高三数学一轮复习 第五章第1课时知能演练轻松闯关 新人教版
高三数学一轮复习 专题二知能演练轻松闯关 新人教版
1．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解：(1)由sin(C －A )＝1，得C －A ＝π2，又C ＋A ＝π－B ， ∴A ＝π4－B 2， ∴sin A ＝sin(π4－B 2)＝22(cos B 2－sin B 2)， ∴sin 2A ＝12(1－sin B )＝13， 又sin A >0，∴sin A ＝33. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ， ∴BC ＝AC sin A sin B ＝6×3313＝32， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×223＋63×13＝63， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2. 2．已知向量a ＝(－1，sin α2)与向量b ＝(45，2cos α2)垂直，其中α为第二象限角． (1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．解：(1)∵a ＝(－1，sin α2)，b ＝(45，2cos α2)，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－45＋2sin α2cos α2＝0，即sin α＝45. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝－43. (2)在△ABC 中，∵b 2＋c 2－a 2＝2bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，tan A ＝1， ∴tan(α＋A )＝tan α＋tan A 1－tan αtan A ＝－17. 3．(2011·高考福建卷)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1x ≤1y ≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值． 解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即图中阴影部分)如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2. 又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1. 4．(2011·高考浙江卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值． 解：(1)由题意得T ＝2ππ3＝6. 因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.5．已知函数f (x )＝2cos(x ＋π3)[sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)]．(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈[0，π6]，使得m [f (x )＋3]＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin(x ＋π3)cos(x ＋π3)－23cos 2(x ＋π3)＝sin(2x ＋2π3)－3[cos(2x ＋2π3)＋1]＝sin(2x ＋2π3)－3cos(2x ＋2π3)－3＝2sin(2x ＋π3)－ 3. ∵－1≤sin(2x ＋π3)≤1.∴－2－3≤2sin(2x ＋π3)－3≤2－3，T ＝2π2＝π， 即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.(2)当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，故sin(2x ＋π3)∈[32，1]，此时f (x )＋3＝2sin(2x ＋π3)∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤02m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是[－233，－1]．。
2021年高考数学 第五章第1课时 知能演练轻松闯关 新人教A版(1)
2021年高考数学 第五章第1课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( ) A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析：选C.所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，咱们能够把每一部份进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋12n2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，那么a 3a 5的值是( )解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12， ∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23， ∴a 3a 5＝12×32＝34. 3．(2021·嘉兴模拟)已知数列{a n }知足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，那么a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 解析：选B.因为a n ＋1·a n ＝2n ，因此a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2.又a1a2＝2，a1＝1，因此a2＝2，则a10a8·a8a6·a6a4·a4a2＝24，即a10＝25＝32.应选B.4．已知数列{a n}的通项a n＝nanb＋c(a，b，c都是正实数)，那么a n与a n＋1的大小关系是( )A．a n≥a n＋1B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1D．不能确定解析：选＝nanb＋c＝ab＋c n .∵y＝cn是减函数，∴y＝ab＋cn是增函数，∴a n<a n＋1.5．(2021·西安模拟)已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＋S n＋1＝a n＋1(n∈N*)，那么此数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：选C.∵S n＋S n＋1＝a n＋1，∴当n≥2时，S n－1＋S n＝a n.两式相减得a n＋a n＋1＝a n＋1－a n，∴a n＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴a n＝0(n∈N*)，应选C.二、填空题6．已知数列3，7，11，15，…，那么53是数列的第________项．解析：易知数列的一个通项公式为a n＝4n－1.令4n－1＝53，即4n－1＝75，∴4n－1＝75，故n＝19.答案：197．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，那么数列{a n }的通项公式是________． 解析：当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3；当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2. ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 n ＝1－32n －2 n ≥2. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 n ＝1－32n －2 n ≥2 8．(2021·连云港调研)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，那么 a 2 013＝________.解析：数列{a n }的前几项依次是2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8，…，去掉前两项，组成一个周期为6的数列，2 013＝2＋335×6＋1，∴a 2 013＝6.答案：6 三、解答题9．已知a n ＝a n －1＋1n n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)写出那个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 1＋11×2＝32， a 3＝a 2＋12×3＝53，a 4＝a 3＋13×4＝74，a 5＝a 4＋14×5＝95.(2)猜想a n ＝2n －1n.证明如下： 由已知得a 2－a 1＝12×1， a 3－a 2＝13×2， … a n －a n －1＝1n n －1， 因此a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n n －1.从而a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝2－1n ＝2n －1n .10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n ；因为a 1也适合此等式，因此a n ＝2n .(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，因此b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .一、选择题1．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，那么此数列最大项的值是( )A ．103B ．10818C ．10318D ．108解析：选D.依照题意结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2(n －294)2＋3＋29×298.∴n ＝7时，a n ＝108为最大值．2．关于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的()A ．必要不充分条件B ．充分没必要要条件C ．必要条件D．既不充分也没必要要条件解析：选B.当a n＋1＞|a n|(n＝1,2，…)时，∵|a n|≥a n，∴a n ＋1＞a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，假设该数列为－2,0,1，那么a 2＞|a 1|不成立，即知：a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不必然成立．故综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分没必要要条件．二、填空题3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，那么那个数列n ≥2的通项公式是__________．解析：当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，①a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，②两式作商，得a n ＝n 2n －12. 答案：a n ＝n 2n －124．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么知足a nn≤2的正整数n 的集合为________． 解析：因为S n ＝2a n －1，因此当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，因此{a n }是公比为2的等比数列．又因为a 1＝2a 1－1，因此a 1＝1，故a n ＝2n －1，而a nn ≤2，即2n －1≤2n ，因此有n ∈{1,2,3,4}．答案：{1,2,3,4}三、解答题5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }知足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n＝T2n＋1－T n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)判定数列{c n }的增减性． 解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n n ≥223n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， 即c n ＋1＜c n ，∴{c n }是递减数列．。
高三数学一轮复习 专题五知能演练轻松闯关 新人教版
1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A 、B . (1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45.故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. 2．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．3．(2011·高考山东卷节选)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k >0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k >0)，由题意知t >0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意知Δ>0，所以3k 2＋1>t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx .由题意知D (－3，m )在直线OE 上，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ>0得0<t <2，因此当m ＝k ＝1且0<t <2时，m 2＋k 2取最小值 2.(2)证明：由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k >0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t >0得|OG |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.5．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.6．(2012·烟台调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1，①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。
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1．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 2．已知函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当m 满足什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？解：(1)因为f ′(x )＝a x 2＋b －ax 2x x 2＋b 2，而函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b －2a ＝0，a1＋b＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4x1＋x2即为所求．(2)由(1)知f ′(x )＝4x 2＋1－8x2x 2＋12＝－4x －1x ＋11＋x22. 令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1， 则f (x )x (－∞，－1) (－1,1) (1，＋∞)f ′(x ) － ＋ － f (x ) ↘↗ ↘可知，f (x )所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1⇒－1＜m ≤0，m ＜2m ＋1所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增．3．(2012·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解：f ′(x )＝2x －2a 3x 2＝2x 3－a3x 2，x ≠0.(1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行．故所求的a 值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在(1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递增，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜2时，x (1，a ) a (a,2) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) ↘ 极小值 ↗由上表可得y ＝f (x ③当a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2)上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递减．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5. 综上讨论，可知：当0＜a ≤1时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2；当1＜a ＜2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1；当a ≥2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x.当x 变化时，f x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 递减 极小值 递增由上表可知，极小值是f (1)＝1.(2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x2－4x ＜0，∴φ(x )＝2x－2x 2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞)．5．(2012·烟台调研)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，f (x )没有最小值；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝xex －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．。
高三数学一轮复习 第五章第2课时知能演练轻松闯关 新人教版
1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34解析：选B.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝25a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.2．(2011·高考大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析：选 D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5. 3．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于________． 解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9，则S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝92×(13＋9)＝99.答案：994．(2012·荆州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解：a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16.d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×8－1d2＝304a 1＋4×4－1d2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14d ＝1，故a 4＝a 1＋3＝134，故选C.2．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＋a 6＝π4，则cos S 9的值为( )A.12B.22C ．－12D ．－22解析：选D.由等差数列的性质可知，a 4＋a 6＝2a 5，故a 5＝π12，所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝9π12＝3π4，所以cos S 9＝cos 3π4＝－22，故选D. 3．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋n (a ∈R)，则下列关于数列{a n }的说法正确的是( ) A ．{a n }一定是等差数列B ．{a n }从第二项开始构成等差数列C ．a ≠0时，{a n }是等差数列D ．不能确定其是否为等差数列解析：选A.由等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －1d 2＝(a 1－d 2)n ＋d 2n 2可知，该数列{a n }一定是等差数列．4．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17解析：选A.S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列， 即各项为1,3,5,7,9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.故选A. 5．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11 B ．19 C ．20 D ．21解析：选B.∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19. 二、填空题6．(2011·高考湖南卷)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5a 1＋a 52＝25. 答案：257．(2011·高考广东卷)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9－S 4＝0，即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0,5a 7＝0，故a 7＝0.而a k ＋a 4＝0，故k ＝10. 答案：108．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d . 将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：27 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.求数列{a n }的通项公式a n . 解：设数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＝8，S 10＝185，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝810a 1＋10×92d ＝185，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5d ＝3，所以a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2， 即a n ＝3n ＋2.10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n 2＋2n 2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.11．(2012·金华联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)1a n a n ＋1＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2.∵T n ≤λa n ＋1，∴n2n＋2≤λ(n＋2)．∴λ≥n2n＋22.又n2n＋22＝12n＋4n＋4≤124＋4＝116.∴λ的最小值为116.。
高三数学一轮复习第五章第3课时知能演练轻松闯关新人教版
高三数学一轮复习 第五章第3知能演练轻松闯关 新人教版1．(·兰州质检)正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于() A ．－16 B ．10 C ．16 D ．256 解析：选C.由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16， 则a 40a 60＝a 2a 98＝16.2．(·高考辽宁卷)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为() A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：选B.由a n a n ＋1＝16n，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16， ∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0， ∴q >0，∴q ＝4.3．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝()A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q . ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.∵a 5＝－8a 2＝a 2q 3， ∴q 3＝－8，q ＝－2.又a 5>a 2，即a 2q 3>a 2， ∴a 2<0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)<0，∴a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.一、选择题1．(·秦皇岛质检)设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝()A.n [－1n －1]2B.－1n －1＋12C.－1n ＋12D.－1n－12解析：选 D.因为数列{(－1)n} 是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－－1n ×－11－－1＝－1n－12.2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝() A ．9 B ．10 C ．11 D ．12解析：选C.根据题意可知：a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10，因此有m ＝11.3．(·太原调研)若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是()①{a 2n }是等比数列；②{1a n}是等比数列；③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列．A ．①③B ．③④C ．①②③④D ．②③④解析：选C.∵a n ＝q n (q >0，n ∈N *)， ∴{a n }是等比数列，因此{a 2n }，{1a n}是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列．4．(·高考天津卷)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为() A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110解析：选 D.∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是() A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B.设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ，T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n，∴n ＝12. 二、填空题6．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.解析：由a 2＝2，a 4－a 3＝4得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 2q 2－a 2q ＝4，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2. 答案：27．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：n ≥2时，∵a n －2a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1，∴q ＝2.∴S n ＝2×1－2n1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－28．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________.解析：由等比数列的性质知，a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013.所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.答案：5 2 三、解答题9．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设知公差d ≠0.由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．所以{a n }的通项公式为： a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋＋23＋ (2)＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.10．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值； (2)求证：{b n }是等比数列．解：(1)∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列，∴a n a n ＋1＝a 1a 2·3n －1＝2·3n，∴a 3＝2·32a 2＝6，a 4＝2·33a 3＝9，a 5＝2·34a 4＝18，a 6＝2·35a 5＝27.(2)证明：∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列， ∴a n a n ＋1＝3a n －1a n ，即a n ＋1＝3a n －1，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…与a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…都是公比为3的等比数列．∴a 2n －1＝2·3n －1，a 2n ＝3·3n －1，∴b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝5·3n －1. ∴b n ＋1b n ＝5·3n 5·3n －1＝3， 故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n 1－3＝12a 1·3n －12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n.要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．。
高三数学一轮复习 专题三知能演练轻松闯关 新人教版
1．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1.∴b 1＝－2，又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1) ①，S n ＝23(b n －1) ②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2，即b n ＝(－2)n.∴S n ＝23[(－2)n－1]．2．(2011·高考福建卷)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 11－331－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3.因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 3．(2011·高考江西卷)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． 解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)．由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0， 故方程(*)有两个不同的实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.4．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＋2a 2＝3a 3. (1)求q 的值；(2)设{b n }是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为T n .当n ≥2时，试比较b n 与T n 的大小．解：(1)由已知可得a 1＋2a 1q ＝3a 1q 2， 因为{a n }是等比数列，所以3q 2－2q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－13.(2)①当q ＝1时，b n ＝n ＋1，T n ＝n 2＋3n2，所以，当n ≥2时，T n －b n ＝n 2＋n －22>0.即当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．②当q ＝－13时，b n ＝2＋(n －1)(－13)＝7－n3，T n ＝n 2(2＋7－n 3)＝13n －n 26，T n －b n ＝－n －1n －146，所以，当n >14时，T n <b n ； 当n ＝14时，T n ＝b n ； 当2≤n <14时，T n >b n .综上，当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．当q ＝－13时，若n >14，T n <b n ；若n ＝14，T n ＝b n ；若2≤n <14，T n >b n .5．已知等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，a 2＋a 4＝54，a 1a 5＝14，设b n ＝12na n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知：a 2·a 4＝a 1·a 5＝14，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝54a 2·a 4＝14.∵q ∈(0,1)，∴a 2>a 4， ∴解方程组得a 2＝1，a 4＝14，∴q ＝12，a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2.(2)由(1)知：a n ＝(12)n －2，所以b n ＝n (12)n －1.∴S n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －2＋n (12)n －1，①12S n ＝1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －2)(12)n －2＋(n －1)·(12)n －1＋n (12)n ，② ∴①－②得：12S n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2＋(12)n －1－n (12)n＝1×[1－12n]1－12－n (12)n，∴S n ＝4－(12)n －2－n (12)n －1＝4－(n ＋2)(12)n －1.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1， 所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1.所以(m m ＋1)2＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m 、k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8，使得b1、b m、b k成等比数列．。
优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第5讲知能训
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第5讲 知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选 D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1 a n ，则b n ＋1＝2a 1 a n+1 ，由于{2 a 1 a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2 a 1a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)． 设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6 7．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。
高三数学一轮复习 专题四知能演练轻松闯关 新人教版
1．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PC ⊥平面ABC ，点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上．(1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)设AB ＝BC ，直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求异面直线AP 与BC所成的角的大小．解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥PC ，因为点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上，所以CD ⊥平面PAB ，又因为AB ⊂平面PBA ，所以AB ⊥CD .又因为PC ∩CD ＝C ，所以AB ⊥平面PBC .(2)因为PC ⊥平面ABC ，所以∠PAC 为直线PA 与平面ABC 所成的角，于是∠PAC ＝45°，设AB ＝BC ＝1，则PC ＝AC ＝ 2. 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0,0,0)，A (0,1,0)，C (1,0,0)，P (1,0，2)，AP →＝(1，－1，2)，BC →＝(1,0,0)，因为cos 〈AP →，BC →〉＝AP →·BC →|AP →|·|BC →|＝12， 所以异面直线AP 与BC 所成的角为60°.2．一个四棱锥的直观图和三视图如图所示．(1)设PB 的中点为M ，求证：CM ∥平面PDA ；(2)在BC 边上是否存在异于B 、C 两点的点Q ，使得二面角A PD Q 为120°？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解：根据三视图和直观图，可以得BC ，BA ，BP 两两垂直，以B 为原点，分别以BC 、BA 、BP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,2,0)，P (0,0,1)，C (1,0,0)，D (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，AP →＝(0，－2,1)，AD →＝(1，－1,0)． (1)证明：设平面PDA 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AD →＝0且m ·AP →＝0，即(x ，y ，z )·(1，－1,0)＝0且(x ，y ，z )·(0，－2,1)＝0，即x －y ＝0且－2y ＋z ＝0，令z ＝2得x＝y ＝1，故平面PDA 的一个法向量为m ＝(1,1,2)．又向量CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以m ·CM →＝0，即直线CM 的方向向量垂直平面PAD 的法向量，故CM ∥平面PDA .(2)假设BC 边上存在点Q ，使得二面角A PD Q 为120°，设Q (x 0,0,0)，其中x 0∈(0,1)，平面PDQ 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ·PD →且n ·PQ →＝0，因为PD →＝(1,1，－1)，PQ →＝(x 0,0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋y 1－z 1＝0，x 0x 1－z 1＝0，令z 1＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，1－1x 0，1，∴|cos 〈n ，m 〉|＝|3|⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 02＋1×12＋12＋22＝|－cos120°|＝12，解得x 0＝12，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.故点Q 为BC 的中点时，使二面角A PD Q 为120°.3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF .(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；(2)若AC ＝BC ＝2AE ，求二面角A BF C 的大小．解：(1)证明：法一：因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB＝90°.所以∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG .由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .法二：因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG .由于AB ＝2EF ，所以BC ＝2FG .取BC 的中点N ，连接GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形，所以GN ∥F B.在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ，则MN ∥A B.因为MN ∩GN ＝N ，所以平面GMN ∥平面ABFE .又GM ⊂平面GMN ，所以GM ∥平面ABFE .(2)因为∠ACB ＝90°，所以∠CAD ＝90°.又EA ⊥平面ABCD ，所以AC ，AD ，AE 两两垂直．分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，则由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，E (0,0,1)，所以AB →＝(2，－2,0)，BC →＝(0,2,0)．又EF ＝12AB ， 所以F (1，－1,1)，BF →＝(－1,1,1)．设平面BFC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝0，x 1＝z 1， 取z 1＝1，得x 1＝1，所以m ＝(1,0,1)．设平面向量ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ·AB →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 2，z 2＝0， 取y 2＝1，得x 2＝1，则n ＝(1,1,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12. 因此二面角A BF C 的大小为60°.4．在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA＝DC ＝BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求多面体ABCDE 的体积；(3)求二面角E BC A 的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC 交平面ABC 于点F ，∴EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上，∴∠EBF ＝60°，易求得EF ＝DO ＝ 3.∴四边形DEFO 是平行四边形，∴DE ∥OF .∵DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC ，(2)∵平面ACD ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，∴OB ⊥平面ACD ，又∵DE ∥OB ，∴DE ⊥平面DAC .∴三棱锥E －DAC 的体积V 1＝13S △ADC ·DE ＝13×3×(3－1)＝3－33. 又∵三棱锥E －ABC 的体积V 2＝13S △ABC ·EF ＝13×3×3＝1， ∴多面体ABCDE 的体积为V ＝V 1＋V 2＝6－33.(3)依题意建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (－1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，3－1，3)，可求得平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设平面BCE 的一个法向量为n 2＝(x 1，y 1，z 1)，BC →＝(－1，－3，0)，BE →＝(0，－1，3)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0，即⎩⎨⎧－x 1－3y 1＝0－y 1＋3z 1＝0， 取z 1＝1，则平面BCE 的一个法向量为n 2＝(－3，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1313.结合图形可知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E BC A 的余弦值为1313.。
高三数学第五章第1课时精品课件
n为奇数
1＋－1 n 1＋cos nπ 或 an＝ 或 an＝ . 2 2 n为偶数
目录
【规律小结】 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时， 需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想， 由不完全归纳得 出的结果是不可靠的， 要注意代值检验， 对于正负符号变化， ＋ 可用(－1)n 或(－1)n 1 来调整．
解析： 由数列与函数的关系可知①③正确， 由数列的分类可 知②错误，显然④错．
答案：①③
目录
考点探究•讲练互动
考点突破 考点1 由数列的前几项求数列的通项公式
例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通 项公式： (1)－1,7，－13,19，„； (2)0.8,0.88,0.888，„； 1 1 5 13 29 61 (3) ， ，－ ， ，－ ， ，„； 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (4) ，1， ， ，„； 2 10 17 (5)0,1,0,1，„.
答案：①③④
目录
考点2
由an与Sn的关系求通项an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝4n＋b.
【解】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－ 1＝4n－5. 又∵a1＝－1，适合 an＝4n－5，∴an＝4n－5. (2)当 n＝1 时，a1＝S1＝4＋b. － n≥2 时，an＝Sn－Sn－ 1＝3·n 1， 4
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1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是( )
A.－1n
＋12 B ．cos n π2
C ．cos n ＋12π
D ．cos n ＋22
π
解析：选D.令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．(2012·保定质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n
n ＋1，则1
a 5
＝( ) A.56 B.65 C.130
D ．30
解析：选D.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n
n ＋1－n －1n ＝1n
n ＋1，所以1
a 5
＝5×6＝30. 3．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1
2
，则数列{a n }是( ) A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．不确定
解析：选B.∵
a n ＋1a n ＝1
2
<1.又a 1>0， 则a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴{a n }是递减数列．
4．(2010·高考辽宁卷)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n
n
的最小值为________． 解析：由a n ＋1－a n ＝2n ， 得a n －a n －1＝2(n －1)，
a n －1－a n －2＝2(n －2)，…，a 2－a 1＝2. 将这n －1个式子累加得
a n －a 1＝2n －11＋n －12＝n 2
－n .
∵a 1＝33，∴a n ＝n 2
－n ＋33， ∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n
－1.
当n ＝6时，a n n 有最小值21
2.
答案：212
一、选择题
1．下面有四个命题：
①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；
③数列的图象是一群孤立的点； ④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选A.①错误，如a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1就无法写出a 2；②错误，a n ＝
n ＋1
n ＋2
；③正确，④错误，两数列是不同的数列．
2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2
－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5
解析：选C.由于S n ＝2n 2
－17n ＝2(n －174)2－2898
，
而17
4
＝4.25，且S 4＝－36，S 5＝－35， 所以当S n 取得最小值时n 的值为4.
3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n
(n ≥2，n ∈N *
)，则a 3a 5
的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.38
解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2
＝2，
∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3
，∴a 3＝12
，
∴12a 4＝12
＋(－1)4
，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5
，∴a 5＝23
，
∴a 3a 5＝12×32＝34
. 4．(2012·宁夏银川重点中学联考改编)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1
a n
，记数列{a n }
的前n 项之积为Πn ，则Π2012的值为( )
A ．－12
B ．－1
C.12
D ．1 解析：选D.由a 1＝2，a 2＝1
2
，a 3＝－1，a 4＝2可知，
数列{a n }是周期为3的周期数列，
从而Π2012＝2×12×(－1)670
＝1.
5．已知数列{a n }的通项a n ＝na
nb ＋c
(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n ≥a n ＋1 B ．a n <a n ＋1
C ．a n ＝a n ＋1
D ．不能确定
解析：选B.a n ＝
na nb ＋c ＝a
b ＋c
n
， ∵y ＝c n
是减函数，
∴y ＝
a
b ＋
c n
是增函数，∴a n <a n ＋1.
二、填空题 6．已知数列{n 2
n 2＋1
}，则0.98是它的第________项．
解析：
n 2
n 2
＋1＝0.98＝49
50，∴n ＝7. 答案：7
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n
≤2的正整数n 的集合为________．
解析：因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，
所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，
故a n ＝2n －1，而a n n
≤2，即2n －1
≤2n ，
所以有n ∈{1,2,3,4}．
答案：{1,2,3,4}
8．(2012·开封调研)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则其通项公式a n ＝________. 解析：由a n ＋1－a n ＝n ＋1，可得当n ≥2时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n . 以上n －1个式子左、右两边分别相加，得
a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n ＋2n －1
2
，
∴a n ＝n n ＋12
＋1.
又n ＝1时，a 1＝2适合上式，
∴a n ＝n n ＋12＋1.
答案：n n ＋12
＋1
三、解答题
9．分别写出下列数列的一个通项公式： (1)12，－34，58，－7
16
，…； (2)7,77,777,7777，…；
(3)a 1＝2，a n ＋1＝2－1
a n
.
解：(1)可用(－1)n ＋1
来调整各项的符号； 各项的分子加上1后为正偶数，为2n －1；
而分母组成数列21,22,23， (2)
，
所以a n ＝(－1)n ＋12n －1
2
n
； (2)a n ＝79
(10n
－1)；
(3)依题设，a 1＝2，a 2＝2－12＝3
2
，
a 3＝2－23＝43，a 4＝2－34＝5
4
，…，
故可归纳出通项a n ＝
n ＋1
n
. 10．已知数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *
)． 求数列{b n }的通项公式b n .
解：n ≥2时，∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1， b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，
…
b n －b n －1＝2n －3，
以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)
＝n －11＋2n －32＝(n －1)2
.
∴b n ＝n 2
－2n (n ≥2)．
∵n ＝1时，b 1＝－1适合b n ＝n 2－2n ，∴b n ＝n 2
－2n .
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ，数列{b n }的前n 项和为T n ＝3n 2
－2n . (1)若a 10＝b 10，求p 的值；
(2)取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的通项公式．
解：(1)由已知，
a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋pn )－[(n －1)2＋p (n －1)] ＝2n －1＋p (n ≥2)，
b n ＝T n －T n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)] ＝6n －5(n ≥2)．
∴a 10＝19＋p ，b 10＝55.
由a 10＝b 10，得19＋p ＝55， ∴p ＝36.
(2)b 1＝T 1＝1，满足b n ＝6n －5.
∴数列{b n }的通项公式为b n ＝6n －5.
取{b n }中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b 2k －1＝6(2k －1)－5＝12k －11. ∴c n ＝12n －11.。