2020年高中数学学业水平考试复习提纲

2020年高中数学学业水平考试复习提纲

【必修一】

一、 集合与函数概念

并集：由集合A 和集合B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：

A ∪B

交集：由集合A 和集合B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A ∩B

补集：就是作差。

1、集合{}n a a a ,...,,21的子集个数共有2n

个；真子集有2n

–1个；非空子集有2n

–1个；非空的真子

有2n

–2个.

2、求)(x f y =的反函数：解出)(1

y f

x -=，y x ,互换，写出)(1

x f

y -=的定义域；函数图象关于

y=x 对称。

3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0≥；③指数的真数属于R 、对

数的真数0>.

4、函数的单调性：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

时，都有f(x 1)<（>）f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增（减）函数，函数的单调性

是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

5、奇函数：是()()f x f x -=-，函数图象关于原点对称（若0x =在其定义域内，则

(0)0f =）

； 偶函数：是()()f x f x -=，函数图象关于y 轴对称。

6、指数幂的含义及其运算性质：

（1）函数)10(≠>=a a a y x

且叫做指数函数。

（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；

①r s r s

a a a

+?=；②()r s rs

a a =；③()(0,0,,)r r r

ab a b a b r s Q =>>∈。

（3）指数函数的图象和性质

7、对数函数的含义及其运算性质：

（1）函数log (0,1)a y x a a =>≠叫对数函数。

（2）对数函数log (0,1)a y x a a =>≠当 01a <<为减函数，当 1a >为增函数；

①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：01log =a ；③底真相同的对数等于1：

1log =a a ，

（3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：

①N M MN a a a log log log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=。

（4）换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>=

b c c a a a

b

b c c a 且且

(5)对数函数的图象和性质

8、幂函数：函数α

x y =叫做幂函数（只考虑2

1

,

1,3,2,1-=α的图象）。 9、方程的根与函数的零点：如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条

曲线，并且有0)()(

),(b a c ∈，使得0)(=c f 这个c 就是方程0)(=x f 的根。

【必修二】

一、直线 平面 简单的几何体

1、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=

2、球的体积公式： 33

4

　R v π=

； 球的表面积公式：24　R S π= 3、柱体、锥体、台体的体积公式：

柱体V =S h (S 为底面积，h 为柱体高)； 锥体V =Sh 31

(S 为底面积，h 为柱体高)

台体V =3

1

(S ’+S S'+S )h (S ’, S 分别为上、下底面积，h 为台体高)

4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：

（1）四公理三推论:

公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集

合是一条过这个公共点的直线。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

（2）空间线线，线面，面面的位置关系：

空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有一个公共点；

平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面

直线。

空间直线和平面的位置关系：

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示

为a α?，a A α=，//a α。

空间平面和平面的位置关系：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线。

5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线

与这个平面平行。

符号表示：////a b a a b ααα??

?

?????

。图形表示：

6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这

两个平面平行。

符号表示：//////a b a b P a b βββαα

α??????

=????

??

。图形表示：

7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与

已知平面相交，那么交线与这条直线平行。

符号表示：////a a a b b α

βαβ?

?

????=?

。 图形表示：

8、两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。

//,,//a b a b αβαγβγ==?

符号表示：

9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。

符号表示：

10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示：

11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

符号表示：

//a a b b αα⊥?

??⊥?

。 12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：

13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。

直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）

14、异面直线所成角的取值范围是(]??90,0；

直线与平面所成角的取值范围是[]??90,0； 二面角的取值范围是[)??180,0；

,,,,a b a b P l a l b l ααα

??=⊥⊥?⊥,l l αβαβ

⊥??⊥,,.

l m l m l ααββ?=⊥?⊥θ

α

P H

l

两个向量所成角的取值范围是[]??180,0

二、直线和圆的方程

1、斜率：αtan =k ，),(+∞-∞∈k ；直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，则斜率为

2、直线的五种方程 ：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121

y y x x y y x x --=--( (111(,)P x y 、222(,)P x y ； (12x x ≠)、(12y y ≠)).

(4)截距式

1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

3、两条直线的平行、重合和垂直：

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①1l ‖1212b k k l 且=?≠;2b

②22121b b k k l l ==?且重合时与；

③12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,

2121

y y k x x -=

-

①111

12222

||A B C l l A B C ?

=≠

；②1212120l l A A B B ⊥?+= 4、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的距离公式 │P 1P 2│=212212)()(y y x x -+-

5、两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的中点坐标公式 M （

221x x +，2

2

1y y +） 6、点P （x 0，y 0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式

d=

2

2

00B

A C

By Ax +++

7、平行直线Ax+By+C 1=0、Ax+By+C 2=0的距离公式d=

2

2

12B

A C C +-

8、圆的方程：标准方程()()2

2

2

r b y a x =-+-，圆心

()b a ,，半径为r ；

一般方程22

0x y Dx Ey F ++++=，（配方：4

4)2()2(2

22

2F E D E y D x -+=+++）

0422>-+F E D 时，表示一个以)2

,2

(E D --为圆心，半径为F E D 42

1

22-+的

圆；

9、点与圆的位置关系：

点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：

若d =

d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

10、直线与圆的位置关系：

ax 2+bx+c=0(a ≠

0)

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ;0=???=相切r d ;

0>???<相交r d .其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

11、弦长公式：

若直线y=kx+b 与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x 1，y 1)，B （x 2，

y 2）两点，则由

二次曲线方程

y=kx+m

则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：

AB

=

2

12212)()(y y x x -+- =

2

1k +21x x -

=[

]

212

21241x x x x k -++）（）（

=[]

2122122124)()11(11y y y y k

y y k -++=-+=

13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：

⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征A （x ，y ，0）：竖坐标z=0

xoz 平面上的点的坐标的特征B （x ，0，z ）：纵坐标y=0

yoz 平面上的点的坐标的特征C （0，y ，z ）：横坐标x=0

x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=0

y 轴上的点的坐标的特征E （0，y ，0）：横、竖坐标x=z=0

z 轴上的点的坐标的特征E （0，0，z ）：横、纵坐标x=y=0

⑵│P 1P 2│=2

12212212-z z -y y -x x ）（）（）（++

【必修三】

算法初步与统计：

以下是几个基本的程序框流程和它们的功能

一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构

二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。

三．三种常用抽样方法：

1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，

饼图，茎叶图。

四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；

（2）决定组距与组数；

（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。

2、频率分布直方图：=

频率小矩形面积（注意：不是小矩形的高度）

计算公式：=频数

频率

样本容量

=?

频数样本容量频率

==?频率

频率小矩形面积组距

组距

各组频数之和=样本容量，各组频率之和=1

3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差，极准差，方差。

（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。

（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平

均数的程度越高。

（3）计算公式：

标准差：

方差：

直线回归方程的斜率为b

?，截距为a ?，即回归方程为y ?=b ?x+a ?（此直线必过点（x ，y ）

）。 6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，

方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C …表示.

随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率 总接近于某个常数，

在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。由定义可知0≤P （A ）

≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

s =

2222121

[()()()]

n s x x x x x x n

=

-+-++-

1、事件间的关系：

（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；

（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。

2、概率的加法公式：

（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．

3、古典概型：

（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：

()A m P A n

=

=

事件包含的基本事件个数实验中基本事件的总数

4、几何概型：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）

成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每

个基本事件出现的可能性相等．

（3）几何概型的概率公式： ()A P A =

事件构成的区域的长度（面积或体积）

实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）

【必修四】

一、 三角函数

1、弧度制：（1）、π=

180弧度，1弧度'1857)180

(

≈=π

；弧长公式：r l ||α= （l 为

α所对的弧长，r 为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。

2、三角函数：

（1）、定义：

y

x

x y r x r y ====

ααααcot tan cos sin 22y x r +=

3、特殊角的三角函数值：

4、同角三角函数基本关系式：1cos sin 2

2

=+αα α

α

αc o s s in t a n =

1cot tan =αα

5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。

1、 诱导公式一：

2、 诱导公式二：

3、诱导公式三：

()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()().tan tan ,cos cos ,

sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ ()()().

tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、

诱导公式六：

()()().t a n t a n ,c o s c o s ,s in s in ααπααπααπ-=--=-=- .

sin 2

cos ,

cos 2sin ααπααπ=??

? ??-=??? ??- sin 2cos cos 2sin απααπ-=??

?

??+=???

??+6、两角和与差的正弦、余弦、正切：

)

(βα+S ：

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+

)

(βα-S ：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

)(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C ：

βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a

)(βα+T ：β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ )(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

tan α+tan β= tan(α+β)(-1βαtan tan ) tan α-tan β=

tan(α-β)(+1βαtan tan )

7、辅助角公式：???

?

??

++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2

22222 )sin()sin cos cos (sin 2222???+?+=?+?+=x b a x x b a

8、二倍角公式：（1）、α2S ：αααcos sin 22sin = α2C ：

ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=αα α2T ：

α

α

α2

tan 1tan 22tan -=