积分第二次讲义
(高等数学)第二章 连续函数
周 世 国 讲 义第二章 连续函数第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。
例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。
通常我们说物理量()t f 随时间t 的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量()t f 在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t 的改变量非常小，相应地量()t f 的改变也应该非常小.用极限的语言来说： ()()00l i m t t f t f t →=.推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：（1）由定义1可见，函数在0x 点处连续，则0x 点必属于()x f 的定义域,这()0lim x x f x A →=定义的前提有本质的区别；（2）如果()x f 在0x 点处连续，则函数()x f 在0x 点首先必有极限，而且极限值就 是函数()x f 在0x 点处的定义值，因此()x f 在连续点处的极限很好求； （3）如果()x f 在0x 点处连续，则()()lim x x x x f x f lim x →→=.2.连续的第一个等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果对0,0>∃>∀δε，使当0x x ε-<时，就有()()0f x f x ε-<成立，称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求00x x <-（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.3.定义2.若自变量从初始值0x 变化到终值x ,相应地函数值由()0f x 变化到()x f ，则称0x x -为自变量的增量，并计为0x x x ∆=-；而称()()0f x f x -为函数的增量，计为()()0y f x f x ∆=-.注意：显然()()0y f x f x ∆=-又可表示为：()()00y f x x f x ∆=+∆-由此可见()()0y f x f x ∆=-是0x x x ∆=-的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果lim 0x y ∆→∆=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果()()00lim x x f x f x -→=，则称()x f 在0x 点处左连续，并称0x 点为函数()x f 的左连续点；2.定义4.如果()()00lim x x f x f x +→=，则称()x f 在0x 点处右连续，并称0x 点为函数()x f 的右连续点.定理1.()x f 在x 0点处连续⇔()x f 在x 0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数()x f y =的曲线在0x 点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，则称函数()x f 在开区间()b a ,内连续；若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，而且在点a 处右连续，在点b 处左连续则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.注意：在在闭区间[]b a ,上连续的函数的图形特征是曲线位于[]b a ,上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数()c x f ≡在()+∞∞-,连续.证明：任取0x ()+∞∞-∈,，下证()x f 在0x 点处连续，即要证()()00lim x x f x f x →=，也就是要证： c c x x =→0lim .事实上，对,0>∀ε要使()()0||||0f x f x c c ε-=-=<，可取δ为任意正实数，则当0||x x ε-<时，就有 ()()0||f x f x ε-<成立。
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
高数讲义第一节定积分的概念与性质(二)
1 ba
b
a f (x)d x
b
a f ( x)d x f ( ) (b a)
性质7（中值定理）：如果 f (x) 在区间 [ a , b ]
上连续，则至少存在一点 [ a , b ] , 使得
b
a
f (x)d x
f ( )
(b a)
f ( )
1 ba
b
a
f
(x)d x
y
f ( )
y f (x)
例1：比较积分
2
1
ln x d x
和
2
1
(ln
x
)
2
d
x
的大小。
解： 因为在区间 [ 1 ，2 ] 上， 0 ln x 1
且除 x 1外, 恒有 ( ln x) 2 ln x ,
因此
2
1
(ln
x
)
2
d
x
2
1 ln x d x
推论2：
b
b
f (x)d x | f (x) |d x
(a b)
值两和边最同大除值以，b则－对a任(何注一意常到数bc－: ma >0c) M ,
至少存在一点m
1
b
[
a
b
aa,
bf
(]x，)d x使得M:
f ( ) = c
即常数
c 1 ba
b
a f (x)d x
介于 m 和 M 之间
由介值定理的推论，至少存在一点 [ a , b] , 使得
或写成
f ( )
（二）基本性质
性质1：代数和的积分等于积分的代数和，即
b
b
b
高等数学随堂讲义二重积分概念
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 x x0 , x1 , , xn ,分成 n 个小段
则每一小段都能被以
xi 为宽, i 为高的小矩形所
覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和
n
i xi
i1
b
a
n i1
xi
,
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论 1
参量方程 x (t ), y (t ) ( t ) 所表示的
I P 为 P 的外面积.
定义1
若平面图形 P 满足
I P = I P , 则称 P 为可求面积
的图形, 并把共同值 IP I P I P 作为 P 的面积.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
对任给的 0 , 总存在直线网 T,
所以也有 SK (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积
为零.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数
的图象, 则曲线 K 的面积为零.
f (x)
证 由于 f ( x) 在闭区间 [a , b]上连续, 所以它在
的网眼 (小闭矩形)
i 可分为三类:
(i) i 上的点都是 P 的内点;
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i
(iii) i 上含有 P 的边界点.
这时直线网 T
P ;
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分与二次积分ppt
a
j(x)
D
b
x= j2(y)
注：若左、右边界曲线中有分段曲线，比如左边界曲线是分段曲线：
x
=
j
(
y)
=
j1 j 2
( y) ( y)
a yc ， c yb
D c
x= j1(y)
x= y(y)
则
f (x, y)d =
c
dy
y (x)
f (x, y)dx
b
dy
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
DБайду номын сангаас
y
y= y(x)
D
Oa
y= j(x)
bx
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结束
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
第二步：将区域D向x轴投影，得到投影区间[a, b]。
第三步：确定区域D的上下边界曲线。
设下边界曲线为y= j(x)，上边界曲线为y= y(x)，且上、下边界曲线都不是分段曲线。
第四步：写出二次积分
y
f (x, y)d =
b
dx
y (x) f (x, y)dy 。
a
j(x)
D
注：若上、下边界曲线中有分段曲线，比如下边界曲线是分段曲线：
y
=
j
(x)
=
j1 (x) j 2 (x)
axc， c xb
则
f (x, y)d =
c
dx
1．将二重积分化为先对y 后对x 的二次积分
第一步：根据已知条件画出积分区域D的图形。
人教版数学高二选修2-2讲义1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点)3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P45内容，完成下列问题．如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝__________.其中a与b分别叫做__________与__________，区间[a，b]叫做______，函数f(x)叫做____________，x叫做__________，f(x)d x叫做__________．【答案】∑i＝1n b－an f(ξi)limn→∞∑i＝1n b－an f(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x＋1)d x的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．【答案】直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎛ab f(t)d t.()(2)⎠⎛ab f(x)d x的值一定是一个正数．()(3)⎠⎛12x d x<⎠⎛22x d x()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3定积分的性质阅读教材P47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf(x)d x＝________________________(k为常数)．2.⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎠⎛abf1(x)d x±__________________.3.⎠⎛ab f(x)d x＝______________(其中a<c<b)．【答案】 1.k⎠⎛ab f(x)d x 2.⎠⎛ab f2(x)d x 3.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x填空：(1)由y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2)⎠⎛-11f(x)d x＝⎠⎛-10f(x)d x＋__________.(3)⎠⎛ab(x2＋2x)d x＝⎠⎛ab2x d x＋________.【答案】(1)⎠⎜⎛π2cos x d x(2)⎠⎛1f(x)d x(3)⎠⎛ab x2d x[小组合作型]利用定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x＋2)d x的值．【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x＋2)d x＝limn→∞S n＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫132－32n＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎦⎥⎤3＋1n＝23.定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分． (1)⎠⎛-33－39－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x3＋3x)d x＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x，如何求解？【解】由y＝9－x2，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x等于圆心角为60°的弓形C ED的面积与矩形ABC D的面积之和．S弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S矩形＝|AB|×|BC|＝2×32×9－⎝⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]定积分性质的应用探究1 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-aa g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x . (2)由定积分的性质(2)可得⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛2[f(x)－2x]d x＝⎠⎛2f(x)d x－2⎠⎛2x d x＝8－2×2＝4.【答案】(1)C(2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]d x＝⎠⎛ab f1(x)d x±⎠⎛ab f2(x)d x±…±⎠⎛ab f n(x)d x；(2)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎜⎛ac1f(x)d x＋⎠⎜⎛c1c2f(x)d x＋…＋⎠⎜⎛c nb f(x)d x(其中a<c1<c2<…<c n<b，n∈N*)．[再练一题]3．已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x；(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x.【解】(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x＝2⎠⎛e x d x＋⎠⎛e x2d x＝2×e22＋e33＝e2＋e33.(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x＝2⎠⎛e x2d x－⎠⎛e x d x＋⎠⎛e1d x，因为已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －a C.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x【解析】 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x.【答案】 B3．由y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【导学号：62952047】【解析】∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.∴y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛π2sin x d x.【答案】⎠⎜⎛π2sin x d x4．若⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x＝3，⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝1，则⎠⎛ab[2g(x)]d x＝________.【解析】⎠⎛ab[2g(x)]d x＝⎠⎛ab[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x－⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x.【解】由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x等于圆心角为60°的弓形C E D的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－ 3.S矩形＝|AB|·|BC|＝2 3.高中数学-打印版 精心校对完整版 ∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
陈省身的微积分讲义chapter II
(2.4)
0. (2.5) , d2 0. ,
d(d(ω)) = 0. . ω , d, 0 (x1 , · · · , xn ). ∂f , ∂xi dxi . , fij dxi , dxj . f , , xi d ω, , . : ,d , . , n , dxj ∧ dxi . 0 ,
, (2.6) . d
,
. , ω (k − 1) ∆ , ω , k−1 dω =
∆
k . dω ∆
ω, ω
∂∆
. .
(2.2)
Stokes ,
. . 2
. , ) ω , 2 , Stokes 2 .
1 ω
,Leabharlann 1 b ,, ( a
, ω a b , . .
(1 ) Green
: (2.3) Green , Green . Stokes ,
, dβ
,
.
III
. , , , , . (logarithm fun ction).
1 n+1 , n+1 x
, , . , , , .
,
. (exponential function) ? (n + 1)xn , xn
,
. n + 1 = 0,
xn+1
d n+1 x = (n + 1)xn → dx n , −1, , . x = 0, n = −1 ,
, k d=0 , , close
,
}, C k = {ω|ω ∈ Γk , dω = 0}. . close . k−1 (quotient). H k = C k /dΓk . k−1 . Ck k , d
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本
由||PPFF11||－ ＝4|P|PFF2|2＝| 2a，
得|PF1|＝83a， |PF2|＝23a，
讲 栏 目
由余弦定理得cos θ＝17a82－a2 9c2＝187－98e2.
开
关 ∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤187－98e2<1，
|x|≥a
本
讲 栏
几
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
目 开
何 对称性
关于x轴，y轴和原点对称
关 性 焦点
(±c,0)
x≥0
(0,0) 关于x轴对称
(p2，0)
质
长轴长2a，短轴 实轴长2a，
轴
长2b
虚轴长2b
主干知识梳理
几 离心率 e＝ac＝
1－ba22 e＝ac＝
1＋ba22 e＝1
本
3 2.
热点分类突破
∴|AC|＝|y2－y1|＝ 3.
因此菱形的面积S＝12|OB|·|AC|＝12×2× 3＝ 3.
(2)假设四边形OABC为菱形．
讲 栏 目
又 x1＋x2＝－43m，x1x2＝2m23－2，
开 关
∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝2m23－2－4m3 2＋m2＝m23－2.
又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ， ∴P→F·M→Q＝0，
热点分类突破
又P→F＝(1－x1，－y1)，M→Q＝(x2，y2－1)， ∴P→F·M→Q＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2
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