高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案
1
高等数学（B2）期末模拟试卷（一）
题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分
1 2 3 4
得分
一、选择题（本大题共10小题，每题3，共30）:
1. )1ln(412222yxyxz，其定义域为----------------------------------（A）.
A 41),(22yxyx B 41),(22yxyx
C 41),(22yxyx D 41),(22yxyx.
2. 设yxz，则dz--------------------------------------------------------------------------（D）.
A dyyxxdxxyy1ln B dyxdxyxyy1
C xdyxxdxyxyylnln1 D xdyxdxyxyyln1.
3. 由椭圆1162522yx绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）.
A 5202ydx B 5204ydx C 4202xdy D 4204xdy.
4. 设)3,2,1(a，)4,3,2(b，)2,1,1(c，则.)(cba为--------------------（A）.
A 5 B 1 C 1 D 5.
5. 设05432:zyx，41321:zyxL，则与直L的关系为---（ A）.
A L与垂直 B L与斜交 C L与平行 D L落于内.
6. 若4,2),(yxyxD，40,20),(1yxyxD,)(22yxf为D上
的连续函数，则dyxfD)(22可化为----------------------------------------------------（C）.
A dyxfD)(122 B dyxfD)(2122
C dyxfD)(4122 D dyxfD)(8122.
7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C）.
2
A xecxy B xecyxc21
C xcecyx21 D )(21xexccy.
8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D）.
A 1)1(nn B 11001nn C 1100nnn D 1100100nn.
9. 若Dd4，其中axyaxD0,0:，则正数a---------------------（ B）.
A 322 B 2 C 342 D 232.
10. 若幂级数1)1(nnnxa在3x处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B）.
A 1 B 2 C 3 D 4.
二、计算题（本大题共4小题，每题7，共28）:
1. 设),(vufz具有二阶连续偏导数，若)cos,(sinyxfz，求.,2yxzxz
解： ,cos1xfxz yxz2.cossin)sin(cos)(1212xfyyxfxzy
2. 设)sin(22yxz，求Dzdxdy. D:22224yx.
解：Dzdxdy=)4cos(cos22
3. 设曲线xey2， )1ln(xy与直线1x及y轴所围成的区域为D，求D的面积.
解D的面积=2ln2)1(212e.
4. 解微分方程.2xexydxdyx
解：xxeyxdxdy1
xxexQxxP
)(,1)(
xdxxPln)(
， xxxdxxPedxexedxexQln)()(
故通解为)(Cexyx
三、计算题（本题9）
设202sinyydxxxdyI，（1）改变积分次序；
3
（2）计算I的值.
解：202sinyydxxxdyI
21)2(sinsin2022022dxxxxxdyxx
dx
x
x
四、证明题（本题8）
求证：曲面azyx上任何点处的切平面在各坐标
轴上的截距之和等于a.
解：设切点为（000,,zyx）且设),,(zyxFazyx，
则切平面方程为：)(2100xxx)(2100yyy0)(2100zzz
令0zy可得：切平面在x轴上的截距为
axzxyxx000000
同理可得：切平面在zy,轴上的截距分别为,,00azay
因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于aazayax000。
五、计算题（本题8）
求11(1)nnnxn的收敛域及和函数.
解：解：xxnxnnnnnn11)1(111)1(1)1()1(lim
故12)1(121nxnnn的收敛半径为1
易知当1x时，1)1(11nxnnn收敛；当1x时，1)1(11nxnnn发散
因此1)1(11nxnnn在]1,1(收敛。
六、计算题（本题8）
设)(xfy是第一象限内连接A)1,0(，B)0,1(的一段连续曲线，
),(yxM
为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形OCMA
4
的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163x，求)(xf的表达式.
解：13316)1(2xxydxyx
11122)1(2122Cxxyxxyxyxyyxy
由20)1(Cy，故 2)1()(xxf
七、应用题（本题9）
设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两种要素的
投入量,产出量为 3223112xxQ, 若两种要素的价格之比为 421pp,试问: 当产出量
12Q
时, 两种要素的投入量21 , xx各为多少，可以使得投入总费用最小？
解:．该题为求费用函数 221121),(xpxpxxC 在条件122322311xx下的最小值问题.
为此作拉格朗日函数 )212(),,(3223112211xxxpxpxxL
令1220340323223113123112322321121xxxxpLxxpLxx122832231112xxxx
24321x
x
，即两种要素各投入3,24可使得投入总费用最小.
大一高数b期末考试试题及答案
大一高数b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^2 - 1 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：D2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的导数？A. \( y' = e^x \)B. \( y' = x \cdot e^x \)C. \( y' = \ln(e^x) \)D. \( y' = \frac{1}{e^x} \)答案：A4. 求不定积分 \( \int x^2 dx \) 的结果。
A. \( \frac{x^3}{3} + C \)B. \( x^3 + C \)C. \( \frac{x^3}{3} \)D. \( 3x^2 + C \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 的导数是 \( f'(x) =_______ \)。
答案：\( 6x - 2 \)2. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (2x + 1) dx \) 的值。
答案：\( \frac{5}{2} \)3. 求函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率。
答案：04. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, 2\pi] \) 上的最大值是_______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
高等数学b期末考试试题及答案
高等数学b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数y=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. x^2-3答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 定积分∫(0到1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. ln(x) + CD. x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。
答案：x=1, x=22. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。
答案：1/x3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程是______。
答案：y=2x-14. 定积分∫(0到2)x^2dx的值是______。
答案：4/3三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
计算f(0)=2，f(2)=-2，f(1)=0。
因此，在区间[0,2]上，函数的最大值为2，最小值为-2。
2. 求极限lim(x→∞)(1/x^2)。
答案：lim(x→∞)(1/x^2)=0。
3. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数y=x^3-6x^2+11x-6的导数为y'=3x^2-12x+11。
令y'>0，解得x>3或x<11/3；令y'<0，解得11/3<x<3。
大一高数b期末考试题及答案
大一高数b期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. 3x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (x^2 + sinx)/x 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个积分是发散的？A. ∫(1/x)dx 从1到+∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到+∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到+∞D. ∫(1/x^4)dx 从1到+∞答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C6. 以下哪个函数的不定积分是e^x？A. e^xB. -e^xC. e^(-x)D. -e^(-x)答案：A7. 以下哪个函数的二阶导数为0？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sinxD. f(x) = cosx答案：D8. 以下哪个函数的原函数是ln|x|？A. 1/xB. -1/xC. xD. -x答案：A9. 以下哪个函数的不定积分是ln|x|？A. 1/xB. -1/xC. xD. -x答案：A10. 以下哪个函数的不定积分是arcsin(x)？A. 1/√(1-x^2)B. -1/√(1-x^2)C. x/√(1-x^2)D. -x/√(1-x^2)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=f(x)=x^3+2x^2+3x的导数为_________。
答案：3x^2+4x+312. 极限lim(x→0) (1+x)^(1/x) 的值为_________。
高数B下册期末考试题及答案
高数B下册期末考试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数为： A. 2x+2 B. 2x+1 C. x^2+2 D. x^2+2x
答案：A 2. 极限lim(x→0) (1-cosx)/x的值为： A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
答案：B 3. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点为： A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2
答案：A 4. 曲线y=x^2+2x+1的拐点为： A. (-1,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0)
答案：A 5. 函数f(x)=e^x的不定积分为： A. e^x+C B. e^x-C C. e^x/x+C D. ln(e^x)+C
答案：A 6. 函数f(x)=x^2+3x+2的不定积分为： A. x^3/3+3x^2/2+2x+C B. x^3/3+3x^2/2+2x^2+C C. x^3/3+3x^2/2+2x+2x+C D. x^3/3+3x^2/2+2x^2+2x+C
答案：A 7. 函数f(x)=x^2+2x+1的定积分从0到1的值为： A. 1/3 B. 2/3 C. 1 D. 4/3 答案：D 8. 函数f(x)=x^3-3x+2的定积分从-1到1的值为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
答案：A 9. 函数f(x)=e^x的二阶导数为： A. e^x B. e^x-1 C. e^x+1 D. e^x/x
答案：A 10. 函数f(x)=x^3-3x+2的二阶导数为： A. 3x^2-6 B. 3x^2+6 C. 3x^2-3 D. 3x^2+3
答案：A 二、填空题（每题3分，共30分） 1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数为f'(x)=________。 答案：2x+2
2. 极限lim(x→0) (1-cosx)/x的值为________。 答案：1
高等数学B(二)期末模拟试题参考答案上课讲义
一、选择题（每小题3分共15分）1. 设a>0, 则dx a x ⎰= ( ).(A) x 2a +c ； (B) a a xln +c ； (C) a ln a x +c ； (D) a ln a x 2+c.2. F(x)= dt te 1x t⎰--, 则 F'(x)= ( ).(A) xe -x ； (B) -xe -x ； (C) -xe x ； (D) xe -x -1.3. ⎰10xdx ( ) ⎰102dx x .(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.4. 级数∑∞=+-1n n1n n )1( () .(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.5. 二元函数y ln 1x z +-=的定义域为 ( ).(A) x>1； (B) x ≥1；(C) x ≥1,y>0； (D) x>1, y ≥0.1 (B)；2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则dx )x (f ⎰=F(x). ( ).2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得⎰badx )x (f =f(ξ)(b-a). ( ).3. 如果正项级数∑∞=0n n a 收敛, 那么∑∞=1n nna 也收敛. ( ).4. 级数∑∞=13sin 2n n n π收敛. ( ).5. 如果z=f(x,y)在区域D 有二阶导数, 那么y x )y ,x (f ∂∂∂=x y )y ,x (f ∂∂∂在D 成立. (). 6.如果z=f(x,y)在区域D 可导P 0∈D, 在P 0处x f ∂∂=y f∂∂=0, 那么z 在P 0达到极大值.( ).7. ⎰π-02xdx sin <⎰π20xdx sin . ( ). 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√).三、填空题（每小题3分共18分）1.dx )x 31(2⎰-= x-x 3+c . 2. dx x x ⎰--1123)3(= -2 .3. 0x lim →x tdtcos x02⎰ = 1 .4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2)x 1(1-.5. 级数∑∞=-1n n)n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设22y x z =, 则y z ∂∂= y x 22.四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题）1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7538642x x x x 的和函数.解： ∵ (x)...x x 1n 242+++++=2x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 242+++++='x 112⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨⎧>≤+=1x x 21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f 解：∵ 12c x x 21dx )1x (++=+⎰,x ≤1; 22c x xdx 2+=⎰, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 21dx )x (f 22, 其中c 为某常数. 3. 求幂级数1n 1n nx 2n 1-∞=∑的收敛半径，并求和函数解：收敛半径R=n )1n (n 2n 2)1n (lim +∞→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时 (xS(x))'=1n 1n n x 21-∞=∑ =1n 1n )2x (21-∞=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2/x 1121x0⎰-= -)2x 1ln(-, 故 S(x)=)2x 1ln(x 1--. 总之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈≠--=0x 21)2,2[x 0x )2x 1ln(x 1)x (S 且4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。
高数b期末考试试题
高数b期末考试试题# 高数B期末考试试题## 一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值为：- A. 0- B. -1- C. 1- D. 22. 以下哪个选项不是微分方程的基本解？- A. \( y = e^x \)- B. \( y = \ln x \)- C. \( y = x^2 \)- D. \( y = \sin x \)3. 函数\( g(x) = \sin x + \cos x \)的导数是：- A. \( \cos x - \sin x \)- B. \( \sin x + \cos x \)- C. \( -\sin x - \cos x \)- D. \( -\sin x + \cos x \)4. 曲线\( y = x^3 - 6x^2 + 9x \)在点\( x = 2 \)处的切线斜率是： - A. 0- B. 3- C. 6- D. 95. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \)的值为：- A. 0- B. 1- C. 2- D. \( \frac{1}{2} \)## 二、填空题（每题3分，共15分）6. 若\( \int_0^1 x^2 dx \)的值为\( \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x dx \)的值为______。
7. 函数\( h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 6 \)的二阶导数为______。
8. 若\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x - 1 \)，则\( \frac{d^2y}{dx^2} \)的值为______。
9. 利用定积分的性质，\( \int_1^2 (x^2 + 1) dx \)等于______。
2023高数II期末模拟卷及参考答案
高数II 期末模拟卷课程名称：高等数学AII课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
3、答案写在答题卷上。
一、单项选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A．2πB．4πC．3πD．6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点（0，0）处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域，I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰，I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B．12I I =C．12I I <D．不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ，交换积分次序，得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分，则Sz dS =⎰⎰()学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题A.23πB．223D．π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题（每小题3分，共21分）1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤，22()Df xy dxdy +⎰⎰，其极坐标形式为.6.设Ω：222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题（每小题3分，共21分）DABA BBA二、填空题（每小题3分，共21分）1.12x x y C e C xe =+；2.225y z x +=；3.1e -；4.12113x y z --==；5.212()d f r rdr πθ⎰⎰；6.43π；7.(-2,2).三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解：先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分）常数变易法，将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+（4分）将01x y==代入通解得1C =，（5分）故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.（6分）2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解：直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1)，（2分）由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-，所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--（5分）即所求平面方程为3410x y z --+=.（6分）四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解：222x y z x y x +∂=+∂，222x y z yxx +∂=+∂（4分）所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++（5分）()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=（6分）2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解：设2(,,)z F x y z xz y e =-+（1分）则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-，(,,)zz F x y z x e =+（2分）,x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+（4分）()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=（6分）3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解：2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点为（0，0），（2，2）（3分）又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-（4分）对于点（0，0），A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0，所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2)，A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.（6分）五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解：X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤，（2分）220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰（3分）2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰（6分）2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解：积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩（2分）极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤（3分）Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰（4分）212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰（6分）3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.（2分）所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)（3分）又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx （6分）六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解：1212)1(-+-=nnn n a ，（1分）而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛，故原级数收敛。
高数B2试题参考答案
高数B2试题参考答案一、填空题：1、 2 ； 2 、2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； 3、；4、 5 ；5、12(cos 2sin 2)xc x c x e + 二、选择题：1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B三、计算题：1．解：1) 1yz u y x x z -∂=∂ 2)'''123'3x z F F F F z x F F ++∂=-=-∂2. 解：令cos ,sin ,02,2x r y r r θθθπππ==≤≤≤≤220sin D d r rdr πππθ=⋅⎰⎰⎰⎰ 222[cos |cos ]r r rdr πππππ=-+⎰ 22[30]6πππ=-+=-3. 解：令2222,.y x P Q x y x y-==++则当220x y +≠时，有 22222.()Q y x P x x y x∂-∂==∂+∂ 记L 所围成的闭区域为D 。
当（0，0）∉D 时，由格林公式得220,L xdy ydx x y -=+⎰当（0，0）D ∈时，选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周222:l x y r +=，记L 和l 所围成的区域为1D ，则 22220,L l xdy ydx xdy ydx x y x y ---=++⎰⎰其中l 的方向为逆时针方向。
于是 2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y --==++⎰⎰2222220cos sin 2.r r d rπθθθπ+=⎰ 4、 解：将∑补充成闭曲面，令2221:0,z x y R ∑=+≤上侧。
由高斯公式11333333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdxz dxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰2223()0:0x y z dxdydz z z Ω=-++-Ω==⎰⎰⎰围成22220003sin R d d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰ 42006sin Rd r dr ππϕϕ=-⎰⎰ 556655R R ππ=-⨯=- 5、解：113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ 当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散。