【试题】中考数学试题分类解析专题12押轴题
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之角度关系处理(含解析)
中考数学抛物线压轴题之角度关系处理（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC＝∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．（1）求a，b的值；（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x 轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．12．如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP 可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，解得：x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB，∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，∴n2＝（n﹣3）2+16，解得：n＝，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；。
中考数学常见几何模型专题12 最值模型-费马点问题(解析版)
专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。
（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ． △△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．在△AMB 与△ENB 中，△AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形． △BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM 的值最小． 此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；△AMC ＝360°﹣△BMC ﹣△AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。
2021年上海市中考数学考点必杀500题专练12(几何压轴题)(30题)(解析版)
2021中考考点必杀500题 专练12（几何压轴题）（30道）1．（2021·上海九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，点P 在边BC 上（点P 与端点B 、C 不重合），以P 为圆心，PB 为半径作圆，圆P 与射线BD 的另一个交点为点E ，直线CE 与射线AD 交于点G ．点M 为线段BE 的中点，联结PM ．设,==BP x BM y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）联结AP ，当//AP CE 时，求x 的值；（3）如果射线EC 与圆P 的另一个公共点为点F ，当CPF 为直角三角形时，求CPF 的面积．【答案】（1）582⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭y x x ；（2）4；（3）6 【分析】（1）勾股定理求出BD 长，利用三角函数求解析式，根据点P 和点G 的位置确定该函数的定义域； (2) 设4=EH k ，则8,8,==-=BH k PH k x PE x ，根据勾股定理列方程即可；(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可． 【详解】解：(1)由勾股定理，BD == ∵点M 为线段BE 的中点， ∵PM ∵BE ，Rt BMP 中，cos=∠=BM CBD BP ，解得5y x =， 点P 与端点C 不重合，所以8x <，当直线CE 恰好经过A 点时，BE=12BD=BM =52x =，该函数的定义域为：582x ≤<．（2）过点E 作EH BC ⊥于点H ，若CE //AP ，可知=AB EHBP HC设4=EH k ，则8,8,==-=BH k PH k x PE x由勾股定理，可得222(4)(8)=+-x k k x ，解得5x k =所以44588=-k k k ，解得=k （负根舍去）所以54===-BP x k（3）①若90PFC ∠=︒，由垂径定理，可知E 、F 重合，不符合题意； ②90PCF ∠=︒时，此时E 与D 重合，2224(8)x x =+-，解得5x = 所以13,4,3462====⨯⨯=CPFCP CF CD S③90CPF ∠=︒时，过点E 作EQ BC ⊥，交BC 延长线于点Q43,,,855======-PB PE PF x EQ x PQ x PC x 由//PF EQ ，可得54==CP PF CQ EQ ，所以59=CP PQ 代入数据，53895-=⨯x x ，解得16,6262==⨯⨯=PCFx S 综上，PCF 的面积为6．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用．2．（2021·上海九年级专题练习）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，12A O ∠=∠． 已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，3tan 4OAC ∠=． （1）求弦AC 的长．（2）当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值． （3）当1OE =时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．【答案】（1）8；（2）1tan 3DCA ∠=；（3）当1OE =时，AD 的长是 【分析】（1）如图1，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==，运用勾股定理和3tan 4OAC ∠=可求解出结果； （2）由相似和一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得到DOE A ∠=∠，//OD AC ，通过相似比可求出AE 的长，作EG AC ⊥垂足为G ，得到//GE OH ，再运用相似比求出EG 和CG 的长，即求出最终结果；（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交∵O 于M ，通过3tan 4OAC ∠=得到AG 和EG ，再通过勾股定理求出CE 的长，通过MDECAE 求出DE 的长，最后在运用勾股定理运算即可；如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，运用同样的方法可求出第二个结果． 【详解】（1）解：如图3，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==， ∵在t R OAH ∆中3tan 4OH OAC AH ∠==，设3,4OH x AH x ==， ∵在t R OAH ∆中，可得：222OH AH OA +=，由∵O 的半径为5可得：()()222345x x +=， 解得：1x =±，（1x =-舍去）∵3,4OH AH ==， ∵28AC AH ==．(2)∵DEO AEC ∠=∠，∵当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：DOE A ∠=∠或者DOE ACD ∠=∠； 由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：12ACD DOE ∠=∠， ∵ACD DOE ∠≠∠∵当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在DOE ACD ∠=∠情况． ∵当DOE ∆与AEC ∆相似时，DOE A ∠=∠， ∵//OD AC ，∵OD OEAC AE=； ∵5,8OD OA AC ===，得558AE AE -=，∵4013AE =；） 作EG AC ⊥垂足为G ，可得：90AGE AHO ∠=∠=，∵//GE OH ，∵AE EG AGAO OH AH==即4013534EG AG ==， ∵2413EG =，3213AG =，327281313CG =-=，∵在t R CEG ∆中，24113tan 72313EG DCA CG ∠===．（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交∵O 于M ， 连接DM ，AD ，EG AC ⊥， OE=1，∴AE=4，ME=6，又3tan 4OAC ∠==EG AG， 同（1）中的计算方法，AG=165，125EG =，∴1624855CG =-=，∴CE ==又DME ECA MDE EAC ∠=∠∠=∠，，MDECAE ∴，MD MEAC CE∴=，∴85MD =，∴MD=AD ∴===如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，3tan 4OAC ∠==EG AG， OE=1，AE=6，ME=4， 同理可得，AG=245，185EG =，2416855CG ∴=-=，5EC ∴==， 同理DMEACE ，ME DMCE AC∴=，85DM，29DM ∴=，29AD ∴===，∴当1OE =时，AD 的长是 【点睛】本题考查圆的综合运用，难度比较大，涉及圆的基本性质，相似三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，需要有较强的数形结合能力，根据条件添加适当的辅助线是和解决本题的关键．3．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =，点D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2；（3BP <<【分析】（1）证明∵BPQ∵∵BAC 即可；（2）由∵PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∵B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CDCP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q作QE∵AC 交AC 于E ，则∵QED=∵PDQ=90C ∠=︒，证明∵EQD∵∵CDP ，得到QE EDCD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∵BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，1DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 60CD =︒BP = 【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∵4AB ==，∵BC AB ==，∵2BQ BP =，∵BQ BP =， ∵BQ BCBP AB=， ∵QBP CBA ∠=∠，BPQBAC ∴，∵90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∵ABC中，tan AC B BC ===∵∵B=30，∵9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒，∵2AC =，点D 为边AC 的中点， ∵CD=1，∵tan 30CDCP ︒===，BP BC CP ∴=-=当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∵AC 交AC 于E ，则∵QED=∵PDQ=90C ∠=︒， ∵∵EQD+∵EDQ=∵EDQ+∵CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE EDCD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∵BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形， ∵∵B=30，∵BQP=90︒， ∵PQ=12t ， ∵60QPB ∠=︒， ∵cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∵1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=6t ∴=或6t =（舍去），综上，BP（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=m ∴=；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∵60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1，∵PC=tan 60CD =︒∵BP =综上：33BP <<．．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53 【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∵ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∵AOP 和∵OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一：作OG BC ⊥， ∵BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==； 方法二：连接AC ，∵AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∵AO=OP ，∵∵PAO=∵P ， ∵P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPE OPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠， C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠，CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠， AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠，即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∵DH//OP ，∵∵ADH∵∵APO ， ∵23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=， ∵AB=4，∵OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==， ∵DH//OP ，∵∵BOE∵∵BHD ， 28433EO OB EO DH HB ∴===， 1EO ∴=，AHD AOED HOED S S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∵∵ACD∵∵PED ，∵ACB∵∵OEB ，2AD DP =， ∵2CD AC AD DE PE DP===， 2AC EP ∴=，又,AO BO = ∵=2CB AC AB BE OE BO==， 2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∵AO=OP ，∵∵PAO=∵APO ，∵PAO+∵APO=∵EOB=60°，∵30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅ 4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．【答案】（1）FB =（2）()243604520x y x x +=<<+；（3）94AD =或32或78． 【分析】29)(944x x ++ 【详解】（1）在Rt∵ABD 中，AD=1，AB=3，==，∵//AM BC ，∵∵ADF∵∵CBF ， ∵F AD CB DF B ==14， ∵BF=4DF ，∵FB =（2）∵∵ADF∵∵CBF ， ∵4DF BF AF AD x CF CB ===，，∵BF=4x +，DF=4x+， 在Rt∵ABC 中，AB=3，BC=4，=5， ∵AF=54x x+， ∵AM∵BC ，∵∵CAD=∵C ，∵DBE C ∠=∠，∵∵CAD=∵DBE ，∵∵AFD=∵BFG ，∵∵ADF∵∵BGF ， ∵F GBF A DF F =， ∵AF FG BF DF ⋅=⋅，∵FG y =，∵5444x y x x x⋅=+++， ∵()243604520x y x x +=<<+；（3）∵∵ADF∵∵BGF ， ∵D GBG A DF F =，∵42054BG x x=++，∵BG = ∵AM∵BC ，∵∵DBE=∵C ，∵DEB=∵CBG ，∵∵BDE∵∵CGB ，∵BE CG BC BD ⋅=⋅，∵4xBE =-，∵GE=BE - ∵AM∵BC ，∵∵DEG∵∵HBG ，∵DE BG BH EG ⋅=⋅， ∵BH=29)(944x x ++， 分三种情况：①当BD=BH 时，29()494x x =++78x =； ②当BD=DH 时，则BH=2AD=2x ， ∵29)24(94x x x ++=，解得x=32；③当BH=DH 时，过H 作HP∵BD 于P ，此时BP=12BD =， ∵∵ABD+∵PBH=∵ABD+∵ADB=90︒，∵∵ADB=∵PBH ，∵∵BAD=∵BPH=90︒,∵∵ABD∵∵PHB ，∵BP BD BH AD ⋅=⋅， ∵229)92(449x x x =+++，解得x=94， 综上，线段AD 的长为94或32或78．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH 的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH 的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH ，这是此题的难点．6．（2021·上海）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB中，AD =AB ∴==142ADB SDB AC ∴=⋅= 12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∵CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒ ∵ACD EHD ．∵AC EH CD DH = 即44EHx x EH=--． ∵()444x EH x -=+ ．∵EH∵CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∵)44x EB x -==+ ，AB =∵)44x AE x -=+∵EF AD ⊥，90C ∠=︒ ∵AFG ADC ∠=∠ ． ∵EDB ADC ∠=∠ ∵AFG EDB ∠=∠． ∵45FAE B ∠=∠=︒ ∵AFEBDE ．∵AF AE DB BE =即)4444x yxx --=-+整理得，()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∵MDB 中，DB=4-x, 所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∵ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan∵DAB=44DM xAM x-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∵CDF 与∵AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x. 如图，如果∵FDC=∵DAB ，由tan∵FDC=tan∵DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∵CFD=∵DAB ，由tan∵CFD=tan∵DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∵FDC=∵DAB,由44y x x x-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或（舍去） 如果∵CFD=∵DAB, 44x xy x-=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+= 此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．7．（2021·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数； （3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置． 【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt∵ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 ∵BCG∵∵DCN ，得到角相等，再由角相等，得∵GMC∵∵NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∵CPD=∵CND=∵MNC ，再得∵CPQ∵∵CNM ，由此解答即可． 【详解】 解：（1）连接AC∵4AB AD ==，3CB CD == ∵AC 垂直平分BD ∵∵ACB=∵ACD=12∵BCD=∵MCN 在Rt∵ABC 中，AB=4，AC=35==∵sin MCN ∠=sin∵ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ， ∵CB=CD ∵CBG=∵CBN=90° ∵∵BCG∵∵DCN∵∵G=∵CND ，CN=CG ，∵BCG=∵DCN∵∵MCN=12∵BCD ∵∵MCB+∵NCD=12∵BCD∵∵GCM=∵GCB+∵GCM=12∵BCD=∵MCN∵CM=CM ， ∵G=∵CND, ∵∵GMC∵∵NMC ∵∵G=∵MNC=∵DNC 当DN=NC 时 ∵DNC=∵DCN=45° ∵∵DNC=∵CNM=45°（3）连接NP , ∵∵ADC=∵ADO+∵CDO=90° ∵ADO+∵CDO=90° ∵∵ADO=∵COD=12∵BCD=∵MCN ∵∵NDP=∵NCP∵D 、C 、N 、P 四点共圆， ∵∵NPC+∵NDC=180° ∵∵NDC=90° ∵∵NPC=90° ∵∵CPD=∵CND=∵MNC ∵∵CPQ∵∵CNM ∵PQ CPMN CN= 在Rt∵CPN 中，CPCN =cos∵MCN=cos∵ACB=35∵不会发生变化35PQ MN =【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海九年级专题练习）已知⊙MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，⊙EBD =⊙MAN ，且CE ⊙BD ，sin⊙MAN =35， AB =5，AC =9． （1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ； （2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在⊙MAN 外部时，设AD =x ，⊙BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<． 【分析】（1）根据CE∵BD ，得出∵CEB=∵DBE ，∵DBA=∵BCE 结合题干证明出∵ABD∵∵ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∵CEB∵∵CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ．（3）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∵ECB∵∵ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解． 【详解】解：（1）∵CE∵BD ， ∵∵CEB=∵DBE ，∵DBA=∵BCE ． ∵∵A=∵DBE ， ∵∵A=∵BEC ． ∵∵ABD∵∵ECB ， ∵AD EBAB EC＝． ∵AD DFAB BC=， ∵EB DFEC BC=， ∵DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．∵CE∵BD ， ∵∵CEB=∵EBD=∵A ， 又∵∵BCE=∵ECA ， ∵∵CEB∵∵CAE ， ∵CE CACB CE=， ∵2CE =CB CA ⋅． ∵AB=5，AC=9，∵BC=4，∵24936 CE==⨯，∵CE=6．∵BD AB CE AC=，∵561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∵ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4．==．AD=4．（3）过点B作BH∵AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∵∵ECB∵∵ABD，∵22EBCADBS BCS BD△△＝．∵1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∵21638252yx xx=-+，∵224825xyx x=-+．定义域为4433x-<<+．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海九年级专题练习）四边形ABCD是菱形，⊙B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊙AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当⊙B=90°时，求ABES与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当⊙AFE=⊙B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案． 【详解】 解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒，∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒， 90BAE BEA ∴∠+∠=︒，,EF AE ⊥90BEA CEF ∴∠+∠=︒，,BAE CEF ∴∠=∠,BEA CFE ∴∽BE ABCF CE ∴=， ,BE CF AB CE∴= 3,EC CF = 3,AB BE ∴=设,,CF a BE b ==3,CE a ∴=3,AB BC b a ∴==+而33,AB BE b ==33,b a b ∴+=3,2b a ∴=9,2AB a ∴=22992.34ABE CEFaS AB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===，设,DH x =22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴=,DH a ∴=1cos ,55DH a D DF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠1cos .5B ∴= （3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠23,CF CE CF ==，6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y ==则2,DC AD x ==+,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ，,//,B D AB CD ∴∠=∠,B ECH ∴∠=∠,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽,EH HF EF DF ADAF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩， 解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+=即菱形ABCD 的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．10．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△． （2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1） PD QD ⊥，ED AB ⊥∵A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∵ADP EDQ △△． （2）ADP EDQ △△， ∵EQ ED AP AD= 又点D 为斜边AB 的中点， ∵AD BD = ，EQ ED ED AP AD BD== 又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQ B BD AD AP ==， 又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10 D 为AB 中点，∵BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254 AP x =， 可得34EQ x =， BQ BE EQ =-，253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD∠====， ∵FPD B ∠=∠， 又∵PDF BDQ ∠=∠，∵PDF BDQ △△， ∵PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-， 解得256x ． 若BD BQ =，253544x -=， 解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．11．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2EAD ∠=．点F 是线段AE 上一点，连接BF ，CF ．（1）如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如果12CF BC =． ①求证：CFE DAE ∠=∠；②求线段EF 的长．【答案】（1）5；（2）①证明见解析； 【分析】（1）如图：作FG AB ⊥，设AG k =、FG=2k,然后用k 表示出BG ，在根据AG+BG=AB 求出K 即可完成解答；（2）①作CG EF ⊥，先用矩形的性质和解三角形的相关知识求得EG 、CG 、FG ，最后说明1tan tan 2CFE DAE ∠==∠即可证明； ②直接运用线段的和差计算即可．【详解】解：（1）如图：作FG AB ⊥，设AG k =， ∵1tan 2EAD ∠=∵1tan 2AG GFA FG ∠==,即22FG AG k ==， ∵3tan 4CBF ∠= ∵4tan 3ABF ∠=， ∵43FG BG =，即3342BG FG k == ∵AG+BG=AB∵362k k+=．∵125k=，∵AF====（2）作CG EF⊥，①∵矩形ABCD∵BC=AD=8,CD=AB=6∵12CF BC==4∵1 tan2DEEADAD∠==∵182DE=即DE=4, tan2FED∠=∵CE=CD-DE=6-4=2,∵∵CEG=∵DEA∵tan∵CEG=tan∵DEA=2∵tan∵CEG=2=CG EG设EG=m,则CG=2mCE=,2=，解得∵EG=CG=∵FG===∵1tan tan2CFE DAE∠==∠∵CFE DAE ∠=∠；②EF FG EG =-==． 【点睛】 本题属于三角函数的综合题，主要考查了解三角形、正切以及勾股定理等内容，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．12．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）x =x =【分析】 （1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠；（2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x y x x-=+-，故可求解；（3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解．【详解】解：（1）∵90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∵ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDF EAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∵FAD FCD △∽△∵2AB DC ==，1AD =， ∵12DE AD DF CD == ∵1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△ ∵12EA DE AD FC DF CD === ∵22FC EA x ==∵AB //CD∵FCH FBE △∽△， ∵FC CH FB BE= ∵22212x y x x -=+- ∵222(02)21x y x x +=<<+， （3）∵AE x =，DH y =，过点E 作EM∵CD 于M 点，∵四边形AEMD 为矩形∵MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∵2BE x =-，DE =EH =∵AB //CD∵AEG CHG △∽△ ∵EG AE HG CH= ∵EG AE EH AE CH=+ ∵AE EG EH AE CH =⋅+ ∵BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∵BE EG DH HE= ∵BE AE DH AE CH =+ 即22x x y x y-=+- 化简得2240x y +-= ∵22221x y x +=+ ∵222212240x x x +⨯-++= 化简得22508x x +=-解得x =x =若EGB HDE △∽△ ∵BE EG EH HD= ∵2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+ 即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∵22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++= ∵=372-4×26×20=-711＜0，综上，x =x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3．（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据正切可求出AH =2x ，再根据勾股定理解出x 即可． （2）作//DE BC 交AC 于点E ，利用三角形面积公式可求出BF 的长，再利用勾股定理可求出CF ，从而得到AF ．再利用ADE ABC 和DEF GCF 结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明C DQF ∠=∠，所以分两种情况讨论①当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，BE x =，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长②当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，同理设BE x =，解出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长．【详解】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ， 根据题意，tan 2AH ABC BH∠==， ∵AH =2x ，在Rt ABH 中，222AB AH BH =+，∵222(2)x x =+解得x =5．∵BH = 5．又∵ABC 是等腰三角形，即H 点为BC 中点，∵BC =2BH =10．（2）根据题意可知1122ABC S AH BC BF AC =⨯⨯=⨯⨯，即1010BF ⨯=⨯∵BF=∵CF===，AF AC CF=-==．作//DE BC交AC于点E，∵ADE ABC，得到：DE AEBC AC=，即10DE=．DEF GCF，得到：DE EFCG CF=．又∵EF AF AE AE=-=∵4DE=由104DEDE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3DE=，AE=．∵//DE BC，ABC是等腰三角形，∵ADE也是等腰三角形，∵AD AE==（3）∵90BQE QBE∠+∠=︒，90C QBE∠+∠=︒，∵BQE C∠=∠，又∵BQE DQF ∠=∠，∵C DQF ∠=∠当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，设BE x =，∵tan tan tan tan 2ABC C BQE DQP ∠=∠=∠=∠=, ∵2x QE =，∵2BQ x ===，∵QF BF BQ =-=，∵124QP PF QF x ===， ∵tan 2DQP ∠=,∵5104DQ x ==-， ∵531010424x DE DQ QE x x =+=-+=-， ∵tan 2DE ABC BE ∠==，即31042x x-=， 解得x =4011，经检验是原方程的解，即4011BE =．∵11BD ==．当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，设BE x =， 同理2x QE =，2BQ x =，2QF x =， ∵ tan tan 2OQF BQE ∠=∠=,∵142OQ x ==-， ∵28DQ OQ x ==-， ∵8822x x DE DQ QE x =+=-+=+， 同理∵tan 2DE ABC BE ∠==，即822x x+=， 解得165x =，经检验是原方程的解，165BE =．∵BD == ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论． 14．（2020·上海九年级二模）如图，在O 中，半径O 长为1，弦//BC OA ，射线BO ，射线CA 交于点D ，以点D 为圆心，CD 为半径的D 交BC 延长线于点E ．（1）若85BC =，求O 与D 公共弦的长；（2）当ODA 为等腰三角形时，求BC 的长；（3）设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）4825CM =；（2）BC =（3）22(12)1x x y x x -=<<-． 【分析】（1）设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ，由题意易得OA CG ⊥，CH HG =，进而可证KON KCH ∠=∠，1425OH BC ==，最后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解；（2）当OAD △是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =，则有AOD ADO COA ∠=∠=∠，设AC x =，则有2OC CA CD =⋅，进而求出x ，最后求解即可；（3）作DN CE ⊥于N ，根据题意可证AOC CDE B ∠=∠=∠，进而有BE BD =，则可得BG BC GD CN =，最后进行求解即可．【详解】解：（1）如图1中，设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ，∵BG 是直径，∵90BCG ∠=︒，∵//BC OA ，∵90OHG BCG ︒∠=∠=，∵OA CG ⊥，∵CH HG =，∵CM BD ⊥，∵90ONK CHK ︒∠=∠=，∵OKN CKH ∠=∠，∵KON KCH ∠=∠，∵OG OB =，CH HG =， ∵1425OH BC ==， ∵1OC =，∵35CH HG ===， ∵OGH CGN ∠=∠，GCN GOH ∠=∠，∵GCN GOH ∽△△， ∵CN CG OH OG=， ∵65415CN =， ∵2425CN =， ∵48225CM CN ==．（2）如图2中，当OAD △是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =，∵AOD ADO COA ∠=∠=∠，∵OCA OCD ∠=∠，∵OCA DCO ∽△△，设AC x =，则有2OC CA CD =⋅，∵1(1)x x =+，∵12x -=或12--（舍弃），∵CD CA AD =+ ∵//OA BC ，∵AOD B ODA ∠=∠=∠，∵BC CD ==；（3）如图3中，作DN CE ⊥于N ，∵DC DE =，∵DCE E ∠=∠，∵//BC OA ，∵OAC DCE OCA ∠=∠=∠，∵AOC CDE B ∠=∠=∠，∵E BDE ∠=∠，∵BE BD =，∵CG BE ⊥，DN BE ⊥，∵//CG DN ， ∵BG BC GD CN=， ∵22x y DG =， ∵y DG x=， ∵BD BE =， ∵2y x y x+=+， ∵22(12)1x x y x x -=<<-． 【点睛】本题主要考查圆的综合运用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2020·上海浦东新区·九年级三模）已知：如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB =90°，BC =3，AC =4．D 是边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点E 作EF ⊙AB ，交边BC 于点F ．联结DE 、DF ，设CE =x ．（1）当x =1时，求⊙DEF 的面积；（2）如果点D 关于EF 的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC 上时，求x 的值；（3）以点A 为圆心，AE 长为半径的圆与以点F 为圆心，EF 长为半径的圆相交，另一个交点H 恰好落在线段DE 上，求x 的值．【答案】(1)9;8DEF S ∆=(2)39;16x = (3)64.41x = 【分析】（1）过点E 作EM AB ⊥，由EF∵AB 得EM 为∵DEF 边EF 上的高，通过计算求出EF 、EM 即可求出∵DEF 面积；（2）过点E 作EN AB ⊥，垂足为点N ，设DD '与EF 相交于点Q ，根据对称性知DD EF '⊥，12QD DD '=，分别在Rt∵AD D’和Rt∵AEN 中解直角三角形即可解得x 值； （3）AF 与DE 相交于点G ，在Rt∵CEF 中，用x 表示出AF ，利用EF∵AB 得AG AD FG EF =，用x 表示出AG ，再用两圆相交的性质知AF∵DE ，进而证得AGE ACF ~即AG AE AC AF =，代入数值即可得关于x 的方程，解之即可解得x 值．【详解】解：（1）如图1，过点E 作EM AB ⊥，垂足为点M .在Rt ACB 中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，5AB ∴=，3sin 5A ∠=. 1CE =，4AC =，3AE ∴=.在Rt AME 中，90AME ∠=，3sin 5A ∠=，3AE =，95EM ∴=. //EF AB ，CE EF CA AB ∴=. 又1CE =，54EF ∴=. EF 11599M 22458D S EF E ∴=⋅=⨯⨯=.。
2013年广东省各市中考数学分类解析专题12押轴题
一、选择题1. （2013年广东佛山3分）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是【】A．B．C．D．2. （2013年广东广州3分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6 ，则tan B=【】A B C 1143. （2013年广东茂名3分）如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是【 】A ．15°B ．25°C ．35°D ．45°4. （2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【 】A ．3B ．4C ．5D ．65.（2013年广东深圳3分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是【 】A. 13B. 617C.D.6. （2013年广东省3分）已知k 1＜0＜k 2，则函数1y k x 1=-和2k y x= 的图象大致是【 】 A.B.C. D.7.（2013年广东湛江4分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为【】A. 12B. 14C. 34D.18. （2013年广东珠海3分）如图， ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为【】A ．36°B ．46°C ．27°D ．63°二、填空题1. （2013年广东佛山3分）命题“对顶角相等”的条件是 ▲ ．2. （2013年广东广州3分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P ，则点P 的坐标为 ▲.【答案】（3，2）。
山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题
三角形（多边形）的有关概念▴考点聚焦1．了解三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，•并能按要求进行分类．2．掌握三角形的角平分线、高线、中线的作法，并注意其图形、式子、•文本语言三者之间的相互转化及简单应用．3．了解三角形的稳定性．4．了解三角形的内角和与外角和，掌握三角形内角与外角的关系．5．了解多边形的内角和与外角和．6．掌握三角形三边间的不等关系．7．了解平面图形的镶嵌．8．能用三角形、四边形、正六边形等进行平面镶嵌设计．▴备考兵法1．在运用三角形内、外角和定理、多边形的内、•外角和定理及正多边形的定义与性质解决有关计算或推理问题时，要注意运用方程思想、化归思想等．2．熟练运用不等式（组）的知识和三角形三边的关系，•解决已知三角形的两边的长度，确定第三边上中线的取值范围或求周长；在求第三边上中线的取值范围时，要注意通过旋转把AB ，AC 与AM 转化到一个三角形中来解决．如：△ABC中，•AB=6，AC=4，则BC 边上的中线AM 的取值范围为1<AM<5．3．用多边形（规则图形、不规则图形）进行平面镶嵌时，•要注意满足的条件．4．运用三角形三边的不等关系解决问题时，要分类讨论．▴识记巩固1．三角形是_____________．2．三角形的内角和是______，三角形的外角和是______．3．多边形的内角和是______，多边形的外角和是______．4．三角形三边的关系是__________．5．三角形的分类：（1）按角分：___________________________________________________⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩（2）按边分：___________________________________________⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩6．三角形的中位线性质：____________．7．只用一种正多边形可以铺满地板的有：__________．8．三角形的一个外角等于_____________；三角形的一个外角等于_______________．识记巩固参考答案:1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形2．180•° •360°3．（n-2）．180° 360°4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边5．（1）斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 （2）•不等边三角形 等腰三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形6．•三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半7．正三角形，正方形，正六边形8．•与它不相邻的两个内角的和 与它不相邻的任何一个内角典例解析▴例1 （2011上海，16，4分）如图， 点B 、C 、D 在同一条直线上，CE //AB ，∠ACB ＝90°，如果∠ECD ＝36°，那么∠A ＝_________．ED C BA例2已知a ，b ，c 为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a ，b ，c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．•以上符合条件的正确结论是_______．例2 已知D 是A B 边上的中点，将△ABC 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在BC•边上的点F 处，若∠B=50°，则∠BDF=_______．拓展变式1 如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处,已知∠1+∠2=100°，则∠A 等于_______度．2011年中考真题一、选择题1. （2011福建福州，10，4分）如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 52. （2011山东滨州，5，3分）若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是( )A. 1B. 5C. 7D.9图33. （2011山东菏泽，3，3分）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4. （2011山东济宁，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ）A . 直角三角形B . 锐角三角形[来源:21世纪教育网]C . 钝角三角形D . 等边三角形5. （2011浙江义乌，2，3分）如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是（ ）A ．2cmB ．1.5cmC ．1.2cmD ．1cm6. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的ABC ∆，若在此三角形内找一点O ，使得OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的面积均相等。
2020年中考数学冲刺专题卷专题12 压轴题(解析版)
2020年中考数学冲刺专题卷12 压轴题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接B′C ，作AH ⊥B′C′，垂足为H ，∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1， ∴223AC AH '-=∴3，∵AB′=AC ，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD ，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD ，∵CD+DE=x ，∴B′D+DE=x ，即B′E=x ，∴C′E=B′C′-B′E=23-x ，∴y=12C E AH 'g =12×(23-x)×1=132x -+， 观察只有B 选项的图象符合题意，故选B.2．（2019·四川中考真题）如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．412C ．72D ．4 【答案】C【解析】∵抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4.在直角三角形COB 中BC=2222345+=+=OC OB∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=12BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72. 3．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C【解析】作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，∴BAO A BH ∠=∠'，∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS 'V V ≌，∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6，∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==，∴4OH =，∴()6,4A '，∵BD A D ='，∴()3,5D ，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴15k =．故选：C ．4．（2019·四川中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，90ADC ∠=o ，5AB =，3CD AD ==，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若32BG =，45FEG ∠=o ，则HK =( )A ．223B ．526C ．322D ．1326【答案】B【解析】∵90ADC ∠=o ，3CD AD ==，∴32AC =∵5AB =，32BG =，∴72AG =， ∵AB DC P ，∴CEK AGK ∆∆:，∴CE CK EK AG AK KG ==， ∴172CK EK AK KG ==，∴27CK EK AK KG ==， ∵32CK AK +=，∴22CK =， 过E 作EM AB ⊥于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴3EM AD ==，2AM DE ==，∴32MG =， ∴2235EG EM MG =+=， ∵27EK KG =，∴53EK =， ∵45HEK KCE ∠=∠=o ，EHK CHE ∠=∠，∴HEK HCE ∆∆:，∴55HE EC HK EK ===，∴设3HE x =，5HK x =，∵HEK HCE ∆∆:，∴EH HK HC EH=， ∴532253x x x =+，解得：106x =，∴526HK =， 故选：B ．5．（2019·辽宁中考真题）如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BC CG =﹣1；④HOM HOG S S V V ＝2﹣2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】A【解析】如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，∴∠BEC+∠HDE ＝90°，∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ，故②正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO ∥BG ，∴△DHN ∽△DGC ，DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH ，∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ， 设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HOb ，∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，∴OH ∥EF ，∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===， ∴EMOM ，∴1OM OE ===，∴1HOM HOES S ∆∆= ∵EO ＝GO ，∴S △HOE ＝S △HOG ，∴1HOM HOGS S ∆∆= 故④错误，故选：A ．6．（2019·湖北中考真题）抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【解析】 ∵对称轴在y 轴左侧，图象与y 轴交于y 轴正半轴，∴ab>0，c>0，故①错误，∵图象过点（1，0），对称轴为x=-1，∴图象与x 轴的另一个交点为（-3，0），∵抛物线的开口向下， ∴a<0，∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确，∵对称轴x=2b a -=-1， ∴b=2a ，∵x=1时，a+b+c=0，∴3a+c=0，∴8a+c=5a<0，故③错误，∵3a+c=0，∴c=-3a ，∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c ，故④正确， ax 2+bx+c=2x+2，整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、，∴x 1+x 2+x 1⋅x 2=2b a --+2c a -=22(3)2a a a-++--=-5，故⑤正确，综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.故选C.7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD=1，BC=2，CD=3，则CE与DE的数量关系正确的是A．CE=3DE B．CE=2DEC．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B【解析】过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，根据勾股定理可得DH=AB=2222DC CH-=，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，又∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴Rt△ADE∽Rt△BEC，∴AD AE DE BE BC CE==，设BE=x，则AE22x=-，即122xx-=，解得x=2，∴2DECE=，即CE=2DE，故选B．8．（2019·山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN，②当AE＝AF时，BEEC＝22，③BE+DF＝EF，④存在点E、F，使得NF＞DF，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】①如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AM MN BM EM，∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN，故①正确；②在△ABE和△ADF中，∵AB ADABE ADF90AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC＝12EF＝22x，△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC2＝AO+OC，∴1+22x2，x＝22，∴BEEC＝1(22)22---＝(21)(22)-+＝2；故②不正确；③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三点共线，在△AEF和△AEH中，AE AEFAE HAEAF AH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故③正确；④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，∠FDN＝45°，∴DF＞FN，故存在点E、F，使得NF＞DF，故④不正确；故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．若数a使关于x 的不等式组2122224x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2a y +- 22y-=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是__________． 【答案】-2【解析】解不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，可得342x a x ≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴-1≤42a +-<0，∴-4<a ≤-2，解分式方程222a y y +--=2，可得y =22a +， 又∵分式方程有非负数解，∴y ≥0，且y ≠2，即22a +≥0，22a +≠2，解得a ≥-2且a ≠2，∴-2≤a ≤3，且a ≠2， ∴满足条件的整数a 的值为-2，故答案为：-2．10．（2019·江苏中考真题）如图，过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线0k y x x=>（）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为________．【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ，则∠M=∠ANB=90°，把C(3,4)代入2y x b =+，得4=6+b ，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABN=90°，∵∠ANB=90°，∴∠BAN+∠ABN=90°，∴∠CBM=∠BAN ，又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC ，∴△ABN ≌△BCM ，∴AN=BM ，BN=CM ，∵C(3，4)，∴设AN=m ，CM=n ，则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩， ∴ON=3+1=4，BN=1，∴B(4，1)，∵曲线0k y x x =>（）过点B ，∴k=4，∴4y x=， ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A 移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4，故答案为：4.11．（2019·四川中考真题）如图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为______．【答案】4【解析】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上，∴12OCE S k ∆=，12OAD S k ∆=， 过点M 作MG y ⊥轴于点G ，作MN x ⊥轴于点N ，∴四边形ONMG 是矩形，∴ONMG S k =矩形，∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形，∵函数图象在第一象限，∴0k >，∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=， 解得：4k =．故答案为：412．（2019·辽宁中考真题）如图，直线113y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，过点A 作AB AM ⊥，交x 轴于点B ，以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1，延长A 1C 交x 轴于点B 1，以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA 1，A 1B 1C 1A 2，…，111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1，S 2，…，S n ，则S n 可表示为_____．【答案】42223n n -． 【解析】在直线113y x =+中，当0x =时，1y =；当0y =时，3x =-； ∴1OA =，3OM =，∴1tan 3AMO ∠=， ∵90OAB OAM ︒∠+∠=，90AMO OAM ︒∠+∠=，∴OAB AMO ∠=∠， ∴1tan 3OB OAB OA ∠==，∴13OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：12133-=， ∴212439S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，同理：111tan tan 3B C CBB OAB BC ∠==∠=， ∴11111333B C BC AC AB ===， ∴1143A B AB =， ∴221141639S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 同理可得2321161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3431161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，…，11116164999n n n S S --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142442422222222222233333n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：42223n n -． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-，415(114,)4N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，∴BM 1=N 1D=4，∴OM 1=OB+BM 1=8，∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.14．（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=3，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BC∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠F=∠PCB ，∴∠PBC=∠PCB ，∴PC=PB ；（2）如图2，连接OD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB ，∴BG ∥DC ， ∵BC ∥DE ，∴四边形DHBC 是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt △ABC 中，3tan ∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°，∴BC=12AC=OD ， ∴DH=OD ，在等腰△DOH 中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE 交AC 于N ，∵BC ∥DE ，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°，∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°，∵OA=OD ，∴∠OAD=12∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC ∥DE ，∴∠BDE=∠CBD=20°．15．（2019·广西中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点,A B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ∆∆≌；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交,AD BF 于点,M N ，求MN NH的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54MN NH =. 【解析】（1）证明：∵BF CE ⊥，∴90CGB ∠=︒，∴90GCB CBG ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90,CBE A BC AB ∠=︒=∠=，∴90FBA CBG ∠+∠=︒，∴GCB FBA ∠=∠，∴()ABF BCE ASA ∆∆≌；（2）证明：如图2，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，设2AB CD BC a ===，∵点E 是AB 的中点， ∴12EA EB AB a ===， ∴5CE a =，在Rt CEB ∆中，根据面积相等，得BG CE CB EB ⋅=⋅， ∴25BG =， ∴2255CG CB BG a =-=， ∵90,90DCE BCE CBF BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴DCE CBF ∠=∠，∵,90CD BC CQD CGB =∠=∠=︒，∴()CQD BGC AAS ∆∆≌，∴25CQ BG ==， ∴55GQ CG CQ a CQ =-==， ∵,90DQ DQ CQD GQD =∠=∠=︒，∴()DGQ DCQ SAS ∆∆≌，∴CD GD =；（3）解：如图3，过点D 作DQ CE ⊥于Q ，1122CDG S CG DQ CH DG ∆=⋅=⋅， ∴85CG DQ CH a DG ⋅==， 在Rt CHD ∆中，2CD a = ，∴2265DH CD CH a =-=， ∵90,90MDH HDC HCD HDC ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴MDH HCD ∠=∠，∴CHD DHM ∆∆∽，∴34DH HM H DH C ==， ∴910HM a =， 在Rt CHG ∆中，458,5CG CH a ==， ∴2245GH CG CH a =-=， ∵90,90NGH CGH HCG CGH ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴NGH HCG ∠=∠，∴NGH GCH ∆∆∽，∴HN HG HG CH=， ∴225HG HN a CH ==， ∴12MN HM HN a =-=，∴152245a MNNH a==。
山东省17市2011年中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题
山东17市2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题解答题1. （日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22k-=-，∴k ＝4。
∴双曲线的解析式为：4y x=。
设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴mn＝4，即m ＝4n 。
∴n 2＝1，∴n＝±1。
∵A 点在第一象限，∴n＝1，m ＝4。
∴A 点的坐标为（1，4）。
把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得，a ＝1，b ＝3。
∴抛物线的解析式为：23y x x =+。
（2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，代入23y x x =+得方程，2340x x +-=，解得x 1＝－4，x 2＝1（舍去）。
∴C 点的坐标为（－4，4），且AC ＝5。
又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝12³5³6＝15。
（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。
理由如下：过点C 作CD∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△ABC 的面积（同底：AB ，等高：CD 和AB 的距离）。
∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD∥AB， ∴可设直线CD 解析式为2y x p =+， 把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。
中考数学复习重难点与压轴题专题12 新定义型几何图形综合问题(重点突围)(原卷版)
专题12 新定义型几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一 与三角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 1 【考向二 与四角形有关的新定义型问题】..................................................................................................... 5 【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】 ................................................................................................. 8 【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】 .. (10)【直击中考】【考向一 与三角形有关的新定义型问题】例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．例如：如图1，AD 把△ABC 分成△ABD 和△ADC ，若△ABD 是等腰三角形，且△ADC ∽△BAC ，那么AD 就是△ABC 的“华丽分割线”． 【定义感知】(1)如图1，在ABC 中，40B ∠=︒，110BAC ∠=︒，AB=BD ．求证：AD 是ABC 的“华丽分割线”． 【问题解决】(2)①如图2，在ABC 中，46B ∠=︒，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是等腰三角形，则C ∠的度数是________；②如图3，在ABC 中，AB =2，AC =3，AD 是ABC 的“华丽分割线”，且ABD △是以AD 为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD 的长．【变式训练】1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图，在ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：(1)sad60︒=___________，sad90︒=___________；(2)如图，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sad A 的值．2．（2022春·福建龙岩·九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然90αβ+<︒，则这个三角形的第三个角为()18090αβ︒-+>︒，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．(1)【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100︒，请求出它的两个锐角的度数； (2)【尝试运用】:如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，8BC =，点D 在边BC 上，连接AD ，且AD 不平分BAC ∠．若ABD △是“亚直角三角形”，求线段AD 的长；(3)【素养提升】:如图2，在钝角ABC 中，90ABC ∠>︒，5AB =，35BC =，ABC 的面积为15，求证：ABC 是“亚直角三角形”．3．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为90︒，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． (1)已知△ABC 是“准直角三角形”，且90C ∠>︒． ①若60A ∠=︒，则B ∠=______︒； ②若40A ∠=︒，则B ∠=______︒； 【巩固新知】(2)如图①，在Rt ABC △中，9062ACB AB BC ∠=︒==，，，点D 在AC 边上，若ABD △是“准直角三角形”，求CD 的长；【解决问题】(3)如图②，在四边形ABCD 中，58CD CB ABD BCD AB BD =∠=∠==，，，，且ABC 是“准直角三角形”，求BCD △的面积．4．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在ABC 和A B C '''中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C '''是等高三角形．【性质探究】 如图①，用ABCS ，A B C S'''分别表示ABC 和A B C '''的面积．则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△， ∽AD A D ''=∽::ABC A B C S S BC B C ''=''△△． 【性质应用】(1)如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；(2)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABC S =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；(3)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABCS a =，则CDE S =△__________．【考向二 与四角形有关的新定义型问题】例题：（2022·陕西西安·校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)问题发现：如图1，筝形ABCD 中，AD CD =，AB CB =，若12AC BD +=，求筝形ABCD 的面积的最大值；(2)问题解决：如图2是一块矩形铁片ABCD ，其中60AB =厘米，90BC厘米，李优想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH ，要求点E 是AB 边的中点，点F 、G 、H 分别在BC 、CD 、AD 上（含端点），是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余四边形．(1)问题1．利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（ ）①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形．(2)如图①，在对角互余四边形ABCD 中，30D ∠=︒，且AC BC ⊥，AC AD ⊥．若1BC =，求四边形ABCD 的面积和周长．(3)问题2．如图②，在对角互余四边形ABCD 中，AB BC =，13BD =，90ABC ADC ∠+∠=︒，8AD =，6CD =，求四边形ABCD 的面积和周长．(4)问题3．如图③，在对角互余四边形ABCD 中，2BC AB =，3sin 5ABC ∠=，90ABC ADC ∠+∠=︒，10BD =，求ACD 面积的最大值．2．（2023春·江西抚州·九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．【问题探究】(1)如图①，已知矩形ABCD 是“等邻边四边形”，则矩形ABCD ___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如图②，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，动点M 、N 分别在AD 、CD 上（不含端点），若60MBN ∠=︒，试判断四边形BMDN 是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN 的周长的最小值为___________； 【尝试应用】(3)现有一个平行四边形材料ABCD ，如图③，在ABCD 中，17AB =，6BC =，tan 4B =，点E 在BC 上，且4BE =，在ABCD 边AD 上有一点P ，使四边形ABEP 为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．3．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，B C ∠=∠，则四边形ABCD 为“等邻角四边形”．(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形． (2)深入探究：①已知四边形ABCD 为“等邻角四边形”，且120100A B ∠=︒∠=︒，，则D ∠=________．②如图②，在五边形ABCDE 中， DE BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，求证：四边形ABDE 为等邻角四边形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD 中，B C ∠=∠，点P 为边BC 上的一动点，过点P 作PM AB PN CD ⊥⊥，，垂足分别为M ，N ．在点P 的运动过程中，PM PN +的值是否会发生变化？请说明理由．【考向三 三角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022·江西上饶·统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是60︒，那么称该三角形为“特异角平分三角形”，这条角平分线称为“特异角平分线”．(1)如图1，ABC 是一个“特异角平分三角形”，AD 是一条“特异角平分线” ①当90C ∠=︒时，试求:AD BD 的值．②在ABC 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长至点H ，HE DE =，若:3:3DE AE =，证明：AHE ADC ≌． (2)如图2．BD 是O 的直径，AC 是O 的切线，点C 为切点，AB AC ⊥于点A 且交O 于点H ，连接DH 交BC 于点E ，4BD =，3AB =．试证明DBH △是一个“特异角平分三角形”．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．(1)如图1，∽E 是ABC 中∽A 的“好角”，若A α∠=，则E ∠=______；（用含α的代数式表示）(2)如图2，四边形ABCD 内接于O ，点D 是优弧ACB 的中点，直径BF ⊥弦AC ，BF 、CD 的延长线于点G ，延长BC 到点E ．求证：∽BGC 是ABC 中∽BAC 的“好角”．(3)如图3，ABC 内接于O ，∽BGC 是ABC 中∽A 的“好角”，BG 过圆心O 交O 于点F ，O 的直径为8，45A ∠=︒，求FG ．2．（2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：3的三角形叫敬“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，∽ABC 是∽O 的内接三角形，AC 为直径，D 为AB 上一点，且2BD AD =，作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交∽O 于点E ，连接BE 交AC 于点G ．试判断∽AED 和∽ABE 是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，当AF ：FG ＝2：3时，求BED ∠的余弦值．【考向四 四角形与圆综合的新定义型问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）定义：有一个角为45°的平行四边形称为半矩形．(1)如图1，若∽ABCD 的一组邻边AB ＝4，AD ＝7，且它的面积为142．求证：∽ABCD 为半矩形． (2)如图2，半矩形ABCD 中，∽ABD 的外心O （外心O 在∽ABD 内）到AB 的距离为1，∽O 的半径＝5，求AD 的长．(3)如图3，半矩形ABCD 中，∽A ＝45° ①求证：CD 是∽ABD 外接圆的切线； ②求出图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．(1)如图1，在“对角互余四边形” ABCD 中， 6.5AD CD BD ==，，9043ABC ADC AB CB ∠+∠=︒==，，，求四边形ABCD 的面积．(2)如图2，在四边形ABCD 中，连接AC ，90BAC ∠=︒，点O 是ACD 外接圆的圆心，连接OA ，OAC ABC ∠∠=．求证：四边形ABCD 是“对角互余四边形”；(3)在（2）的条件下，如图3，已知3AD a DC b AB AC ===，，，连接BD ，求2BD 的值．（结果用带有a ，b 的代数式表示）2．（2022·江苏淮安·统考一模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；(2)如图1，在等腰Rt ∽ABC 中，∽BAC =90°，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接DE ，若四边形ABED 为圆美四边形，则AB DE的值是 (3)如图2，在∽ABC 中，经过点A 、B 的∽O 交AC 边于点D ，交BC 于点E ，连接AE 、BD 交于点F ，若在四边形ABED 的内部存在一点P ，使得∽PBC =∽ADP =α，连接PE 交BD 于点G ，连接P A ，若P A ∽PD ，PB ∽PE ． ①试说明：四边形ABED 为圆美四边形；②若2tan 3α=，8PA PE +=，33CD BC =，求DE 的最小值．。
广西各市2012年中考数学分类解析 专题12：押轴题
广西各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题一、选择题1. （2012广西北海3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：【 】A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周【答案】C 。
【考点】等边三角形的性质，直线与圆的位置关系。
【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数：⊙O 在三边运动时自转周数：6π÷2π =3：⊙O 绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周。
∴⊙O 自转了3+1=4周。
故选C 。
2. （2012广西贵港3分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长DE 到H 使DE ＝BM ，连接AM 、AH 。
则以下四个结论：①△BDF ≌△DCE ；②∠BMD ＝120°；③△AMH 是等边三角形；④S 四边形ABMD＝34AM 2。
其中正确结论的个数是【 】A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 。
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行的性质。
【分析】在菱形ABCD 中，∵AB ＝BD ，∴AB ＝BD ＝AD 。
∴△ABD 是等边三角形。
∴根据菱形的性质可得∠BDF ＝∠C ＝60°。
∵BE ＝CF ，∴BC －BE ＝CD －CF ，即CE ＝DF 。
在△BDF 和△DCE 中，CE ＝DF ；∠BDF ＝∠C ＝60°；BD ＝CD ， ∴△BDF ≌△DCE （SAS ）。
故结论①正确。
∴∠DBF ＝∠EDC 。
∵∠DMF ＝∠DBF ＋∠BDE ＝∠EDC ＋∠BDE ＝∠BDC ＝60°， ∴∠BMD ＝180°－∠DMF ＝180°－60°＝120°，故结论②正确。
2013年浙江省各市中考数学分类解析专题12押轴题
浙江省各市2013年中考数学分类解析 专题12 押轴题一、选择题1. （2013年浙江杭州3分）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和y=1x①如果21>a>a a，那么0＜a ＜1；②如果21a >a>a ，那么a ＞1；③如果21>a >a a，那么－1＜a ＜0；④如果21a >>a a时，那么a ＜－1．则【 】A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③如果21>a >a a，那么a 值不存在，命题③错误；如果21a >>a a时，那么a ＜－1，命题④正确。
综上所述，正确的命题是①④。
故选A 。
2. ．（2013年浙江舟山3分）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点【 】 A ．在同一条直线上 B ．在同一条抛物线上 C ．在同一反比例函数图象上 D ．是同一个正方形的四个顶点3. （2013年浙江金华、丽水3分）如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=900，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止。
过点P 作PD⊥AB，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示。
当点P 运动5秒时，PD 的长是【 】A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm4. （2013年浙江宁波3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【】A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a=4b5. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是【】A．16 B．15 C．14 D．13【答案】C。
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文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】试题 【中考12年】浙江省台州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专
题12 押轴题 一、选择题 1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）【 】 A．115° B．160° C．57° D．29° 2. （2002年浙江台州4分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少；本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业的收人每年比上年增加，设4年内（本年度为第一年）的总投入为M万元，总收入为N万元，则有【 】 （A）M=N (B)M＞N (C)M＜N （D）无法确定 3. （2003年浙江台州4分）如图，四个半径均为R的等圆彼此相切，则图中阴影部分（形似水壶）图形 的面积为【 】 A、 B、 C、 D、 4. （2004年浙江温州、台州4分）甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛，每人轮流跳一次称为一轮， 每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分(没有并列名次)，他们一共进行了五轮比赛，结果甲共得14 分；乙第一轮得3分，第二轮得1分，且总分最低。那么丙得到的分数是【 】 (A) 8分 (B) 9分 (C) 10分 (D)11分 5. （2005年浙江台州4分）如图，PA 、PB是⊙O的切线，A、 B 为切点，OP交AB于点D，交⊙O 于点C , 在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线 段是【 】 （A）AB、CD （B）PA、PC （C）PA、AB （D）PA、PB 6. （2006年浙江台州4分）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，若点P是⊙O外一点（如图），则点P与⊙O的距离应定义为【 】 （A）线段PO的长度 （B）线段PA的长度 （C）线段PB的长度 （D）线段PC的长度 7. （2007年浙江台州4分）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为，小迪在B处测量时，测角器中的（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的，那么小山的高度CD约为【 】（注：数据，供计算时选用） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8. （2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【 】 A．对应点连线与对称轴垂直 B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平行 9. （2009年浙江台州4分）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对
称式，如就是完全对称式.下列三个代数式：①；②；③．其 中是完全对称式的是【 】 A．①② B．①③ C． ②③ D．①②③ 10. （2010年浙江台州4分）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的 顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为－3，则点D 的横坐标最大值为【 】 A．－3 B．．5 D．8 11. （2011年浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动 点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】 A． B． C．3 D．2 12. （2012年浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】 A． 1 B． C． 2 D．＋1 二、填空题 1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水4分）如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长约为，则大树的长约为 ▲ m（保留两个有效数字，下列数据供选用： ）． 2. （2002年浙江台州5分）已知m为方程的根，那么对于一次函数y＝mx＋m：①图象一定经过一、二、三象限；②图象一定经过二、三、四象限；③图象一定经过二、三象限；④图象一定经过点（－l，0）；⑤y一定随着x的增大而增大；⑤y一定随着x的增大而减小。以上六个判断中，正确结论的序号是 ▲ （多填、少填均不得分) 3. 2003年浙江台州5分）有一个附有进水管和出水管的容器，在单位时间内的进水量和出水量分别一 定。设从某时刻开始的5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到容器内水量（升） 与时间（分）之间的函数图象如下图。若20分钟后只放水不进水，这时（≥20时）与之间的函数 关系式是 ▲ （请注明自变量的取值范围） 4. （2004年浙江温州、台州5分）已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然 后不滑动地转动，当它转动一周时(A→A′)，顶点A所经过的路线长等于 ▲ 。 5. （2005年浙江台州5分）在计算器上按照下面的程序进行操作： 下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果： x －2 －1 0 1 2 3
y －－1 4 7 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5 2 0 上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是 ▲ . 6. （2006年浙江台州5分）小敏中午放学回家自己煮面条吃．有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．小敏要将面条煮好，最少用 ▲ 分钟． 7. （2007年浙江台州5分）（1）善于思考的小迪发现：半径为，圆心在原点的圆（如图1），如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到原来的倍，就得到一种新的图形椭圆（如图2），她受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法．正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为 ▲ ． （2）（本小题为选做题，做对另加3分，但全卷满分不超过150分）小迪把图2的椭圆绕x
轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球．已知半径为a的球的体积为34πa3，则此椭球的体积为 ▲ ．
8. （2008年浙江台州5分）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于E），设AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ▲ ．
9. （2009年浙江台州5分）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n ▲ ；②第i行第j列的数为 ▲ （用i，j表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 … 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 第2行 … 第3行 … … … … … … … 10. （2010年浙江台州5分）如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑 动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 (结果保留π) ▲ ．
11. （2011年浙江台州5分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB＝20，分别以CM、 DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为 ▲ (结果保留)．
12. （2012年浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，… 你规定的新运算a⊕b= ▲ （用a，b的一个代数式表示）． 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 三、解答题 1. （2001年浙江舟山、嘉兴、台州、丽水10分）已知方程a2xax1x的两个实
数根为x1，x2，设12Sxx． （1）当a=－2时，求S的值； （2）当a取什么整数时，S的值为1； （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．