微积分复习重点
微积分(下)期末复习
f y (1,0)
x2 xe y (1,0)
2
f
gradf (1,0) 5
l max
3.设L为椭圆 x2 y2 1,其周长为a，则 43
Ñ（L 2xy 3x2 4 y2 )ds 12a
4.交换二次积分的次序
1
dy
y
f ( x, y)dx
0
1
y
0
x
dx f ( x, y)dy
注意: (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可 能导致积不出来； (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加 计算难度,甚至积不出来；
三重积分的计算
一、三重积分在直角坐标系下的计算 二、三重积分在柱面坐标系下的计算 三、三重积分在球面坐标系下的计算
三重积分在直角坐标系下的计算：
(注意:曲面S要封闭!)
方法二：总投影法（定义法）; 方法三：分别投影法.
注意：
1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。 故可由曲线(曲面)方程进行等值代换 来化简被积表达式化简!!
（但二重积分与三重积分没有此特性！）
2. 利用对称性可简化积分的运算.
(但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 向有关！)
选取路径为折线：OA AB ,
L
OA
AB
OA : y 0, x : 0 ;
2
AB : x , y : 0 1;
2
B
故
L
OA
AB
oA
2 0dx
0
1
(1 2 y
0
3 2 y2 )dy
4
2
4
一元微积分期末复习提纲
《一元微积分》期末复习提纲一、 高阶导数，包括简单有n 阶导数；求导思路：逐次求导法 例：（1）()()()n x x xe x n e =+； （2）()()()()()11!ln 111n n n n x x --+=-⎡⎤⎣⎦+； （3）()()()11!111n nn n x x +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+；（4）()()sin sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭；()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭例题：11016P -例、119:1,2P A二、 曲线的凹凸性及拐点；凹凸性与拐点的判别步骤：（1） 求出一、二阶导数y '和y ''；（2） 令0y ''=，解出0y ''=的点与y ''不存在的点0x ； （3） 利用（2）解出的点划分函数的定义域； （4） 画表分析、判别；（5） 代入原函数式求出拐点的纵坐标，并写出结论。
例题：11311P -例8、119:46P A -三、 相关变化率利用复合函数的求导法则：dy dy dxdt dx dt=⋅， 解题步骤：（1） 利用题设条件，写出函数关系式()y f x =或(),0F x y =；（2） 求出dydx； （3） 利用已知条件求出变化率：dy dy dxdt dx dt =⋅或dy dx dt dydt dx=。
例题：1322P -例1、134:45P A -四、 微分的计算；微分的计算公式：dy y dx '=或()()df x f x dx '=。
例题：13814123,4P P A -例五、 微分在近似计算中的应用；微分的近似计算公式：由()00x x dy f x x ='=∆一阶近似计算公式得：（1）()()()000y f x x f x f x x '∆=+∆-≈∆； （2）()()()000f x x f x f x x '+∆≈+∆。
考研数学：微积分考点总结
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：微积分考点总结一、历年微积分考试命题特点微积分复习的重点根据考试的趋势来看，难度特别是怪题不多，就是综合性串题。
以往考试选择填空题比较少，而今年变大了。
微积分一共74分，填空、选择占32分。
第一是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习，选择填空题很重要。
几大运算，一个是求极限运算，还有就是求导数，导数运算占了很大的比重，这是一个很重要的内容。
当然，还有积分，基础还是要把基本积分类型基础搞清楚，定积分就是对称性应用。
二重积分就是要分成两个累次积分。
三大运算这是我们的基础，应该会算，算的概念比如说极限概念、导数概念、积分概念。
二、微积分中三大主要函数微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。
在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。
还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。
这是我们经常遇到的三大基本函数。
三、微积分复习方法微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。
怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。
老师总结的东西，比如说我在辅导课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。
从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。
应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。
在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。
还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学模型。
还有中值定理，还有微分学的应用，比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等等。
应用部分包括证明推断的内容。
总的来说，学好微积分，就是要掌握三个基本函数、三大运算，所以广大研友们要在这些方面多下功夫！凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
微积分无穷级数复习资料
微积分复习资料常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式常数项级数一、基本概念与性质 1. 基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）。
∑===nk k n u S 1123n u u u u ++++ （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。
S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞=∞=∞→11)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若n n S ∞→lim 若不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
2． 基本性质 （1） 如果∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=++11111)(,n n n n n n n nnn nv b u a ，bv au，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4） 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→nn u3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）∑∞=0n nar ()0≠a ：当1<r 时，∑∞=0n nar r a-=1收敛；当1≥r 时，∑∞=0n n ar 发散。
（2）p 一级数 ∑∞=11n p n ：当p>1时，∑∞=11n p n 收敛， 当p ≤1时∑∞=11n p n发散二、正项级数敛散性的判别法() ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞=1n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以,3,2,11=≥+是单调 增加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此∑∞=1n n n S u ⇔收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分(上)复习资料——公式
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
13、
1 1 x2
dx
arctanx
c
14、 tan xdx ln cosx c
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
sin 2A 2sin Acos A
tan
2
A
1
2
tan tan
A 2A
3.半角公式
cos 2A cos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos2 A 1
sin A 1 cos A
2
2
cos A 1 cos A
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
log a x
1 dx x ln a
⒀ d arcsin x 1 dx
1 x2
⒁ d arccos x 1 dx
1 x2
微分运算法则 ⑴ d u v du dv
⑶ d uv vdu udv
⒂
d
arctan
x
1 1 x2
dx
⒃
d
arc cot
x
1
1 x2
dx
⑵ d cu cdu
lim n a (a o) 1
n
导数知识点复习
导数知识点复习导数是微积分中的重要概念，在数学和科学的众多领域都有着广泛的应用。
为了更好地掌握导数，让我们来系统地复习一下相关的知识点。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点的变化率。
对于函数＼（y ＝f(x)＼），在点＼（x_0\）处的导数定义为：＼f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x)f(x_0)｝｛＼Delta x}＼通俗地说，导数就是当自变量＼（x\）的变化量＼（＼Delta x\）趋近于零时，函数值＼（y\）的变化量与＼（x\）的变化量之比的极限。
例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^2\），在＼（x ＝ 1\）处的导数为：＼f'（1) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（1 ＋＼Delta x)＾2 1^2}｛＼Delta x} ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{1 ＋ 2\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 1}｛＼Delta x} ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} （2 ＋＼Delta x) ＝ 2\二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
如果函数＼（y ＝f(x)＼）在点＼（x_0\）处可导，那么＼（f'（x_0)＼）就是曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（（x_0, f(x_0)）＼）处切线的斜率。
以函数＼（f(x) ＝ x^2\）为例，在点＼（x ＝ 1\）处，导数＼（f'（1) ＝ 2\），所以曲线＼（y ＝ x^2\）在点＼（（1, 1)＼）处的切线斜率为＼（2\），切线方程为＼（y 1 ＝ 2(x 1)＼），即＼（y ＝2x 1\）。
三、基本初等函数的导数公式1、＼（（C)＇＝ 0\）（＼（C\）为常数）2、＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n\）为实数）3、＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）4、＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）5、＼（（e^x)＇＝ e^x\）6、＼（（a^x)＇＝ a^x ＼ln a\）（＼（a ＞ 0, a ＼neq 1\））7、＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）8、＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）（＼（a ＞ 0, a ＼neq 1\））这些公式是求导的基础，必须牢记。
微积分复习资料——公式
a
b
6.万能公式
cos
a
cos
b
1 2
cos
a
b
cos
a
b
cos
a
sin
b
1 2
sin
a
b
sin
a
b
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
6、 sin xdx cosx c
7、 cosxdx sin x c
8、
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
第二换元积分法中的三角换元公式
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
x
2
lim arc tan x
x
2
lim arc cot x 0
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第 1 页 共 6 页
第一章 函数
一、据定义用代入法求函数值：
二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间
表示）
对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意
义的自变量x的取值范围（集合）
主要根据：
①分式函数：分母≠0
②偶次根式函数：被开方式≥0
③对数函数式：真数式＞0
④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1
在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成
不等式组解之。
补充：求y=xx212的定义域。（答案：212x）
三、判断函数的奇偶性：
第二章 极限与连续
求极限主要根据：
1、常见的极限：
2、利用连续函数：
1sinlim0xxxexxx11lim)0(01lim
xx
第 2 页 共 6 页
初等函数在其定义域上都连续。
例：
3、求极限
的思路：
可考虑以下9种可能：
①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C=0 ③0=0
④01C=∞ ⑤21CC ⑥1C=0
⑦0=∞ ⑧2C=∞ ⑨型不定
式（用罗彼塔法则）
特别注意：对于f（x）、g（x）都是多项式的分式求极限时，解法见
教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！
补充1：若1)1(sin221limbaxxxx，则a= －2 ，b= 1 .
)()(0lim0xfxfxx
11lim1
xx
1)()(lim
xgxfx
)0(0)(11lim常数CCxf
x
)0(0)(22lim常数CCxg
x
第 3 页 共 6 页
补充2：21221211111limlimexxxxxxxxx•
补充3：
21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311limlimlimn
nnnn
n
nn
补充4：
1lnlim1x
x
x
111lim1
xx
（此题用了“罗彼塔法则”）
第三章 导数和微分
一、根据导数定义验证函数可导性的问题：
二、求给定函数的导数或微分：
求导主要方法复习：
1、求导的基本公式：教材P123
2、求导的四则运算法则：教材P110—111
3、复合函数求导法则（最重要的求导依据）
4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）
6、求高阶导数（最高为二阶）
型
0
0
第 4 页 共 6 页
7、求微分：dy=y/ dx即可
补充：设y=22)(1arctgxx，求dy.
解：∵222212111221121xarctgxxxxarctgxxxy
∴dy=)121(22xarctgxxxdxydx
第四章 中值定理，导数的应用
一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：
二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：
二、函数的单调性（增减性）及极值问题：
第五章 不定积分
1、原函数：)()(xfxF
则称F（x）为f（x）的一个原函数。
2、不定积分：
⑴概念：f（x）的所有的原函数称f（x）的不定积分。
CxFdxxf)()(
注意以下几个基本事实：
)()(xfdxxf
Cxfdxxf)()(
dxxfdxxfd)()(
Cxfxdf)()(
⑵性质：)0()()(adxxfadxxfa注意
dxxgdxxfdxxgxf)()()()(
第 5 页 共 6 页
⑶基本的积分公式：教材P206
Ⅱ习题复习：
一、关于积分的概念题：
二、求不定积分或定积分：
可供选用的方法有——
⑴直接积分法：直接使用积分基本公式
⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法
⑶分部积分法
关于“换元积分法”的补充题一：
Cxxdxxdx12ln21)12(
1212112
关于“换元积分法”的补充题二：3xxdx
解：设x－3=t2，即3x=t，
则dx=2tdt.
∴3xxdx=dtttt2)3(2=Ctt6121212
=Ctt6323=Cxx36)3(323
关于“换元积分法”的补充题三：
8031x
dx
解：设x=t3，即t3x，则dx=3t2dt.
当x=0时，t=0；
第 6 页 共 6 页
当x=8时，t=2.
所以
8031x
dx
=021ln)1(21313)1(313202202ttdttttdtt
=
3ln3
（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量
x换成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2）
关于“分部积分法”的补充题一：
Cexdxexexdedxxexxxxx)1(
关于“分部积分法”的补充题二：
Cxarctgxdxxxxarctgxarctgxdx221ln
2
111
关于“分部积分法”的补充题三：
e
xdxx1ln
=121211ln21ln1ln21ln21221212212exexdxexxxdxexxxdxeee
=)1(41)2121(211212122222eeeexe
（此题为定积分的分部积分法）