，AE=|﹣4a|=4a ， ∴S △ADE =12×1a ×4a=2，即它的面积为定值， 这时等腰直角△ADF 的面积为1，∴底边DF=2，而x=﹣1是它的对称轴，此时D 、C 重合且在y 轴上，由1a﹣1=0， 解得：a=1，此时抛物线解析式为y=x 2+2x ﹣3．考点：1、二次函数的图象与性质，2、二次函数与一次函数的关系，3、待定系数法求函数解析式8．（2017年江西省第22题）已知抛物线C 1：y=ax 2﹣4ax ﹣5（a ＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式；（3）若（2）中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=74或34【解析】（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=74；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=34；∴a=74或34； 考点：1、抛物线与x 轴的交点；2、二次函数图象与几何变换9. （2017年内蒙古通辽市第26题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22++=bx ax y 过点)0,2(-A ，，与y 轴交于点C .（1）求抛物线22++=bx ax y 的函数表达式；（2）若点D 在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上，求ACD ∆的周长的最小值；（3）在抛物线22++=bx ax y 的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=﹣14x 2+12x+2（2）△ACD 的周长的最小值是3）存在，点P 的坐标为（1，1）或（1，﹣3）【解析】的坐标．试题解析：（1）把点A （﹣2，0），B （2，2）代入抛物线y=ax 2+bx+2中， 42204222a b a b -+=⎧⎨++=⎩ ， 解得：1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴抛物线函数表达式为：y=﹣14x 2+12x+2；（3）存在，分两种情况：①当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，考点：二次函数综合题x轴、y轴交于B、C两点，点A 10．（2017年山东省东营市第25题）如图，直线y=﹣3在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+（3【解析】试题解析：（1）∵直线y=x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0∴OB=3，∴tan∠∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴AOCO，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2A，B两点，∴0930a b a b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣3x 2+3考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想11. （2017年山东省泰安市第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的斜边OA 在x 轴的正半轴上，90OBA ∠= ，且1tan 2AOB ∠=，OB =k y x =的图象经过点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若AMB ∆与AOB ∆关于直线AB 对称，一次函数y mx n =+的图象过点M A 、，求一次函数的表达式．【答案】（1）y=8x （2）y=43x ﹣203【解析】考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、一次函数图象上点的坐标特征；3、解直角三角形12. （2017年山东省泰安市第29题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD AC =，AD AC ⊥，E 是AB 的中点，F 是AC 延长线上一点．（1）若ED EF ⊥，求证：ED EF =；（2）在（1）的条件下，若DC 的延长线与FB 交于点P ，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；（3）若ED EF =，ED 与EF 垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）四边形ACPE 为平行四边形（3）垂直【解析】（3）垂直，理由：过E 作EM ⊥DA 交DA 的延长线于M ，过E 作EN ⊥FC 交FC 的延长线于N ，在△AME 与△CNE 中，9045M FNE EAM NCE AE CE ⎧∠=∠=⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△AME ≌△CNE ，∴∠ADE=∠CFE ，在△ADE 与△CFE 中，135ADE CFE DAE FCE DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ，∴∠DEA=∠FEC ，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED ⊥EF ．考点：四边形综合题13. （2017年山东省威海市第25题）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点)0,1(-A ，)0,3(B ，)3,0(C .点N M ,为抛物线上的动点，过点M 作y MD //轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E .（1）求二次函数c bx ax y ++=2的表达式；（2）过点N 作x NF ⊥轴，垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若090=∠DMN ，MN MD =，求点M 的横坐标.【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3（2）24﹣3）点M 的横坐标为52+、2、﹣1、52【解析】（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣22(1)⨯-=1， 如图1，设点M 坐标为（m ，﹣m 2+2m+3），∴ME=|﹣m 2+2m+3|，∵M 、N 关于x=1对称，且点M 在对称轴右侧，∴点N 的横坐标为2﹣m ，∴MN=2m ﹣2，∵四边形MNFE 为正方形，∴ME=MN ，∴|﹣m 2+2m+3|=2m ﹣2，分两种情况：①当﹣m 2+2m+3=2m ﹣2时，解得：m 1m 2=当2）2=24﹣②当﹣m 2+2m+3=2﹣2m 时，解得：m 3m 4=2当[2（2]2综上所述，正方形的面积为24﹣（3）设BC 所在直线解析式为y=kx+b ，把点B （3，0）、C （0，3）代入表达式，得：303k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：13k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线BC 的函数表达式为y=﹣x+3，考点：二次函数的综合14. （2017年山东省潍坊市第25题）（本题满分13分）如图1，抛物线c bx ax y ++=2经过平行四边形ABCD 的顶点)30(，A 、)01(，-B 、)32(，D ，抛物线与x 轴的另一交点为E .经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点P .点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t .（1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，PFE ∆的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使PAE ∆为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=1310时，△PEF 的面积最大，其最大值为289100×1710，=1710；（3）存在满足条件的点P ，t 的值为1 【解析】∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵A （0，3），D （2，3），∴BC=AD=2，∵B （﹣1，0），∴C （1，0），∴线段AC 的中点为（12，32），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣35t+95），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣35t+95）=﹣t2+135t+65，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=12PM•FN+12PM•EH=12PM•（FN+EH）=12（﹣t2+135t+65）（3+25）=﹣1710（t﹣1310）+289100×17 10，∴当t=1310时，△PEF的面积最大，其最大值为289100×1710，=1710；则PK=﹣t 2+2t+3，AQ=t ，KE=3﹣t ，PQ=﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t ，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE ，且∠PKE=∠PQA ，∴△PKE ∽△AQP ，∴PK KE AQ PQ =，即222332t t t t t t -++-=-+，即t 2﹣t ﹣1=0，解得t=2或t=12＜﹣52（舍去），综上可知存在满足条件的点P ，t 的值为1或．考点：二次函数综合题15. （2017年湖南省郴州市第25题）如图，已知抛物线285y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F.（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，①求证：ACD ∆是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？【答案】（1）y=15x 2+85x ﹣4；（2）点P 的坐标为（﹣52，﹣274）或（﹣8，﹣4）；（3）①详见解析；②，点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．【解析】试题解析：（3）①证明：把y=0代入y=﹣12x﹣4得：﹣12x﹣4=0，解得：x=﹣8．∴D（﹣8，0）．∴OD=8．∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD=2﹣（﹣8）=10．由两点间的距离公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，∴AC2+CD2=AD2．∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．②由①得∠ACD=90°．当△ACD∽△CHP时，AC CHCD HP=21855n nn--=-21855n nn+=-，解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．当△ACD∽△PHC时，AC PHCD CH=21855nn n-=--21855nn n-=+．解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．考点：二次函数综合题.16．（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）123．【解析】（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN =∠COB ，∵∠PEB =∠A +∠ACE =2∠A ，∠COB =2∠A ，∴∠PEB =∠COB ，∴∠PEB =∠PBN ，∴PB =PE ；考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．17．（2017年四川省内江市第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x =1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）S =299105t t -+，运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910；（3）t =2417或t =3019． 【解析】（2）设运动时间为t 秒，则AM =3t ，BN =t ，∴MB =6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，3）．在Rt △BOC 中，BC ．如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN BN OC BC =，即35HN t =，∴HN =35t ，∴S △MBN =12MB •HN =12（6﹣3t ）•35t ，即S =299105t t -+ =299(1)1010t --+，当△PBQ 存在时，0＜t ＜2，∴当t =1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）如图2，在Rt △OBC 中，cos ∠B =45OB BC =．考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．18. （2017年辽宁省沈阳市第25题）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线2=-+x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点,y xOA AB的中M N分别是,点.Rt CDE Rt ABO∆≅∆，且CDE∆始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G.（1）填空，OA的长是，ABO∠的度数是度（2）如图2，当//DE AB，连接HN①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时（此时点O与点G重合），过点D作//DO OB，交AB延长线上于点O，延长ED到点K，使DK DN=，过点K作//PDK∠=︒（若,P O在直线KI OB，在KI上取一点P，使得45ED的同侧），连接PO，请直接．．写出的PO长.【答案】(1)8，30；（2）①详见解析；②点D在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）【解析】试题解析：(1)8，30；（2）①证明：∵//DE AB，∴OM OH AM BH,又∵OM=AM, ∴OH=BH, 又∵BN=AN∴//HN AM∴四边形AMHN是平行四边形考点：二次函数综合题.19．（2017年山东省日照市第22题）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) CD=32， P（2，﹣1）；(2) y=x2﹣4x+3；(3) 存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．【解析】试题解析：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM=4，ON=3，∴MN=5，∴OC=12MN=52，∵CD为抛物线对称轴，∴OD=MD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得==32，∴PD=PC﹣CD=52﹣32=1，∴P（2，﹣1）；（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∵ON=3，OM=4，PD=1，∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=12OM•PD+12OM•ON=12×4×1+12×4×3=8=8S△QAB，。
2017年中考数学压轴题汇编1
2017年中考数学压轴题汇编(1)1．（2016•贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．4．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ 长度的最大值．。
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专题内容：压轴题（第1部分）一、选择题1.(2017天津第12题)已知抛物线342+-=x x y 与x 轴相交于点B A ,（点A 在点B 左侧），顶点为M .平移该抛物线，使点M 平移后的对应点'M 落在x 轴上，点B 平移后的对应点'B 落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．122++=x x yB ．122-+=x x y C. 122+-=x x y D ．122--=x x y 2．(2017福建第10题)如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B ''和点P '，则点P '所在的单位正方形区域是（ ）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区 3.(2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为120︒的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60︒，点O ，B 的对应点分别为'O ，'B ，连接'BB ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π B ．3π C.23π D ．23π 4.（2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化5. （2017广东广州） 0a ≠，函数a y x=与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）6. （2017山东临沂第14题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ky x=（0x >）的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，OMN V 的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM PN +的最小值是（ ）A． B ．10 C． D．7. （2017山东青岛第8题）一次函数的图像经过点A （），B （2,2）两点，P 为反比例函数图像上的一个动点，O 为坐标原点，过P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则△PCO的面积为（ ）A 、2B 、4C 、8D 、不确定8. (2017四川泸州第12题)已知抛物线214y x =+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点(0,2)F 的距离与到x 轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P 是抛物线2114y x =+上一动点，则PMF ∆周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. (2017山东滨州第12题)在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y ＝x 和双曲线y ＝相交于点A 、B ，且AC ＋BC ＝4，则△OAB 的面积为（ ） A ．3或3B11C ．－3D 110.(2017山东日照第12题)已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a ﹣b+c ＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是（ ）1xA ．①②③B ．③④⑤C ．①②④D ．①④⑤11.(2017江苏宿迁第8题)如图，在Rt C ∆AB 中，C 90∠=，C 6A =cm ，C 2B =cm ．点P 在边C A 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边C B 上，从点C 向点B 移动，若点P 、Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接Q P ，则线段Q P 的最小值是A ．20cmB ．18cm C.cm D ．cm12．（2017江苏苏州第10题）如图，在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =，F 是AB 的中点．过点F 作F D E ⊥A ，垂足为E ．将F ∆AE 沿点A 到点B 的方向平移，得到F '''∆A E ．设P 、'P 分别是F E 、F ''E 的中点，当点'A 与点B 重合时，四边形CD 'PP 的面积为A ．B ． C. D ．813. (2017山东菏泽第8题)一次函数b ax y +=和反比例函数xcy =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2的图象可能是（ ）A. B. C. D.14. （2017浙江台州第10题） 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE BF =，将,AEH CFG ∆∆分别沿,EH FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则AE EB为 （ ）A ．53B ．2 C. 52 D ．415. (2017浙江金华第10题)如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在,A B 两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180的扇形），图中的阴影部分是A 处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是A ．E 处B ．F 处 C.G 处 D ．H 处16. （2017浙江湖州第10题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为44⨯的正方形网格图形中（如图1），从点A 经过一次跳马变换可以到达点B ，C ，D ，E 等处．现有2020⨯的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（ ）A ．13B ．14 C.15 D ．1617. (2017浙江舟山)下列关于函数1062+-=x x y 的四个命题：①当0=x 时，y 有最小值10；②n 为任何实数，n x +=3时的函数值大于n x -=3时的函数值；③若3>n ，且n 是整数，当1+≤≤n x n 时，y 的整数值有)42(-n 个；④若函数图象过点),(0y a 和)1,(0+y b ，则b a <.其中真命题的序号是（ ）A ．①B ．② C.③ D ．④ 二、填空题1.(2017北京第16题)下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：0,90Rt ABC C ∆∠=，求作Rt ABC ∆的外接圆.作法：如图．（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,P Q 两点； （2）作直线PQ ，交AB 于点O ； （3）以O 为圆心，OA 为半径作O . O 即为所求作的圆.请回答：该尺规作图的依据是 ．2. (2017天津第18题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C B A ,,均在格点上. （1）AB 的长等于 ；（2）在ABC ∆的内部有一点P ，满足2:1:::=∆∆∆PCA PBC PAB S S S ，请在如图所示的网格中，用无．刻度．．的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） .3.(2017福建第16题) 已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数1y x=的图象上，且点A 的横坐标是2，则矩形ABCD 的面积为 ．4.(2017河南第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．5. （2017湖南长沙第18题）如图，点M 是函数x y 3=与xky =的图象在第一象限内的交点，4=OM ，则k 的值为 ．6. （2017广东广州第16题）如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④3OD =；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）7. （2017山东临沂第19题）在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为(),m n ，向量OP uu u r可以用点P的坐标表示为(),OP m n =uu u r.已知：()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA uu r 与OB uu u r 互相垂直.下列四组向量：①()2,1OC =uuu r ，()1,2OD =-uuu r ；②()cos30,tan 45OE =︒︒uu u r ，()1,sin 60OF =︒uu u r；③)2OG =-uuu r，12OH ⎫=⎪⎭uuu r ；④()0,2OM π=uuu r ，()2,1ON =-uuu r .其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的序号）．8. (2017四川泸州第16题)在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是边,AC AB 上的中线，且BD CE ⊥，垂足为O ，若2,4OD cm OE cm ==，则线段AO 的长为 cm ． 9. (2017山东滨州第18题)观察下列各式： ，……请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n ≥3且为整数），其结果为__________．10. (2017江苏宿迁第16题)如图，矩形C ABO 的顶点O 在坐标原点，顶点B 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数ky x=（k 为常数，0k >，0x >）的图象上，将矩形C ABO 绕点A 按逆时针方向旋转90得到矩形C '''AB O ，若点O 的对应点'O 恰好落在此反比例函数图象上，2111313=-⨯2112424=-⨯2113535=-⨯213⨯224⨯235⨯2(2)n n +则COBO 的值是 ．11. (2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 .12. (2017山东日照第16题)如图，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线y=（x ＞0）同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为 ．13. （2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB（结果保留根号）．14. (2017山东菏泽第14题)如图，y AB ⊥轴，垂足为B ，将ABO ∆绕点A 逆时针旋转到11O AB ∆的位置，使点B 的对应点1B 落在直线x y 33-=上，再将11O AB ∆绕点1B 逆时针旋转到111O B A ∆的位置，使点1O 的对应点2O 落在直线x y 33-=上，依次进行下去......若点B 的坐标是)1,0(，则点12O 的纵坐标为 ．15. (2017浙江金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，10AB BC m +=．拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为()2S m .(1)如图1，若4BC m =，则S = 2m ．(2)如图2,现考虑在(1)中的矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正CDE ∆区域,使之变成落地为五边ABCDE 的小屋,其它条件不变.则在BC 的变化过程中,当S 取得最小值时，边长BC 的长为 m ．16. （2017浙江湖州第16题）如图，在平面直角坐标系x y O 中，已知直线y kx =（0k >）分别交反比例函数1y x =和9y x =在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作D x B ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点C ，连结C A ．若C ∆AB 是等腰三角形，则k 的值是 ．17. (2017湖南湘潭)阅读材料：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，如果//a b ，则2121x y x y ⋅=⋅.根据该材料填空：已知(2,3)a =，(4,)b m =，且//a b ，则m = ．18. （2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点,A C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点,B D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a 的取值范围是 ． 三、解答题1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当O 的半径为2时，①在点123115,0,,,0222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围． 2.(2017天津第25题)已知抛物线32-+=bx x y （b 是常数）经过点)0,1(-A . （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m ，t)为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为'P . ①当点'P 落在该抛物线上时，求m 的值；②当点'P 落在第二象限内，2'A P 取得最小值时，求m 的值.3.(2017福建第25题)已知直线m x y +=2与抛物线2y ax ax b =++有一个公共点(1,0)M ，且a b <．（Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ．（ⅰ）若211-≤≤-a ，求线段MN 长度的取值范围； （ⅱ）求QMN ∆面积的最小值． 4.(2017河南第23题)如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B .。