垂径定理赵州桥
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2.3垂径定理解析
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
D
B
D
600
C
2、如图4，在⊙O中，
AB为⊙O的弦，C、D
是直线AB上两点，且
O
AC＝BD求证：△OCD
E
为等腰三角形。
CA
BD
3、如图，两个圆都以
点O为圆心，小圆的弦
CD与大圆的弦AB在同
（1）是轴对称图形．直径CD所
C
在的直线是它的对称轴
（2）弧线:⌒A段C=：B⌒CA,AE⌒D=B=BE⌒D
·O
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D
半A⌒C圆,重A⌒D合分，别点与AB与⌒C点、B⌒B重D合重，合A．E与BE重合，
即直径CD垂直于弦AB，平分 C ⌒⌒
弦AB,并且平分AB及ACB
A
D
B
r
•
O
解决求赵州桥拱 半径的问题
AB
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
变式： 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直 径，CD⊥ＡB垂足为E，DE＝ 2cm,求⊙O的半径。 D
A
B
E
.
O
C
练习 1
人教版九年级上册数学课件24.2.2垂径定理
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
答：⊙O的半径为5cm.
2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
与你一起分享！！！ 答：⊙O的半径为5cm.
即
R2=18.
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
②平分弦的直线必垂直弦
你（能2）①发现线③图段中：有A②哪E=些④B等E量⑤关系平?与同分伴弦说说(你不的是想法直和理径由).的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
垂弧就直：可①于 Ａ 推弦Ｃ出④的＝其直Ｂ余径Ｃ三②平个分结，③弦论Ａ,Ｄ.⑤并＝且Ｂ平Ｄ平分弦分所的弦两所条弧对. 的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 平直分径①弦 Ｃ所Ｄ⑤对平的分两弦②条Ａ弧Ｂ③的，直并④线且经过另圆一心,并条且弧垂直. 平分弦.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
B 由 CD是直径
M
●O
答：⊙O的半径为5cm.
2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
与你一起分享！！！ 答：⊙O的半径为5cm.
即
R2=18.
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
②平分弦的直线必垂直弦
你（能2）①发现线③图段中：有A②哪E=些④B等E量⑤关系平?与同分伴弦说说(你不的是想法直和理径由).的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
垂弧就直：可①于 Ａ 推弦Ｃ出④的＝其直Ｂ余径Ｃ三②平个分结，③弦论Ａ,Ｄ.⑤并＝且Ｂ平Ｄ平分弦分所的弦两所条弧对. 的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 平直分径①弦 Ｃ所Ｄ⑤对平的分两弦②条Ａ弧Ｂ③的，直并④线且经过另圆一心,并条且弧垂直. 平分弦.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
B 由 CD是直径
M
●O
垂径定理》PPT课件
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
垂径定理
C
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
OA E B
A
E
B
例.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E .
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
你能找出图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
O
·
B
A
E D
垂径定理的推论1:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
条件 CD为直径
AE=BE CD⊥AB
D Ｏ
CD⊥AB ⌒ ⌒ 结论 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
B
E A
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
OA E B
A
E
B
例.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
任何一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E .
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
你能找出图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
AE=BE ⌒ ⌒ 条件 结论 AC=BC CD⊥AB ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理的几何语言叙述: ∵ CD为直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE， AC=BC， AD=BD．
CD为直径
O
·
B
A
E D
垂径定理的推论1:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
条件 CD为直径
AE=BE CD⊥AB
D Ｏ
CD⊥AB ⌒ ⌒ 结论 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
C
Ｏ
·
B D
A
(E)
·
C
B
E A
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
垂径定理
C
M└
●
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
几何语言：如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B O
A
M└
●
∴AM=BM,
C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
结论
可推得
① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理
理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ： 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点 到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
垂径定理1
变式训练2 已知P为 O内一点，且OP＝2cm，如果
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
解决求赵州桥拱半径的问题 如图，用AB 表示主桥拱，设 AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中 点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高． 解：在图中 AB=37.4，CD=7.2，
C A D O B
今日作业
1、教材87—89页习题24.1 1、8、10、13； 2、分层作业：如图，AB为⊙O的弦， ⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交 ⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长 是多少？
下课了!
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧：AC BC , AD BD
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 A 个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， AC 与 BC 重合， AD 与 BD 重合．
C
·
E
D B
O
C
AE＝BE， AD BD ，AC BC
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
24.1.2垂径定理
安徽师范大学附属萃文中学
叶守文
2013.10.17.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理
D
A B O E A C E O
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E B D
O
C
A
E
B
A
E
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度AB=7.2m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过 拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
C M H A E D F B O N
课堂小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课 ① 学习了一个与圆有关的重要定理，定
理的内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时经常 做的辅助线是什么？
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
A B O E A C E O
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E B D
O
C
A
E
B
A
E
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度AB=7.2m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过 拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
C M H A E D F B O N
课堂小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课 ① 学习了一个与圆有关的重要定理，定
理的内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时经常 做的辅助线是什么？
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
垂径定理(1)
D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ CD是直径 、 AD=BD 、⌒ ⌒ AC=BC 则 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AM=BM 、 AD=BD . 则
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备 （1）过圆心； （2）垂直于弦 （3）平分弦； （4）平分弦所对的劣弧； （5）平分弦所对的优弧。（知二得三） 2.在圆中解决有关于弦的问题时，经常是 过圆心作弦的垂线段（弦心距），连结半径 等辅助线，为应用垂径定理创造条件。（辅助线） A E B O A C E D B
A
E O A O
B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是
8cm
。
E O
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
A
E
B
4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有 什么关系？为什么？ O
.
A
C E
D
B
归纳：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作 垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
探究二
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD.
A └ M
C B
●
O
D
如果具备上面五个条件中的几个，那么一定可以 得到其他一些结论吗？与同伴交流。
AC=BC
AD=BD
3、垂径定理还能得出哪些结论？对照图形写 出符号语言. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧. C
∵ CD是直径
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赵 州 桥
赵州桥的主要特点： 1、全长64.4米，全桥只有一个大拱，像一张弓；跨度为 37.4 米， 拱高为7.2米;
2、大拱的两肩上各有两个小拱，增加过水量，减轻桥身重量；
3、拼成大拱的二十八道拱圈都能独立支撑重量； 4、全桥形式优美，结构坚固，历史悠久，雕刻古朴美观，。
赵州桥平拱示意图
赵州桥的传说
兄妹造桥
鲁班和他的妹妹鲁姜周游天下。一路上，鲁姜总是听到人们夸赞鲁班的手 艺高超，她心里太不服气了，决心要跟哥哥比试比试。到了赵州，正巧要在河 上造两座桥方便人们的生活，鲁姜就同哥哥约定，一人造一座，看看谁造得好。 鲁姜是个急性子，她一下子找来了许多材料，才半天功夫就在城西造好了一座 桥，然后悄悄地溜到城南去偷看鲁班。到了那里，只见河水汩汩地流，却连个 桥影子也看不到。正觉得奇怪呢，忽然远远地，鲁班赶着一群羊过来了。走近 了一瞧，那哪是羊啊，分明是一块块雪白细润的石头。鲁姜看得心头一凉：多 好的石头！我造的桥跟它比，那怎么比啊！嘿，对了，我有办法了！她急急忙 忙地回到城西，在自己造的那座桥的栏杆上细细地雕刻起来，什么牡丹呀、杜 鹃呀、牛郎织女呀、凤鸣朝阳呀，一口气刻了好多好多非常漂亮的图案。第二 天天一亮，两座桥都造好了。鲁班修的大刀阔斧，气势雄伟，十分壮观，被后 人称为大石桥；鲁姜修的则小巧玲珑，各种图案精雕细刻，秀气美观，被后人 称作小石桥。两座桥各有各的优点，都深得赵州人民的喜爱。
仙人过桥
鲁班一夜之间修成大石桥，人们奔走相告，到处传颂。八仙之一的张 果老听说后，就倒骑毛驴，亲自到赵州看个究竟。张果老在桥头见到鲁班 ，问道：“先生，你这桥能禁得住我的毛驴一过吗？”鲁班毫不在意地说 ：“你看这桥上行人客商，千军万马来往不绝，你这小小毛驴不在话下， 先生但过无妨。”张果老暗暗用法术聚来日月星辰装进肩上的搭裢，笑眯 眯地倒骑毛驴走上了桥。当毛驴走到三分之一处时，大桥被压得摇摇晃晃 ，形势危急。鲁班急忙飞身桥下，用大手托住桥身，保住了大桥。鲁班感 到怪异，合住左眼用右眼细细观察，才发现骑驴的老头原来是仙人张果老 ，毛驴虽小，但是却装着日月星辰。此后，桥面石上就留下了仙人的驴蹄 印。
. .
A
C
C
N
D O
B
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
O E A D B
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为R米， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另 a 外两个量，如图有： h
2
⑴d + h = r
2
Hale Waihona Puke d Oa 2 ⑵ r d ( ) 2
2
1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入
一些油，油的最大深度为16cm，那么 油面AB= cm.
解得 R≈27.9（米）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米.
O
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ø650 ┌ E
D
600
B
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想 来解决问题.
5、⊙O中，AB为直径，弦CD交AB 于E，∠DEB=60°，AE=1cm，EB=5cm. 求弦CD 的长。
E
在我们生活中处处存在数学问题，比 如：某村在村口建一个如图形状的门楼， 半圆拱的圆心距地面２米，半径１.５米。 现有一辆高２.９米，宽２.５米的集装箱 卡车，问能通过这个门楼吗？要解决这 个问题，必须运用圆的有关知识，
据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高.
由题设
AB 37.4, CD 7.2, 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
37.4
C
7.2
A
D R
B
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
1、已知：如图，⊙O 中，弦AB∥CD，AB＜CD ，
B E
直径MN⊥AB，垂足为E，交弦CD于点F.
图中相等的线段有 图中相等的劣弧有 2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 ⌒ AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
A
M D O F
柴王推车
柴王听到鲁班在赵州修桥的消息后，为国家有这样的贤良能人而高兴。 他便推上独轮车，装载三山五岳，由赵匡胤拉车，来赵州桥考查封赏鲁班。 小车将至桥巅，因为车沉桥陡，柴王脚下一滑，单膝跪在桥上，把桥面上压 了一个膝印和一道车沟。鲁班看见，急忙上前跪拜，柴王说：“你为民修桥 有功，我这车上的三山五岳，任你挑选，朕要封你为官。”鲁班拜谢圣意， 表示愿作工匠一世，别无所求。柴王大喜，当场书写“鲁班仙师”匾额一块 ，赐于鲁班。
2、有一圆弧形桥拱，拱的跨度 AB=16m,拱高CD=4m,那么弓形的半径 是 m.
3.AB为⊙O的直径，C为圆上一点，弦 CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P， 当点C在上半圆（不包括A.B）上移动时， 点P（ ） A.到CD的距离不变 B.位置不变 C.等分DB D.随点C的移动而移动
4.⊙O半径为5cm，弦AB∥CD,且 AB=6cm，CD=8cm，求AB、CD之间的距 离。
图示，在直角三角形ＡＢＯ中，角Ｏ 为直角，ＡＯ＝６，ＢＯ＝８，以Ｏ为 圆心，ＯＡ为半径作圆，交ＡＢ与点Ｃ， 求ＢＣ的长。
O
A
C
B
3.AB为⊙O的直径，C为圆上一点，弦D.随 点C的移动而移动
例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧 的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精 确到0.1米）.